第2单元 02 第7讲 函数的单调性（word习题）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

**基本信息** 聚焦函数单调性的定义理解、判断方法及综合应用，通过梯度化题型构建从基础到复杂的知识逻辑链，培养数学思维的推理能力与逻辑联系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判断|2题|基本初等函数/复合函数单调性判断|从具体函数到复合函数，构建单调性认知基础| |性质应用|5题|单调性比较大小、解不等式、充要条件分析|结合函数性质，强化单调性的工具性应用| |参数求解|3题|分段函数、复合函数单调性求参数范围|深化定义域与单调性的关联，提升推理能力| |综合应用|7题|抽象函数、函数四则运算、构造函数等综合题|整合奇偶性等性质，形成单调性应用的完整逻辑体系|

第7讲　函数的单调性 1.[2023·北京卷] 下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.f(x)=-ln x B.f(x)= C.f(x)=- D.f(x)=3|x-1| 2.函数f(x)=的单调递减区间是 (　 ) A.[-1,0] B.[0,1] C.[2,+∞) D.(-∞,2] 3.[2025·辽宁大连育明高级中学模拟] 若f(x)是定义在R上的增函数,则“f(x)>x”是“f[f(x)]>x”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上满足对任意的x1,x2∈(-1,1),且x1≠x2,都有<0,若f(2a-1)<f(1-a),则实数a的取值范围是 (　 ) A. B. C.(0,2) D.(0,+∞) 5.已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,-2) B.(-∞,0) C.(-3,-2] D.[-3,-2] 6.(多选题)[2025·福建宁德福鼎四中月考] 已知函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)>0,g(x)>0,f(x)是减函数,g(x)是增函数,则下列说法错误的是 (　 ) A.g(x)+f(x)是增函数 B.f(x)-g(x)是减函数 C.f(x)g(x)是增函数 D.是减函数 7.已知函数f(x)=ex+4x+1,a=f(ln 4),b=f(ln 3),c=f(1),则a,b,c的大小关系为　　　　.  8.设函数f(x)=lo(x2-ax+3)在(2,3)上单调递减,则a的取值范围是　　　　.  9.已知函数f(x)=且f(1)=5,f(2)=6. (1)求f(x)的解析式; (2)写出f(x)的单调递增区间和单调递减区间. 10.已知函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-1,3] B.(-∞,3] C.[3,+∞) D.(-∞,-1]∪[3,+∞) 11.[2025·河北唐山二模] 已知a=log23+log32,b=log45+log54,则下列结论正确的是 (　 ) A.a>b>2 B.a>2>b C.b>a>2 D.2>a>b 12.(多选题)已知函数f(x)=,则下列叙述正确的是 (　 ) A.当a=1时,函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递增 B.当a=1时,函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递减 C.若函数f(x)有最大值2,则a=1 D.若函数f(x)在区间(-∞,2)上单调递增,则a的取值范围是[0,1] 13.[2026·海南海口琼山中学月考] 已知函数f(x)=x3+2x-sin x,则不等式f(2x2-1)+f(x)≤0的解集为　　　　.  14.已知函数f(x)是定义在R上的单调函数,且f[f(x)-2x-2x]=10,则f(x)在[-2,2]上的最大值为　　　　.  15.已知函数f(x)的定义域为R,对任意的a,b∈R,都有f(a)f(b)=f(a+b).当x<0时,f(x)>1,且f(0)≠0. (1)求f(0)的值,并证明当x>0时,0<f(x)<1; (2)判断f(x)的单调性; (3)若f(2)=,求不等式f(5t2-6t)>的解集. 16.[2025·安徽江淮十校4月联考] 已知x,y∈R,且9x+(x-2)·3x=1,9y-1+y·3y=9,则x+y= (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 17.(多选题)[2026·辽宁大连二十四中期中] 已知定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数x,y,恒有[f(x)+1]·[f(y)+1]=f(x+y)+1.若f(1)=1,当x<0时,f(x)<0,则下列结论正确的是 (　 ) A.f(0)=0 B.函数f(x)的最小值为-1 C.f(x)为R上的增函数 D.关于x的不等式f(x)+f(2-x)>3的解集为(-∞,0)∪(2,+∞) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲　函数的单调性 1.C　[解析] 对于A,因为u=ln x在(0,+∞)上单调递增,y=-u在R上单调递减,所以f(x)=-ln x在(0,+∞)上单调递减,故A错误;对于B,因为u=2x在(0,+∞)上单调递增,y=在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)=在(0,+∞)上单调递减,故B错误;对于C,因为u=在(0,+∞)上单调递减,y=-u在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)=-在(0,+∞)上单调递增,故C正确;对于D,因为f===,f(1)=3|1-1|=30=1,f(2)=3|2-1|=3,所以f(x)=3|x-1|在(0,+∞)上不单调,故D错误.故选C. 2.A　[解析] 要使函数f(x)=有意义,只需-x2-2x≥0,解得-2≤x≤0.因为y=-x2-2x的图象开口向下,对称轴方程为x=-1,所以函数y=-x2-2x在[-1,0]上单调递减,在[-2,-1]上单调递增,又y=在[0,1]上单调递增,所以函数f(x)=在[-1,0]上单调递减,在[-2,-1]上单调递增,所以函数f(x)=的单调递减区间是[-1,0].故选A. 3.C　[解析] 根据题意,f(x)是定义在R上的增函数.若f(x)>x,则f[f(x)]>f(x)>x,充分性成立;反之,若f[f(x)]>x,假设存在x0满足f(x0)≤x0,由函数的单调性可知,f[f(x0)]≤f(x0)≤x0,这与f[f(x)]>x矛盾,假设不成立,故必有f(x)>x,必要性成立.综上所述,“f(x)>x”是“f[f(x)]>x”的充要条件.故选C. 4.B　[解析] 由题知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,则有解得<a<1,故选B. 5.D　[解析] 因为函数f(x)=是R上的增函数,所以解得-3≤a≤-2.故选D. 6.AC　[解析] 对于A,取g(x)=2x,f(x)=,则g(1)+f(1)=,g(-1)+f(-1)=,则g(x)+f(x)不是增函数,故A中说法错误;对于B,因为g(x)是增函数,所以-g(x)是减函数,又f(x)是减函数,所以f(x)-g(x)=f(x)+[-g(x)]是减函数,故B中说法正确;对于C,取g(x)=2x,f(x)=,则f(x)g(x)=1,为常函数,故C中说法错误;对于D,∀x1,x2∈R,x1<x2,由g(x)是增函数,且g(x)>0,得0<g(x1)<g(x2),则>,由f(x)>0,f(x)为减函数,得f(x1)>f(x2)>0,所以>,所以是减函数,故D中说法正确.故选AC. 7.a>b>c　[解析] 函数f(x)=ex+4x+1的定义域为R,且f(x)是增函数,因为ln 4>ln 3>1,所以f(ln 4)>f(ln 3)>f(1),即a>b>c. 8.　[解析] 令u=x2-ax+3,因为函数y=lou在(0,+∞)上为减函数,函数f(x)=lo(x2-ax+3)在(2,3)上单调递减,所以函数u=x2-ax+3在(2,3)上单调递增,所以≤2,解得a≤4,且u>0对任意x∈(2,3)恒成立,则4-2a+3=7-2a≥0,解得a≤,所以a的取值范围是. 9.解:(1)因为 所以解得 所以f(x)= (2)由(1)知f(x)= 画出函数f(x)的图象,如图所示. 由图可知,函数f(x)的单调递减区间是(-∞,0),[2,+∞),单调递增区间是[0,2). 10.C　[解析] 当x≤a时,f(x)=2x+4单调递增;当x>a时,f(x)=x2+1,由二次函数的性质可知y=x2+1在[0,+∞)上单调递增.因为函数f(x)=在R上单调递增,所以a≥0,且2a+4≤a2+1,所以a≥3.故选C. 11.A　[解析] 设f(x)=x+,x>0,则由对勾函数的单调性得,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(1)=2,且a=log23+log32=log23+=f(log23),b=log45+log54=log45+=f(log45),因为log23>log2=log45>1,所以f(log23)>f(log45)>f(1),即a>b>2.故选A. 12.BCD　[解析] 对于A,B,当a=1时,f(x)=,因为y=x2-4x+3在(2,+∞)上单调递增,y=在R上单调递减,所以由复合函数的单调性可得,函数f(x)=在(2,+∞)上单调递减,故A错误,B正确.对于C,显然当a=0时,f(x)没有最大值;当a≠0时,若f(x)=有最大值2,则函数y=ax2-4x+3=a+3-有最小值-1,所以解得a=1,故C正确.对于D,若函数f(x)=在(-∞,2)上单调递增,则y=ax2-4x+3在(-∞,2)上单调递减.当a=0时,显然成立;当a≠0时,由二次函数的性质可得解得0<a≤1,所以a的取值范围为[0,1],故D正确.故选BCD. 13.　[解析] 函数f(x)=x3+2x-sin x的定义域为R,因为f(-x)=(-x)3-2x-sin(-x)=-x3-2x+sin x=-f(x),所以f(x)为奇函数.因为f'(x)=x2+2-cos x≥x2+2-1=x2+1>0,所以函数f(x)在R上为增函数.由f(2x2-1)+f(x)≤0得f(2x2-1)≤-f(x)=f(-x),所以2x2-1≤-x,即2x2+x-1≤0,解得-1≤x≤,故不等式f(2x2-1)+f(x)≤0的解集为. 14.10　[解析] 因为f(x)是定义在R上的单调函数,所以存在唯一的t∈R,使得f(t)=10,则f(x)-2x-2x=t,即f(x)=2x+2x+t,令x=t,则f(t)=2t+3t=10.因为函数y=2t+3t为增函数,且22+3×2=10,所以t=2,则f(x)=2x+2x+2.易知f(x)在[-2,2]上单调递增,所以f(x)在[-2,2]上的最大值为f(2)=10. 15.解:(1)令a=b=0,则[f(0)]2=f(0),又f(0)≠0,所以f(0)=1. 证明:当x>0时,-x<0,所以f(-x)>1,又f(x)f(-x)=f(x-x)=f(0)=1,所以f(x)=,所以0<f(x)<1. (2)令x1<x2,x1,x2∈R, 则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)f(x2)-f(x2)=f(x2)[f(x1-x2)-1], 又x1<x2,所以x1-x2<0, 所以f(x1-x2)>1,所以f(x1-x2)-1>0, 又当x<0时,f(x)>1,当x>0时,0<f(x)<1, 当x=0时,f(0)=1,所以f(x)>0,所以f(x2)>0, 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在R上单调递减. (3)因为f(2)=,所以f(8)=f(2)f(6)=f(2)f(2)f(4)=[f(2)]4=, 所以f(5t2-6t)>=f(8), 由(2)知f(x)在R上单调递减,所以5t2-6t<8,解得-<t<2, 所以不等式f(5t2-6t)>的解集为. 16.B　[解析] 9x+(x-2)·3x=1,两边同除以3x,得3x+x-2=3-x,即3x-3-x+x-2=0.9y-1+y·3y=9,两边同除以3y,得3y-2+y=32-y,即32-y-3y-2-y=0,整理得32-y-3y-2+(2-y)-2=0.设f(x)=3x-3-x+x-2,显然函数f(x)是R上的增函数,所以f(x)=f(2-y),所以x=2-y,因此x+y=2.故选B. 17.ACD　[解析] 对于A,因为对任意实数x,y,恒有[f(x)+1]·[f(y)+1]=f(x+y)+1,所以令y=0,x=1,得[f(1)+1]·[f(0)+1]=f(1)+1,解得f(0)=0,故A正确;对于B,令x=y=,则f(t)+1=≥0,可得f(t)≥-1,假设存在p∈R使得f(p)=-1,则对任意实数x,有f(x)+1=f(x-p+p)+1=[f(x-p)+1][f(p)+1]=0,此时f(x)=-1为常函数,与f(1)=1矛盾,故假设不成立,即不存在p∈R使得f(p)=-1,则f(x)>-1,故B错误;对于C,由[f(x)+1]·[f(y)+1]=f(x+y)+1,得f(x+y)=f(x)f(y)+f(x)+f(y),∀x1,x2∈R,且x1<x2,则x1-x2<0,又当x<0时,f(x)<0,所以f(x1-x2)<0,又f(x)+1>0恒成立,所以f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)f(x2)+f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)f(x2)+f(x1-x2)=f(x1-x2)[f(x2)+1]<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)为R上的增函数,故C正确;对于D,f(2)=f(1+1)=[f(1)]2+2f(1)=3,则[f(2-x)+1][f(x)+1]=f(2)+1=4,可得f(2-x)=-1,则不等式f(x)+f(2-x)>3等价于f(x)+-1>3,即f(x)+1+-2>3,令t=f(x)+1>0,则t+-2>3,即t2-5t+4>0,可得t>4或0<t<1,即f(x)>3或-1<f(x)<0,又f(x)为R上的增函数,f(2)=3,f(0)=0,所以x>2或x<0,故不等式f(x)+f(2-x)>3的解集为(-∞,0)∪(2,+∞),故D正确.故选ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $