微专题集训9 函数的周期性和对称性-【高考领航】2027年高考数学一轮复习微专题速练

**基本信息** 聚焦函数周期性与对称性的综合应用，通过高考真题与模拟题构建从奇偶性到周期性的逻辑链，强化抽象推理与性质迁移的数学思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|5题|奇偶性与周期性结合求函数值（如2025全国一卷T5）|从奇偶性（对称性特殊形式）切入，推导周期，建立“性质→区间转化→求值”逻辑| |综合提升|7题|抽象函数关系式（如f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)）及导数奇偶性应用|通过抽象等式推导周期，结合对称性（如f(x+1)为偶函数）深化性质关联| |创新拓展|3题|新定义函数（如min{x-[x],〈x〉-x}）与跨模块综合|融合函数性质与逻辑推理，体现从具体到抽象的数学抽象过程|

微专题集训9　函数的周期性和对称性 1．(2025·全国一卷T5，易)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． 2．(2021·全国甲卷文T12，中)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若f＝，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． 3．(2022·新高考Ⅱ卷T8，难)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则f(k)＝(　　) A．－3 B．－2 C．0 D．1 4．(多选)(2023·新课标Ⅰ卷T11, 中)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则(　　) A．f(0)＝0 B．f(1)＝0 C．f(x)是偶函数 D．x＝0为f(x)的极小值点 5．(多选)(2022·新高考Ⅰ卷T12，中)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)．若f，g(2＋x)均为偶函数，则(　　) A．f(0)＝0 B．g＝0 C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2) 1．设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为偶函数，f(x＋2)为奇函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b，若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　　) A．－ B．－ C．－ D． 2．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)＋f(x)＝f(8)，f(2x＋1)为奇函数，f＝，则kf＝(　　) A．－11 B．－ C．0 D． 3．已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)－g(2－x)＝－5，g(x)＋f(x＋2)＝3.若f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(3)＝－3，则g(k)＝(　　) A．80 B．86 C．90 D．96 4．(多选)已知函数y＝f(x)是定义在R上且周期为π的偶函数，当x∈时，f(x)＝2sin x，则下列结论正确的有(　　) A．f＝ B．f＝1 C．当x∈时，f(x)＝－2sin x D．当x∈时，f(x)＝－2cos x 1．(2026·山东德州五校联考)设f(x)为定义在R上的奇函数，且满足f(－x)＝f(x＋2)，f(1)＝1，则f(－1)＋f(8)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 2．(2026·四川成都模拟)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2025)＝(　　) A．－2 B．－1 C．2 D．1 3．(2026·安徽部分学校联考)f(x)是定义在R上的奇函数，且关于直线x＝对称，当0≤x≤时，f(x)＝x3－2x，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． 4．(2026·上海模拟)设函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x－2)＋f(x)＝0.当x∈[－1，1]时，f(x)＝x3，则下列结论中正确的是(　　) A．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称 B．函数y＝f(x)在区间[7，9]单调递减 C．当x∈[－1，2025]时，f(x)有1013个零点 D．函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 5．(2026·陕西西安模拟)设f(x)与其导函数g(x)的定义域均为R，若f(3x)＝f(2－3x)，g(x－2)的图象关于直线x＝1对称，g(x)在区间[－1，1]上单调递减，且g(7)＝3，则下列结论正确的是(　　) A．g(x－1)为奇函数 B．g(x＋1)为偶函数 C．g(2041)＝3 D．g(x)的极小值为－3 6．(多选)(2026·四川绵阳第一次诊断性考试)已知定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x＋2)－f(x)＝f(1)，当x∈(0，1)时，f(x)＝ln x，则(　　) A.f(1)＝0 B．f＝ln 2 C．f>f D．若f(0)＝1，则f(i)＝10 7．(多选)(2026·辽宁丹东模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)，f(x)在区间上单调递增，且f＝－3，则(　　) A．f(－6)＝0 B．f(x)在上单调递减 C．f(x)关于直线x＝9对称 D．f(2025)＋f＝6 8．(多选)(2026·山东青岛月考)∀x∈R，用[x]表示不大于x的最大整数，用〈x〉表示不小于x的最小整数．用min{a，b}表示实数a，b中最小者，如：min{1，－1}＝－1.记函数f(x)＝min{x－[x]，〈x〉－x}，则(　　) A．函数y＝f(x)的值域为 B．f(x＋1)＝f(f(x)) C．函数y＝f(2x)图象的对称轴方程为x＝，k∈Z D．若集合A＝{f(x2)|f(x2)＝f(12x2)}，则A中有12个元素 9．(2026·云南昆明期中)设函数f(x)的定义域为R，f(x－1)＋1为奇函数，f(x＋2)－2为偶函数，当x∈[－1，1]时，f(x)＝kx＋m，若f(3)－f(5)＝2，则＝________． 10．(2026·云南楚雄模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2t－x)＋f(x)＝0(t是正常数)恒成立，且函数y＝f为偶函数，若＝2，则f＝__________． 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 答案：2微专题集训9函数的周期性 和对称性 真题精准练] 1.A 由网是定义在R上且周期为2的每西数可传，引-程 f程+24 因为当2e3时，网=5-2x,所以45-2x号=号 即才引号故选A 2.C由x)是定义域为R的奇函数，得-x)=一x).又1十)=-)， 所以2+)=1+(1+》=-(1+x》=一1+x)=一-x)=w),则)是以2 为E装的周期西数.所以}-行2升-号放达C 3.A因为1)=1，所以在x+)+x-y)=xy)中，令y=1,得x+1) +x-1)=x1),所以x+1)+x-1)=x)①，所以x+2)+x)=x+1) ②.由①②相加，得x十2)十x-1)=0,故x+3)+x)=0,所以x十3)=一 x),所以x十6)=-x+3)=w),所以函数w)的一个周期为6.在x十)+x -)=x)中，令x=1,y=0,得x)+)=x0),所以0)=2.令x=1,y =1,得2)+0)=11)，所以2)=-1.由x+3)=-x),得3)=-0)= -2,4)=-1)=-1,5)=-2)=1,6=-3)=2,所以1)+2)+…+ 22 狗=1-1-2-1+1+2=0，根据函数的周期性知，=1)+2)+3)+ 4)=1-1-2-1=-3,故选A. 4.ABC因为x)=yx)+x),对于A,令x=y=0,0)=0f0)+00) =0,故A正确；对于B,令x=y=1,1)=11)+11),则1)=0，故B正确； 对于C,令x=y=-1,1)=-1)+-1)=2-1),则-1)=0，令y=-1, ◆独家授权侵权必究 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b.ZxXk.c0m 您身边的互联网+教辅专家 一x)=x)十x孔一I)=x),又函数x)的定义域为R,所以x)为偶函数，故C 正确；对于D,不妨令x)=0,显然符合题设条件，此时x)无极值，故D错误 故选ABC 5.BC 因为2x为偶函载，所以侵2x-=2 所以函数x)的 图象关于直线x= 对称，f2×引-号+2× 即-1)=4)，所以C正确； 因为g(2十x)为偶函数，所以g(2+x)=(2一x),函数g(x)的图象关于直线x=2对 称，因为y)=f),所以函数()的图象关于点 0对称，所以x)的周期 7=4×2-引-2，因为-1)=④，所以-)=-f0,即8(-1)=-8④= -g0,乐以D不正南；月为f层2-f号+2 即f引，所以引，所以8》2×2 g,所以名-0，所以B正确；不坊取)=6∈R四，经验证满足题意， 但O)=1,所以选项A不正确.综上，故选BC. [高考变式练] 1.C根据函数的图象变换，由x十1)为偶函数，x十2)为奇函数，则直线 x=1,(2,0)分别为函数x)的对称轴与对称中心，即函数x)的对称轴的方程为 x=2n-1(n∈Z与对称中心坐标为(2n,0)(n∈Z),易知0)=0，函数)的周期 T=4,由0)+3)=6，则3)=6，即1)=-6，且2)=0，可得方程 及66=6：架肉8二6，当，和-08，档引程+4 引=2x}-8=选c 独家授权侵权必究 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b.ZxXk.c0m 您身边的互联网+教辅专家 2.B由x+2)+x=8),则x+4)+x+2)=8),所以x+4)=x), x)周期为4，所以8)=4)=0).由x+2)+x)=8),令x=0,则有2)+ 0)=8)=0),所以，2)=0.因为2x+1)为奇函数，所以(-2x十1)=-2x +1),所以-x十1)=一x+1),所以函数y=x)关于点(1,0)对称，所以2- 9利.令员则月村方令0可得，阳)00，所以 0)=0,所以8)=0，所以有x+2)+x=8)=0,即有x+2)=-x).令x -测有f-f传◆-是=-格1-三，小4m -份4m+引2}-员4m*引-得-员4m*号引-月 所以，《m-f4m+am+24m+2+(m+3)f4m*引+m+ 4n+引-m+1)x2am+2×+(m+3x-2+am+x2-0,所 ,2-引-22-引+2财2引2号+2r121x+2× 一2故选B. 3.C因为y=x)的图象关于直线x=1对称，所以x=2一x),所以x十 2)=(-),因为fw)-g(2-)=-5,所以2-)-g(2-x)=-5,所以(-x) g(-x)=-5,因为gw)+x+2)=3,所以g)+-x)=3,所以gx)+g(-)= 8,则gx)的图象关于点(0,4)对称，且g(0)=4.因为)-g(2-)=一5，所以 -x)-g(x+2)=-5,所以gx)+g(x+2)=8,所以gx+2)+gx+4)=8,则 gx)=gx+4),即g)的周期为4.因为3)=-3，且g(x)+x+2)=3,所以g(1) 22 =6.因为g(x)+gx+2)=8,所以g(3)=2.因为g(0)=4,所以g(2)=4,则∑g() =5[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(1)+g(2)=5×16+10=90.故选C. 独家授权侵权必究◆ 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 4.Ac月为面数y灵得数，则-利=网，所以厂沿当行 2 纹A正黄；由干面数网素为元，则2因为面数是偶爵藏， 所以1侣当0,号1时，=2， 2号=2x9-61,故B餐误：当e(-号0>升，-0，引因 2 为函数是偶函数，所以--)，因为当xe(0,及7时，九)=2inx,那 么)=-)=2sin(-)=-2simx,故C正确；当x∈[5π，3π)时，x 3玩∈[-2,0).因为函数周期为元，所以)=x-3m).由C选项可知当x∈ (7,0)时，)=-2s血x,第么)=x-3对=-2sin6c-3m=-2n6x )=2sinx≠一2cosx,故D错误，故选AC. 「最新模拟练] 1.A由x)为定义在R上的奇函数，知x=一(-x),则-1)=一1)= -1,0)=0,由(-)=x+2),则)=一-x)=-x+2),即有x+2)=- x+4),则有x)=x+4),故x)是以4为周期的周期函数，故8)=4)=0) =0,则-1)+8)=-1+0=-1.故选A. 2.D因为x≥0，都有x+2)=-x),所以x+4)=-x+2)=x),即当 x≥0时，函数x)具有周期性，且周期为4，又x)是偶函数，所以尺-2025)= 2025)=2024+1)=1)=1og(1+1)=1.故选D 3.C因为x)是定义在R上的奇函数，所以w)=一孔一x),① 独家授权侵权必究◆ 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 又关于直线x-子对称，所以侧=是x, 3 ② 联立①②可得人)号x,即)x+引， ③ 把x用x+菩挨可得-才x+2=十3刃， ④ 联立⑧④可得)=人x+3),所以九)是周期为3的周期函数，所以f 2 =份=-2-2x]-日故造c 4.C因为x-2)+x)=0,所以x)+x+2)=0→x+2)=-x)→x+4) =-x十2)=x),所以x)的周期为4，又x-2)+x)=0,所以x+1)+x一 1)=0→x+1)=一x一1)，又因为x)是定义在R上的奇函数.所以1+x)=1 一x,所以x)关于x=1对称.又当x∈[-1,1]时，x)=x，据此可画出x部分 图象如图： Λ-1Λ3 7-4-3-201274 对于A,结合图象可知：x)的图象关于x=1+2k,k∈Z对称，故A错误； 对于B,因为x)的周期为4，故x)在[7,9]上单调性与x)在[-1,1]上保持一 致.又当x∈[一1,1]时，x)=x,所以x)在[一1,1]上单调递增，所以函数y =x)在区间[7,9]上单调递增，故B错误；对于C,结合图象可知，x)的零点 为2k,∈乙，令1长2长2025，解得k22又E2,所以0,1， 2,…,1012,故当x∈[-1,2025]时，x)有1013个零点，故C正确；对于 D,结合图象可知，x)的图象关于(2k,O)对称，其中k∈Z,故D错误.故选C 5.D因为g(x-2)的图象关于x=1对称，所以gx-2)=g(2-x-2)=g( ·独家授权侵权必究 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 ),即gx-1)=g(-x-1),则g(x-1)为偶函数，故A错误；由3x)=2-3x) 得，x)=2一x),两边取导数得，fx)=一f(2-x,即gx)=-g(2-x),所以 gx十1)=-g(-x+1),则g(x十1)是奇函数，故B错误；由上可知，g(x-2)= g(-),又由g(x)=-g(2-x)得g(-x)=-(2+x),所以gx-2)=-g(2十x),则 gx+4)=-8),所以有g(x+8)=一g(4+)=gx),即函数gx)是一个周期为8 的周期函数；又由gx+1)=-g(-x+1),令x=0得，g(1)=0,则g(2041)= g(255×8+1)=g(1)=0,故C错误；因为g(x+1)是奇函数，所以g(:的图象关于 点(1,0)对称，又由gx)在[-1,1]上单调递减，所以gx)在[1,3]上单调递减， 又g(1)=0,所以gx)在[-1,3]上单调递减，由A知gx-1)=g(-x-1),故 x)的图象关于x=-1对称，所以gx)在[-5，一1]上单调递增， 由周期性可知，gw)在[3,7]上单调递增，所以当x=3时，x)取得极小值， 即g3)=一g(-1)=一（⑦）=一3，由单调性和周期性可得gx)的极小值只能为一 3,故D正确.故选D 6.ACD因为函数x)为偶函数，所以-1)=1).因为x+2)一x)= 1),令x=-1,则1)--1)=1)，故1)=0，故A正确；所以x+2)-x) =0,即x十2)=x.所以函数x)的周期为2.当x∈(0,1)时，x)=nx,所以 f引-授2=日-n2,故B误；才引=f川号+2-付=-m 3,h2,两为h2h3,听以才引 所以C正确；因为O)= 1,1)=0,函数x)的周期为2，所以∑)=1)+2)+3)+4+·+19)+ 20)=10×1)+10×0)=10,所以D正确.故选ACD. 7.AB因为x+1)+x一1)=x),所以x-1)=x)-x+1),所以)= 独家授权侵权必究 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 x+1)-x+2),故x-1)=x+1)-x+2)-x+1)=-x+2),所以x)=- x+3),所以x=-x+3)=一[-+3+3)]=x+6),所以，6是函数x的 一个周期.对于A,因为x是定义在R上的奇函数，所以0)=0，所以-6) =0)=0,故A正确；对于B,因为x)=一x+3)=-3-),因为6是w的 用期，所以3习仍，故利3)。所以丽数刚的因家关于多 对称，又侧在区间(0，多]上单调递增，所以网在区间（号3]上单调递 减，放B正滴：对于C,图为介引-3，所以引=才引-3，又号= 号62引-3，所以 所以x)的图象不关于直线x=3对称， 根据周期性可知，x)的图象不关于直线x=9对称，故C错误；对于D,因为 )=-0=0,/}=3.方以02+/2}=37×6+切+月=+/21- 0十3=3，故D错误.故选AB. 8.ABD由题可知，当0≤x≤1时，x-[x]=x,x)-x=1-x.由K1-x 1 &x,0≤x≤2' 得2由1-x,得2所以九)=&1-X,x≤1，作出筒图如下： &fx+1,x<0, &fx-1,x>1. 当分≤1时，0≤1-因为面效网是周期为1的西数，所以函数 x),x∈R的值域和函数y=x),x∈[0，I]的值域相同，所以函数y=x), x∈R的值域为[0，号]故A正确；因为∈[0，号]，所以)=； 独家授权侵权必究 。学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 因为x+I)=x),所以x+I)=x).故B正确；因为函数y=x)的图象关于 x=2,k∈Z对称，所以函数y=2)的图象关于2x=2,k∈Z,即x= 斧k∈Z对称放c错送：因为函数fx是周期为1的函数，所以由f父=12 得12r=十m,m∈Z,或父+12x-,n∈Z,即盘meZ.或x骨， n∈Z.由函数)的周期性及对称性分析可知，x有12个不同的取值，分别如 下：当m==0时，=0，所以的=0=0：当m=1时，术=立，所以的 -引击；当m=2时，-品所以的品}品：当m3时，-是 ,所以)=才品-品；当m=4时，-告，所以网=f-音 ；当m=5 时，品，所以品)品；当m1时，乐以的品品 ；当n=2时，-品，所以的=f品品：当=3时，-音，所以的 2 -品音：当m=4时，-音所以网=情-音：当n=5时，-语 ，所以的=f品-高；苦m=6黄：-品所以-侣引-吕所以案合 6 A ff)Ax) 12x} {0 品品品告品品品是音高吕，所以案合4中有12 个元素，故D正确.故选ABD 9.解析：由x-1)+1为奇函数，可得x-1)+1=一尺-x-1)-1,即x 一1)+-x一1)=-2，所以函数关于点(-1，-1)对称，且定义域为R,所以 -1)=-1,所以x)=--x-2)-2;又x+2)-2为偶函数，可得x十2)- 2=-x+2)-2,即x+2)=-x+2),所以-x+4)=x),x+4)=-; ·独家授权侵权必究 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 所以孔-x+4)=--x-2)-2,所以-x)-2=-x-2)=-(x+2)=(x+2) +4)=x+6),所以-x+6-2=x+12),所以x)=x+12),所以)的周期 为12.当x∈[-1,1]时，x)=x+m,3)=-1+4)=1)=k+m,5)=1+ 4)=-1)=-k+m=-1,由3)-5)=2，代入得k=1,m=0,所以当x∈[- 1,1]时，x)=x,由周期得 204=12×85+=2l- 答案：月 10.解析：日为y才+号引为狷面数，则木x+才x+引。 即得孔-x)= x十)，又由2t-x+x)=0,可得x+2)=--x),故x十2)=-x+), 即x+)=一x),从而x+2)=一x十)=)，又t是正常数，则2t是函数 的-个周装，故24-24-6d---2 答案：一2 独家授权侵权必究