第2章 常用逻辑用语（举一反三讲义·培优篇）高一数学苏教版必修第一册

第2章 常用逻辑用语（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版（2019）】 题型1 命题与集合交汇 1．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ① ② A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）设全集，集合A，B是R的两个子集，对于任意，定义，，给出下列两个命题： ①对于任意，都有； ②对于任意，都有. 则（   ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是 ，真命题的序号为 ． 4．（24-25高一上·安徽·阶段练习）设集合，. (1)若，命题：，命题，若命题都为真命题，求实数的取值范围； (2)若，求的取值范围. 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 题型2 充分条件与必要条件中的含参问题 1．（24-25高一上·广东广州·期中）已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知或，或，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 4．（24-25高一上·广东珠海·阶段练习）已知：或，：，：． (1)若是的必要不充分条件，求的取值范围； (2)若是的必要条件，求的最大值． 5．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知． (1)若是的充要条件，求的值； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 题型3 充分、必要条件与集合交汇 1．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·期中）设集合，，则“”是“”的（   ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 3．（24-25高一上·天津西青·阶段练习）已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·浙江温州·阶段练习）已知集合或，或. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不充分条件，求实数的取值范围. 5．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，. (1)当时，求，； (2)从①“”是“”的充分不必要条件；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. 问题：若_______，求实数的取值范围. 题型4 全称量词、存在量词命题中的含参问题 1．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东泰安·期中）已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为 ． 4．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围; (2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 5．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知集合，集合，命题，命题，命题． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题“和有且仅有一个是真命题”是假命题，求实数的取值范围． 题型5 全称量词、存在量词命题与集合交汇 1．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若“”为真命题.“”为假命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知命题“，都有”，且是假命题，则实数的取值范围是 . 4．（24-25高一上·四川成都·期末）已知集合，非空集合. (1)若“命题”是真命题，求的取值范围； (2)若“命题”是真命题，求的取值范围. 5．（24-25高一上·广西南宁·期中）已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 题型6 充分、必要条件与全称量词、存在量词命题交汇 1．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知，命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知命题，使为真命题，则实数m的取值集合为B，若为非空集合，且是的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·全国·周测）设全集，集合，，其中． (1)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 5．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; (3)若，求实数的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 常用逻辑用语（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版（2019）】 题型1 命题与集合交汇 1．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ① ② A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】B 【解题思路】根据集合交并运算，判断集合间包含关系，进而判断命题的真假. 【解答过程】①因为，，所以，真命题， ②当时，，此时，假命题. 故选：B. 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）设全集，集合A，B是R的两个子集，对于任意，定义，，给出下列两个命题： ①对于任意，都有； ②对于任意，都有. 则（   ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】A 【解题思路】根据题意确定，的取值，得出与集合，的关系，判断命题是否正确. 【解答过程】命题①对于任意，都有； 若，则即，,或，，，即， 若，则时即即， 或时即即，故总有， 故命题①为真命题； 命题②对于任意，都有. 若，则，而，故即，故； 若，则当，一定成立，即，此时， 当时，，此时也成立， 故命题②为真命题； 故选：A. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是 ，真命题的序号为 ． 【答案】③；①④ 【解题思路】首先根据命题是可以判断真假的陈述句，来判断出是否为命题，如果判断为真，即为真命题，如果判断为假，即为假命题． 【解答过程】①空集是任何集合的子集，是真命题； ②任何集合都有真子集吗？不是陈述句，不是命题； ③一个数不是正数就是负数，还可以是0，是假命题； ④德国数学家康托是集合论的创始人，是真命题； ⑤公共场所请戴好口罩！不是陈述句，不是命题； 故答案为：③；①④． 4．（24-25高一上·安徽·阶段练习）设集合，. (1)若，命题：，命题，若命题都为真命题，求实数的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）当时，，再根据条件，求集合与集合的交集，即可求解； （2）根据条件，得到，再分和两种情况讨论，即可求解. 【解答过程】（1）若时，，又， 若为真，则，若为真，则， 因为都为真命题，所以的取值范围为. （2）因为，所以. 当时，有，即，满足题意； 当时，有，解得. 综上可知，m的取值范围为或. 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）根据条件，利用集合的运算结果得到，即可求解； （2）利用，将问题转化成或集合中元素是非正数，从而通过方程的解，求得，即可求解； （3）利用（1）和（2）中结果，分命题甲是真命题，命题乙是假命题和命题甲是假命题，命题乙是真假命题两种情况，即可求解. 【解答过程】（1）因为，又， 所以，解得， 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为. （2）因为，且，则或集合中元素是非正数， 又，所以中元素是方程的解， 当时，，解得， 当集合中元素是非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得， 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为. （3）当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，，得到， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，或，得到， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数的取值范围为或. 题型2 充分条件与必要条件中的含参问题 1．（24-25高一上·广东广州·期中）已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】令或，，是的充分不必要条件可得真包含于，可求解. 【解答过程】令或，， 因是的充分不必要条件，可得真包含于， 可得. 故选：D. 2．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】当时，求出，由题意求得的范围. 【解答过程】根据题意，当时，， 则， 因为成立的充分条件是， 所以. 故选:B. 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知或，或，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】根据必要非充分条件，转化为子集关系，即可求解. 【解答过程】因为是的必要非充分条件， 设集合 或，或，, 当，得时，此时成立，，成立， 当时，即时，再满足，得：，此时的取值为， 所以 故答案为：. 4．（24-25高一上·广东珠海·阶段练习）已知：或，：，：． (1)若是的必要不充分条件，求的取值范围； (2)若是的必要条件，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据充分条件与必要条件的定义列不等式，即可得参数范围； （2）写出，再结合必要条件的定义列不等式，即可得参数最值. 【解答过程】（1）设命题与表示的集合分别为和， 即或，， 又是的必要不充分条件， 则， 所以， 即； （2）设命题表示的集合为， 则， 又命题表示的集合为， 是的必要条件， 所以， 则，解得， 又， 所以， 即的最大值为. 5．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知． (1)若是的充要条件，求的值； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据充要条件知，不等式的解集相同，建立方程得解； （2）由充分不必要条件可化为，解不等式得解. 【解答过程】（1）因为是的充要条件， 所以， 解得. （2）因为是的充分不必要条件， 所以， 即，解得， 所以的取值范围. 题型3 充分、必要条件与集合交汇 1．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分集合是否为空集讨论即可，当时，由集合间的包含关系求出； 【解答过程】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是， 故选：A. 2．（24-25高一上·上海·期中）设集合，，则“”是“”的（   ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【解题思路】先举反例说明充分性不成立，再证必要性成立即可. 【解答过程】先看充分性：若，，则，不是奇数，故不成立； 所以“”是“”的不充分条件； 再证必要性：因为，所以，故“”是“”的必要条件. 综上：“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 3．（24-25高一上·天津西青·阶段练习）已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】通过集合关系即可求解. 【解答过程】由是成立的一个充分不必要条件， 可知：， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 4．（24-25高一上·浙江温州·阶段练习）已知集合或，或. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）当时，得到，结合并集的概念，即可求解； （2）根据题意，转化为是的真子集，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解； （3）根据题意，转化为是的真子集，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】（1）解：当时，或，所以. （2）解：因为是的必要不充分条件，可得是的真子集， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. （3）解：因为是的充分不充分条件，可得是的真子集， ①当时，即时，此时，符合题意； ②当时，即时，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 5．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，. (1)当时，求，； (2)从①“”是“”的充分不必要条件；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. 问题：若_______，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2)答案见解析 【解题思路】（1）由集合的交并补混合运算求解即可； （2）选①，由题意得到是的真子集，再分集合是否为空集讨论即可；选②，因为，所以，再分集合是否为空集讨论即可；选③，，所以，再分集合是否为空集讨论即可； 【解答过程】（1）当时，，又， ∴， 又或 ， ∴或； （2）选①，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 若，则，解得； 若，则且等号不能同时成立，解得， 综上，或，即的取值范围为 选②，因为，所以，下同选①. 选③，，所以，下同选①. 题型4 全称量词与存在量词中的含参问题 1．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可. 【解答过程】因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题； 因为集合，集合， 所以，当时，即时，成立， 当时， 由“，”得，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A. 2．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出为真命题时的范围，进一步可得答案． 【解答过程】由，得， ，， 则当时，取最小值2，所以， 命题，则，即， 若命题均为假命题，则且，即， ∴实数的取值范围为． 故选：B. 3．（24-25高一上·山东泰安·期中）已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【解题思路】先求出命题、分别为真命题时实数的取值范围，然后分真假，或假真两种情况可求得结果. 【解答过程】由命题为真命题，得，解得， 由命题为真命题，得，解得， 因为命题、一真一假，所以真假，或假真， 当真假时，，得， 当假真时，，得， 综上，或. 故答案为：或. 4．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围; (2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）为真命题，则方程有实数根，分与两种情况讨论即可. （2）由一元二次不等式恒成立求得当命题为真命题时的范围，利用交集运算求解即可. 【解答过程】（1）若命题为真命题，则关于的方程有实数根， 当时，有实数根， 当时，则，解得且， 综上，实数的取值范围为 （2）命题为真命题，则，不等式恒成立， 当时，， 则，解得 当真假时，有，则或； 当假真时，有，则解集为： 综上，或， 故实数m的取值范围为 5．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知集合，集合，命题，命题，命题． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题“和有且仅有一个是真命题”是假命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意确定，即可求解； （2）通过真真和假假两种情况讨论即可求解. 【解答过程】（1）因为命题为真命题，所以，故，故， 于是．因为，所以，即． （2）①为真命题时，则，由于，所以，故， 于是．由知，所以； ②命题为真命题时， （i）时，，符合题意； （ii）时，，即，此时且； 故命题为真命题时，有； 由命题“和有且仅有一个是真命题”是假命题可知， 由两种情况：真真和假假， 所以，当真真时a不存在；当假假时． 综上所述，实数的取值范围． 题型5 全称量词、存在量词命题与集合交汇 1．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可. 【解答过程】因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题； 因为集合，集合， 所以，当时，即时，成立， 当时， 由“，”得，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A. 2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若“”为真命题.“”为假命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据命题的真假确定集合中的元素具有的性质，得正确结论． 【解答过程】“”为真命题，， 因此做这个中含有 上的数， “”为假命题，则中有不小于2的元素， 只有C选项的集合M满足题意. 故选：C． 3．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知命题“，都有”，且是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】根据是假命题，则是真命题.进而得到，根据集合之间的包含关系构造不等式组，计算即可. 【解答过程】是假命题，则是真命题. 由于，都有， 则. 可得 . 实数的取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高一上·四川成都·期末）已知集合，非空集合. (1)若“命题”是真命题，求的取值范围； (2)若“命题”是真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据且列不等式组求解； （2）由求解． 【解答过程】（1）解得，则， “命题”是真命题，且， ，解得; （2）； 由为真，则， . 5．（24-25高一上·广西南宁·期中）已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1). (2)或. 【解题思路】（1）根据为真命题列不等式，由此求得的取值范围. （2）求得均为假命题时的取值范围，进而求得命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围. 【解答过程】（1）若为真命题，则， 所以， 所以. （2）当为假命题时，即“ ”为真命题， 所以，所以的取值范围为， 由（1）知命题为假命题时，的取值范围为. 所以当均为假命题时的取值范围为， 所以当命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围为或. 题型6 充分、必要条件与全称量词、存在量词命题交汇 1．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用全称命题为真命题求出，再利用必要不充分条件性质即可求解. 【解答过程】由命题“，”为真命题可得恒成立， 即可得； 可推得，而推不出，即只有A符合题意； 故选：A. 2．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知，命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据“，”求的取值范围，再根据充分不必要条件的判定方法进行选择. 【解答过程】因为“，”， ， 所以，所以. 结合选项及充分不必要条件知“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 3．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知命题，使为真命题，则实数m的取值集合为B，若为非空集合，且是的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】先求出集合B，再利用充分不必要条件转化为是的真子集，利用集合关系解题即可. 【解答过程】由题意，可知关于x的方程无实数根， 所以，解得，即， 因为为非空集合，所以，即， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，即，所以． 故答案为：． 4．（24-25高一上·全国·周测）设全集，集合，，其中． (1)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【解题思路】（1）根据条件可知，列不等式，即可求解； （2）首先求当时的取值范围，再求其补集. 【解答过程】（1）， “”是“”的必要而不充分条件， ， ，解得， 即实数的取值范围为； （2）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 5．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据已知条件得是的真子集，列不等式组即可求解； （2）根据已知条件得是的子集，讨论和，列不等式组即可求解； （3）讨论和，列不等式组即可求解. 【解答过程】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集， 当时，，得； 当时，，不等式组无解， 综上实数的取值范围为； （3）若， 当时，，得； 当时，或，解得或无解， 综上， 所以实数的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$