精品解析：湖南长沙市周南中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

湖南长沙市周南中学2025-2026学年高二 下学期期末考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 所以. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简A，B，求交集即可. 【详解】因为，，所以． 故选：A 3. 在二项式的展开式中，的系数为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】二项式的展开式的通项为，， 令，得展开式中含的项为，故的系数为32. 4. 已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用计算可求出离心率. 【详解】因为，所以，即． 故选：B． 5. 已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的标准方程得到圆的圆心和半径，计算圆心到直线的距离并判断直线和圆的位置关系，再结合半径，判断到直线的距离为1的两条直线与圆的位置关系即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径为2， 圆心到的距离， 所以直线与圆相交，结合圆半径为2，到直线的距离为1的直线有两条， 可得一条与圆相切，一条与圆相交， 因此圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1. 故选：C. 6. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，， 所以向量在向量上的投影向量是. 7. 设是一个随机试验中的两个随机事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的值，再根据条件概率公式求解即可. 【详解】因为，， 所以， 解得. 所以. 8. 已知函数，，若与的图象有唯一公共点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意方程有唯一解，利用换元得到,结合余弦函数的值域求出左式的最小值，即可求得值． 【详解】由得，，则(*)， 令，当时，， 当时，， 综上，可得， 故(*)左边为：， 当且仅当，即时等号成立， 故(*)左边的最小值为，且取值唯一， 要使两函数的图象有唯一公共点，需使，故． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知数列满足，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 的通项公式为 D. 数列是递增数列 【答案】AC 【解析】 【详解】由，得，则， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，故A正确，B错误； 则，即，即数列是递减数列，故C正确，D错误. 10. 过抛物线：焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 当的倾斜角为时， C. 当垂直于轴时，弦长最小 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由抛物线方程可判断A,利用抛物线定义结合几何图形运算可判断BCD． 【详解】由抛物线：可得焦点，准线方程为，故A正确； 如图根据抛物线的定义可知：，， 由，故B正确； 设，则， 同理可得：， 所以， 此时取到最小值，故C正确； 由上可得：，故D错误； 故选：ABC 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 对任意的均有两个零点 B. 若方程有两实根，则 C. 若正实数满足，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】令，结合指数函数的性质求解判断A，对函数求导，判断函数的区间单调性，进而研究区间的函数值范围，再由根的个数确定参数范围判断B，由，结合函数的区间单调性有，结合基本不等式判断C，令，则，结合对勾函数、指数函数的性质确定符号判断D. 【详解】对于A，，即，A正确； 对于B，，由，故， 所以在和上单调递增， 注意趋近于时，趋近于， 从小于0一侧趋近于0时，趋近于1， 从大于0一侧趋近于0时，趋近于， 趋近于时，趋近于， 故若方程有两实根，，B错误； 对于C，由，又在上单调递增， 如果，则，则矛盾， 故有，故，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，令，则， 由于在上单调递增， 当时，，， 当时，，， 当时，，D错误， 故选：AC 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 求值：__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用余弦二倍角公式即可求解. 【详解】. 故答案为： 13. 已知函数，则函数的极大值点为__________，极大值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】函数，定义域，， 令，解得或， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 故在处取得极大值， ． 14. 已知球是棱长为1的正方体的内切球，点为球表面上一动点，且满足平面，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，证得平面平面，得到点在平面与球的截面圆上，求得正的边长为，以所在直线为轴，以的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，得到，正内切圆的方程为，结合圆的性质，即可求解. 【详解】如图所示，在正方体中，可得， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 要使得平面，且点为球表面上一动点， 所以点在平面与球的截面圆上，且截面圆恰为的内切圆， 因为正方体的棱长为，可得正的边长为，其内切圆的半径为， 以所在直线为轴，以的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 可得，内切圆的方程为 设，则， 因为表示内切圆上点到原点的距离， 可得内切圆与轴的交点为时，距离最大，最大距离为， 则的最大值为. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在直三棱柱中，，，点，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）解法1：连接，， 因为在直三棱柱中，四边形为平行四边形， 所以M为中点，又N为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． 解法2：证明：取中点P，连结，，由M，N分别是与的中点， 所以, 又因为平面，平面， 所以平面． 同理，平面． 又，平面， 所以面面． 而平面，所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）方法1，通过线面平行判定定理证明，方法2，通过面面平行证明线面平行； （2）利用空间向量法求解线面角的正弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系， 设，则． 则，，，，，， 所以，，． 设平面MNC的一个法向量为， 则，． 即 ，令，则． 所以平面的一个法向量为． 设直线与平面所成角为，又， 则． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和三角函数恒等变换公式对原式变形化简可得，再结合角的范围，可求出角的值， （2）由余弦定理结合基本不等式可得，然后利用三角形的面积公式可求出面积的最大值 【小问1详解】 由正弦定理得， 又，所以， 所以，即. 因为，， 所以，即. 【小问2详解】 由余弦定理得，即. 所以，即. 当且仅当时，等号成立. 所以. 所以面积的最大值为. 17. 设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，． （1）求，的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组，解出和即可求得，从而得出和求得； （2）写出数列的通项公式，利用错位相减法求和. 【小问1详解】 由题意知，解得或（舍去）， 所以， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）知． 因为， 所以， 两式相减得 ， 故． 18. 某高中研究小组为研究学生学习效果与主动预习的关系，从全市若干所高中学校的所有学生中随机抽取100名学生进行调查．经统计，其中主动预习的有45人，且这100名学生近期考试成绩（分数均在内）的频率分布直方图如图所示，记总成绩不低于600分的为优秀，其余为合格． 主动预习 不主动预习 合计 合格 优秀 10 合计 100 （1）根据这100名学生成绩频率分布直方图，估计全市学生成绩的众数和中位数； （2）请完成上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的成绩优秀与主动预习有关？ （3）若将频率视作概率，从全市所有高中在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中主动预习的人数为，求的均值和方差． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）众数为590；中位数为590 （2） 主动预习 不主动预习 合计 合格 25 45 70 优秀 20 10 30 合计 45 55 100 可以认为学生成绩优秀与主动预习有关 （3）均值9；方差4.95 【解析】 【分析】（1）根据众数及中位数的定义即可求解； （2）根据频率分布直方图补全列联表，计算后，对照临界值即可得出答案； （3）根据题目得出，再根据二项分布的期望及方差公式即可求解． 【小问1详解】 由频率分布直方图得，众数为590； ，， 中位数为． 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，抽取的100名学生中成绩合格的有人，则成绩优秀的有30人． 补全列联表如下： 主动预习 不主动预习 合计 合格 25 45 70 优秀 20 10 30 合计 45 55 100 提出假设：学生成绩优秀与主动预习无关． 因为， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立． 即可以认为学生成绩优秀与主动预习有关． 【小问3详解】 由题意可知从全市所有在校学生中随机抽取1人，其主动预习的概率为， 则． 所以，． 19. 已知椭圆：的离心率为，过点． （1）求的方程； （2）已知点，过点的直线交于，两点（，在轴的下方），直线交直线于点． （ⅰ）设直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，并说明理由； （ⅱ）证明：直线过定点． 【答案】（1） （2）（i） 不为定值.理由如下. 设点， 设 ， 由 得， 由 ，得 ，解得 或 ， 又点 , 在 轴下方，则 ， 由韦达定理得    得 ，即 ， 因为 ， 所以 ， 所以 不是定值. （ⅱ） 由（i）得    则直线 的方程为 ， 即 ， 当 时，得 ， 所以必过定点. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出的方程组求出得解； （2）（i）设点 ， ， 设 联立椭圆的方程，进而将斜率表示出来，得到，与点的坐标有关，从而 不为定值. （ii）通过（i）中将斜率表示成，从而直线方程转化为从而直线过定点 【小问1详解】 由题可知：，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南长沙市周南中学2025-2026学年高二 下学期期末考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在二项式的展开式中，的系数为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 4. 已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 7. 设是一个随机试验中的两个随机事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若与的图象有唯一公共点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知数列满足，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 的通项公式为 D. 数列是递增数列 10. 过抛物线：焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 当的倾斜角为时， C. 当垂直于轴时，弦长最小 D. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 对任意的均有两个零点 B. 若方程有两实根，则 C. 若正实数满足，则 D. 若，则 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 求值：__________. 13. 已知函数，则函数的极大值点为__________，极大值为__________． 14. 已知球是棱长为1的正方体的内切球，点为球表面上一动点，且满足平面，则的最大值为________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在直三棱柱中，，，点，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）若，求面积的最大值. 17. 设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，． （1）求，的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 18. 某高中研究小组为研究学生学习效果与主动预习的关系，从全市若干所高中学校的所有学生中随机抽取100名学生进行调查．经统计，其中主动预习的有45人，且这100名学生近期考试成绩（分数均在内）的频率分布直方图如图所示，记总成绩不低于600分的为优秀，其余为合格． 主动预习 不主动预习 合计 合格 优秀 10 合计 100 （1）根据这100名学生成绩频率分布直方图，估计全市学生成绩的众数和中位数； （2）请完成上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的成绩优秀与主动预习有关？ （3）若将频率视作概率，从全市所有高中在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中主动预习的人数为，求的均值和方差． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 19. 已知椭圆：的离心率为，过点． （1）求的方程； （2）已知点，过点的直线交于，两点（，在轴的下方），直线交直线于点． （ⅰ）设直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，并说明理由； （ⅱ）证明：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $