3.1 不等式的基本性质（第2课时）教学设计-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该教案聚焦不等式基本性质及推论的应用，通过复习回顾性质并结合作业辨析问题，引导学生自主梳理知识框图，构建从性质理解到比较大小、证明不等式等应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 特色在于融合数学建模与数学运算核心素养，类比等式性质猜测不等式性质培养建模意识，通过作差作商法比较大小、求取值范围等题型训练运算能力。实际问题如糖水浓度、行程问题体现应用价值，变式训练强化易错点，助力学生逻辑推理，为教师提供系统教学资源。

第3章 不等式 3.1 不等式的基本性质（第2课时） ▍教学目标 1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题； 2. 进一步掌握利用作差、作商、综合法等方法比较实数的大小； 3. 通过教学培养学生合作交流的意识，提升学生大胆猜测、乐于探究的良好思维品质． 数学运算：将单项式的范围之一求出，通过相加（将减法转化为加法）或相乘（将除法转化为乘法）求出多项式的取值范围． 数学建模：运用类比思想通过等式的基本性质猜测不等式的基本性质． ▍复习回顾 [教师引导] (1) 常用的不等式的基本性质： 性质1　若，则． 性质2　若，，则． 性质3　若，则． 性质4　若，，则；若，，则． 性质5　若，，则． 性质6　若，，则． 推论　　若，则（）． (2) 对不等式性质的五点说明： 1 性质1（对称性）和性质2（传递性），在它们的证明中，要用到比较大小的“定义”等知识； 2 性质3（可加性）的依据是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”； 3 性质4（可乘性）在使用中要特别注意研究“乘数的符号”； 4 性质5（同向可加性），即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不宜相减”； 5 性质6（同向同正可乘性）及推论（可乘方性），即均为正数的同向不等式相乘可得同向不等式，不宜相除． [学生活动] 教师不宜采用逐条知识点提问，学生集体回答的形式．可以通过辨析作业中反映出的对性质理解不完整的问题，复习对不等式的基本性质．也可以采用提问方式：“上节课，我们学习了不等式的基本性质，请谈谈你对基本不等式相关知识点的理解．” 让学生自主主动回顾所学知识，按照不等式的基本性质分层次理解并表达，有利于学生形成并提取完整的知识框图和相关解题技能． ▍典例精讲 题型一：利用不等式性质化简不等式 【例题1】 求解不等式，并用不等式的性质说明理由． [解析] 不等式两边同时乘以3， 得． （不等式性质4） 两边同加上得． （不等式性质3） 即． 两边同乘以，得． （不等式性质4） 【变式1】 小明同学在化简不等式时，进行了如下变形： ∵，∴，又∵，∴． 你认为正确吗？为什么？ [解析] 不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变．在本题中只知道，不明确值的正负．故不能将与两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘． 题型二：利用不等式性质证明不等式 【例题2】 (1) 已知，，求证：； (2) 已知，，求证：若； (3) 若，，，求证：． [证明] (1) 因为，所以． 因为，所以由不等式的性质3得，即． (2) 因为，所以， 又因为，所以由不等式性质4，得，即． (3) ∵，∴． 又∵，∴，∴． 两边同乘以，得． 又，∴． 方法归纳 (1) 利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质，并注意在解题中灵活、准确地应用； (2) 应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则； (3) 易错点提示：不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变；同向不等式具有可加性，但不能相减；只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘； (4) 利用性质化简不等式的途径不唯一，但是必须在性质指导下进行．利用性质可以证明的不等式，还可以通过作差（作商）证明． 题型三：数（式）大小的比较 【例题3】 (1) 比较两数与和的大小； (2) 如果，，试判断与的大小关系． [提示] 比较两个多项式的大小，有两种方法：作差法、作商法． 将代数式因式分解，并判断其符号，转化为不等式，即可求解． [解析] (1) 因为． 当时，，所以； 当时，，所以． (2) 解法一（作差法）： 因为，所以， 从而，即． 解法二（作商法）： 因为，，所以， 从而，即． 【变式2】 若，，与的大小关系又如何？ [解析] ． ∵，，∴，，， ∴，当且仅当时取等号． [教师引导] 对于，你能有一个更具一般性的猜想吗？ [解析] 若，，，，则． 方法归纳 (1) 作差法比较两个多项式（实数）大小的基本步骤：作差→变形→判断差值的正负→结论； (2) 作商法比较两个多项式（实数）大小的基本步骤：作商→变形→判断分式与1的大小关系→结论； (3) 作差法是比较或证明大小的通性通法，作商法一般适用于比较均为正数的两个式子； (4) 这里的“判断”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等； (5) 若实数的取值范围未定，可能需要分类讨论，如【例题3】(1)中的． 题型四：利用不等式性质求代数式的取值范围 【例题3】 已知，． (1) 求的取值范围； (2) 求的取值范围． [解析] (1) 因为，， 所以，所以． (2) 由，，得，， 所以． 【变式3】 若将本例条件改为，求的取值范围． [解析] 因为，，所以，所以． 又因为，所以，所以． 【变式4】 若将本例条件改为，，求的取值范围． [解析] 设，则 即，又因为，， 所以，， 所以，即． 方法归纳 利用不等式的性质求取值范围的策略： (1) 求含字母的数（或式子）的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，不可强化或弱化成立的条件．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性； (2) 同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．在遇到减法和除法运算时，不等式要改变符号； (3) 建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围． 题型五：利用不等式性质解决实际问题 【例题4】 已知g糖水中含有g糖（），若再加入g糖（）（假设全部溶解），则这杯糖水变甜了（即糖水中含糖浓度更大）． 【问题1】 怎样把这个实际问题抽象为数学问题？ [教师引导] 起初的糖水浓度为，加入g糖后的糖水浓度为， 只要证即可． 【问题2】 能否用数学的方法比较与的大小？如何求证呢？ [解析] 由题意知，，所以，， 则．即． 【变式5】 甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试探究谁先到达教室？ [解析] 设寝室到教室的路程为，步行速度为，跑步速度为，易知， 则甲用时，乙用时， 所以 ． ∴甲用时多，∴乙先到达教室． 方法归纳 利用不等式解决实际问题时的注意点： (1) 对于应用题，主要考察的是抽象与概括等核心素养，解题时首先要认真审题，正确理解题意，确定制约着决策优化的关键量是哪一个，以及在实际问题中变量的实际意义，通过关键量建立“数学模型”，然后再用作差法比较它们的大小即可； (2) 在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一．必须是具有相同性质、可以比较大小的两个量才可用不等式表示，没有可比性的两个量之间不能比较大小． ▍课堂反馈 1． 给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③对于正数，若，则． 其中真命题的序号是________． [解析] 对于①，若，则，又，∴，∴，所以①正确； 对于②，若，，，，则，②错误； 对于③，对于正数，若，则，∴， ∴，又，∴，③正确． [答案] ①③ 2． 若，，且，则下列代数式中值最大的是（　　） A． B． C． D． [解析] 令，，，，则，；．故最大值为A． [答案] A 3． 若，（），则，的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 [解析] ，， 因为， 所以， 所以显然所以． [答案] C 4． 有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是，，，，已知，，，则这四个小球由重到轻的排列顺序是（　　） A． B． C． D． [解析] ∵，， ∴，即． 结合，∴，又，∴． 综上可得． [答案] A 5． 已知，．求和的取值范围． [解析] ∵，∴， ∴，即． 又，∴，即． [答案] ， 6． 已知，，求证：． [证明] 因为，所以， 所以． 又因为，所以． 所以，即， 两边同乘，得． ▍课堂总结 【问题3】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？ [学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，教师引导学生，生生、师生合作共同完成小结． 学科网（北京）股份有限公司 $