专题04 二次函数图象与面积（举一反三专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与面积综合问题，以割补法、铅锤法等四大方法为核心，构建“知识点+典例+变式”的系统性训练体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |割补法求面积|1例+3变式|分割/补全图形转化为规则图形面积|从图形分割到坐标运算，体现数形结合| |铅锤法求面积|1例+3变式|铅锤高×水平宽×1/2公式应用|基于坐标系特征构建面积模型| |平行转化法求面积|1例+3变式|利用平行线间距离相等转化面积|结合平行线性质实现等积变换| |面积转化技巧|1例+3变式|面积比与底/高比关系转化|通过比例关系简化复杂面积计算|

专题04 二次函数图象与面积（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 二次函数中割补法求图形面积】 1 【题型2 二次函数中铅锤法求图形面积】 8 【题型3 二次函数中平行转化法求图形面积】 17 【题型4 二次函数中面积转化技巧】 24 知识点1 割补法 类型 割补法 图示 解题思路 【题型1 二次函数中割补法求图形面积】 【例1】如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．当的面积为15时，求的坐标为________． 【答案】 【分析】运用待定系数法求得解析式，设，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点H，则，可得到，利用三角形面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限， ∴设， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点， 则， ∴， ∵的面积为15， ∴， ∴， 解得：， ∴点B的坐标为． 【变式1-1】（25-26九年级上·上海浦东新·阶段检测）如图所示，二次函数的图象与x轴分别交于A，D两点，与y轴交于点C，点E坐标，过点E且垂直x轴的直线交抛物线于点B，若，则____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用三角形的面积求参数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 连接，假设，根据二次函数图象和性质表示出相关点的坐标，利用等面积法，列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由点坐标，得， 当时，，即， 假设， ∴， ， ， ∴ 即， 整理得， 将代入得， ， 解得或， ∵点位于正半轴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式1-2】（2026·江苏徐州·三模）已知如图，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）将点代入抛物线解析式计算即可； （2）设点，直线与轴交于点，根据解题． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 顶点横坐标为，此时， ∴顶点坐标为； （2）解：当时，，即， 设点，直线与轴交于点，如图， 设直线的解析式为，则， 代入，，有 ， 解得， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 解得或， ∴或． 【变式1-3】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知二次函数（，为常数）的图象经过点，且交轴于点、B，D是抛物线的顶点． (1)求二次函数的解析式； (2)求的面积； (3)当时，求的取值范围； (4)当时，若的最大值与最小值之和为10，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）二次函数图象经过点A、点C，运用待定系数法即可求出函数解析式； （2）过抛物线的顶点D，作x轴的垂线，交x轴于点E，交于点F，分割成与, 以为底，高用横坐标表示，即可求出的面积； （3）函数图象开口向下，对称轴是，x取值范围包含了对称轴，在对称轴处取得最大值，再比较x区间端点与对称轴的距离，距离越大，函数值越小，即可求出的取值范围； （4）先求时，，抛物线顶点为，分两种情况讨论： ①，，即，解方程得，如果，则，y包含了顶点，，不符合题意，舍去；，符合题意； ②，根据抛物线的对称性，x取值范围必然包含对称轴，，，解方程，解得，因为，不符合题意，舍去；符合题意． 【详解】（1）解：将点A，点C坐标代入函数解析式，联立解方程组 解得， ． （2）解：过抛物线的顶点D，作x轴的垂线，交x轴于点E，交于点F，点F与点D横坐标相同，如下图 ， ， 设过点、点的直线为， ∴ 解得， ， 点代入得， 的长度为点D与点F的纵坐标相减， ， ． （3）解：函数图象开口向下，包含了对称轴，则在顶点取得最大值， ， ， 取得最小值， ， ． （4）解：时，， 分两种情况讨论： ① ， 列方程， 解得， 如果，则，，不符合题意，舍去； ，符合题意； ② ， ， 解方程， 解得， 因为，不符合题意，舍去；符合题意， 综上所述，或． 知识点2 铅锤法 类型 铅锤法 图示 解题思路 【题型2 二次函数中铅锤法求图形面积】 【例2】已知抛物线与轴交于、两点（A在B左边），与轴交于点C．直线经过B、C两点． (1)若B点坐标为 ①求此时抛物线的解析式和直线的解析式； ②如图1，点P为上方抛物线上一点，连接，，当时，求点P的坐标． (2)如图2，直线沿方向，向左平移3个单位得到直线，将直线上方的抛物线图象沿直线翻折后恰好与直线有且只有一个交点，求此时直线的解析式． 【答案】(1)①抛物线解析式为，直线解析式为；② (2) 【分析】（1）①由，解得，从而得抛物线解析式为，令，得 ，从而得，即可用待定系数法法求解； ②先求出，过点P作轴，交于点Q，设，则点，则，根据，再由，得，求解即可； （2）先求得点，再利用待定系数法求得直线解析式为，根据一次函数平移规律：左加右减，上加下减：求得向右平移3个单位后的直线的解析式为，联立，化简得，，根据直线与抛物线有且只有一个交点，则此方程判别式，解得，又A在B左边，所以∴，即，求得，得出直线的解析式为，然后根据对称性质求出直线的解析式即可． 【详解】（1）解：①由题意得，解得 ∴抛物线解析式为 令，得 ， ∴， 设直线为， ∴ ，解得， ∴直线解析式为， ②， 过点P作轴，交于点Q， 设，则点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． （2）解：在中令得，， ∴点， 设直线解析式为 把，代入，得 ，解得：， ∴， ∴向右平移3个单位后的直线的解析式为， 联立， 化简得，， ∵直线与抛物线有且只有一个交点， ∴此方程判别式， 解得， ∵A在B左边， ∴ 即 ∴ ∴直线的解析式为， ∴将直线上方的抛物线图象和直线沿直线翻折后，则直线与直线重合， ∴此时的解析式为． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线与一次函数的解析式，抛物线有几何中变换，一次函数图象的平移，根的判别式，属二次函数与一次函数综合题目，有一定难度． 【变式2-1】（2026·安徽阜阳·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)点是抛物线上的一个动点且位于上方． （）如图1，连接，，若的面积为3，求点的坐标； （）如图2，直线是抛物线的对称轴且与轴交于点，直线，分别与直线交于点，，求的值． 【答案】(1) (2)（）点的坐标为或；（） 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而得到顶点坐标； （2）（）设点，利用待定系数法求出直线的表达式，过点作轴交于点，则，求出长，根据列方程求解即可； （）利用待定系数法求出直线、的表达式，进而得到点M、N的坐标，从而求出的值即可． 【详解】（1）解：把点，代入得： ， 解得， 该抛物线的表达式为， 该抛物线的顶点坐标为； （2）解：（）设点， 抛物线， 当时，， ， 设直线的表达式为， 将，代入得： ， 解得， 直线的表达式为， 如图，过点作轴交于点，则， ， ， 整理得：， 解得：或 当时，， 当时，， 点的坐标为或； （）设直线的表达式为， 将点，点代入得： 由得：， 即， ， 直线的表达式为， 当时，， ， ， 设直线的表达式为， 将，代入得： ， 由得：， 即， ， 直线的表达式为， 当时，， ， ， ． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，熟练掌握待定系数法求出解析式、二次函数的图象性质是解题的关键． 【变式2-2】如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴另一交点为，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线第一象限内，连接，， 求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线解析式求得点与点坐标，利用待定系数法求解抛物线解析式即可； （2）过作轴交于，设，则， 进而可表示出的长度，根据表示出的面积，然后根据二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：对于直线， 令，得， 令，即，解得， 点的坐标，点的坐标， 将点，代入抛物线中得， ，解得， 抛物线解析式为； （2）解：如图，过作轴交于， 设，则， ， ， ， 当时，取最大值，最大值为． 【变式2-3】（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图，抛物线 与x轴分别交于，B 两点（点 A 在点B的左侧），与 y 轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)线段下方的抛物线上是否存在一点E，使 ?若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设，过作轴交于点，求出直线的函数解析式，求出的表达式，根据题意得到，据此列方程进行解答即可． 【详解】（1）解：因为抛物线经过点 和点两点，所以， 解得 ， 所以抛物线解析式为：． （2）解：令，则，解得，， ∴， 设，过作轴交于点， 设直线的函数解析式为． 因为直线经过点和，所以 ， 解得， 所以，直线的函数解析式为：． ∴， ∴， ∵ ∴， 即， ∴， 解得或， ∴或 知识点3 平行转化法 类型 平行转化法 图示 条件 PM∥AC PM∥AB 结论 【题型3 二次函数中平行转化法求图形面积】 【例3】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）已知：二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为 ，与y轴交于点 C，点 在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线上有一动点P，且P在x轴上方，要使 的面积为6，求P 点坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程的关系进行求解． （1）通过待定系数法求函数解析式； （2）求出点B坐标，由可得点P坐标，从而求解． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点A坐标为， ∴点B坐标为， ∴， ∵三角形的面积为6，P在x轴上方， ∴， ∴， 把代入，得， 解得或； ∴点P坐标为或． 【变式3-1】（2026·黑龙江鸡西·模拟预测）年“中国航天日”黑龙江分会场活动在哈尔滨举行．其中“水火箭”制作比赛要求选手用废弃饮料瓶制作水火箭并记录飞行高度．某小组在实验中，水火箭的飞行高度（米）与飞行时间（秒）近似满足二次函数已知发射后秒时高度达到最高点米，发射后秒时高度为米． (1)求该二次函数的解析式； (2)如图，连接、，在直线上方的抛物线上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】由题意得二次函数的顶点坐标为，且经过点，设二次函数解析式为，然后利用待定系数法即可求解； 由得二次函数解析式为，分别求出，，，则，然后求出直线解析式为，过作轴于点，交于点，设，所以，则，所以，根据题意得，再解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得二次函数的顶点坐标为，且经过点， 设二次函数解析式为， ∴，解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：由得二次函数解析式为， ∴当时，， 解得，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 如图，过作轴于点，交于点，设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得，， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上可得：点的坐标为或． 【变式3-2】（2026·福建三明·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，用等式表示与关系，并说明理由； (2)若抛物线经过点，，且与直线在第一象限内交于点；为抛物线在第四象限的图象上一点，是否存在这样的点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；理由如下： 抛物线的对称轴为， ，抛物线开口向上 又∵当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴抛物线的对称轴为直线，即， ． (2)不存在，理由如下： ∵抛物线经过点、． ∴． 解得． ∴抛物线的解析式为． ∵抛物线与直线在第一象限内交于点， ∴联立，得． 解得（不符题意，舍去）或， ∴， ． ，， ， ， ． 设，且在第四象限， ，． ∵直线的解析式为，点到直线的距离为， ． 化简：． ∵， ∴方程无实数根， ∴不存在这样的点． 【分析】（1）由抛物线的解析式得其对称轴为直线，另一方面，由题意得抛物线的对称轴为直线，由此即可得与关系； （2）由待定系数法可求得抛物线的解析式为，从而可求出抛物线与直线在第一象限内交于点的坐标，与的面积；设，且在第四象限， 从而可表示的面积，这样得到关于t的一元二次方程，判断方程是否有解即可判断点D是否存在． 【详解】（1）解：；理由略； （2）解：不存在；理由略． 【变式3-3】（2026·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（A在B的左边），与y轴交于点C，抛物线顶点D的横坐标为1． (1)点，________，点； (2)P、Q是该抛物线上的两个动点（不与点B、C重合），横坐标分别为m、． ①设抛物线在P、Q两点之间的部分（含P、Q两点）为图像W，当且时，若图像W的最高点与最低点的纵坐标之差为3，求m的值； ②当且和3时，若的面积等于的面积，求m的值． 【答案】(1)，1， (2)①的值为或；②或 【分析】（1）令可求；由对称轴可求；令可求； （2）①判断，即对称轴在此范围内，得出最高点和最低点，列方程求解即可； ②根据的面积等于的面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：对于抛物线，令，得， ∴； ∵抛物线顶点D的横坐标为1， ∴， 解得：； ∴抛物线的解析式为， 令，则， ∴； （2）解：①抛物线的解析式为，对称轴为， ∵图像W是抛物线在P、Q两点之间的部分，且P、Q的横坐标分别为m、， ∴图像W对应的自变量的取值范围是， ∵且， ∴，即对称轴在此范围内， ∴图像W的最低点为顶点， ∴当时，Q到对称轴的距离比P远； 最低点为顶点，最高点为, 即， ∴最高点与最低点的纵坐标之差为， 整理得， 解得， ∵， ∴ 当时，P到对称轴的距离比Q远； ∴最高点， ∴， 解得：或（舍去） 综上，的值为或； ②设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 过作轴交于，则： ， ∴的面积， 同理，过, 即作轴交于，则： ， ∴的面积， ∵， ∴， ∴， 当时，解得； 当时，整理得， 解得， ∵， ∴， 综上，或． 知识点4 面积转化技巧 类型 面积比底的比 面积比高的比 图示 解题思路 【题型4 二次函数中面积转化技巧】 【例4】如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，过A点的直线与y轴交于点C，点P为直线L上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若过点C的直线交线段于点M，且，求直线的解析式； (3)如图2，过P点作轴交直线AC于点E，连接．当为直角三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由直线求出，因为抛物线经过，利用待定系数法解决问题即可． （2）求出点的坐标，利用待定系数法即可解决问题． （3）设，可求，当为直角三角形时，或，分两种情况讨论：①当时，，设与轴交于点，则，即，求得；②当时，点与点重合，则，求得． 【详解】（1）解：直线，令，则， ， 抛物线经过， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：， ， 抛物线与轴交于，两点， 令，则或3， ，， ， ，， ， ， 直线与轴交于点， ， 设直线的解析式为，则有， 解得， 直线的解析式为． （3）解：设， ，， ， ， ， 当轴时， ， 当为直角三角形时，或， ①如图， 当时，， 设与轴交于点，则， ，即， 解得或（舍， ； ②当时，点与点重合， ， 解得或（舍， ； 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 【变式4-1】（2026·福建厦门·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于点，顶点为D，对称轴为直线，点P在抛物线上，点P的纵坐标为2，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，交y轴于点E．若的面积是的面积的3倍，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】先利用点C坐标与对称轴为求出，再求出点D的坐标，进而分别求出点C、D到的距离，利用列出方程，求出、的值，从而求出抛物线的解析式． 【详解】解：如图，令直线与交于点F， 将点代入抛物线得：， 抛物线对称轴为， ， ， 抛物线解析式为， 将代入得：， ， 轴，点P的纵坐标为2， 、， 、， 抛物线的图象开口向下， ， ， ， ， ， 解得：， ， 抛物线的解析式为． 【变式4-2】如图，抛物线与x轴交于点和点B，其顶点坐标为，P是第一象限内抛物线上的动点，过点P向x轴作垂线，交直线于点M，交x轴于点N，连接、． (1)求该抛物线的解析式； (2)当取得最大值时，求线段的长； (3)若直线把的面积分成两部分，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）设抛物线解析式为，利用待定系数法求解； （2）首先求出，，得到直线的解析式为，设，则，表示出，然后利用二次函数的性质得到当时，取得最大值为，然后求解即可； （3）首先表示出，然后根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点B，其顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， 当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵二次项系数， ∴当时，取得最大值为， ∴此时点P的坐标为， ∴， ∴； （3）解：由（2）得，，， ∴， ∵直线把的面积分成两部分， ∴当时， 解得（舍去），， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴点P的坐标为； 当， 解得（舍去），， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 【变式4-3】（2026·四川自贡·中考真题）平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． (1)求，的值． (2)如图，过原点的两条直线与该抛物线相交于点，，，（点在第三象限，点在第二象限）． ①求线段长度的最小值； ②连接，分别交轴于，两点，设，的面积分别为，，是否存在直线使?若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①线段长度的最小值为；②． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①设，求得，利用二次函数的性质求解即可； ②设，，分别求得直线、，的解析式，分别求得点、、的坐标，再求得直线的解析式，求得点的坐标，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过和两点， ∴， 解得； （2）解：①由（1）得， ∴抛物线的解析式为， 设， ∴， 令，， ∴， ∴当时，线段长度的最小值为； ②设，， 设直线的解析式为， ∴， 则直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， ∵，， 则直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴； ∵，， ∴， ∴，的底边相同， ∴， ∴， ∴（舍去正值）， ∴ ∴直线的解析式为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数图象与面积（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 二次函数中割补法求图形面积】 1 【题型2 二次函数中铅锤法求图形面积】 2 【题型3 二次函数中平行转化法求图形面积】 4 【题型4 二次函数中面积转化技巧】 6 知识点1 割补法 类型 割补法 图示 解题思路 【题型1 二次函数中割补法求图形面积】 【例1】如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．当的面积为15时，求的坐标为________． 【变式1-1】（25-26九年级上·上海浦东新·阶段检测）如图所示，二次函数的图象与x轴分别交于A，D两点，与y轴交于点C，点E坐标，过点E且垂直x轴的直线交抛物线于点B，若，则____________． 【变式1-2】（2026·江苏徐州·三模）已知如图，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标． 【变式1-3】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知二次函数（，为常数）的图象经过点，且交轴于点、B，D是抛物线的顶点． (1)求二次函数的解析式； (2)求的面积； (3)当时，求的取值范围； (4)当时，若的最大值与最小值之和为10，求的值． 知识点2 铅锤法 类型 铅锤法 图示 解题思路 【题型2 二次函数中铅锤法求图形面积】 【例2】已知抛物线与轴交于、两点（A在B左边），与轴交于点C．直线经过B、C两点． (1)若B点坐标为 ①求此时抛物线的解析式和直线的解析式； ②如图1，点P为上方抛物线上一点，连接，，当时，求点P的坐标． (2)如图2，直线沿方向，向左平移3个单位得到直线，将直线上方的抛物线图象沿直线翻折后恰好与直线有且只有一个交点，求此时直线的解析式． 【变式2-1】（2026·安徽阜阳·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)点是抛物线上的一个动点且位于上方． （）如图1，连接，，若的面积为3，求点的坐标； （）如图2，直线是抛物线的对称轴且与轴交于点，直线，分别与直线交于点，，求的值． 【变式2-2】如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴另一交点为，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线第一象限内，连接，， 求的面积的最大值． 【变式2-3】（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图，抛物线 与x轴分别交于，B 两点（点 A 在点B的左侧），与 y 轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)线段下方的抛物线上是否存在一点E，使 ?若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 知识点3 平行转化法 类型 平行转化法 图示 条件 PM∥AC PM∥AB 结论 【题型3 二次函数中平行转化法求图形面积】 【例3】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）已知：二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为 ，与y轴交于点 C，点 在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线上有一动点P，且P在x轴上方，要使 的面积为6，求P 点坐标． 【变式3-1】（2026·黑龙江鸡西·模拟预测）年“中国航天日”黑龙江分会场活动在哈尔滨举行．其中“水火箭”制作比赛要求选手用废弃饮料瓶制作水火箭并记录飞行高度．某小组在实验中，水火箭的飞行高度（米）与飞行时间（秒）近似满足二次函数已知发射后秒时高度达到最高点米，发射后秒时高度为米． (1)求该二次函数的解析式； (2)如图，连接、，在直线上方的抛物线上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-2】（2026·福建三明·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，用等式表示与关系，并说明理由； (2)若抛物线经过点，，且与直线在第一象限内交于点；为抛物线在第四象限的图象上一点，是否存在这样的点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-3】（2026·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（A在B的左边），与y轴交于点C，抛物线顶点D的横坐标为1． (1)点，________，点； (2)P、Q是该抛物线上的两个动点（不与点B、C重合），横坐标分别为m、． ①设抛物线在P、Q两点之间的部分（含P、Q两点）为图像W，当且时，若图像W的最高点与最低点的纵坐标之差为3，求m的值； ②当且和3时，若的面积等于的面积，求m的值． 知识点4 面积转化技巧 类型 面积比底的比 面积比高的比 图示 解题思路 【题型4 二次函数中面积转化技巧】 【例4】如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，过A点的直线与y轴交于点C，点P为直线L上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若过点C的直线交线段于点M，且，求直线的解析式； (3)如图2，过P点作轴交直线AC于点E，连接．当为直角三角形时，求点P的坐标． 【变式4-1】（2026·福建厦门·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于点，顶点为D，对称轴为直线，点P在抛物线上，点P的纵坐标为2，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，交y轴于点E．若的面积是的面积的3倍，求抛物线的解析式． 【变式4-2】如图，抛物线与x轴交于点和点B，其顶点坐标为，P是第一象限内抛物线上的动点，过点P向x轴作垂线，交直线于点M，交x轴于点N，连接、． (1)求该抛物线的解析式； (2)当取得最大值时，求线段的长； (3)若直线把的面积分成两部分，求点P的坐标． 【变式4-3】（2026·四川自贡·中考真题）平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． (1)求，的值． (2)如图，过原点的两条直线与该抛物线相交于点，，，（点在第三象限，点在第二象限）． ①求线段长度的最小值； ②连接，分别交轴于，两点，设，的面积分别为，，是否存在直线使?若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $