第2章 常用逻辑用语（举一反三讲义·培优篇）高一数学苏教版必修第一册

该高中数学常用逻辑用语单元复习讲义通过六大压轴题型分类框架系统梳理知识体系，将命题与集合交汇、充分条件与必要条件含参问题等核心内容按逻辑关系整合，清晰呈现重难点分布及内在联系，帮助学生构建完整知识脉络。 讲义亮点在于分层递进的练习设计，如“充分条件与必要条件含参问题”题型中结合集合关系分析参数范围，培养数学思维的逻辑推理能力，“全称量词与集合交汇”题型通过真假命题判断强化数学语言表达。基础题巩固概念，综合题提升能力，支持学生自主复习，助力教师实施精准教学。

第2章 常用逻辑用语全章六大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 命题与集合交汇 1．（25-26高二·全国·课后作业）已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】由题意可得集合不是的子集．由此结合子集的定义与集合的运算性质，逐项判断即可. 【解答过程】根据命题"非空集合的元素都是集合的元素"是假命题，可得不是的子集 对于①，集合虽然不是所有元素都在中，但有可能有属于的元素，因此①是假命题； 对于②，因为不是的子集，所以必定有不属于的元素，故②是真命题；同理不能确定有没有的元素，故③是假命题； 对于④，由子集的定义可得，既然不是的子集，那么必定有一些不属于的元素，因此的元素不都是的元素，可得④是真命题. 故选：B. 2．（25-26高一上·上海·课后作业）是两个集合，则下列命题中真命题是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【解题思路】根据子集概念和韦恩图对选项逐一分析即可. 【解答过程】由韦恩图知若，则，故正确； 若，则，当是的真子集时，，故错误； 若，当是的真子集时，则，故错误； 若，则，故错误； 故选：. 3．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】B 【解题思路】运用元素和集合的关系判断即可. 【解答过程】由已知，设，， 若，此时(没有满足对任意，有)，而， 若(仅满足)，但，所以不包含，故命题①错误； 设，，，此时满足， 若(和均满足)，但，所以不包含于， 故命题②错误. 故选：B． 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）命题“若 ，则 ”为__________命题．（填真、假） 【答案】真 【解题思路】由集合的关系和运算，进行求解． 【解答过程】由，等价于，由，等价于， 则命题“若 ，则 ”为真命题， 故答案为：真. 5．（25-26高一上·安徽·阶段检测）设集合，. (1)若，命题：，命题，若命题都为真命题，求实数的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）当时，，再根据条件，求集合与集合的交集，即可求解； （2）根据条件，得到，再分和两种情况讨论，即可求解. 【解答过程】（1）若时，，又， 若为真，则，若为真，则， 因为都为真命题，所以的取值范围为. （2）因为，所以. 当时，有，即，满足题意； 当时，有，解得. 综上可知，m的取值范围为或. 题型2 充分条件与必要条件中的含参问题 1．（2026高一·全国·专题练习）若是的充分不必要条件，则实数的值不可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据是的充分不必要条件可得是的真子集，求得a的范围，可得答案. 【解答过程】由题意可知是的充分不必要条件， 则是的真子集，故， 故a的值可取，不可以是. 故选：A. 2．（25-26高一上·江苏泰州·期中）已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，将充分不必要条件转化为真子集关系，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】设集合，集合， 因为的充分不必要条件是，所以是的真子集， 则，解得. 故选：D. 3．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，根据题意，转化为集合是的真子集，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】由命题， 设， 因为，可得集合不是空集， 又因为是的必要不充分条件，所以集合是的真子集， 则满足且等号不能同时成立，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 4．（25-26高一上·上海·期中）已知或，或．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解题思路】将问题转化为两个集合之间的包含关系，然后再利用集合的包含关系列出不等式组，解不等式组即可求解. 【解答过程】设集合，集合， 由题意可知集合是集合的真子集， 所以，解得，得， 当时，，不满足题意，故， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 5．（25-26高一上·重庆铜梁·阶段检测）已知集合，非空集合. (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使得是的必要不充分条件，若存在，求出m取值范围，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用集合包含关系得到两个不等式：左端点满足，右端点满足，再结合集合非空条件，联立解得的范围. （2）由得两个不等式：且，结合解得，然后检查在此范围内是否成立. 【解答过程】（1）由题意，是的充分条件，所以， 即且，且， 解得且，取交集得， 故实数的取值范围为. （2）若是的必要不充分条件，则且， 由得 结合，解得， 此时的右端点，所以，即成立， 因此存在实数，其取值范围为. 题型3 充分、必要条件与集合交汇 1．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据集合的包含关系进行判断. 【解答过程】因为，，所以⫋. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（25-26高一上·河北保定·阶段检测）设集合，则B是A的真子集的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】化简集合，再利用真子集的意义，结合包含关系求出取值集合，进而判断得解. 【解答过程】依题意，， 由B是A的真子集，得或或，而， 当时，； 当时，； 当时，， 因此B是A的真子集的充要条件是， 而真包含， 所以B是A的真子集的一个必要不充分条件是. 故选：A. 3．（25-26高一上·广东深圳·期末）设集合则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据集合交集运算及元素与集合的关系，结合充要条件的判定即可判断. 【解答过程】若，则， 所以，解得， 当时，，此时，不合题意舍去， 当 时，，此时，满足题意， 则，则充分性成立， 反之，亦得必要性成立， 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 4．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； 或 (2) 【解题思路】（1）根据集合的交集，补集运算即可求解； （2）将充分不必要条件转化为真子集关系，即可列不等式组求解. 【解答过程】（1）当时，， 或， 所以， 或， （2）由“”是“”的充分不必要条件， 可得：是的真子集， 因为，即不是空集， 所以，且等号不同时成立， 解得， 所以实数的取值范围. 5．（25-26高一上·河北·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由元素在集合中得不等式组，解不等式即可求参数的范围； （2）当时，先求出和两种情况下取值，再求其补集可得； （3）先由题意得到是的真子集，再分和两种情况，当时利用集合的包含关系解不等式组可得. 【解答过程】（1）因为， 所以，解得， 所以实数m的取值范围. （2）若时， 当时，即，可得； 当时，需满足或， 解得（舍）或，即， 所以时可取其补集为. （3）若是的充分不必要条件，所以到是的真子集， 当时，由（2）可得； 当时，，即， 又（等号不同时取），解得， 又，所以. 综上，实数m的取值范围为. 题型4 全称量词与存在量词中的含参问题 1．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若命题“任意，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】依题意可得“，”是真命题，根据求出参数的取值范围. 【解答过程】因为“任意，”为假命题， 所以“，”是真命题， 即方程有实数根，则，解得， 即实数的取值范围是． 故选：B. 2．（25-26高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意可知命题的否定为真命题，由判别式得到不等式，解得的取值范围》 【解答过程】命题“”是假命题， 则 是真命题， ∴， 解得：或， 即a的范围是 故选：D. 3．（2026高一上·湖北·专题练习）已知命题p：，；命题q：，，若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合全称量词命题及存在量词命题的真假关系即可求解． 【解答过程】命题p：，；命题q：，， 若命题p，q均为假命题， 则，为真命题，且，为真命题. 在上恒成立，且有解， 故且， 解得或. 故选：D. 4．（2026高一上·福建厦门·专题练习）若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解题思路】根据命题真假判断方程解求的范围，再结合不等式求的范围，最终取交集即可. 【解答过程】因为命题p：“，”是假命题， 所以命题p的否定“，”是真命题， 则方程无解，即，解得； 又因为命题q：，是真命题，所以， 对任意恒成立，故 应小于等于在的最小值， 当时最小值为，即 综上所述，实数a的取值范围是. 故答案为：. 5．（25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由题意得出，即可求得实数的取值范围； （2）由题意可知，是真命题，则，即可求得实数的取值范围； （3）求出当命题、都是真命题时的取值范围，结合补集思想可求得结果. 【解答过程】（1）若是真命题，则，得， 故实数的取值范围为. （2）若是假命题，则，是真命题， 由解得，即实数的取值范围是. （3）可知为真命题时，， 由（2）可知，为真命题时，或， 若、都是真命题，则， 所以若、至多有一个为真命题，则，即实数的取值范围是. 题型5 全称量词、存在量词命题与集合交汇 1．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）已知不等式的解集是，则使命题“，”为真命题的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】化简集合，再求以为全集的的补集即可. 【解答过程】因为，所以. 又因为对，都有，所以，故. 故选：D. 2．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可. 【解答过程】因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题， 因为集合，集合， 所以，当时，即时，成立， 当时， 由“，”得，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 3．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知集合，集合且，命题，，若命题是真命题，则实数的取值范围是____________. 【答案】或 【解题思路】由命题是真命题得到，再结合得到实数满足的条件，解不等式得到结果. 【解答过程】由，可得，解得：， 由命题，是真命题，所以， 故有或，解得或. 综上，的取值范围是或. 故答案为：或. 4．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或. 【解题思路】（1）根据为真命题列不等式，由此求得的取值范围. （2）求得均为假命题时的取值范围，进而求得命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围. 【解答过程】（1）若为真命题，则，所以，所以. （2）当为假命题时，即“ ”为真命题， 所以， 当时，，等号成立当且仅当， 所以的取值范围为， 由（1）知命题为假命题时，的取值范围为. 所以当均为假命题时的取值范围为， 所以当命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围为或. 5．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由题意得是的真子集，然后根据真子集关系列不等式组求解即可. （2）由已知条件得集合的关系，然后按照和分类讨论，根据子集关系列不等式组求解即可. （3）方法一：由题意，然后根据集合关系列不等式组求解即可． 方法二：由题意，先求时的取值范围，求解时按照和分类讨论，根据集合关系列不等式组求解，最后利用补集思想求解即可. 【解答过程】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集． 当时，满足，此时，得； 当时，若，则，不等式组无解． 综上，实数的取值范围为． （3）方法一：“，”是真命题，则，所以，所以． 所以，解得，所以实数的取值范围为． 方法二：“，”是真命题，则． 当时，若，则； 若，则或，解得． 综上，当时，． 所以当时，，即实数的取值范围为． 题型6 充分、必要条件与全称量词、存在量词命题交汇 1．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据全称量词命题为真，得到的取值范围，再根据必要不充分条件的概念进行选择. 【解答过程】因为命题“，”为真命题， 所以，恒成立，所以. 因为“”是“”的充分不必要条件； “”是“”的充分不必要条件； “”是“”的充要条件； “”是“”的必要不充分条件. 故选：D. 2．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知命题：“是的充分不必要条件”；命题：“”．则下列正确的是（    ） A．和都是假命题 B．和都是假命题 C．和都是假命题 D．和都是假命题 【答案】D 【解题思路】先判断每个命题的正误，再判断命题的否定的正误即可. 【解答过程】令，解得或， 则可以推出，充分性成立， 推不出，必要性不成立， 得到是的充分不必要条件， 故是真命题，则是假命题， 令，得到，化简得， 解得或，则， 故是真命题，则是假命题， 即和都是假命题，故D正确. 故选：D. 3．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知命题的否定是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题可知命题的否定是真命题，根据一元二次不等式的存在性问题求解即可. 【解答过程】依题意，是真命题， 所以在R上有解， 当时，原不等式，解得，满足题意； 当时，一元二次函数开口向下，此时原不等式在R上一定有解，故满足题意； 当时，若在R上有解，则，解得， 综上所述，， 因此命题的否定是真命题的充要条件为， 所以命题的否定是真命题的一个充分不必要条件可以是， 故选：A. 4．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知：，，：或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题p是真命题，且q是p的必要不充分条件，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求，分和两种情况讨论，即可求解； （2）先求命题p为真命题时，的范围，再由q是p的必要不充分条件即可求解. 【解答过程】（1）：，， ∵是真命题，∴当时，显然成立； 当时，，∴. 综上所述，实数的取值范围是； （2）若为真命题，则当时，则，显然不成立； 当时，，解得或， ∴p为真命题时，或， ∵q是p的必要不充分条件，∴，且， ∴且，即， ∴实数的取值范围是. 5．（25-26高一上·安徽宿州·期中）已知，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）先求出集合A，根据已知条件得是的真子集，列出关于的不等式组即可求解； （2）根据已知条件得是的子集，分析可得.列出关于的不等式，即可求解； （3）由命题“，”是真命题，得.可先求得“时，的取值范围”，再求得“当时，的取值范围”. 【解答过程】（1）集合，集合. 若“”是“”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集. 所以 ，解得. 当时，，符合题意； 所以的取值范围是. （2）若命题“，”是真命题，则集合是的子集. 或. 因为恒成立，所以. 所以或， 解得：或. 所以的取值范围是或. （3）因为“，”是真命题，所以. 当时，因为，所以或，即或. 所以当时，的取值范围是. 所以，若命题“，”是真命题，则的取值范围是. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 常用逻辑用语全章六大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 命题与集合交汇 1．（25-26高二·全国·课后作业）已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高一上·上海·课后作业）是两个集合，则下列命题中真命题是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）命题“若 ，则 ”为__________命题．（填真、假） 5．（25-26高一上·安徽·阶段检测）设集合，. (1)若，命题：，命题，若命题都为真命题，求实数的取值范围； (2)若，求的取值范围. 题型2 充分条件与必要条件中的含参问题 1．（2026高一·全国·专题练习）若是的充分不必要条件，则实数的值不可以是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏泰州·期中）已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海·期中）已知或，或．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是__________． 5．（25-26高一上·重庆铜梁·阶段检测）已知集合，非空集合. (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使得是的必要不充分条件，若存在，求出m取值范围，若不存在，说明理由. 题型3 充分、必要条件与集合交汇 1．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·河北保定·阶段检测）设集合，则B是A的真子集的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东深圳·期末）设集合则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 5．（25-26高一上·河北·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 题型4 全称量词与存在量词中的含参问题 1．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若命题“任意，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一上·湖北·专题练习）已知命题p：，；命题q：，，若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2026高一上·福建厦门·专题练习）若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 5．（25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 题型5 全称量词、存在量词命题与集合交汇 1．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）已知不等式的解集是，则使命题“，”为真命题的集合是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知集合，集合且，命题，，若命题是真命题，则实数的取值范围是____________. 4．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 5．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 题型6 充分、必要条件与全称量词、存在量词命题交汇 1．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知命题：“是的充分不必要条件”；命题：“”．则下列正确的是（    ） A．和都是假命题 B．和都是假命题 C．和都是假命题 D．和都是假命题 3．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知命题的否定是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知：，，：或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题p是真命题，且q是p的必要不充分条件，求实数t的取值范围. 5．（25-26高一上·安徽宿州·期中）已知，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $