专题02 旋转相似模型（高效培优专项训练）数学人教版九年级下册

专题02 旋转相似模型 模型一：手拉手相似 模型二：对角互补相似 模型三：角含半角相似 模型四：角平分线平行相似 模型一：手拉手相似 如图 ,点D是边AB上任意一点，过点D作 交AC于E，将 绕点A旋转一周       (两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似) 常见两个等腰直45度角重合， 条件： 为等腰直角三角形  1．（1）问题发现 如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空： ①的值为　 　； ②∠AMB的度数为　 　． （2）类比探究 如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长． 【答案】（1）①1；②40°；（2），90°；（3）AC的长为3或2． 【分析】（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值为1； ②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，根据三角形的内角和定理得：∠AMB=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°； （2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则，由全等三角形的性质得∠AMB的度数； （3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，则∠AMB=90°，，可得AC的长． 【详解】（1）问题发现： ①如图1， ∵∠AOB=∠COD=40°， ∴∠COA=∠DOB， ∵OC=OD，OA=OB， ∴△COA≌△DOB（SAS）， ∴AC=BD， ∴ ②∵△COA≌△DOB， ∴∠CAO=∠DBO， ∵∠AOB=40°， ∴∠OAB+∠ABO=140°， 在△AMB中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°， （2）类比探究： 如图2，，∠AMB=90°，理由是： Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°， ∴， 同理得：， ∴， ∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC=∠BOD， ∴△AOC∽△BOD， ∴ ，∠CAO=∠DBO， 在△AMB中，∠AMB=180°-（∠MAB+∠ABM）=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°； （3）拓展延伸： ①点C与点M重合时，如图3， 同理得：△AOC∽△BOD， ∴∠AMB=90°，， 设BD=x，则AC=x， Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1， ∴CD=2，BC=x-2， Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=， ∴AB=2OB=2， 在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2， (x)2+(x−2)2＝(2)2， x2-x-6=0， （x-3）（x+2）=0， x1=3，x2=-2， ∴AC=3； ②点C与点M重合时，如图4， 同理得：∠AMB=90°，， 设BD=x，则AC=x， 在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2， (x)2+（x+2）2=(2)2. x2+x-6=0， （x+3）（x-2）=0， x1=-3，x2=2， ∴AC=2；. 综上所述，AC的长为3或2． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目． 2．问题提出 旋转是图形的一种变换方式，利用旋转来解决几何问题往往可以使解题过程更简单，起到事半功倍的效果． 初步思考 （1）如图①，点是等边内部一点，且，，．求的长． 小敏在解答此题时，利用了“旋转法”进行证明，她的方法如下： 如图②，将绕点按顺时针方向旋转后得到，连接．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．） 推广运用 （2）如图③，在中，，，点 是内部一点，且，，．求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）只要证明△ADP是等边三角形，△PDB是直角三角形，两个勾股定理即可解决问题； （2）如图，作∠CAD=∠BAP，使AD=AP．连接CD、PD．只要证明△DPC是直角三角形，即可解决问题； 【详解】（）∵将绕点按顺时针方向旋转得到， ∴，，，． ∵，， ∴为等边三角形 ． ∴，． 又， ∴． 在中，，， ∴． （2）如图，作，使．连接、， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中，，，， 易证，． ∴． 在中，由勾股定理可得，． 【点睛】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题. 3.    (1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． (2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． (3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论； （2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果； （3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果； ②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ，∠DAE＝∠BAC＝45°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE， ； （3）解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，， ∴∠CAE＝∠BAD， ∴△CAE∽△BAD， ； ②由①得：△CAE∽△BAD， ∴∠ACE＝∠ABD， ∵∠AGC＝∠BGF， ∴∠BFC＝∠BAC， ∴sin∠BFC． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． 4．【模型呈现：材料阅读】 如图，点，，在同一直线上，点，在直线的同侧，和均为等边三角形，，交于点，对于上述问题，存在结论（不用证明）： （1）（2）可以看作是由绕点旋转而成；…    【模型改编：问题解决】 点，在直线的同侧，，，，直线，交于， 如图1：点在直线上， ①求证：；    ②求的度数．     如图2：将绕点顺时针旋转一定角度．③补全图形，则的度数为______； ④若将“”改为“”，则的度数为______．（直接写结论） 【模型拓广：问题延伸】 如图3：在矩形和矩形中，，，，连接，，求的值．    图1                    图2                            图3 【答案】【模型改编：问题解决】①见解析；②；③图见解析，115°；④ 【模型拓广：问题延伸】 【分析】【模型改编：问题解决】 ①先证明，可得，再证明，可得； ②由，可得，再结合三角形的外角可得答案； ③连接并延长交于，同理可得：，，再结合三角形的外角可得答案； ④先求解，结合③的思路可得答案； 【模型拓广：问题延伸】 连接、， 先证明，可得，，证明，可得，可得，从而可得答案． 【详解】【模型改编：问题解决】 ①∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②由①知，， ∴， ∴ ③补图如下：连接并延长交于，    图2 同理可得： ∴， ∴， ④∵，， ∴， 同理③可得， 故答案为：； 【模型拓广：问题延伸】 连接、，    图3 ∵在矩形和矩形中，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练的证明三角形相似是解本题的关键． 5．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，AD＝AF，AE•CE＝DE•EF． （1）求证：△ADE∽△ACD； （2）如果AE•BD＝EF•AF，求证：AB＝AC． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）由AE•CE＝DE•EF，推出△AEF∽△DEC，可得∠F＝∠C，再证明∠ADF＝∠C，即可解决问题； （2）欲证明AB＝AC，利用相似三角形的性质证明∠B＝∠C即可. 【详解】（1）∵AD＝AF， ∴∠ADF＝∠F， ∵AE•CE＝DE•EF， ∴， 又∵∠AEF＝∠DEC， ∴△AEF∽△DEC， ∴∠F＝∠C， ∴∠ADF＝∠C， 又∵∠DAE＝∠CAD， ∴△ADE∽△ACD． （2）∵AE•BD＝EF•AF， ∴， ∵AD＝AF， ∴， ∵∠AEF＝∠EAD+∠ADE，∠ADB＝∠EAD+∠C， ∴∠AEF＝∠ADB， ∴△AEF∽△ADB， ∴∠F＝∠B， ∴∠C＝∠B， ∴AB＝AC． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 模型二：对角互补相似 条件：  【核心】对角互补的核心，内对角=邻补角  即 思路1：作双垂     思路2：过O作       6．如图，在中，，，直角的顶点O在上，、分别交、于点P、Q，绕点O任意旋转，当时，的值为 ；当时，的值为 ．（用含m，n的式子表示） 【答案】 【分析】过点O作，，先证得，得，设，则，求得，，由勾股定理得，再证得，即可求解；同理，当时，求得，即可求解． 【详解】解：过点O作，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，， 由勾股定理，得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，若，则， 设，则， ∵， ∴，， 由勾股定理，可得， 同理，． 【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题关键在于作辅助线． 7．如图，在Rt中，，，于点，点是直线上一动点，连接，过点作，交直线于点． (1)如图1，若，点在线段上，求出的值，并写出证明过程； (2)①如图2，若点在线段上，则___________（用含，的代数式表示）； ②当点E在直线上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； (3)若，，请直接写出的长． 【答案】(1)1； (2)①；②； (3)或 【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到，再判断出即可； （2）方法和（1）一样，先用等量代换判断出，，得到，再判断出即可； （3）由（2）的结论得出，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可． 【详解】（1）解：当时，即：， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， （2）， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， 成立如图3， ， ， 又， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， ． （3）由（2）有，， 又∵，， ， ∴，， ， ， 如图4图5图6，连接． 如图4，当E在线段上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ，或舍 如图5，当E在延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或舍， ③如图6，当E在延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或（舍）， 综上：或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点． 8．如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F． （1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为　 　； （2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值； （3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3）变化.证明见解析. 【分析】（1）证明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得的值即可； （2）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME∽△PNF，并利用（1）的结论，求得的值； （3）如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APM∽△PCN，求得；然后证明△PME∽△PNF，从而由求得的值.与（1）（2）问相比较，的值发生了变化. 【详解】（1）∵矩形ABCD， ∴AB⊥BC，PA=PC. ∵PE⊥AB，BC⊥AB， ∴PE∥BC. ∴∠APE=∠PCF. ∵PF⊥BC，AB⊥BC， ∴PF∥AB. ∴∠PAE=∠CPF. ∵在△APE与△PCF中，∠PAE=∠CPF，PA=PC，∠APE=∠PCF， ∴△APE≌△PCF（ASA）. ∴PE=CF. 在Rt△PCF中，， ∴； （2）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN. ∵PM⊥PN，PE⊥PF， ∴∠EPM=∠FPN. 又∵∠PME=∠PNF=90°， ∴△PME∽△PNF. ∴. 由（1）知，， ∴. （3）变化.证明如下： 如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB. ∵PM∥BC，PN∥AB， ∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN. ∴△APM∽△PCN. ∴，得CN=2PM. 在Rt△PCN中，， ∴. ∵PM⊥PN，PE⊥PF， ∴∠EPM=∠FPN. 又∵∠PME=∠PNF=90°， ∴△PME∽△PNF. ∴. ∴的值发生变化. 9．已知Rt△ABC中，AC=BC=2．一直角的顶点P在AB上滑动，直角的两边分别交线段AC，BC于E．F两点 （1）如图1，当且PE⊥AC时，求证：； （2）如图2，当时（1）的结论是否仍然成立？为什么？ （3）在（2）的条件下，将直角∠EPF绕点P旋转，设∠BPF=α（0°＜α＜90°）．连结EF，当△CEF的周长等于2+时，请直接写出α的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）结论不成立；（3）15°． 【详解】试题分析：（1）如图1，易证△AEP∽△PFB，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）连接CP，如图2，易证△APE≌△CPF，从而得到PE=PF，故（1）的结论不成立； （3）在（2）的条件下可得AE=CF，由此可得EC+CF=2，EF=，设CF=x，在Rt△CEF中运用勾股定理可求出CF的值．由于CF的值有两个，需分以下两种情况讨论：①若CF=，如图3，过点P作PH⊥BC于H，先求出PH、FH，然后在Rt△PHF中运用三角函数可求出∠FPH的度数，由此可求出α的值；②若CF=，如图4，过点P作PG⊥AC于G，同理可求出∠APE度数，由此可求出α的值． 试题解析：（1）如图1， ∵PE⊥AC， ∴∠AEP=∠PEC=90°． 又∵∠EPF=∠ACB=90°， ∴四边形PECF为矩形， ∴∠PFC=90°， ∴∠PFB=90°， ∴∠AEP=∠PFB． ∵AC=BC，∠C=90°， ∴∠A=∠B=45°， ∴∠FPB=∠B=45°，△AEP∽△PFB， ∴PF=BF，， ∴； （2）（1）的结论不成立，理由如下： 连接PC，如图2． ∵=1， ∴点P是AB的中点． 又∵∠ACB=90°，CA=CB， ∴CP=AP=AB．∠ACP=∠BCP=∠ACB=45°，CP⊥AB， ∴∠APE+∠CPE=90°． ∵∠CPF+∠CPE=90°， ∴∠APE=∠CPF． 在△APE和△CPF中， ， ∴△APE≌△CPF， ∴AE=CF，PE=PF． 故（1）中的结论不成立； （3）当△CEF的周长等于2+时，α的度数为75°或15°． 提示：在（2）的条件下，可得AE=CF（已证）， ∴EC+CF=EC+AE=AC=2． ∵EC+CF+EF=2+， ∴EF=． 设CF=x，则有CE=2﹣x， 在Rt△CEF中，根据勾股定理可得x2+（2﹣x）2=（）2， 整理得：3x2﹣6x+2=0， 解得：x1=，x2=． ①若CF=，如图3， 过点P作PH⊥BC于H， 易得PH=HB=CH=1，FH=1﹣=， 在Rt△PHF中，tan∠FPH==， ∴∠FPH=30°， ∴α=∠FPB=30+45°=75°； ②若CF=，如图4， 过点P作PG⊥AC于G， 同理可得：∠APE=75°， ∴α=∠FPB=180°﹣∠APE﹣∠EPF=15°． 考点：相似形综合题 模型三：角含半角相似  10．在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，其中，，点为公共顶点，．如图②，若固定不动，把绕点逆时针旋转，使、与边的交点分别为、，点不与点重合，点不与点重合． (1)求证：； (2)已知等腰直角三角形的斜边长为4． ①请求出的值； ②若，请求出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①8②4﹣4 【分析】（1）利用三角形外角的性质可证等于，再由 等于 ，可证明结论． （2）①首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由 相似于 ，即可得出结论．②先求 等于 ，再求 等于 ，从而得出答案． 【详解】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝45°， 同理，∠DAE＝45°， ∵∠BAN＝∠BAM+∠DAE＝∠BAM+45°， ∠AMC＝∠BAM+∠B＝∠BAM+45°， ∴∠BAN＝∠AMC， ∴△BAN∽△CMA； （2）解：①∵等腰直角三角形的斜边长为4， ∴AB＝AC＝， ∵△BAN∽△CMA， ∴ ， ∴， ∴BN•CM＝8， 故BN•CM的值为8； ②∵BM＝CN， ∴BN＝CM， ∵BN•CM＝8， ∴BN＝CM＝， ∴MN＝BN+CM﹣BC＝， 故MN的长为． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用前面的结论解决新的问题是解题的关键． 11．（1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且点不与、重合，点不与、重合，，，，求的长．小明利用正方形的性质，通过把旋转到的位置（如图2），就计算出了的长为_____． （2）如图3，是正方形的边上的任意一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接．求的度数． （3）如图4，正方形中，过点再作，垂足为，连接．求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）旋转可知， 、、在同一直线上，进而可得，再证明，即可得，由此即可得出结论； （2）根据正方形的性质结合已知条件证明，得出，进而证明是等腰直角三角形，即可求解； （3）连接，证明，根据相似三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解：∵正方形 ， ∴，， ∵把旋转到的位置，如图2， ∴，，，， ∴， ，即、、在同一直线上， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， （2） 四边形是正方形， ，， ，， ， ，即 ， ， ， 是等腰直角三角形． ； （3）证明：如图4，连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴是等腰直角三角形，，， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴． 12．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与AC相交于点H，连接DG．以下四个结论： ①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG； ②△ACF∽△ADG； ③； ④DG⊥AC． 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】根据正方形的性质可知，有对顶角相等，可证∠EAB＝∠BFE，由可证∠EAB＝∠DAG，可判断结论①正确；由，，两边对应成比例且夹角相等即可得△ACF∽△ADG，可判断结论②正确；由结论②可知，可得DG平分，由正方形可知是等腰直角三角形，可推出DG⊥AC，结论④正确；利用两组角对应相等的两个三角形相似可得△ACF∽△AFH，根据相似的性质可得，则，又有，则结论③错误． 【详解】解：设AB与EF相交于点O，如图所示， ∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形， ∴，． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 故结论①正确； ∵AC、AF是正方形ABCD和正方形AEFG的对角线， ∴，， ∴． 又∵， ∴， 即． ∴△ACF∽△ADG． 故结论②正确； 由△ACF∽△ADG可知， ∴DG平分． ∵是等腰直角三角形， ∴DG⊥AC． 故结论④正确； ∵，， ∴△ACF∽△AFH， ∴， ∴． ∵在等腰直角中，， ∴， 故结论③错误， ∴正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理证明三角形相似是解题的关键． 模型四：与角平分线相关的相似   内角的角平分线（相似核心：作平行）  外角的角平分线（相似核心：作平行）  13．课堂上，数学老师提出了如下问题： 如图1，若线段为的角平分线，请问一定成立吗？ 小明和小芳分别作了如下探究： 小明发现：如图2，当为直角三角形时，且，时，结论成立； 小芳发现：如图3，当为任意三角形时，过点作的平行线，交的延长线于点，利用此图可以证明成立． (1)请你利用图2，证明小明的发现是正确的； (2)如图3，当为任意三角形时，请你用小芳的解题思路或者另寻其它解题思路证明成立． (3)小华在小芳发现的基础上进一步探究发现：利用（2）中的结论可以解决如下问题：如图4，中，，，为上一点且，交其内角角平分线于，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解本题的关键是作出辅助线构造相似三角形． （1）过点作，由含直角三角形性质得，，由角平分线性质得，，即可得证； （2）由两直线平行，内错角相等可得，，即可证明， 由相似三角形的性质得出，由等角对等边得出 ，即可得证． （3）利用平行线分线段定理得出，再求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ，， ， ， ， ， ， 平分,， ， ， 即， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ； （3）在中，， 根据勾股定理得，， 由（2）得∶， ， 过点作交于点， ， ， ， ， ． 14．角平分线定理指出：在三角形中，角平分线分对边所成的两条线段与夹这个角的两边对应成比例． (1)【探索发现】如图1，在中，平分交于，求证： 解题思路：悦悦的想法是过C作交延长线于点E，将相关边转化解决了问题．请按此思路完成证明． (2)【类比迁移】桐桐根据上面的思路，在探究外角平分线时，也发现了相关线段长成比例． 如图2，在中，点和点分别是和延长线上的点，连接，若平分，求证：； 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析； 【分析】（1）过作，交延长线于点，可得，由平行线的性质，结合角平分线的定义，等量代换，可得，根据等角对等边，可得，即可证得结论； （2）过作交于点，可得，由平行线的性质，结合角平分线的定义，等量代换，可得，根据等角对等边，可得，即可证得结论； （3）设，则，，由角平分线的定义，结合平行线的性质，可得，从而可得，由三角形的内角和定理，结合三角形外角的性质，可得，从而可得，在延长线上取点，可得，由（2）所证结论可得，从而可得，设，则，，作于点，则为的中点，由勾股定理可得，由等面积法可得，结合已知，由勾股定理可得，从而可得，，，，根据勾股定理，可得，由（1）所证结论可得，从而可得的长． 【详解】（1）证明：过作，交延长线于点， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）证明：过作交于点， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 15．如图，在中，D，E分别是上的点，的平分线交于点G，交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）根据已知和角平分线的定义即可证明； （2）利用相似三角形的性质：对应边成比例即可列式求解． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ； （2）解：， ， ， ， 又， ， ． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $专题02旋转相似模型 模型归纳 模型一：手拉手相似 模型二：对角互补相似 模型三：角含半角相似 模型四：角平分线平行相似 模型专练 模型一：手拉手相似 如图△ABC,点D是边AB上任意一点，过点D作DE//BC交AC于E,将△ADE绕点A旋 转一周 A D B A E E B 中 D E A B B △ABDM△ACE (两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 常见两个等腰直45度角重合， E E D D B B A D D E B B AB =是 ∠BAD=∠CAE 金ABB∽AACE AC =1 CE=2BD A D 条件：△ABC,△AEF为等腰直角三角形 = E∠BAE=∠CAF 金ABF△ACF =E∠ACP=LABE=90° :CF=V2BECF⊥AC B E 1.(1)问题发现 如图1，在△OAB和△OCD中，OAOB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°，连接AC,BD交于点M.填 空 ①4AC的值为一： BD ②∠AB的度数为一· (2)类比探究 如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于 点M,请判断AC的值及∠AMB的度数，并说明理由： BD (3)拓展延伸 在(2)的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC,BD所在直线交于点M,若OD=l,OB=√万， 请直接写出当点C与点M重合时AC的长. C D M 0 M D B 图1 图2 备用图 2.问题提出 旋转是图形的一种变换方式，利用旋转来解决几何问题往往可以使解题过程更简单，起到事半功倍的效果， 初步思考 (1)如图①，点P是等边ABC内部一点，且∠APC=150°，PA=3,PC=4.求PB的长. 小敏在解答此题时，利用了“旋转法”进行证明，她的方法如下： 如图②，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB,连接DP.(请你在下面的空白处完成小 敏的证明过程.) P B 图o 图@ 图o 推广运用 (2)如图③，在ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC,点P是ABC内部一点，且LAPC=120°，PA=√5， PB=5.求PC的长. 3 B 图1 图2 图3 (I)【问题呈现】如图I,△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD,CE.求证：BD=CE. (2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，连接BD,CE.请 直接写出BD的值 CE ③拓展提升】如图3，△4BC和△MDE都是直角三角形，乙ABC三乙ADE=90P,且R-轮-，海 接BD,CE ①咪2位， ②延长CE交BD于点F,交AB于点G.求si∠BFC的值 4.【模型呈现：材料阅读】 如图，点B,C,E在同一直线上，点A,D在直线CE的同侧，ABC和△CDE均为等边三角形，AE, BD交于点F,对于上述问题，存在结论（不用证明）： (1)△BCD≌△ACE(2)△ACE可以看作是由△BCD绕点C旋转而成； D B 【模型改编：问题解决】 点A,D在直线CE的同侧，AB=AC,ED=EC,∠BAC=LDEC=50°，直线AE,BD交于F, 如图1：点B在直线CE上， ①求证：△BCD∽△ACE;②求∠AFB的度数 如图2：将ABC绕点C顺时针旋转一定角度.③补全图形，则∠AFB的度数为 ； ④若将“∠BAC=LDEC=50°”改为“LBAC=LDEC=m°”，则∠AFB的度数为 ·(直接写结论) 【模型拓广：问题延伸】 如图3：在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB=2,AD=ED=2V5,DG=6,连接AG,BF,求BF的值。 AG 5,己知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，AD=AF,AECE =DE·EF (1)求证：△ADE∽△ACD: (2)如果AEBD=EFAF,求证：AB=AC. E D 模型二：对角互补相似 C 条件： LACB=∠E0F=90°【核心】 E 对角互补的核心，内对角=邻补角 即∠OFB=∠OEC B ∠OFC=∠OEA 0 C C M 思路1：作双垂 M :∠ONF=∠0ME=90° E E ∠OFN=∠OEM :△ONF∽△OMF A B 0 B 0 C 思路2：过O作0H⊥OA :∠OFH=∠QEA E E 公8A 0 OH B 0 A 0 B OA 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的顶点O在AB上，OM、ON分别交 时， CA、CB于点P、Q,∠MON绕点O任意旋转，当OA= 的值为一当8-时，的 OP OP OB 2 OB n 值为一 (用含m,n的式子表示) MP O 7.如图，在Rt ABC中，∠4CB=90,BC=m,CD上AB于点D,点E是直线AC上一动点，连接DE, AC n 过点D作FD⊥ED,交直线BC于点F. D D 图1 图2 图3 备用图 ①)如图1，若m=n,点E在线段AC上，求出DE的值，并写出证明过程： DE (2)0如图2，若点E在线段4C上，则DE (用含m,n的代数式表示)； DE ②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明： (3)若AC=√5，BC=25,DF=4V2,请直接写出CE的长. 8.如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处， 以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB,BC所在的直线相交，交点分别为 E,F. A D D D E P P E F B F B C F 图1 图2 图3 当PE1AB,-PELBC时，如图1，则的值为 (2)现将三角板绕点P逆时针旋转a(0°<a<60P)角，如图2，求E的值： PE (3)在(2)的基础上继续旋转，当60°<a<90,且使AP:PC-1:2时，如图3， PE的值是否变化？ P 证明你的结论。 9.己知Rt△ABC中，AC=BC=2.一直角的顶点P在AB上滑动，直角的两边分别交线段AC,BC于E. F两点 )如图1，当B且PE LAC时，求证：=1 PF-3 2如图2，当代时的结论是杏仍然成立？为什么 (3)在(2)的条件下，将直角∠EPF绕点P旋转，设∠BP℉=C(0°<a<90°)，连结EF,当△CEF的周 长等于2+？6时，请直接写出的度数. 3