29.1.1 圆的有关概念 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦圆的有关概念及点与圆的位置关系，通过情境图片提问引出图形，观察画圆过程抽象圆的动态定义，再过渡到集合定义，以问题链引导探究点与圆位置及d与r数量关系，搭建知识支架。 其亮点是以“观察-探究-应用”为主线，情境引入培养几何直观（数学眼光），问题链推理发展推理意识（数学思维），例题（矩形ABCD）与符号“⇔”强化模型意识（数学语言）。活动探究结合变式练习，助学生构建知识网络，教师使用能落实核心素养，提升教学效率。

第二十九章 圆 29.1 圆的有关概念 29.1.1 圆的有关概念 导入新知 情境引入 这些图片中都有哪种图形？ 探究与应用 如图29-1-1,观察画圆的过程,你能从点的运动的角度描述圆是怎样形成的吗? 活动1　理解圆的定义 观察思考 图29-1-1 圆的定义: (1)如图29-1-2,在一个平面内,线段　　　　绕它固定的一个 　　　　旋转一周,另一个端点P所形成的图形叫作圆.其固定的端点O叫作　　　　,线段OP叫作　　　　.以点O为圆心的圆,记作☉O,读作“圆O”.  (2)圆心为O、半径为r的圆可以看成平面内所有 到定点O的　　　　等于　　　　的点的集合.  初识概念 OP　 图29-1-2 端点O　 圆心　 半径 距离 定长r 问题1：观察下图中点与圆的位置关系有哪几种？ . o . C . . . . B . .A . 点与圆的位置关系有三种： 点在圆外，点在圆上，点在圆内. 探究新知 点与圆的位置关系 知识点 2 5 问题2：设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，量一量在点与圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？ 点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外 d d d r P d P r d P r d ＜ r r = ＞ r 反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？ 探究新知 知识点1 圆 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？ 思考 · r O A 怎样来定义这种图形？ 7 在一个平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O 旋转一周, 另一个端点P 所形成的图形叫作圆．其固定的端点O 叫作圆心，线段OP叫作半径.以点O为圆心的圆，记作⊙ O，读作“圆O”. 定义 圆的动态定义. O P 决定圆的位置. 决定圆的大小. 确定一个圆的二要素：圆心和半径. 8 确定一个圆取决于两个因素:圆心和半径.圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小. 记 重点 B 理解概念 (教材补充例题)下列图形为圆的是 (　　) 例 1 图29-1-3 到点O的距离等于4的点的集合是 　 . 变式 以点O为圆心,4为半径的圆 r P d P r d P r d 点P在⊙O内 d<r 点P在⊙O上 d=r 点P在⊙O外 d>r 数形结合： 位置关系 数量关系 探究新知 点与圆的位置关系 例 如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4. （1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何？ 解：AD=4=r，故D点在⊙A上； AB=3<r，故B点在⊙A内; AC=5>r，故C点在⊙A外. 判定点与圆的位置关系 素养考点 探究新知 从画图过程中可以看出： （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 （半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个 上. 因此，可得到圆的静态定义： 圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. 定长 思考 圆 14 例1 下列说法中, 错误的有（ ） ①经过点P 的圆有无数个； ②以点P 为圆心的圆有无数个； ③半径为3 cm 且经过点P 的圆有无数个； ④以点P 为圆心，3 cm 长为半径的圆有无数个. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 解析：确定一个圆必须有两个条件，即圆心和半径，只满足一个条件或不满足任何一个条件的圆都有无数个.故①②③都正确，④错误.故选A. A 15 平面被圆分成三部分.相应地,平面内的点与圆有三种位置关系:点在圆外,点在圆上,点在圆内.点P与☉O的位置关系如图29-1-4所示. 活动2　理解点和圆的位置关系 初识概念 图29-1-4 问题1　如图29-1-4,设☉O的半径为r,点P到圆心的距离为d,在点P和☉O的三种不同位置关系中,量一量d与r有怎样的大小关系? 问题2　根据d与r的大小关系能得到对应的点P和☉O的位置关系吗? [答案]略 引发思考 （2）若以A点为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围？（直接写出答案） 解： ⊙A的半径r的取值范围是3≤r≤5. 探究新知 ⊙O的半径为10cm，A，B，C三点到圆心的距离分别为8cm，10cm，12cm，则点A，B，C与⊙O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 . 圆内 圆上 圆外 如图，圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP= ，则点P在（ ） A.大圆内 B.小圆内 C.小圆外 D.大圆内，小圆外 o D 巩固练习 平面上的圆把平面分成了哪几部分？ 圆内 圆外 圆上 思考 知识点2 点与圆的位置关系 ② 观察点和圆的位置关系，能否对这六个点进行分类？ B C A D E F 点C，F在圆外 点A，D在圆内 点B，E在圆上 思考 点和圆的位置关系:设☉O的半径为r,任意一点P到圆心的距离OP=d,则有 点P在圆外⇔d　　　　r;  点P在圆上⇔d　　　　r;  点P在圆内⇔d　　　　r.  概括新知 >　 =　 < 点和圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的大小关系;反过来,也可以通过这种大小关系判断点和圆的位置关系. 记 重点 弦: · C O A B 连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫作弦. 经过圆心的弦（如图中的AB）叫作直径． 1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径. 3.直径长是半径长的2倍（AB＝2OA＝2OB）. 探究新知 圆的有关概念 知识点 3 注意 O A B O A B 探索：圆中最长的弦是什么？为什么？ O A B C C D C D O A B C O A B C D O A B C D 【发现】直径是最长的弦 探究新知 点P在圆内 点P在圆外 点P在圆上 P O P O P O d＞r dr d＜r 位置关系 数量关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OPd； 符号“ ⇔ ”读作“等价于”，它表示从符号左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.求证：A，B，C，D四个点在以O为圆心的同一圆上. 例2 A B C D O 证明：∵四边形ABCD 是矩形，对角线AC，BD相交于点O ， ∴OA=OC= AC，OB=OD = ,AC=BD. ∴OA =OC =OB =OD. ∴A，B，C，D 四个点在以点O为圆心、OA为半径的圆上. 27 理解应用 (教材典题)如图29-1-5,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.求证:A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一个圆上. 例 2 证明:∵四边形ABCD为矩形,对角线AC,BD相交于点O, ∴OA=OC=AC,OB=OD=BD,AC=BD, ∴OA=OC=OB=OD, ∴A,B,C,D四个点在以点O为圆心、OA为半径的圆上(如图). 图29-1-5 判断多点是否共圆,只需判断这几个点到同一点的距离是否相等.若相等,则这些点就在同一个圆上,否则不在同一个圆上. 学 方法 弧: · C O A B 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆． 劣弧与优弧 · C O A B 半圆 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧．以A，B为端点的弧记作 AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”． （ 小于半圆的弧叫作劣弧.如图中的AC ; （ 大于半圆的弧叫作优弧.如图中的ABC. （ 劣弧用两个字母表示，优弧用三个字母表示. 探究新知 等圆: · C O A 能够重合的两个圆叫作等圆. · C O1 A 容易看出，同圆或等圆的半径相等；反过来，半径相等的两个圆是等圆 等弧: 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧. 探究新知 归纳 1.圆指的是圆周，而不是圆面. 2.确定一个圆要紧扣圆的“两要素”，即圆心和半径，两者缺一不可． 3.“圆上的点”指圆周上的点. 4.圆上各点到圆心的距离都等于半径. 32 点与圆的位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d>r d=r d<r 点P在圆环内 r≤d≤R R r P 课堂小结 $