29.1.1 圆的有关概念 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“圆的有关概念”，涵盖圆的两种定义、要素、弦与弧等核心概念及点与圆位置关系。通过“投圈游戏”情境导入，从生活实例抽象出数学定义，逐步展开概念辨析与位置关系判定，构建递进式学习支架。 其亮点在于以探究活动培养数学眼光，如投圈游戏引导学生发现圆的集合本质；通过数形结合发展数学思维，如点与圆位置关系的数量关系推导；结合易错总结和中考题强化数学语言表达。助力学生深化概念理解，教师可高效开展教学。

新人教版9年级上册 精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月15日 29.1.1 圆的有关概念 第29章 圆 29.1.1 圆的有关概念（含解析） 一、核心知识点梳理 1. 圆的定义（两种表述） （1）描述性定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线叫做圆。 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 （2）集合性定义（考试重点） 圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合。 核心注意：圆指的是圆周（曲线），不包含圆内部平面区域。 2. 圆的两大要素 ① 圆心：确定圆的位置； ② 半径：确定圆的大小； 结论：圆心和半径唯一确定一个圆。 3. 与圆有关的核心概念（必考辨析） （1）弦、直径 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。 重要结论：直径是圆中最长的弦，直径属于特殊的弦，但弦不一定是直径。 （2）弧、半圆、优弧、劣弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都是半圆。 劣弧：小于半圆的弧（用两个字母表示）； 优弧：大于半圆的弧（必须用三个字母表示）； 辨析：半圆既不是优弧，也不是劣弧。 （3）等圆、等弧 等圆：能够完全重合的两个圆。特点：半径相等，圆心不同。 等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。 高频易错：长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须弧度、长度均相等。 4. 点与圆的位置关系 设圆的半径为$$r$$，点到圆心的距离为$$d$$： ① 点在圆外 $$\iff d > r$$ ② 点在圆上 $$\iff d = r$$ ③ 点在圆内 $$\iff d < r$$ 二、基础必考题型练习 （一）选择题 1. 下列关于圆的说法正确的是（） A. 圆是平面内封闭的实心图形 B. 圆的位置由半径决定 C. 直径是圆中最长的弦 D. 弦是直径 2. 下列图形中，最长的弦是圆的（） A. 半径 B. 直径 C. 弧 D. 线段 3. 下列说法正确的是（） A. 长度相等的弧是等弧 B. 半圆是优弧 C. 同圆中半径都相等 D. 两个圆半径相等一定不是等圆 （二）填空题 4. 确定一个圆的两个条件是________和________。 5. 在同圆中，最长的弦长为10cm，则该圆的半径为________cm。 6. 大于半圆的弧叫做________，小于半圆的弧叫做________。 （三）解答题 7. 已知圆O的半径为5cm，点A、B、C到圆心O的距离分别为4cm、5cm、6cm，判断三点与圆的位置关系。 8. 简述弦与直径的区别和联系。 三、参考答案与详细解析 1. 答案：C 解析：圆是曲线图形，非实心；圆心定位置，半径定大小；直径是最长的弦，弦不一定是直径。 2. 答案：B 解析：直径经过圆心，是圆内最长的弦。 3. 答案：C 解析：等弧必须在同圆或等圆中且能重合；半圆既不是优弧也不是劣弧；半径相等的圆是等圆。 4. 答案：圆心；半径 解析：圆心确定位置，半径确定大小，二者唯一确定一个圆。 5. 答案：5 解析：最长弦为直径，直径10cm，半径=10÷2=5cm。 6. 答案：优弧；劣弧 7. 解析： 已知$$r=5\mathrm{cm}$$， 点A：$$4\mathrm{cm} < 5\mathrm{cm}$$，即$$d<r$$，点A在圆内； 点B：$$5\mathrm{cm} = 5\mathrm{cm}$$，即$$d=r$$，点B在圆上； 点C：$$6\mathrm{cm} > 5\mathrm{cm}$$，即$$d>r$$，点C在圆外。 8. 解析： 联系：直径和弦都是连接圆上两点的线段，直径是特殊的弦。 区别：直径必须经过圆心，普通弦无需经过圆心；弦不一定是直径，直径一定是弦，且是圆中最长的弦。 四、高频易错总结 1. 概念误解：误以为圆是实心圆形，数学中圆仅指圆周曲线； 2. 弦与直径混淆：牢记“直径是弦，弦不一定是直径”； 3. 等弧概念误区：单纯长度相等的弧不是等弧，必须同圆/等圆中可重合； 4. 弧的表示错误：优弧必须用三个字母表示，劣弧可用两个字母； 5. 位置关系判断失误：混淆$$d$$与$$r$$的大小对应关系。 认识圆，理解圆的定义. 理解并掌握点与圆的三种位置关系. 掌握弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系. 一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开．这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？ 探究新知 圆的定义 知识点 1 3 甲 丙 乙 丁 为了使游戏公平，在目标周围围成一个圆排队. 因为圆上各点到定点（圆心）的距离都等于半径. 探究新知 · r O P 圆的旋转定义（描述性定义） 在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫作圆．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”. 有关概念 固定的端点O叫作圆心，线段OP叫作半径，一般用r表示． 观察画圆的过程，你能从点的运动的角度描述圆是怎样形成的吗？ 探究新知 一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小． 确定一个圆的要素 同心圆 等圆 半径相同，圆心不同 圆心相同，半径不同 探究新知 圆可以看成到定点距离等于定长的所有点组成的. 满足什么条件的？ 有间隙吗？ 圆也可以看成是由多个点组成的 到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上吗？ 探究新知 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 ． （2）到定点的距离等于定长的点都在 ． 圆心为O、半径为r的圆可以看成平面内所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． O · A C E r r r r r D 定长（半径r） 同一个圆上 圆的集合定义 【想一想】从画圆的过程可以看出什么呢？ 探究新知 B 圆的基本性质 o • 同圆半径相等. 探究新知 【想一想】 圆是一条曲线，还是一个曲面? 提示:圆是一条封闭的曲线，它是由到圆心的距离等于半径的点组成的曲线，而不是曲面. 探究新知 例 矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O. 求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上. A B C D O 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=OC，OB=OD. 又∵AC=BD， ∴OA=OB=OC=OD. ∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上. 圆的定义的应用 素养考点1 探究新知 11 问题1：观察下图中点与圆的位置关系有哪几种？ . o . C . . . . B . .A . 点与圆的位置关系有三种： 点在圆外，点在圆上，点在圆内. 探究新知 点与圆的位置关系 知识点 2 12 问题2：设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，量一量在点与圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？ 点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外 d d d r P d P r d P r d ＜ r r = ＞ r 反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？ 探究新知 r P d P r d P r d 点P在⊙O内 d<r 点P在⊙O上 d=r 点P在⊙O外 d>r 数形结合： 位置关系 数量关系 探究新知 点与圆的位置关系 例 如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4. （1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何？ 解：AD=4=r，故D点在⊙A上； AB=3<r，故B点在⊙A内; AC=5>r，故C点在⊙A外. 判定点与圆的位置关系 素养考点 探究新知 （2）若以A点为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围？（直接写出答案） 解： ⊙A的半径r的取值范围是3≤r≤5. 探究新知 弦: · C O A B 连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫作弦. 经过圆心的弦（如图中的AB）叫作直径． 1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径. 3.直径长是半径长的2倍（AB＝2OA＝2OB）. 探究新知 圆的有关概念 知识点 3 注意 O A B O A B 探索：圆中最长的弦是什么？为什么？ O A B C C D C D O A B C O A B C D O A B C D 【发现】直径是最长的弦 探究新知 弧: · C O A B 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆． 劣弧与优弧 · C O A B 半圆 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧．以A，B为端点的弧记作 AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”． （ 小于半圆的弧叫作劣弧.如图中的AC ; （ 大于半圆的弧叫作优弧.如图中的ABC. （ 劣弧用两个字母表示，优弧用三个字母表示. 探究新知 等圆: · C O A 能够重合的两个圆叫作等圆. · C O1 A 容易看出，同圆或等圆的半径相等；反过来，半径相等的两个圆是等圆 等弧: 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧. 探究新知 【结论】等弧仅仅存在于同圆或者等圆中. 可见这两条弧不可能完全重合 实际上这两条弧弯曲程度不同 “等弧”要区别于“长度相等的弧” 如图，如果AB和CD的拉直长度都是10cm，平移并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？ ︵ ︵ C 【想一想】长度相等的弧是等弧吗？ 探究新知 A B C D 例1 如图. （1）请写出以点A为端点的优弧及劣弧; （2）请写出以点A为端点的弦及直径； 弦AF，AB，AC.其中弦AB又是直径. （3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧. 答案不唯一，如：弦AF，它所对的弧是 和 . A B C E F D O 劣弧： 优弧： AF， （ AD， （ AC， （ AE. （ AFE， （ AFC， （ ADE， （ ADC. （ AF （ 圆的有关概念的识别 ABF （ 素养考点 1 探究新知 22 例2 如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A，D在半圆上，顶点B，C在直径MN上.（1）求证：OB=OC. 连接OA，OD，同圆的半径相等. Ⅰ Ⅱ 10 ？ x 2x （2）设OB=x，则AB=2x， 在Rt△ABO中， ， （2）设⊙O的半径为10，则正方形ABCD的边长为 . 圆的有关概念的应用 解：（1）连接OA，OD， 证明Rt∆ABO≌Rt∆DCO. ，解得 . 素养考点 2 探究新知 所以边长为 . 知识点1 圆的定义 1. 下列条件中，能确定一个圆的是( ) C A. 以点 为圆心 B. 以 长为半径 C. 以点为圆心， 长为半径 D. 经过点 中考考法 24 （第2题） 2. 我国古代的数学典 籍《周髀算经》中总结了对几何 工具“矩”（即直角形状的曲尺，如 图①所示）的使用之道，其中就 有“环矩以为圆”的方法.我国许多数学家对该方法作了如下更 具体的描述： 中考考法 25 （第2题） 如图②所示，在平面内固定两个 钉子, ，保持“矩”的两边始终紧 靠两钉子的内侧，转动“矩”，则 “矩”的顶点 的运动路线将会是一 圆是平面内到定点的距离等于 定长的所有点组成的图形 个圆.依此描述，请用你学过的一个数学概念或定理解释“环 矩以为圆”这种方法的道理：____________________________ _________________________. 中考考法 26 （第2题） 【点拨】连接，取 的中 点，连接 ，则 ，即点， ， 到点 的距离相等，所以“环 矩以为圆”这种方法的道理是 圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. 中考考法 27 知识点2 点与圆的位置关系 3. [2026泰州期末] 在平面直角坐标系中，为原点，点 的 坐标为，的半径为4，则点与 的位置关 系是( ) A A. 点在外 B. 点在 内 C. 点在 上 D. 无法判断 中考考法 28 （第4题） 4. 如图，，， 是某社区 内的三栋楼，， ， .若在中点处建一个 网 络基站，该基站的覆盖半径为 ，则 这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是 ( ) A A. ，， B. ， C. ， D. 中考考法 29 知识点3 与圆有关的概念 5. 下列说法中： ①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径； ④长度相等的两条弧是等弧；⑤面积相等的两个圆是等圆. 其中错误的有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 中考考法 30 （第6题） 6. 如图，是的直径，若 ， 垂足为， ，则 的度数为 ( ) C A. B. C. D. 中考考法 31 7.如图，在 中，弦有_________，直径是____，劣弧有 _______________________，优弧有_____________________ __________，半圆有___________，若图中最长的弦为12， 则 的面积为_____. ， ，，，， ，，， ， ， （第7题） 中考考法 32 （第8题） 8.如图,圆的周长为 ,是弦 上任意一 点（不与,点重合）,过点作 的平行线 交于点，则 的值为___. 2 【点拨】 圆的周长为 , , , . 中考考法 33 （第9题） 9. 如图，将两个正方形如图 放置，，共线，，，共线 ， 若，，点在线段 上， 以点为圆心作半圆，点、点 都在半 圆上，则 的长是( ) B A. 4 B. C. D. 中考考法 34 圆 定义 旋转定义 （描述性定义） 要画一个确定的圆，关键是确定圆心和半径 集合定义 同圆半径相等 有关 概念 弦（直径） 直径是圆中最长的弦 弧 半圆是特殊的弧 劣弧 半圆 优弧 同心圆 等圆 同圆 等弧 能够互相重合的两段弧 课堂小结 35 点与圆的位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d>r d=r d<r 点P在圆环内 r≤d≤R R r P 课堂小结 $