微专题集训7 函数的单调性与最值-【高考领航】2027年高考数学一轮复习微专题速练

**基本信息** 聚焦函数单调性与最值，精选高考真题与模拟题，覆盖单调性判断、参数范围求解等核心考法，注重数学思维与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|6题|单调性判断、已知单调求参数、函数值比较|从单调性定义出发，结合基本函数性质，构建"概念-判断-应用"逻辑链| |综合拓展|6题|新定义"线增函数"、奇偶性与单调性综合、含参最值|延伸至抽象函数与新定义问题，体现从具体到抽象的知识迁移，强化推理与模型意识|

微专题集训7　函数的单调性与最值 1．(2021·全国甲卷文T4，易)下列函数中是增函数的为(　　) A．f(x)＝－x B．f(x)＝x C．f(x)＝x2 D．f(x)＝ 2．(2024·新课标Ⅰ卷T6，中)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[－1，0] C．[－1，1] D．[0，＋∞) 3．(2023·全国甲卷文T11，中)已知函数f(x)＝.记a＝f，b＝f，c＝f，则(　　) A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 1．设函数f(x)＝ax2－ax＋1(a>0且a≠1)在区间(0，2)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．[4，＋∞) C．(0，1) D．(1，4) 2．设函数f(x)＝(ax＋b－1)·(ex－e)，若f(x)≥0恒成立，则a2＋b2的最小值为(　　) A． B． C． D．1 3．(多选)设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x1∈D，x2∈D，且x1≠x2，总有[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＋(x2－x1)2>0成立，则称函数f(x)在D上为线增函数．下列函数中在其定义域上为线增函数的有(　　) A．f(x)＝x2＋x B．f(x)＝x3 C．f(x)＝log2 D．f(x)＝－，x∈(0，＋∞) 1．(2026·四川攀枝花模拟)函数f(x)＝在区间[－1，1]上单调递减，则a的取值范围为(　　) A．(－∞，－1] B．(－∞，－1) C．[－3，－1] D．(－3，－1) 2．(2026·江西宜春月考)设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(π)，f(－3)的大小关系是(　　) A．f(π)>f(－3)>f B．f(π)>f>f(－3) C．f(π)<f(－3)<f D．f(π)<f<f(－3) 3．(2026·上海财经大学附属中学期中)已知关于x的不等式|x－1|－1≤2a－|x＋1|有实数解，则实数a的取值范围为(　　) A．[2，＋∞) B． C． D．(－∞，2] 4．(多选)(2026·陕西延安期中)如图是函数y＝f(x)，x∈[－4，3]的图象，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)在[－4，－1]∪[1，3]上单调递减 B．f(x)在[－1，1]上单调递增 C．f(x)在[－1，3]上有最大值3，有最小值－2 D．f(x)在区间(－4，1)上的最大值为3，最小值为－2 5．(2026·内蒙古呼和浩特模拟)已知a≠0，设函数f(x)＝f(x)存在最小值，则实数a的取值范围是________． 6．(2026·河北邯郸期中)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋x.若不等式f(3a2＋b2)＋f[λ(a2－ab)]≥0，对任意的b>a>0恒成立，则实数λ的取值范围为__________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题集训7　函数的单调性 与最值 [真题精准练] 1．D　函数f(x)＝－x是一次函数，在R上是减函数；函数f(x)＝x是指数函数，底数0＜＜1，所以函数f(x)在R上是减函数；函数f(x)＝x2是二次函数，在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数；函数f(x)＝是幂函数，指数＞0，所以函数f(x)在R上是增函数．故选D. 2．B　因为函数f(x)在R上单调递增，且当x<0时，f(x)＝－x2－2ax－a，所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f(x)＝ex＋ln (x＋1)，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增．若函数f(x)在R上单调递增，则－a≤f(0)＝1，即a≥－1.综上，实数a的取值范围是[－1，0].故选B. 3．A　令g(x)＝－(x－1)2，则g(x)开口向下，对称轴为x＝1， 因为－1－＝，而2－42＝9＋6－7>0， 所以－1－>0，即－1>1－， 由二次函数性质知g<g， 因为－1－＝，而2－42＝8＋4－8＝4<0， 即－1<1－，所以g> 综上，g<g<g， 又y＝ex为增函数，故a<c<b，即b>c>a. 故选A. [高考变式练] 1．B　若a>1，y＝ax在(0，＋∞)上单调递增，要满足题意，则y＝x2－ax＋1要在(0，2)上单调递减，故≥2，即a≥4；若0<a<1，y＝ax在(0，＋∞)上单调递减，要满足题意，则y＝x2－ax＋1要在(0，2)上单调递增，故≤0，即a≤0，不满足0<a<1.综上所述，a的取值范围是[4，＋∞)．故选B. 2．C　若a≥0，当x≥1时，(ex－e)≥0，因为f(x)≥0恒成立，所以ax＋b－1≥0恒成立，则a＋b－1≥0，即a＋b≥1，当x<1时，(ex－e)<0，因为f(x)≥0恒成立，所以ax＋b－1≤0恒成立，则a＋b－1≤0，即a＋b≤1，综上，a＋b＝1，同理，当a<0时a＋b＝1，又(a2＋b2)－(a－b)2≥0，所以，(a2＋b2)≥，当且仅当a＝b＝时取等号．故选C. 3．BCD　由[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＋(x2－x1)2>0得(x2－x1)[f(x2)－f(x1)＋(x2－x1)]>0；对于A，f(x)＝x2＋x的定义域为R，不妨设x1<x2，(x2－x1)[f(x2)－f(x1)＋(x2－x1)]＝＝(x2－x1)2(x2＋x1＋2)；当x2＋x1<－2时，(x2－x1)[f(x2)－f(x1)＋(x2－x1)]<0，所以f(x)＝x2＋x不是线增函数，故A错误；对于B，f(x)＝x3的定义域为R，不妨设x1<x2，(x2－x1)[f(x2)－f(x1)＋(x2－x1)]＝(x2－x1)(x2－x1)]＝，因为x2－>0，所以f(x)＝x3是线增函数，故B正确；对于C，f(x)＝log2的定义域为(0，＋∞)，不妨设0<x1<x2，(x2－x1)[f(x2)－f(x1)＋(x2－x1)]＝＝(x2－x1)(log2x2－x2－log2x1＋x1＋x2－x1)＝(x2－x1)(log2x2－log2x1)，因为x2－x1>0，log2x2－log2x1>0，所以(x2－x1)[f(x2)－f(x1)＋(x2－x1)]>0，所以f(x)＝log2是线增函数，故C正确；对于D，f(x)＝－，x∈(0，＋∞)，不妨设0<x1<x2，(x2－x1)·[f(x2)－f(x1)＋(x2－x1)]＝(x2－x1)＝(x2－x1)＝(x2－x1)·，因为(x2－x1)2>0，x1x2>0，所以(x2－x1)[f(x2)－f(x1)＋(x2－x1)]>0，所以f(x)＝－，x∈(0，＋∞)是线增函数，D正确．故选BCD. [最新模拟练] 1．C　依题意，f(x)＝在区间[－1，1]上单调递减，所以即 解得－3≤a≤－1，所以a的取值范围是[－3，－1].故选C. 2．A　由于f(x)为偶函数，故f＝f，f(－3)＝f(3)，由于x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，π>3>，故f(π)>f(－3)>f，故选A. 3．B　由不等式|x－1|－1≤2a－|x＋1|有实数解，则2a＋1≥|x＋1|＋|x－1|有实数解，令函数f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，则f(x)＝当x∈(－1，1)时，f(x)＝2；当x∈(－∞，－1]时，f(x)＝－2x≥2；当x∈[1，＋∞)时，f(x)＝2x≥2, 因此函数f(x)取最小值为2，依题意，2a＋1≥2，解得a≥，所以实数a的取值范围为.故选B. 4．BC　对于A，由题图可知，函数f(x)在[－4，－1]和[1，3]上单调递减，单调区间不能用并集符号连接，故A错误；对于B，由题图可知，f(x)在[－1，1]上单调递增，故B正确；对于C，由题图可知，f(x)在[－1，3]上有最大值3，最小值－2，故C正确；对于D，由题图可知f(x)在区间(－4，1)上无最大值，最小值为－2，故D错误．故选BC. 5．解析：当a<0时，函数f(x)在(－∞，a)上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增，此时当x<a时，f(x)>a2－1，当x≥a时，f(x)≥f(a)＝－a2＋1，所以要想f(x)有最小值，只需满足a2－1≥－a2＋1即可，解得a≤－1；当a>0时，函数f(x)在(－∞，a)上单调递增，在[a，＋∞)上单调递增，此时当x<a时，f(x)<a2－1，即f(x)不可能有最小值，所以 a>0不满足题意．综上所述，实数a的取值范围为(－∞，－1]. 答案：(－∞，－1] 6．解析：因为x>0，f(x)＝x2＋x的图象是开口向上，对称轴为x＝－≥0，对任意的b>a>0恒成立，即f(3a2＋b2)≥－f[λ(a2－ab)]＝f[λ(ab－a2)]，所以3a2＋b2≥λ(ab－a2)，又ab－a2＝a(b－a)>0，所以λ≤，令m＝>1，则y＝＋2＝6，当且仅当m－1＝，即m＝3时取等号，所以λ≤6，则实数λ的取值范围为(－∞，6]. 答案：(－∞，6] 学科网（北京）股份有限公司 $