湖南衡阳市衡南县2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

衡南县高二期末考试试卷 数学参考答案 题号 1 2 3 4 6 8 9 10 11 答案 C B C B C A D AC ABD BCD 1.C【详解】由题知阴影部分表示的集合为A∩(C2B)={-1,2,4}.故选：C. 2026(2)103 (-1)1o3。-1 2详解】2==-己= 所以：的实部为-弓故选：A 3.B【详解】若a=1,数据为1,2,3,4,5,6，极差为6-1=5，所以“a=1”是“数据a,2a ,3a,4a,5a,6a的极差为5”的充分条件； 数据a,2a,3a,4a,5a,6a的极差为5，则a-6a=5,解得a=±1，所以“a=1 ”是“数据a,2a,3a,4a,5a,6a的极差为5”的不必要条件； 因此“a=1”是“数据a,2a,3a,4a,5a,6a的极差为5”的充分不必要条件.故选： B. 4.c【详解】si2a=co(2a-）=eo[2(a-平】=2o(a-平)-1，又 wa-召）=子sina=2×(层)-1=-行故选：C 5.B详解】由an+1=an+2得an+1-an=2,所以{an}是首项a1=4,公差d=2的等 差数列，因此an=a1+(n-1)d,将an=24代入得24=4+(n-1)×2,解得n=11 ,故选：B 6详解】因为1，B两点之同的距离为10.所以周别牙-、√(-3=4， 则T=16. 又T=2西，u>0,所以w=牙=语=号，则x)=3simg+又3)=0， 且结合图象及周期可知，3)=0应在上升图象上，所以由s(8×3+)=0,可得 3西+9=2km,k∈Z,解得g=-3西+2km,k∈Z.又1gl<T,所以0=-3 8 8 -10=3sim[g×(-1D-g]=3sim-）=-3, 故选：C 7.A【详解】因为f八x)=x-1在[a,+o)内单调递增，则f(x)≥f(a)=a-1, ”高二数学试卷参考答案第1页（共10页）器 可知函数f八x)在[a,+∞)内的值域为[a-1,+∞)；又因为fx)=log2x在(0，a)内 单调递增，则fx)<log2a,可知函数fx)在(0，a)内的值域为(-o,log2a); 由题意可知：log2a≥a-1,即a-log2a-1≤0，令g(a)=a-log2a-1,a>0,则 g(a)≤0， 因为g(=11=22令g(o)>0,解得u>2令g()<0, aln2 解得0<a<n2 可知ga)在(0，位)内单调递减，在（品+） 内单调递增，又因为g(1)=g(2)= 0,且1<立<2，则不等式g(a)≤0的解集为1,2】，所以实数a的取值范围为 [1,2].故选：A. 8DL详解]设双曲线C的际准方程为三-茶=1a>0,6>0),则双曲线G能标准 方程为卡-号=1(a>0,6>0),所以6=还 b u ab a ab ()+ ()+1 设=>0，则（日+》=行设0=>0）.则r0 =+21+1==（1-102+2 (2+1)2 (2+1)2 令f(t)=0,解得t=1±2，又因为t>0,所以t=1+2, 当0<t<1+2时，∫(t)>0,函数f(t)在(0,1+2)上单调递增， 当1>1+2时，f(t)<0,函数f()在(1+√巨，+)上单调递减， 所以当t=1+2,函数)有最大值1+2)=1+2)+(1+2)=1+2 (1+√2)2+1 2 所以仔+》的最大值为'专豆故选：D 9.AC 【详解1A选项，D(n=4D0=4×4×日×(1-日)=子，A正确： B选项，在线性回归分析中，若R值越大则模型的拟合效果越好，B错误； 器高二数学试卷参考答案第2页（共10页）器 C选项，正态曲线关于直线x=6对称，所以P(2<x<6)=P(6<x<10)=a, 又P(x>6)=2,所以P(x>10)=P(x>6)-P(6<x<10)=3-a,C正确： D选项，C0+C。+C3+…+C8=20-C。=1024-1=1023,D错误.故选：AC. 10.ABD 【详解】A选项，设圆锥的母线长为1，由题意可知1=√5，所以圆锥的侧面积为2× 2π×√5=5π，A正确： B选项，因为过两条母线的截面为等腰三角形， 且os∠BsA=SB+SA-AB=5+5一4=等≥0，所以顶角∠BSA为锐角，散 2SB·SA 2×5×5 过两条母线的截面面积的最大值为轴截面面积，其面积为？×2×2=2，B正确： C选项，设内切球球心为O1,半径为r,过O1作OE⊥SA, 则0E=O01=r,∠OSA=∠ES01,∠S0A=∠OES,则△SE01与△S0A相似， 则2-器，即=，=5，C错误： D选项，过点A作AC/BM交底面圆于C,如图所示： 则∠CAS即为SA与MB所成角或其补角， 因为MA=MB,所以△ABM为等腰直角三角形， 所以M为弧AB的中点，C为弧AB的中点， 故AC=BM=√B02+MO2=√2， 所以es∠C4S=sC-D°+(5°-（5).而 2CA·SA 2×√2×W5 10 所以则S1与MB所成角的余弦值为D 10 ,D正确.故选：ABD 11.BCD 【详解】A选项，当m=0时，S。=-1,则a1=S1=-1, 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-1+1=0,41=-1不满足an=0, 故an= -1,n=1 10,n≥2 故当m=0时，{an}不是等比数列，A错误； B选项，当m=-1时，a,}是首项-2，公比为？的等比数列， 故a.=(-》×(分)=-(2)： 则a.+aa=-(2)广-（分）”<-(（3)广=-2(2)=2aB正确： 器高二数学试卷参考答案第3页（共10页）器 C选项，当m=2时，{an}为首项1，公比2的等比数列，故an=2- 则nan=n·2-l, 设数列{nan}的前n项和为Tn,则T。=2°+2×2+3×22+…+n×2-1, 2Tn=1×2+2×22+3×23+…n×2”,两式作差可得：-T.=1+2+22+23+… +2-0×2 -n×2”=2”-1-n×2”=(1-n)2"-1 故T。=(n-1)·2”+1,C正确； D选项，当m=3时，a,}是首项为子，公比为弓的等比数列， 故a,=2×( =6.则6，= 2n3 6-6,=2m+1产×(2°-2m×(号)=2×（号）×[子n+1-] 2×(号)×(-3+2m+2m+子)， 令)=-}+22+2x+子，x>0,则(x)=-t+4r+2=-（x-2》2+6, 2 故当x∈(0,6+2)时，∫(x)>0,fx)单调递增；当x∈（6+2，+)时，f(x) <0,八x)单调递减：又0)=子>0，则6+2)>0， 又6)=-方×6+2×6+12+号-警>0,7)=-日×7+2×49+14+号 5 =-3<0 故当m=1,2345,6时，-+2i+2m+号>0,61-4>0： 当a≥7neN时，-写2+2n+2n+号<0,61-么<0： 故数列{}满足<6：<6，<…<6，>6>6，>… 故其第7项的值最大，D正确。 故选：BCD 12.【答案】x+y=0 【详解】由题意，设x=x+yi(x,y∈R),|a+2=x+2+yi=√(x+2)2+, |2+iz|=2+i(x+yi)|=|2-y+xi训=√(2-y)2+x2,则√(x+2)2+y= √(2-y)2+x2, 器高二数学试卷参考答案第4页（共10页）器 化简得x+y=0,所以z在复平面内对应点Z(x,y)满足的方程为x+y=0. 故答案为：x+y=0, 131答案】图 【详解)云：方=4，n=品=(A+1D,类似可得方-h+3, 4. m+nl (A+1)a+4A+7 4 A+即+a6D1P+2A+1). √4（入+1）2+(4入+1)2+2(X+1)(4入+1)=√28A2+26A+7 2(a++= ,27、3/21 14￥ 当且仅当=一是时等号成立 4【答案】8丽， 【详解】由题意知，OA=OB= AB=4,所以△OAB是正三 角形 如图，在平面AOB内，以AB的中 A 点O,为坐标原点，分别以AB所 在直线及AB的垂直平分线为x, y轴，建立直角坐标系， 则A(-2,0),B(2,0)0(0,25).设P(x,y), 由动点P满足|P4=5|PB,得√（x+2)2+y2=√5·√(x-2)2+y2, 化简得，(x-3)2+y2=5,即点P在平面A0B内的轨迹为以C(3,0)点为圆心，半径 为5的圆.转化到空间中：当以AB为轴旋转一周时，动点P依然满足|PA|= 51PB|, 故空间中点P的轨迹为以C(3,0)为球心，半径为5的球. 同时点P在球O上，故点P的轨迹为两球的交线，是一个圆. 因为|0C=9+12=√2I,|0P|=4,|CP|=5, 所以IOC2=|OP2+|CP2,所以OP⊥CP, 所以点P的轨迹（圆）的半径为0PCP=4×5-4105 √21 21 器高二数学试卷参考答案第5页（共10页）器 即其周长为点P的轨迹长度为2厅×4亚。8严。 21 15.【答案】(1)0.92 (2)随机变量X的分布列为： X 1 2 3 3 3 1 P 10 5 10 E)=号 【详解】(1)根据统计表格中的数据， 可得==3，三或=1+4+9+16+25=5， 以及=68.5，x0=206.8,-5=0.2 ………3分 5 -- ∑x-5xy 可得样本相关系数r= -√公- 206.8-68.5×3 1.3 ≈0.92. 6分 55-5x9×0.2√2 (2)根据题意，可得随机变量X的取值为1,2,3， CC 3 则P(X=1)= GC C 10分 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 12分 P 3 3 1 10 所以期望为E()=1× 10+2x 3 +3×10 9 5 13分 16.【答案】(1)证明见解析 (2)a=6 2 3 【详解】(D由A+onBG,可移oM 2cosB 3cosC sinA …2分 sinB sinC 由正弦定理可得oA+2C台=3Co.sC b …3分 故becosA+2 accosB=3 abeosC.… …4分 由余弦定理可得子(6+2-d)+(a+心-6)=多(d+6-).…6分 柴高二数学试卷参考答案第6页（共10页）器 化简得a2+2b2=3C2.. 7分 (2)因为角C取得最大值，所以A,B为锐角，tanM>0,tanB>0, 因为+品c所以 tanA tanB >0,所以3 tanc >0, 所以tanC>0,所以C为锐角， ……9分 则cosC=a2+b2-2 a+63-(a2+26) 子+ …11分 2ab 2ab 2ab 3 当且仅当子知2=宁》即6=a时取等号。 12分 此时C最大，且inC=万 3 13分 所以Sc=6sinc= =√4 3 14分 解得a=√6.… 15分 17.【答案】(1)当a>0时，fx)在(0,2a)上单调递减，在(2a,+0)上单调递增； 当a<0时，f八x)在(0，-6a)上单调递减，在(-6a,+∞)上单调递增 2)[8,+】 【详解】(1)由f(x)=alnx+ 1 +x（a≠0)，x>0, 则/=受+片答--2s-红-2a0+ ,…2分 4x2 4x2 ①当a>0时，令(x)>0,得x>2a,令f(x)<0,得0<x<2a, 所以函数f八x)在(0,2a)上单调递减，在（2a,+o)上单调递增； ……4分 ②当a<0时，令f(x)>0,得x>-6a,令f(x)<0,得0<x<-6a, 所以函数fx)在(0，-6a)上单调递减，在(-6a,+o)上单调递增…5分 综上所述：当a>0时，fx)在(0,2a)上单调递减，在(2a,+o)上单调递增； 当a<0时，fx)在(0，-6a)上单调递减，在(-6a,+∞)上单调递增 …6分 2)当a合时水)=石m+子+会 …7分 由(1)知，函数f八x)在[1，e]上单调递减， 而)=后+子，水e)=后则名=1，阳时，)=后后+引，…9分 对任意x1∈[1,4]，存在x2∈【1，e],使g(x1)≤f八x2), 即等价于g(≤后+子恒成立.即2-e≤0， ≥2对任意无山，41恒成立。 所以m≥ 10分 器高二数学试卷参考答案第7页（共10页）器 设h(x)=2 e,x∈1,4]，则h'(x)= 2x(2-x) 11分 令h'(x)>0,得1≤x<2,令h'(x)<0,得2<x≤4， 所以h(x)在[1,2)上单调递增，在(2,4]上单调递减，…13分 所以=h2)=8则m≥ e3, 14分 即实数m的取值范围为 15分 18.【答案】(1)(i)证明见解析：（ⅱ）2 5 (2)存在，tan0=3,35 14 【详解】(1)(i)由椭圆c:香+苦=1，得a=2,6=5e=1,则F,(-1,0, F2(1,0), 当0=牙时，直线1的方程为y=5(x+1D,…1分 y=5(x+1) 「x=0 联立 。,解得 =√3 所以4(0，B(-9,-5 2分 如图，以O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴 正半轴所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则折叠后4(0,0，w),B(5,-0),F0,-1,0), F2(0,1,0),0(0,0,0), 所以0=(0,0，-5).BF=（35,30),…3分 则A'0.BF=0,即A'01BF2;… 4分 (i)由(i)知，A店=(33，-，-5)，F=(0,-1,-),F= （0,1，一5），…5分 设平面A'BF,的一个法向量为m=(x,y,), 则 a,m=子-号-5=0 ,故可m=(1,5,-1),…7分 m.'F=-y-3x=0 则点F,到平面A'BF的距离为 |A'F·ml25_2⑤ m 5 …9分 5 (2)建立与(1)相同的空间直角坐标系， 器高二数学试卷参考答案第8页（共10页）器 设折叠前A(x1y),B(x2y2),则折叠后A'(0,-x1,y),B(2,-x2,0), 因为折叠前△1B,周长是4u=8,依题意折叠后△1BF:的周长是受。 +AFl+IBFl+I4BI=8.IAFI=Fl. 故|AB-A'B=2, 10分 设l方程为x=my-1,依题意m>0, [x my -1 联立 ,消去x可得(3m2+4)y2-6my-9=0, +3 4 6m -9 显然△>0，则1+方=3m2+4,y2=3m2+4, …11分 而A'B|=√(x,-x)+y+y2,|AB=√x,-)2+(-y2)2, 则1AB-14'B=√x1-)2+(1-)2-√(-)2++乃=2，① 1 则 -2y1y2 √（x1-x2)2+(y1-y2)2+√(x1-x2)2++月 =2’ 所以√（x1-x)2+（y1-y2)2+√(x1-x2)2+yi+斤=-4y13,② 由①2可得-2+（%-=-2，…13分 因为√x1-)2+(-)2=√+m√+2)2-42， 则得(1+m2)[(1+)2-421=(任-2) 所以1+d+的（传·d化简H( 3m2+4 + 所以号=子+4解得m 3m2+4=43m2+4 45，…16分 因为0<6<受，所以am0=点=3图 。。。。。 17分 14 19.【答案】(1)X2的分布列为： X, 2 3 4 1 P 1 6 3 3 (2)11 器高二数学试卷参考答案第9页（共10页）器 (3)m(n+1) m+1 【详解】(1)当n=4,m=2时，随机从编号1~4的4个小球中取出2个共有C= 6种情况， X2的可能取值为2,3,4， P=2)=6rX=3》=名=写，PX==名=方， .31 …2分 分布列如表所示： X2 2 3 4分 6 3 2 (2)Xn-1的可能取值为n-1或n,…5分 …7分 所以5X)=(n-1Dx+n×1-)=a-升 9分 因此Dx)=(n-1-n+)x+(n-n+)广x(1-)=- 10分 (3)选取m个不同的元素，有Cm种方法， 要满足Xm=k,则需取出元素k,其余(m-1)个元素是从小于k的(k-1)个元素 中选出的， 所以P(X。=k)= C(k=m,m+1,…,n）,… 12分 E(Xm)= ∑kP(X。=k)=∑kC 13分 k·(k-1)! he! 因为k.=m-12m】灯=mm-m=mG，15分 所以(X)=去三mG=岩三分-0(c++6+…+G =2(C+C+C+…+C)=2(Cc+C+…+C2)=…=2C- Cm m(n+1) m+1 …17分 器高二数学试卷参考答案第10页（共10页）衡南县高二期末考试试卷 数学 时量：120分钟总分：150分命题人： 注意事项：请考生把答案写在答题卡上。答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的。) 1.已知集合A={-1,0,1,2,4},B={0,1,3},则如图所示的阴影部 分表示的集合为 B A.{-2,4} B.{0,1,2} C.{-1,2,4 D.{-1,0,1} 2026 2.已知复数Z满足2=一，则z的实部为 A- B.1 C.-1 n 3.已知a∈R,则“a=1”是“数据a,2a,3a,4a,5a,6a的极差为5”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4已知cos(a-平)=子，则in2a= A号 B号 c.-g D.-8 5.在数列{an}中，a1=4,an+1=an+2，,若an=24,则n= A.10 B.11 C.9 D.8 6.已知函数f(x)=3sin(wx+p),(w>0,|p<T)的部分图 象如图所示，A,B两点之间的距离为10，且(3)=0，则 f(-1)= A.±3 B.3 C.-3 D.0 [log2x,0<x<a 7.已知实数a>0,函数f(x)= 的值域为R,则a的取值范围为 x-1,x≥a A.[1,2] B.[2,+o) C.(0,1] D.(0,+o) 高二数学试卷第1页（共4页) 8.如果一条双曲线的实轴与虚轴分别为另一条双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为 共轭双曲线，已知C1,C,互为共轭双曲线，且C1,C,的离心率分别为e,2,则1（上+ )的最大值是 e2 A.1 B是 C.√2 D.1+2 2 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。) 9.下列结论正确的是 A.随机变量X服从二项分布B(4,日)，Y=2X-1,则D()=子 B.在线性回归分析中，若R值越小，则模型的拟合效果越好 C.随机变量X服从正态分布(6，c2),且P2<x<6)=a,则P(x>10)=7-a D.C10+C。+Ci0+…+C8=1024 10.已知一个圆锥S0的底面半径为1，高为2，则下列对该圆锥的表述正确的是 A.侧面积为√5m B.过两条母线的截面面积的最大值为2 C。圆锥的内切球半径为汽 D.设AB是圆锥的底面圆直径，M是底面圆周上一点，若MA=MB,则SA与MB所成 角的余弦值为沿 11.记Sn为数列{an}的前n项和，已知S。=man-1,m为实数，则 A.当m=0时，{an}是等比数列 B.当m=-1时，则an+an+2<2an+l C.当m=2时，数列|nan|的前n项和为(n-1)·2"+1 D.当m=3时，数列1心！第7项的值最大 a. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。) 12.在复平面内，若复数Z满足|2+2|=|2+记，则Z在复平面内对应点Z(x,y)满足 的方程为 13.已知向量a,6满足d=2,=4,<a,6>=牙，若c=d+方，AeR,且m, 几分别是c在，上的投影向量，则m+1的最小值为 高二数学试卷第2页（共4页) 14.设A,B是半径为4的球O的表面上两定点，且|AB=4,球0的表面上一动点P满足 |PA=5|PB,则点P的轨迹长度为 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤。) 15.(13分)粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小 麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过 产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展.将2022~2026年 记为年份代码1~5，我国小麦产量如下表所示. 年份代码 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0 现规定x:表示年份代码i,y:表示年份代码为i的产量，经计算得 %=68.5,=206.8,-5驴=0.2. (1)求样本（x:,y:)(i=1,2,3,4,5)的相关系数r；（精确到0.01) (2)现从这5年中随机抽取3年，记这3年中小麦产量大于13.6千万吨的年数为X, 求X的分布列与数学期望 附：相关系数 (4-0(-列 =,V2≈1.414. √(x-日-)2√（对-me)(召疗-时） 16(15分)MBC内角AB,C的对边分别为a,6c,满足+品B=C (1)求证：a2+262=3c2; (2)当角C取得最大值时，△ABC的面积为√I4,求a, 1n.(15分)已知函数)=a+子+3 (a≠0). (1)讨论函数f(x)的单调性； 高二数学试卷第3页（共4页) (2)设g)=22-nme+后+(e=2718…为自然对数的底数)，当a=-言时， 对任意x1∈【1,4】，存在x2∈[1，e】,使g(x)≤f八x2),求实数m的取值范围. 18、(17分)已知椭圆C:苦+号=1的左、右焦点分别为R,R,经过点R,且倾斜角为 (0<日<牙)的直线l与椭圆交于A,B两点（其中A点在x轴上方）如图1。将平面 xOy沿x轴向上折叠，使A点折至A'点位置且y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面 A'F,F2)与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面BFF2)互相垂直，如图2。 (1)当0=号时， (i)求证：A'O⊥BF2; (ⅱ)求点F2到平面A'BF,的距离； (2)是否存在(0<日<7交)，使得折叠后 图1 图2 △M'BR,的周长与折叠前△ABr,的周长之比为若？若存在，求an0的值；若不 存在，请说明理由. 19.（17分)袋子里有编号1~n(n≥2)的n个小球，除编号外完全一样，现随机从中取 出m个，记取出m个小球的最大编号为Xm (1)当n=4,m=2时，求X2的分布列； (2)当m=n-1时，求D(Xn-); (3)求E(Xm). 高二数学试卷第4页（共4页)