精品解析：安徽合肥市第一中学2025-2026学年第二学期期末教学质量监测高二数学试题

合肥一中2025—2026学年度第二学期期末教学质量监测 高二数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则中的元素个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】解不等式，得， 所以. 解不等式得，所以. 所以，所以中的元素个数为3. 2. 设随机变量，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项分布求出即可得解. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 3. “函数在区间上单调递增”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数单调性求出的范围后判断即可. 【详解】由复合函数单调性和对数函数定义域可知： 函数在区间上单调递增等价于，即， 故“函数在区间上单调递增”是“”的充分不必要条件. 4. 随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高．该技术下生产第一件产品的工时为，生产件产品的平均工时，其中（为产品工时递减速率）．现有一条工时递减速率为80%的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为（ ） A. 0.6 B. 0.8 C. 1.25 D. 1.6 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，，代值化简即可求解./ 【详解】已知工时递减速率，且, 所以， 由于生产前件产品的平均工时：， 生产前件产品的平均工时：， 所以， 将​，代入：， 则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为0.8 5. 已知函数为偶函数，则（ ） A. -1 B. 1 C. 1或-1 D. 1或-1或0 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义，结合定义域关于原点对称，对a的可能整数值逐一验证. 【详解】函数为偶函数需满足两个条件：①定义域关于原点对称；②对定义域内任意x，均有。 当时，，定义域为，关于原点对称，对任意，都有，满足偶函数定义； 当时，，定义域为，关于原点对称，  ，满足偶函数定义； 当时： ，定义域为，关于原点对称，  ， 满足偶函数定义； 综上，或或 6. 设，且，则由，，，可以构成不相同的四位数的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定满足的组合，再计算每组对应的的可选个数，最后计算每组可构成的不同四位数的个数，相乘得到总结果. 【详解】由且，得只能取，对应为，共组合法的， 因为集合，元素互异，故且，每组对应的可选值有种， 数字为两个、一个、一个，存在重复元素，故每组可构成的不同四位数有种， 所以总个数为，故C正确. 7. “，”是假命题，则实数的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先利用命题的否定将命题变为真命题，再分离参数后结合均值不等式求的最大值． 【详解】因为“，”是假命题， 所以“，”是真命题， 由，得， 令， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取最小值为， 所以的最大值为． 8. 若正实数，，满足，则下列大小关系中不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，通过分析函数的单调性，结合函数图像判断的大小关系. 【详解】令， ， 则时，，单调递减；时，，单调递增，； 时，，单调递减；时，，单调递增， 时，，单调递减；时，，单调递增， 当，易知符合题意，故有可能成立， 当，，时，则，， ， 因为函数在上单调递减，则， 可化为， 则，即， 因为函数在上单调递减，则， 所以，故有可能成立， 根据三个函数的单调性，且时，， 时，可知， 当，，时，也能成立， 此时，故有可能成立， 根据排除法可选A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随着人工智能技术的快速发展，AI图像识别在工业质检、安防监控等领域得到广泛应用.某科技公司为提升自主研发的AI图像识别模型的识别准确率，研发了一种基于国产算力优化的特征提取算法.为检验该算法的实际效果，研究人员随机选取了200个同批次的工业零件检测样本，随机分为两组，每组100个样本：第一组使用新优化算法进行识别，第二组使用传统算法进行识别，记录两组样本的识别成功与失败情况，得到如下列联表： 识别成功 识别失败 合计 新优化算法 85 15 100 传统算法 70 30 100 合计 155 45 200 附：统计量临界值表 0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 其中，. 则下列说法正确的是（ ） A. 有99%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效 B. 有95%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效 C. 若将列联表中每个单元格的数据都扩大为原来的2倍，统计量的值扩大2倍 D. 新优化算法的样本识别成功率比传统算法高15个百分点，因此新算法在所有工业检测场景中都优于传统算法 【答案】BC 【解析】 【分析】根据表中数据，求出，与临界值比较，可判断A、B；根据的公式，将数据扩大2倍，可得新旧统计量间的关系，即可判断C；样本具有局限性，推广需要更多数据支撑，所以D选项属于过度推断，由此判断D错误. 【详解】由列联表可得， 因为， 所以有95%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效. 故A错误，B正确. 若将列联表中每个单元格的数据都扩大为原来的2倍， ， 所以统计量的值扩大为原来的2倍，故C正确. 传统算法的样本识别成功率约为，新优化算法的样本识别成功率约为，比传统算法高15个百分点， 但只能说明在受检批次的工业零件检测中，新算法优于传统算法， 并不能说明新算法在所有工业检测场景中都优于传统算法，故D错误. 10. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数研究在上的单调性，结合得，利用零点存在性有，逐项判断即可求解. 【详解】由，得， 即，令，即， 所以，令，解得， 当时，，所以在单调递增， 又，所以， 又，所以，所以， 所以， 又， 所以存在唯一的正根，即，所以， 所以，故A正确； 由，在单调递增，所以，故B错误； 由， 因为在上单调递增，所以， 又，所以， 所以，又，所以， 所以，故C正确； 由，令， 所以， 当时，，所以在单调递增， 所以， 所以，故D正确. 11. 已知函数，设，，是的三个零点，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，则 C. 若，，成等差数列，设公差为，则 D. 若，，成等比数列，则，，的公比为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，参变分离，转化为与有3个交点，求导得到函数单调性，从而得到的取值范围；B选项，求导，根据导数几何意义得到方程，求出的值；C选项，根据等差数列的性质和，换元得到，，根据单调性得到取值范围；D选项，根据等比数列的性质和得到方程，求出公比. 【详解】A选项，有3个零点，则有3个解， 即与有3个交点， ，求导得， 当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 其中，， 由与有3个交点，可得，A错误； B选项，，求导得， 所以， 曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补， 故，即，解得，B正确； C选项，由A知，， 又因为，所以， 所以，所以， 将代入得， 因为，，成等差数列，所以，故， 所以，， 令，所以，所以， 故，，所以， 所以，， 所以， 因为，在上单调递增， 所以，C正确； D选项，若，，成等比数列，设公比为， 因为，所以， 故， 因为， 所以，故， ，两式相除得， 解得或（舍去）， 则，，的公比为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】若，则， 所以， 根据对称性，则. 13. 已知函数是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性得到的一个周期为4，并得到，求出答案. 【详解】由题意得，故， 为偶函数，故， 故，所以， 所以， 故的一个周期为4，， 其中， 当时，，则， 所以. 14. 在数列中，，，且对任意的，有，则有_____个满足要求的不同数列． 【答案】 【解析】 【分析】先根据相邻项绝对值差为，设步中加、减的次数分别为，由总步数与总增量列方程组求出两种步数的数量，再用组合数计算从步里选定加位置的情况数，即为不同数列的个数． 【详解】由，可知每一步只有两种选择： 增量（记这类步数为），增量（记这类步数为）， 从到一共经过步，所以①， 初始，最终，总增量为， 所以，即②， 联立①②，解得，， 即14步里要有次，次， 只需从个位置里选出个位置安排（剩下个自动安排）， 组合数为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）写出的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数，由题意列出方程，求解可得的值； （2）结合（1）的结论，利用赋值法，分别令，，再两式相减可得的值. 【小问1详解】 的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数分别为， 由题意得，， 所以， 因为，所以. 化简得， 即. 解得或. 当时，展开式中共有3项，不存在第4项，所以. 所以. 【小问2详解】 令，得， 令，得， 所以. 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围. 【答案】（1） （或） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，求切点处的导数值得切线斜率，结合切点坐标写出切线方程； （2）将方程等价变形为，利用导数分析的单调性、极值与极限趋势，确定直线与有两个交点时的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，  ， 所以，，即切点坐标，切线斜率为， 由点斜式得切线方程为，整理得. 【小问2详解】 对变形，因恒成立，得， 则方程有两个不等实根等价于直线与曲线有2个不同交点. 令，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 故在处取极小值，极小值为， 又当时，；当时，且. 【点睛】综上，当时，直线与有两个交点，即的取值范围为. 17. 甲、乙两工厂试生产同一型号的零件，经检验，甲工厂试生产的零件的合格率为80%，乙工厂试生产的零件的合格率为90%，若将这些零件混合放在一起，则合格率为88%. （1）设甲工厂试生产的零件有m件，乙工厂试生产的零件有n件，求证：； （2）从混合放在一起的零件中随机抽取一个，若该零件是合格品，求该零件来自甲工厂的概率； （3）已知这批混合零件共10件，甲厂2件，乙8件，从中不放回随机抽取3件，记这3件来自甲厂的个数为，求的分布列及期望. 【答案】（1） 甲工厂试生产的件零件的合格率为80%，则合格零件为件； 乙工厂试生产的件零件的合格率为90%，则合格零件为件， 混合后，总零件为件，合格率为88%，则混合后合格零件为件， 依题意，，化简得，即. （2）； （3） 0 1 2 . 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用频数、频率、样本容量的关系列式推理得证. （2）由（1）的结论，利用条件概率公式计算即得. （3）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设甲工厂试生产的零件有件，乙工厂试生产的零件有件，由（1）知， 事件“任取一个混合放在一起的零件，零件来自甲工厂”， 事件“任取一个混合放在一起的零件，零件来自乙工厂”， 事件“任取一个混合放在一起的零件，零件是合格品”， 则，， 所以所求概率. 【小问3详解】 依题意，的所有可能值为， ， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望. 18. 某科技公司研发了一款智能服务机器人，用于商场的导购、配送与巡检服务．为优化机器人的调度效率与服务质量，公司开展了相关测试与优化工作． （1）下表为机器人连续5天的工作时长（小时）与服务订单数y（次数）的数据关系． 时长（x） 1 2 3 4 5 服务次数（y） 12 20 27 33 38 若服务次数y与工作时长x具有线性相关关系，请预测第6天机器人工作时长为7小时时，服务订单数大约有多少？ （2）机器人在服务过程中可能出现故障，两个机器人为一组，每次一个机器人执行服务任务，若服务中无故障，则继续执行下一次服务，若出现故障，则换另一位机器人执行．甲、乙两机器人一组，第一次执行服务时，甲、乙上场的概率均为，已知甲每次服务无故障的概率为，乙每次服务无故障的概率为． （ⅰ）求第2次执行服务的是机器人甲的概率； （ⅱ）求第n次执行服务的是机器人乙的概率． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，参考数据：，． 【答案】（1）52次． （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）先计算样本均值，再通过最小二乘法求出线性回归方程，最后代入预测值，完整呈现了线性回归分析的标准流程，体现了统计中利用样本数据进行预测的基本思想； （2）（i）运用全概率公式，结合首次服务的初始概率与故障切换的条件概率，直接计算出第2次服务的概率，是全概率公式在分步概率问题中的典型应用； （ii）通过定义递推关系，将复杂的概率问题转化为等比数列模型，构造辅助数列求解通项，展现了用递推与数列思想解决动态概率问题的技巧． 【小问1详解】 ，， ，， ， ， 所以回归直线方程为， 当时，， 即预测第6天工作7小时，可能服务52次． 【小问2详解】 （ⅰ）设“第n次服务的是甲”为事件，“第n次服务的是乙”为事件， 由题知，， 由全概率公式知，， ∴第2次服务的是机器人甲的概率为． （ⅱ）记，由题知，当时， ，，，， 由全概率公式知， ， ∴， ∴，∵， 故数列是首项为，公比为的等比数列， ∴， ， 即第n次服务是机器人乙的概率为． 19. 如果对任意，，使得都有，则称函数是关联. （1）判断并证明是否是关联？是否是关联？ （2）已知函数是关联，且在上有，试解不等式； （3）证明：“函数是{1}关联，且是关联”当且仅当“函数是关联”. 【答案】（1）不是关联， 证明：因为，可能是负数. 例如， ，所以不是关联； 是关联，理由如下： 则， ∴，所以是关联. （2） （3）充分性： 因为函数是关联，且是关联， 所以，且是增函数， 所以对于，有， 则成立， 所以，即“函数是关联”. 必要性： （i）因为函数是关联，即满足，都有， 若，则， 与是关联矛盾； 若，而是关联，故，矛盾， 所以，即“函数是关联”； （ii）对于任意，则，利用“函数是关联”的条件可以得到， 于是，此时“函数是关联”； （iii）对于任意正整数，若，则， 由可知也成立，此时“函数是关联”； 综上可知“函数是关联，且是关联”. 证法二： ①若函数是关联，可知对任意的，有， 函数是关联，可知对任意的，有， 为增函数； 设函数， 当时，， 当时，， 因为当确定时，是关于的增函数，所以 所以有函数是关联. ②若函数是关联， 设，当时，则， 当时， 假设，有， 又，矛盾. 故只有，同理可得. 利用，可得是关联， 依次可得，即当时，有，当时，， ，可得也是关联. 【解析】 【分析】（1）举特例说明不是关联，利用定义判断并证明是关联； （2）由是关联，得到，再由在区间，和上的解析式解不等式即可； （3）利用关联的定义，分别证明充分性和必要性. 【小问1详解】 因为，可能是负数，例如， ，所以不是关联； 则， ∴ 所以是关联. 【小问2详解】 因为是关联，所以当任意的时，， 又时，，则函数图像如下图： 当时，有，解得， 当时，有，解得， 当时，有，解得， 结合函数图像可知，原不等式的解集为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥一中2025—2026学年度第二学期期末教学质量监测 高二数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则中的元素个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 5 2. 设随机变量，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. “函数在区间上单调递增”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高．该技术下生产第一件产品的工时为，生产件产品的平均工时，其中（为产品工时递减速率）．现有一条工时递减速率为80%的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为（ ） A. 0.6 B. 0.8 C. 1.25 D. 1.6 5. 已知函数为偶函数，则（ ） A. -1 B. 1 C. 1或-1 D. 1或-1或0 6. 设，且，则由，，，可以构成不相同的四位数的个数为（ ） A. B. C. D. 7. “，”是假命题，则实数的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 若正实数，，满足，则下列大小关系中不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随着人工智能技术的快速发展，AI图像识别在工业质检、安防监控等领域得到广泛应用.某科技公司为提升自主研发的AI图像识别模型的识别准确率，研发了一种基于国产算力优化的特征提取算法.为检验该算法的实际效果，研究人员随机选取了200个同批次的工业零件检测样本，随机分为两组，每组100个样本：第一组使用新优化算法进行识别，第二组使用传统算法进行识别，记录两组样本的识别成功与失败情况，得到如下列联表： 识别成功 识别失败 合计 新优化算法 85 15 100 传统算法 70 30 100 合计 155 45 200 附：统计量临界值表 0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 其中，. 则下列说法正确的是（ ） A. 有99%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效 B. 有95%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效 C. 若将列联表中每个单元格的数据都扩大为原来的2倍，统计量的值扩大2倍 D. 新优化算法的样本识别成功率比传统算法高15个百分点，因此新算法在所有工业检测场景中都优于传统算法 10. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，设，，是的三个零点，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，则 C. 若，，成等差数列，设公差为，则 D. 若，，成等比数列，则，，的公比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则__________. 13. 已知函数是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则__________. 14. 在数列中，，，且对任意的，有，则有_____个满足要求的不同数列． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列. （1）求的值； （2）若，求的值. 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围. 17. 甲、乙两工厂试生产同一型号的零件，经检验，甲工厂试生产的零件的合格率为80%，乙工厂试生产的零件的合格率为90%，若将这些零件混合放在一起，则合格率为88%. （1）设甲工厂试生产的零件有m件，乙工厂试生产的零件有n件，求证：； （2）从混合放在一起的零件中随机抽取一个，若该零件是合格品，求该零件来自甲工厂的概率； （3）已知这批混合零件共10件，甲厂2件，乙8件，从中不放回随机抽取3件，记这3件来自甲厂的个数为，求的分布列及期望. 18. 某科技公司研发了一款智能服务机器人，用于商场的导购、配送与巡检服务．为优化机器人的调度效率与服务质量，公司开展了相关测试与优化工作． （1）下表为机器人连续5天的工作时长（小时）与服务订单数y（次数）的数据关系． 时长（x） 1 2 3 4 5 服务次数（y） 12 20 27 33 38 若服务次数y与工作时长x具有线性相关关系，请预测第6天机器人工作时长为7小时时，服务订单数大约有多少？ （2）机器人在服务过程中可能出现故障，两个机器人为一组，每次一个机器人执行服务任务，若服务中无故障，则继续执行下一次服务，若出现故障，则换另一位机器人执行．甲、乙两机器人一组，第一次执行服务时，甲、乙上场的概率均为，已知甲每次服务无故障的概率为，乙每次服务无故障的概率为． （ⅰ）求第2次执行服务的是机器人甲的概率； （ⅱ）求第n次执行服务的是机器人乙的概率． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，参考数据：，． 19. 如果对任意，，使得都有，则称函数是关联. （1）判断并证明是否是关联？是否是关联？ （2）已知函数是关联，且在上有，试解不等式； （3）证明：“函数是{1}关联，且是关联”当且仅当“函数是关联”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $