第1章 1.3 等式性质与不等式性质（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

**基本信息** 聚焦不等式性质核心方法，通过差比商比、换元转化等技巧，构建“概念-性质-应用”逻辑链条，强化数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|12题（含选择、填空、解答）|差比法比较大小、不等式性质求范围、换元转化（如3x-y=s(x+y)+t(x-y)）、作商比较（aᵃbᵇ与aᵇbᵃ）|从不等式基本性质（比较大小）到条件不等式范围确定，再到实际应用（投资方案），形成“性质应用-逻辑推理-实际建模”递进| |能力提升练|2题（多选、填空）|符号分析、倒数性质应用|深化不等式性质在复杂条件下的灵活运用，强化批判性思维与数学表达|

课时冲关3　等式性质与不等式性质 [基础巩固练] 一、单选题 1．已知P＝a2＋3a＋3，Q＝a＋1，则P与Q的大小关系为(　　) A．P＜Q　　　　　　 B．P＝Q C．P＞Q D．P≤Q 解析：C　[由题意知，P－Q＝a2＋3a＋3－(a＋1)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1＞0，所以P＞Q.] 2．“a>b”的一个充分条件是(　　) A．ea－b>0 B．ln>0 C．aa>bb D.<<0 解析：D　[对于A，根据ea－b>0得a－b为任意实数，故A错误；对于B，由ln>0＝ln 1，得>1，当a>0且b>0时，有a>b；当a<0且b<0时，有a<b，不满足题意，故B错误；对于C，因为a＝2>b＝1满足aa>bb，a＝－<b＝1也满足aa>bb，不满足题意，故C错误；对于D，因为<<0，所以0>a>b，所以能推出a>b，满足题意，故D正确．] 3．若－π＜α＜β＜π，则α－β的取值范围是(　　) A．－2π＜α－β＜2π B．0＜α－β＜2π C．－2π＜α－β＜0 D．{0} 解析：C　[因为－π＜β＜π，所以－π＜－β＜π， 又－π＜α＜π，所以－2π＜α－β＜2π， 又α＜β，所以α－β＜0，所以－2π＜α－β＜0.] 4．x＜y＜0，则下列不等式不成立的是(　　) A．1－x2＜1－y2 B．x2n＋1＜y2n＋1(n∈N) C.＜ D.＞0 解析：C　[x2－y2＝(x＋y)(x－y)， ∵x＜y＜0，所以x＋y＜0，x－y＜0， 所以x2－y2＞0，即x2＞y2，所以1－x2＜1－y2，故A正确； ∵x＜y＜0，所以x2＞y2＞0， 所以(x2)n＞(y2)n＞0，即x2n＞y2n＞0， 所以x2n＋1＜y2n＋1(n∈N)，故B正确； －＝，∵y－x＞0，xy＞0， 所以－＞0，所以＞，故C错误； ∵y＜0，x＋y＜0，所以＞0，故D正确．] 5．黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀少的资源，长久以来也是一种投资工具．小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金．已知黄金价格并不稳定，所以他预设两次购入的单价不同．现假设他两次购入的单价分别为a1，a2，且a1≠a2，则下列说法正确的是(　　) A．当且仅当a1＞a2时，方案一的平均购买成本比方案二更低 B．当且仅当a1＞a2时，方案二的平均购买成本比方案一更低 C．无论a1，a2的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低 D．无论a1，a2的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低 解析：D　[方案一：设每次购入的黄金数量为m，则平均购买成本x＝＝； 方案二：设每次购入的黄金金额为n，则平均购买成本为y＝＝＝， 所以x－y＝－ ＝＝， 且a1≠a2，则x－y＝＞0，即x＞y， 无论a1，a2的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低．] 6．已知－1≤x＋y≤1,1≤x－y≤3，则8x·y的取值范围是(　　) A．[2,28] B. C．[2,27] D. 解析：C　[令3x－y＝s(x＋y)＋t(x－y)＝(s＋t)x＋(s－t)y(s，t∈R)，则∴ ∵－1≤x＋y≤1①，1≤x－y≤3，∴2≤2(x－y)≤6②，①＋②得1≤3x－y≤7.故8x·y＝23x－y∈[2,27]．] 二、多选题 7．已知c＞b＞a，则(　　) A．c＋b＞2a B.＞ C.＞ D.＜ 解析：AB　[对于选项A，因为c＞b＞a，所以c＋b＞2a，故选项A正确； 对于选项B，因为c＞b＞a，所以c－a＞c－b＞0，所以＞＞0，故选项B正确； 对于选项C，取a＝－3，b＝－2，c＝－1时，满足c＞b＞a， 此时＝＝－2，＝＝－，＜，故选项C错误； 对于选项D，当c＝1，b＝－1，a＝－2时，＝2，＝＝－，此时＞，故选项D错误．] 8．已知2＜a＋b＜5,0＜a－b＜1，某同学求出了如下结论，则下列判断中正确的是(　　) A．1＜a＜3 B.＜b＜ C．－4＜a－2b＜2 D．1＜2a－b＜4 解析：ABD　[对于A，因为a＝(a＋b)＋(a－b)， 所以由2＜a＋b＜5,0＜a－b＜1可得1＜(a＋b)＜，0＜(a－b)＜， 则1＜a＜3，故正确； 对于B，因为b＝(a＋b)－(a－b)，1＜(a＋b)＜，0＜(a－b)＜即－＜－(a－b)＜0， 所以＜b＜，故正确； 对于C，因为a－2b＝－(a＋b)＋(a－b)，－＜－(a＋b)＜－1,0＜(a－b)＜， 所以－＜a－2b＜，故不正确； 对于D，因为2a－b＝(a＋b)＋(a－b)，1＜(a＋b)＜，0＜(a－b)＜，所以1＜2a－b＜4，故正确．] 三、填空题 9．设a，b都是正数，且a≠b，则aabb与abba的大小关系是________． 解析：＝aa－b·bb－a＝a－b.若a>b＞0，则>1，a－b>0，∴a－b>1，∴aabb>abba；若0＜a<b，则0<<1，a－b<0，∴a－b>1，∴aabb>abba. 答案：aabb>abba 10．已知实数a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则的取值范围是________． 解析：因为a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，可得a＞0，b＝－(a＋c)， 所以a＞－a－c＞c，两边除以a， 有1＞－1－＞，得－2＜＜－， 所以的取值范围是. 答案： 四、解答题 11．证明下列不等式： (1)已知a＞b＞c＞d，求证：＜； (2)已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞. 解：(1)∵a＞b＞c＞d，即a＞b，－d＞－c， ∴a－d＞b－c＞0，则＜. (2)∵a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0， ∴－c＞－d＞0， ∴a－c＞b－d＞0，b－a＜0，c－d＜0， 则－＝＝＝＞0， ∴＞. 12．对于四个正数m、n、p、q，若满足mq＜np，则称有序数对(m，n)是(p，q)的“下位序列”． (1)对于2、3、7、11，有序数对(3,11)是(2,7)的“下位序列”吗？请简单说明理由； (2)设a、b、c、d均为正数，且(a，b)是(c，d)的“下位序列”，试判断、、之间的大小关系； (3)设正整数n满足条件：对集合{m|0＜m＜2 024，m∈N}内的每个m，总存在正整数k，使得(m,2 024)是(k，n)的“下位序列”，且(k，n)是(m＋1,2 025)的“下位序列”，求正整数n的最小值． 解：(1)∵3×7＜11×2， ∴(3,11)是(2,7)的“下位序列”； (2)∵(a，b)是(c，d)的“下位序列”， ∴ad＜bc， ∵a，b，c，d均为正数， 故－＝＞0， 即－＞0， ∴＞， 同理＜， 综上所述：＜＜； (3)由已知得， 因为m，n，k为整数， 故， ∴2 024(mn＋n－1)≥2 024×2 025k≥2 025(mn＋1)， ∴n≥， 该式对集合{m|0＜m＜2 024}内的每一个m∈N*的每个正整数m都成立， ∴n≥＝4 049， 当n＝4 049时，由条件得＜k＜， 即2m＋＜k＜2m＋1＋， ∵0＜m＜2 024，m∈N*， ∴只需取k＝2m＋1即可满足条件． 所以正整数n的最小值为4 049. [能力提升练] 13．[多选]若a，b，c为实数，且0＜a＜b，若＜＜0，则(　　) A．|a|＜|b| B．ac＜bc C.＞0 D．0＜＜1 解析：ACD　[对于选项A：因为0＜a＜b， 则|a|＜|b|，故A正确； 对于选项B：因为＜＜0，且0＜＜， 则c3＜0，即c＜0，所以ac＞bc，故B错误； 对于选项C：因为0＜a＜b，c＜0，则a－b＜0，所以＞0，故C正确； 对于选项D：因为0＜a＜b，所以0＜＜1，故D正确．] 14．已知a，b，c∈(0，＋∞)，若<<，则a，b，c从小到大的顺序是________． 解析：由<<可得＋1<＋1<＋1，即<<，所以a＋b>b＋c>c＋a.由a＋b>b＋c可得a>c，由b＋c>c＋a可得b>a，于是有c<a<b. 答案：c<a<b 学科网（北京）股份有限公司 $