29.1.2 圆的性质 课件 2026-2027 学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“过三点作圆及三角形的外接圆”，通过操作尝试从过一点、两点到不在同一直线上三点作圆的递进探究，搭建从基础要素到核心结论的学习支架，帮助学生理解确定圆的条件及三角形外心概念。 其亮点是以探究活动驱动学习，通过几何直观引导学生观察圆心位置规律（数学眼光），结合例题变式培养推理能力（数学思维），实际问题应用强化模型意识（数学语言）。学生能主动参与探究，教师可高效落实知识点，提升教学效果。

29.1.2　第1课时　 过三点作圆及三角形的外接圆 第二十九章　圆 29.1 探究与应用 (1)作一个圆需要确定哪几个关键要素? 活动　会过不在同一条直线上的三个点作圆 操作尝试 解:(1)作一个圆需要确定圆心的位置和半径的大小两个关键要素. (2)如图29-1-9,经过一个点A能不能作圆?如果能,这样的圆能作出多少个? (2)经过一个点A能作圆,这样的圆能作出无数个.如图①. 图29-1-9 (3)如图29-1-10,经过两个点A,B能不能作圆?如果能,这样的圆能作出多少个?所作圆的圆心的位置有什么特点? (3)经过两个点A,B能作圆,这样的圆能作出无数个.所作圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上,如图②所示. 图29-1-10 (4)如图29-1-11,经过不在同一条直线上的三个点A,B,C能不能作圆?如果能,如何确定所作圆的圆心? (4)能.∵所作的圆要经过A,B,C三点,其圆心应满足到这三个点的距离都相等,∴所作圆的圆心既要在线段AB的垂直平分线上,又要在线段BC的垂直平分线上.作法如下: ①连接AB,BC; ②分别作出线段AB,BC的垂直平分线l1,l2,它们交于点O; ③以点O为圆心,OA(或OB,OC)为半径作圆, 便可作出经过A,B,C三点的圆(如图③). 图29-1-11 任意三点不一定能确定一个圆,只有不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆. 防 易错 确定三角形外心的方法 作三角形两条边的　　　　　　,两条　　　　　　的交点为三角形的外心. 记 方法 垂直平分线　 垂直平分线 1.确定圆的条件:　　　　　　 　　的三个点确定一个圆.  2.三角形的外接圆与外心:经过三角形的三个　　　　可以作一个圆,这个圆叫作三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边的　　　　　　的交点,叫作这个三角形的外心,这个三角形叫作圆的内接三角形.  概括新知 不在同一条直线上　 顶点　 垂直平分线 (教材补充例题)下列命题中,真命题的个数是 (　　) ①经过三点一定可以作圆;②任意一个圆只有一个内接三角形;③任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆;④三角形的外心到三角形三边的距离相等. A.4 　　B.3 　　　C.2 　　　　　D.1 例 1 D 理解应用 (教材补充例题)图29-1-12是一块残破的圆形轮片,试作出它所在圆的圆心和半径. 例 2 解:(1)如图,在圆弧上依次取三点A,B,C; (2)连接AB,BC; (3)分别作AB,BC的垂直平分线a,b,它们相交于点O,点O就是所求作的圆心; (4)连接OB(或OA,OC),OB(或OA,OC)就是这个圆的半径. 图29-1-12 已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12 cm,BC=5 cm,求△ABC的外接圆的半径长. 变式 解:如图,设Rt△ABC的斜边AB的中点为O,连接OC,则OA=OB=OC, 故点O是△ABC的外心. ∵∠ACB=90°,AC=12 cm,BC=5 cm, ∴AB==13 cm, ∴OA=6.5 cm,即△ABC的外接圆的半径长为6.5 cm. 三角形外心的位置 锐角三角形的外心在三角形的　　　　部,直角三角形的外心是 　　　　 　,钝角三角形的外心在三角形的　　　部. 记 结论 内　 斜边的中点　 外 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1.如图29-1-13,已知线段AB,AD,点C在线段AB上,下列说法正确的是 (　　) A.经过点A,B,C只能作一个圆 B.经过点A,B,D只能作一个圆 C.经过点A,以AD的长为半径只能作一个圆 D.经过点A,B,以AD的长为半径只能作一个圆 | 课堂检测 | B 图29-1-13 2.如图29-1-14,在5×5的正方形网格中,点A,B,C,D,E,F,G在小正方形网格的顶点上,则△ABC的外心是 (　　) A.点D B.点E C.点F D.点G C 图29-1-14 3.已知AB=4 cm,经过A,B两点作圆,则所作的圆的半径最小是 　　　　cm.  2 4.某市承办一项大型比赛,在市内有三个体育馆承接所有比赛,现要修建一个运动员公寓,使得运动员公寓到三个体育馆的距离相等.若三个体育馆的位置如图29-1-15所示,则运动员公寓应建在何处? 解:如图,连接AB,AC,分别作AB,AC的垂直平分线MN,FD,MN和FD交于点G,则运动员公寓应建在点G处. 图29-1-15 $29.1.2　第2课时　 反证法 第二十九章　圆 29.1 探究与应用 经过同一条直线上的三个点,可以作一个圆吗?为什么? 活动　了解反证法的证明思想 猜想证明 解:不可以. 理由:如图,假设经过同一条直线l上的A,B,C三点可以作一个圆.设这个圆的圆心为P,那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上,又在线段BC的垂直平分线l2上,即点P为l1与l2的交点.而l1⊥l, l2⊥l,这与以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以,经过同一条直线上的三个点不能作圆. 反证法:先提出与结论　　　　的假设,再推导出和定义、 　　　　、定理或　　　　等相矛盾的结果,然后由　　　　断定所作假设不正确,从而得到原命题成立,这种方法叫作反证法.  概括新知 相反　 基本事实　 题设　 矛盾 (教材内容)用反证法证明“两直线平行,同位角相等”. 例 解:已知:如图①,AB∥CD,直线EF交AB于点O. 求证:∠1=∠2. 理解应用 证明:假设∠1≠∠2,过点O作直线A'B',使∠EOB'=∠2,如图②. 根据“同位角相等,两直线平行”,可得A'B'∥CD.这样,过点O就有两条直线AB,A'B'都平行于CD,这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾.这说明假设∠1≠∠2不正确,从而∠1=∠2. 利用反证法证明的一般步骤 (1)假设命题的结论不成立; (2)推理得出矛盾; (3)假设不成立,断定原命题的结论成立. 学 方法 用反证法证明:平行于同一条直线的两条直线平行. 变式 解:已知:如图①,a∥c,b∥c. 求证:a∥b. 证明:假设a与b相交于点M,如图②, 则过点M有两条直线平行于直线c, 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾, ∴假设不成立,从而a∥b. 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1.用反证法证明“在△ABC中,若AB=AC,则∠B=∠C”时,应先假设 (　　) A.∠A=∠B B.∠B≠∠C C.AB≠AC D.BC=AC | 课堂检测 | B 2.如图29-1-16,在△ABC中,D,E两点分别在AB和AC上.求证: CD,BE不可能互相平分. 图29-1-16 证明:假设CD,BE互相平分. 如图,连接DE,则四边形BCED是平行四边形, ∴BD∥CE, 这与BD,CE相交于点A矛盾. ∴CD,BE不可能互相平分. $