第2章 常用逻辑用语（举一反三讲义·基础篇）高一数学苏教版必修第一册

该高中数学讲义通过六大基础题型系统构建常用逻辑用语知识体系，按“概念理解-判定应用-综合探索”递进梳理，用对比表格归纳命题类型、量词特征及条件关系，清晰呈现逻辑联结与重难点分布。 讲义亮点是“情境化分层练习”设计，如结合“大国崛起与小民尊严”考查必要条件判定，培养数学思维中的逻辑推理能力。每个题型配典型例题与变式训练，基础生可掌握命题否定等基础方法，优秀生能深化条件探索等综合应用，支持教师精准教学与学生自主复习提升。

第2章 常用逻辑用语全章六大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版】 题型1 命题的概念及真假判断 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句为命题的是（ ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【答案】D 【解题思路】由命题的定义判断各个选项即可. 【解答过程】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题． A，B，C不能判断真假，所以不是命题. 故选：D. 2．（25-26高一上·四川绵阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 【答案】D 【解题思路】对于选项A，将集合的子集一一列出，即可判断A错误；对于选项B，根据梯形的性质即可判断B错误；对于选项C，取特值，即可判断C错误；对于选项D，取特值，即可判断D正确. 【解答过程】对于A选项，集合的子集包括，，和，共个，故A错误； 对于B选项，仅等腰梯形的对角线相等，一般梯形的对角线并不相等，故B错误； 对于C选项，令，为无理数，则，为有理数，故C错误； 对于D选项，令，为无理数，则，为有理数，故D正确. 故选：D. 3．（25-26高一上·上海·随堂练习）下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 【答案】C 【解题思路】A，根据等边三角形和全等的定义作出判断；B，解不等式得到B错误；C，由对顶角定义判断；D，可举出反例. 【解答过程】A选项，等边三角形的边长不一定相等，故不一定全等，A错误； B选项，若，则或，B错误； C选项，对顶角相等，C正确； D选项，2为偶数，但2为质数，D错误. 故选：C. 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）下列语句是命题的有___________． ①地球是太阳的一个行星；②今天下雨吗；③、都是无理数，则是无理数；④若，则；⑤；⑥求证是无理数． 【答案】①③④ 【解题思路】根据命题的定义进行判断. 【解答过程】②是疑问句，不是命题；⑤中未知数的值未知，无法判断真假，故不是命题； ⑥是祈使句，不是命题，其他均为可以判断真假的陈述句，为命题. 故答案为：①③④. 5．（25-26高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)若，则； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)． 【答案】(1)不是命题； (2)是命题，真命题； (3)不是命题； (4)是命题；真命题； (5)是命题，假命题； (6)不是命题. 【解题思路】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用命题的定义判断各个语句，再判断 命题的真假. 【解答过程】（1）是祈使句，不是命题． （2）因为，，所以可以判断其真假，是命题，而且是真命题． （3）是疑问句，不是命题． （4）是命题，而且是真命题，有的人喜欢吃苹果，有的人不喜欢吃苹果. （5）是命题，而且是假命题，如是有理数，但和都是无理数． （6）不是命题，这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立． 题型2 充分条件、必要条件及充要条件的判定 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】结合区间的包含关系，根据充要条件的判断方法即得. 【解答过程】因是的真子集，故是的充分不必要条件. 故选：A. 2．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解题思路】由得，从而可得成立；由，取，则不成立，即可得答案． 【解答过程】由得，即， 故“”是“”的充分条件； 而由，取，则不成立， 故“”不是“”的必要条件． 故选：A. 3．（25-26高一上·上海闵行·期中）”匈奴未灭，何以家为”是西汉名将霍去病在抗击匈奴获胜后，拒绝汉武帝赏赐府第时所说的豪言壮语．体现出在千百年前中华儿女就明白一个道理，没有一个强大的国家，就没有百姓安定的生活．没有“大国崛起”，就没有“小民尊严”．请问“大国崛起”是“小民尊严”的（　　）条件． A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 【答案】C 【解题思路】由充分、必要条件概念即可判断. 【解答过程】​​没有“大国崛起”，就没有“小民尊严”​​， 这等价于：如果有“小民尊严”，则一定有“大国崛起”. 也就是说：“大国崛起”是“小民尊严”的​​必要条件. 条件中没有说“大国崛起”一定导致“小民尊严”，所以不充分. 因此，“大国崛起”是“小民尊严”的​​必要不充分条件​​.​​ 故选：C.​ 4．（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）＂＂是＂＂的_________条件．（填＂充分不必要＂或＂必要不充分＂或＂充要＂或＂既不充分也不必要＂） 【答案】充分不必要 【解题思路】根据充分不必要条件的定义即可判断. 【解答过程】因为是的真子集，所以＂＂是＂＂的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 5．（25-26高一上·上海·随堂练习）判断下列命题中p是q的什么条件． (1)p：，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形； (3)若，，p：，q：． 【答案】(1)p是q的充分非必要条件； (2)p是q的必要非充分条件； (3)p是q的充要条件． 【解题思路】（1）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. （2）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. （3）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. 【解答过程】（1）因为“”能推出“”，即，但当“”时，如，推不出“”，即，所以是的充分非必要条件； （2）因为“有两个角相等”推不出“是正三角形”，即，但“是正三角形”能推出“有两个角相等”，即，所以是的必要非充分条件； （3）若“”，则“”，即；若“”，则“”，即，故，所以p是q的充要条件． 题型3 充分条件、必要条件及充要条件的探索 1．（25-26高一上·云南昆明·期中）“”的一个必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分析可知：是选项中对应集合的真子集，逐项分析判断即可. 【解答过程】由题意可知：是选项中对应集合的真子集， 结合选项可知是的真子集，故选项A符合. 故选：A. 2．（25-26高一上·新疆阿克苏·阶段练习）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【解答过程】对于A，当时，，故A不符题意； 对于B，当时，，故B不符题意； 对于C，当时，，故C不符题意； 对于D，因为，所以， 若，则， 所以“”的一个充分不必要条件可以是，故D符合题意. 故选：D. 3．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）“”的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求不等式的解集，根据集合的包含关系确定“”的必要不充分条件. 【解答过程】由 . 所以不等式的解集为. 因为，所以“”是“”的充要条件； 因为与集合不存在包含关系，所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 因为⫋，所以：“”是“”的必要不充分条件； 因为⫋，所以“” 是“”的充分不必要条件. 故选：C. 4．（25-26高一上·江苏宿迁·阶段练习）写出“，不等式成立”的一个充分不必要条件 . 【答案】（答案不唯一） 【解题思路】寻找出充要条件，然后根据充分不必要条件的定义得出结论． 【解答过程】，不等式恒成立的充要条件是，即， 充分不必要条件可以写，…． 故答案为：（答案不唯一）． 5．（2026高一·全国·专题练习）若集合，，试写出： (1)的一个既充分也必要条件； (2)的一个必要条件但不是充分条件. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据集合，求出参数的取值范围， （2）由（1）即可求出的一个必要条件但不是充分条件. 【解答过程】（1）（1）因为集合，， 若，则， 故的一个既充分也必要条件是. （2）由（1）知的充要条件是， 所以的一个必要条件但不是充分条件可以是.（答案不唯一）. 题型4 全称量词命题与存在量词命题的判断 1．（2026高一·全国·专题练习）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 【答案】A 【解题思路】根据存在量词命题的概念判断即可. 【解答过程】有些自然数是13的约数，“有些”是存在量词，故A符合题意； 正方形是菱形即所有正方形是菱形，是全称量词命题，故B不符合题意； 能被6整除的数也能被3整除即一切能被6整除的数也能被3整除， 是全称量词命题，故C不符合题意； ，，是全称量词命题，故D不符合题意； 故选：A. 2．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列命题是全称量词命题的是（    ） A． B．存在一个菱形的四条边不相等 C．偶数的平方是偶数 D．有一个数不能做除数 【答案】C 【解题思路】根据全称量词的特征即可求解. 【解答过程】对于A，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意； 对于B，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意； 对于C，命题为：所有偶数的平方是偶数，此命题为全称命题，符题意； 对于D，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意. 故选：C. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 【答案】D 【解题思路】利用全程量词和存在量词的定义，找出命题中对应的量词即可得出ABC为全称量词命题，D选项为存在量词命题. 【解答过程】根据全称量词和存在量词的定义可知， A选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题； B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题； C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题； D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题. 故选：D. 4．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题． (1)所有实数都能使成立； (2)对所有有理数，方程恰有一个实数解； (3)有整数解； (4)存在自然数，使得与的倒数之和等于1． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【解题思路】利用全称量词、存在量词的定义与全称命题与特称命题的定义即可得出结果． 【解答过程】（1）“所有”是全称量词，该命题可表示为：，； （2）“所有”是全称量词，该命题可表示为：，方程恰有一个实数解； （3）“有”是存在量词，该命题可表示为：； （4）“存在”是存在量词，该命题可表示为：． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． 【答案】(1)全称量词命题，符号表示为 (2)存在量词命题，符号表示为 (3)全称量词命题，符号表示为 (4)存在量词命题，符号表示为,的值随的增大而增大． 【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据全称命题、特称命题的定义及形式求解． 【解答过程】（1）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （2）这是存在量词命题，符号表示为； （3）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （4）这是存在量词命题，符号表示为，的值随的增大而增大． 题型5 全称量词命题与存在量词命题的真假 1．（25-26高三·全国·一轮复习）下列命题为真命题的是（    ） A．任意两个等腰三角形都相似 B．所有的梯形都是等腰梯形 C．， D．， 【答案】C 【解题思路】由真命题概念逐个判断即可. 【解答过程】对于A，任意两个等腰三角形不一定相似，比如一个等边三角形和一个等腰直角三角形，故A错误； 对于B，所有的梯形都是等腰梯形是假命题，故B错误； 对于C，因为，，即，故C正确； 对于D，因为，，故D错误． 故选：C. 2．（2026高一上·全国·专题练习）下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是（   ） A． B．若为偶数，则 C．菱形的四条边都相等 D．是无理数 【答案】C 【解题思路】根据全称量词命题的定义以及命题的真假判断，一一判断各选项，即得答案. 【解答过程】对于A，是全称量词命题，但当时，，故是假命题； 对于B，若为偶数，为真命题，但不是全称量词命题； 对于C，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命题； 对于D，是无理数，是真命题，但不是全称量词命题； 故选：C. 3．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （   ） A．， B．有的矩形不是平行四边形 C．， D．， 【答案】C 【解题思路】利用存在量词的概念以及命题的真假即可求解. 【解答过程】ABC均为存在量词命题，D不是存在量词命题，故D不符合题意， 选项A：因为，所以命题为假命题； 选项B：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题； 选项C：，故命题为真命题，故C正确. 故选：C． 4．（25-26高一上·全国·课前预习）下列命题中是假命题的个数为_________． （1）每一个末位是0的整数都是5的倍数； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （3）有些实数是无限不循环小数； （4）存在一个三角形不是等腰三角形． 【答案】0 【解题思路】（1）根据能被5整除的整数的判定方法即可判断出正误；（2）根据线段垂直平分线定理加以判断，可得答案；（3）根据实数的分类即可判断出正误；（4）举例即可判断正误． 【解答过程】（1）若一个整数的末位是0，则它可以被5整除， 故“每一个末位是0的整数都是5的倍数．”是真命题； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等， 根据线段的垂直平分线定理，可知它是真命题； （3）实数包含无理数，而无理数就是无限不循环小数， 故“有些实数是无限不循环小数”是真命题； （4）有的三角形不是等腰三角形，比如三个角分别为的直角三角形， 故“存在一个三角形不是等腰三角形”是真命题． 故假命题的个数为0. 故答案为：0. 5．（2026高一上·全国·专题练习）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)菱形都是轴对称图形； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 【答案】(1)全称量词命题，真命题 (2)存在量词命题，真命题 (3)全称量词命题，假命题 (4)存在量词命题，假命题 【解题思路】利用全称，存在量词命题的定义进行判断，并判断命题的真假. 【解答过程】（1）（3）是全称量词命题，（2）（4）是存在量词命题． （1）菱形对角线所在直线为其对称轴，所以该命题是真命题． （2）存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题． （3）存在，但，所以该命题是假命题． （4）由于，则，由此使得的实数x不存在，所以该命题是假命题． 题型6 命题的否定 1．（25-26高一上·黑龙江·阶段检测）命题“”的否定是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据存在量词命题的否定方法，改变量词，否定结论即可. 【解答过程】命题“”的否定是“”． 故选：． 2．（2026高一上·四川·专题练习）已知命题，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可解答. 【解答过程】由于命题是存在量词命题， 所以，改量词、否定结论后可得是全称命题. 故选：B. 3．（25-26高一上·江西南昌·期中）命题：“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】根据存在量词命题的否定为全称量词命题求解即可. 【解答过程】由存在量词命题的否定方法可知， 命题，的否定是，. 故选：C. 4．（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）命题“”的否定是__________. 【答案】 【解题思路】根据全称命题的否定式特称命题即可得结果. 【解答过程】命题“”的否定是“”. 故答案为：. 5．（25-26高一上·甘肃白银·期中）写出下列命题的否定，并判断真假. (1)正方形都是菱形； (2)； (3)； (4)所有能被2整除的数都是偶数. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【解题思路】根据含有量词的命题的否定写出命题的否定，结合常识及特例判断即可. 【解答过程】（1）否定为：正方形不都是菱形. 正方形都是菱形，故为假命题； （2）否定为：. 当时，，故为假命题； （3）否定为：. 当时，，故为真命题. （4）否定为：存在能被2整除的数不是偶数. 能被2整除的数都是偶数，故为假命题. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 常用逻辑用语全章六大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版】 题型1 命题的概念及真假判断 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句为命题的是（ ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 2．（25-26高一上·四川绵阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 3．（25-26高一上·上海·随堂练习）下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）下列语句是命题的有___________． ①地球是太阳的一个行星；②今天下雨吗；③、都是无理数，则是无理数；④若，则；⑤；⑥求证是无理数． 5．（25-26高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)若，则； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)． 题型2 充分条件、必要条件及充要条件的判定 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（25-26高一上·上海闵行·期中）”匈奴未灭，何以家为”是西汉名将霍去病在抗击匈奴获胜后，拒绝汉武帝赏赐府第时所说的豪言壮语．体现出在千百年前中华儿女就明白一个道理，没有一个强大的国家，就没有百姓安定的生活．没有“大国崛起”，就没有“小民尊严”．请问“大国崛起”是“小民尊严”的（　　）条件． A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 4．（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）＂＂是＂＂的_________条件．（填＂充分不必要＂或＂必要不充分＂或＂充要＂或＂既不充分也不必要＂） 5．（25-26高一上·上海·随堂练习）判断下列命题中p是q的什么条件． (1)p：，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形； (3)若，，p：，q：． 题型3 充分条件、必要条件及充要条件的探索 1．（25-26高一上·云南昆明·期中）“”的一个必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·新疆阿克苏·阶段练习）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）“”的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏宿迁·阶段练习）写出“，不等式成立”的一个充分不必要条件 . 5．（2026高一·全国·专题练习）若集合，，试写出： (1)的一个既充分也必要条件； (2)的一个必要条件但不是充分条件. 题型4 全称量词命题与存在量词命题的判断 1．（2026高一·全国·专题练习）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 2．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列命题是全称量词命题的是（    ） A． B．存在一个菱形的四条边不相等 C．偶数的平方是偶数 D．有一个数不能做除数 3．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 4．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题． (1)所有实数都能使成立； (2)对所有有理数，方程恰有一个实数解； (3)有整数解； (4)存在自然数，使得与的倒数之和等于1． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． 题型5 全称量词命题与存在量词命题的真假 1．（25-26高三·全国·一轮复习）下列命题为真命题的是（    ） A．任意两个等腰三角形都相似 B．所有的梯形都是等腰梯形 C．， D．， 2．（2026高一上·全国·专题练习）下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是（   ） A． B．若为偶数，则 C．菱形的四条边都相等 D．是无理数 3．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （   ） A．， B．有的矩形不是平行四边形 C．， D．， 4．（25-26高一上·全国·课前预习）下列命题中是假命题的个数为_________． （1）每一个末位是0的整数都是5的倍数； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （3）有些实数是无限不循环小数； （4）存在一个三角形不是等腰三角形． 5．（2026高一上·全国·专题练习）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)菱形都是轴对称图形； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 题型6 命题的否定 1．（25-26高一上·黑龙江·阶段检测）命题“”的否定是（ ） A． B． C． D． 2．（2026高一上·四川·专题练习）已知命题，则是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江西南昌·期中）命题：“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）命题“”的否定是__________. 5．（25-26高一上·甘肃白银·期中）写出下列命题的否定，并判断真假. (1)正方形都是菱形； (2)； (3)； (4)所有能被2整除的数都是偶数. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $