2.2 基本不等式讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦基本不等式核心知识点，从定义（成立条件与取等条件）、证明（几何面积法与代数法）、几何意义（算术与几何平均数关系），到求最值条件（一正二定三取等）、变形拓展，再到十大重难点题型（如配凑法、“1”的代换、实际应用等），构建递进式学习支架。 该资料融合几何直观与代数推理，通过几何面积法、圆的几何意义培养数学眼光，题型分类（如配凑法、恒成立问题）提升数学思维，实际应用问题（如生产速度优化）强化数学语言的模型意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，巩固知识应用能力。

专题2.2 基本不等式 【知识点一、基本不等式】 1.对公式及的理解. （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. 【知识点二、基本不等式的证明】 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 【知识点三、基本不等式的几何意义】 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 知识点诠释： 在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 【知识点四、利用基本不等式，求最大值或最小值】 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 【知识点五、基本不等式的变形或拓展】 1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）． 2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）； (3)若,则（当且仅当时取“=”）． 3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 5．一个重要的不等式链：． 6．函数图象及性质 (1)函数图象如右图所示： (2)函数性质： ①值域：； ②单调递增区间：；单调递减区间：． 7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”； (2)求最值的条件“一正,二定,三相等”； (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 重难点题型1 基本不等式的简单应用 条件和问题之间存在基本不等式的关系 转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值． 乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值． 1．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为（均大于零），则（    ） A． B． C． D． 2．已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 3．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 4．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________． 5．（25-26高一下·云南普洱·期末）已知，则的最小值为_________． 重难点题型2 基本不等式求和的最小值 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 2．（25-26高一上·河北唐山·期中）当（   ）时，函数取得最小值． A．1 B．1 C．1 D．2 3．（25-26高二下·河北保定·阶段检测）已知点满足，则的最小值为（ ） A． B． C．16 D．不存在 4．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知，均为正数，若，则最小值为________. 6．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知，，若，则的最小值为________． 重难点题型3 基本不等式求积的最大值 1．（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知，代数式取最小值时的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 3．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值是__________． 5．（25-26高一上·贵州黔东南·期末）已知都是正实数，若，则的最大值为___________． 6．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若，则的最大值是__________. 7．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知正实数、满足，则的最大值为______. 重难点题型4 与、平方和、有关问题的最值 1．（25-26高二下·福建三明·期中）已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 2．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设正实数满足，则（ ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最大值4 D．有最小值 4．（25-26高二下·河北沧州·期末）（多选题）已知正实数a，b满足，则（    ） A．ab的最大值为8 B．的最小值为32 C．的最小值为 D．的最大值为 5．（2025高一上·安徽·竞赛）（多选题）若，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为1 6．（25-26高二下·山西运城·期末）（多选题）已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 重难点题型5 基本不等式变形技巧：配凑法 将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值. 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键。 利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： （1）配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； （2）代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； （3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 1．（25-26高一下·河南信阳·期中）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 2．（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 3．当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 4．已知，则使得取得最小值时x的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D．±2 5．若使得不等式成立，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 6．设实数满足，则函数的最大值是________________ 7．函数取得的最小值时，的值为___________． 重难点题型6 基本不等式变形技巧：“1”的代换 1、若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数. 模型1：已知正数满足，求的最小值。 模型2：已知正数满足求的最小值。 2、常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： （1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)； （2）把确定的定值(常数)变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值． 1．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知 ，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D．4 2．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 3．（2026·河北沧州·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西商洛·二模）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知x，y均为正数，满足，则的最小值为______． 6．（25-26高三下·广东江门·开学考试）设正数满足，则的最小值为_____． 7．（25-26高一上·天津·期末）已知，且，则的最小值为___________． 重难点题型7 基本不等式的恒成立问题 1．（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江苏镇江·阶段检测）已知正实数x，y满足时，有恒成立，则的最大值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 3．（24-25高三下·重庆·阶段检测）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·辽宁大连·阶段检测）若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 6．（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 7．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是_______． 重难点题型8 基本不等式的实际应用 1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题． 2、注意定义域，验证取得条件． 3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等． 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川·期中）“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是___个∕时． 3．（25-26高一上·重庆·阶段检测）某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则的最小值是______万元． 4．（25-26高一上·广西河池·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 重难点题型9 基本不等式的证明问题 1．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知，， (1)比较与大小； (2)证明： 2．（25-26高一上·河北保定·期中）（1）已知，证明： ； （2）已知a，b均不为0，且，试比较与的大小； （3）已知，证明：若，，，则x，y，z中至少有一个不小于0. 3．（25-26高一上·青海·阶段检测）（1）已知，求的最大值． （2）当时，求的最小值； （3）已知都是正数，且，求证：． 4．（25-26高一上·海南儋州·阶段检测）已知实数满足. (1)比较与的大小关系； (2)若，求的最小值； (3)求证：. 5．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）（1）已知，，，试比较与大小，并用分析法证明． （2）已知正数，求证权方和不等式：，并说明取等条件． （3）已知，求证：成立的充要条件是． 6．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）（1）已知正实数，且，求证：． （2）已知正实数，且，求证： （3）已知，都是正数，且，求证：． 重难点题型10 综合应用 1．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知正实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 2．已知，若，则的最大值为（ ） A．2 B． C．4 D． 3．（25-26高一上·上海·期中）若正实数a，b满足，则的最小值是________． 4．（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知，，则的最小值为_________. 5．若实数a，b满足，则的最小值为________． （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 2．（25-26高二下·天津南开·期末）已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·辽宁大连·期中）若，，且，则（    ） A．有最小值144 B．有最大值288 C．有最小值 D．有最小值 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 7．（25-26高一上·天津南开·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 8．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ）    A． B． C． D． 9．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知正数，，满足，则当取最大值时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（24-25高二下·江苏徐州·期末）（多选题）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B． C．的最小值为 D．的最小值为 11．（25-26高一下·海南海口·期中）（多选题）已知，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为9 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题 12比较大小：________2(填“”“”“”或“”)． 13．（2026·安徽·模拟预测）已知，，且，则的最小值为________． 14．（2026高二下·天津南开·学业考试）若实数满足，则的最大值为________． 15．（2026高一·全国·专题练习）若，则函数的最小值为_____. 16．（25-26高一上·上海·阶段检测）若对恒有，则的取值范围是_____ 17．（2026高一·全国·专题练习）已知，则的最小值为____. 18．（25-26高一上·上海·期末）已知，且，则的最小值为___________． 19．（25-26高一上·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 20．（25-26高一上·广西桂林·期中）如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________ 21．（25-26高一上·北京通州·阶段检测）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元／件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元／件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为______元． 22．（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）若，，，则的最小值为________. 四、解答题 23．（25-26高一上·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 基本不等式 【知识点一、基本不等式】 1.对公式及的理解. （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. 【知识点二、基本不等式的证明】 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 【知识点三、基本不等式的几何意义】 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 知识点诠释： 在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 【知识点四、利用基本不等式，求最大值或最小值】 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 【知识点五、基本不等式的变形或拓展】 1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）． 2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）； (3)若,则（当且仅当时取“=”）． 3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 5．一个重要的不等式链：． 6．函数图象及性质 (1)函数图象如右图所示： (2)函数性质： ①值域：； ②单调递增区间：；单调递减区间：． 7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”； (2)求最值的条件“一正,二定,三相等”； (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 重难点题型1 基本不等式的简单应用 条件和问题之间存在基本不等式的关系 转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值． 乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值． 1．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为（均大于零），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由基本不等式比较大小、基本不等式的实际应用 【分析】根据题意有，进而有，再应用基本不等式，即可比较大小. 【详解】由题意且， 则由基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号，故. 故选：B 2．已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由基本不等式证明不等关系、由基本不等式比较大小 【详解】，当且仅当时，等号成立，故. 3．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由基本不等式比较大小、作差法比较代数式的大小 【分析】根据不等式以及基本不等式的性质，结合作差法判断各选项． 【详解】因为，可得， 因为， 所以，即， 因为， 所以，即， 所以． 故选：D． 4．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由基本不等式比较大小 【分析】求得关于的表达式，结合基本不等式比较出两者的大小. 【详解】依题意， 所以， 所以，当且仅当时等号成立. 故答案为： 5．（25-26高一下·云南普洱·期末）已知，则的最小值为_________． 【答案】 【难度】0.88 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式对正项和放缩，验证等号成立条件即可求得最小值. 【详解】已知，因此，， 根据基本不等式可得： 当且仅当，即时等号成立， 因此的最小值为. 重难点题型2 基本不等式求和的最小值 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求得. 【详解】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为． 2．（25-26高一上·河北唐山·期中）当（   ）时，函数取得最小值． A．1 B．1 C．1 D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【详解】依题意，，，当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数取得最小值. 3．（25-26高二下·河北保定·阶段检测）已知点满足，则的最小值为（ ） A． B． C．16 D．不存在 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】，当且仅当等号成立. 4．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 5．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知，均为正数，若，则最小值为________. 【答案】 【难度】0.7 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】利用均值不等式求解即可. 【详解】已知，对已知等式变形得. 将上式代入中化简得. 由基本不等式得， 因此，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 6．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知，，若，则的最小值为________． 【答案】 【难度】0.55 【知识点】基本不等式求和的最小值 【详解】由题意，，则， 令，， 则， 等号成立时，即，， 故的最小值为. 重难点题型3 基本不等式求积的最大值 1．（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立. 的最大值为 2．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知，代数式取最小值时的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式求积的最大值 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出取得最小值的条件即可得解. 【详解】由，得，则，当且仅当时取等号， 因此，当且仅当且时取等号， 由，解得，因此当时，取得最小值8， 所以. 故选：B 3．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用基本不等式可求的最大值. 【详解】由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为. 故选：A. 4．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【答案】4 【难度】0.75 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求积的最大值 【详解】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. 5．（25-26高一上·贵州黔东南·期末）已知都是正实数，若，则的最大值为___________． 【答案】/0.75 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】由基本不等式求得结果. 【详解】，所以，当且仅当时，取等号， 所以的最大值为， 故答案为： 6．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若，则的最大值是__________. 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】根据基本不等式和为定值求解最值即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值是3. 故答案为：3. 7．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知正实数、满足，则的最大值为______. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】正实数、满足，则，即， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值. 故答案为： 重难点题型4 与、平方和、有关问题的最值 1．（25-26高二下·福建三明·期中）已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【难度】0.55 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式求积的最大值、基本（均值）不等式的应用 【分析】由得，利用基本不等式逐项验证即可求解. 【详解】由，所以，即， 又，所以，所以，即的取值范围为，故A错误； 由在单调递增，所以，所以无最小值，故B错误； 由， 当时，即时，等号成立，所以的最小值为，故C错误； 由，当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 2．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设正实数满足，则（ ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】对于ABC：利用基本不等式运算求解即可；对于D：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为正实数满足. 对于选项A：因为，即，解得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值是，故A错误； 对于选项B：因为，即，可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于选项D：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误. 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最大值4 D．有最小值 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据基本不等式及“1”的妙用分别判断各选项即可． 【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时，等号成立，故C错误； 对于D，因为，所以， 当且仅当时等号成立，故D错误． 4．（25-26高二下·河北沧州·期末）（多选题）已知正实数a，b满足，则（    ） A．ab的最大值为8 B．的最小值为32 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本（均值）不等式的应用 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以ab的最大值为8，故A正确； 因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为32，故B正确； 因为，所以． 因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为1，故C错误； 因为，所以．因为，所以，故D正确． 5．（2025高一上·安徽·竞赛）（多选题）若，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为1 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据基本不等式即可判断ABC，根据二次函数的性质判断D. 【详解】对于A，由，得，即，所以，当且仅当时，等号成立，A正确； 对于B，，当且仅当时，等号成立，B正确； 对于C，由，则， 当且仅当，即，时，等号成立，C正确； 对于D，由，则，所以，即， ，无最大值，D错误． 6．（25-26高二下·山西运城·期末）（多选题）已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】ACD 【难度】0.27 【知识点】条件等式求最值、基本（均值）不等式的应用 【分析】将题设等式化成，可判断A项；将代入，利用基本不等式可判断B项；再将其化成，可利用基本不等式判断C项；将代入，利用换元后，利用基本不等式判断D项. 【详解】对于A，由去分母，整理得，因，， 则，且，因，则有，故A正确； 对于B，由A得，则， 因，则，当且仅当， 即时取等号，此时的最小值为，故B错误； 对于C，由去分母，得，即得， 因，，则，当且仅当时等号成立， 由解得，即当时，取得最小值为2，故C正确； 对于D，由A得，代入，得， 设，则， 当且仅当，即，也即时，等号成立，此时取得最小值，故D正确. 重难点题型5 基本不等式变形技巧：配凑法 将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值. 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键。 利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： （1）配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； （2）代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； （3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 1．（25-26高一下·河南信阳·期中）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、对勾函数求最值 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 2．（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对勾函数求最值 【分析】根据对勾函数的性质可得最小值. 【详解】由，令，则. ，由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增， 所以时，函数. 故函数的最小值为. 故选：C. 3．当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】对勾函数求最值、基本（均值）不等式的应用 【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决. 【详解】因为，所以， 当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B． 4．已知，则使得取得最小值时x的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D．±2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对勾函数求最值 【分析】把化为，从而利用基本不等式即可. 【详解】解：， 当且仅当，即时取等号． 故选：C. 5．若使得不等式成立，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、对勾函数求最值 【分析】由题意知只需即可. 【详解】由题意知使得不等式成立，只需即可，当时，故 当且仅当即时取“=”，故 故应选：A 6．设实数满足，则函数的最大值是________________ 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】对勾函数求最值 【分析】根据基本不等式凑乘积为定值，即可得所求函数的最大值. 【详解】因为，所以中，， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 7．函数取得的最小值时，的值为___________． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、对勾函数求最值 【分析】将函数化成的形式，然后用均值不等式可求出答案. 【详解】.当且仅当，即时， 等号成立.故的最小值为6. 故答案为：4 重难点题型6 基本不等式变形技巧：“1”的代换 1、若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数. 模型1：已知正数满足，求的最小值。 模型2：已知正数满足求的最小值。 2、常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： （1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)； （2）把确定的定值(常数)变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值． 1．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知 ，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】借助基本不等式“1”的活用计算即可得. 【详解】由，则、， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 2．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】采用“1”的代换构造基本不等式适用形式，求解目标式的最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即，结合解得当且仅当，时取等号， 因此的最小值为9. 3．（2026·河北沧州·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，当且仅当时，等号成立. 4．（2026·陕西商洛·二模）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】由，，，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为9. 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知x，y均为正数，满足，则的最小值为______． 【答案】25 【难度】0.71 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用“的代换”的方法，结合基本不等式，求得的最小值. 【详解】． 当且仅当且，即时取等号， 所以． 6．（25-26高三下·广东江门·开学考试）设正数满足，则的最小值为_____． 【答案】/ 【难度】0.75 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据已知，应用“1”的代换及基本不等式求目标式的最小值. 【详解】由题设，， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为. 7．（25-26高一上·天津·期末）已知，且，则的最小值为___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据给定条件可得，根据“1”的妙用结合基本不等式求解作答. 【详解】因为，，且，则， 可得， 当且仅当时等号成立，结合可得，当且仅当时等号成立， 所以取得最小值. 故答案为：. 重难点题型7 基本不等式的恒成立问题 1．（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、基本不等式的恒成立问题 【分析】先对不等式进行变形，然后利用已知条件，将其转化为关于的函数，再通过均值不等式求函数的最值来确定实数的取值范围. 【详解】令，则代入得， 将代入原不等式，得， 两边同时除以，得， 把代入，得， 即， 由均值不等式可得，，当且仅当，即时等号成立，， 恒成立， 故实数的取值范围为. 故选：. 2．（25-26高三上·江苏镇江·阶段检测）已知正实数x，y满足时，有恒成立，则的最大值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题 【分析】将问题转化为，进而根据基本不等式求的最小值即可得答案. 【详解】因为正实数x，y满足， 所以，， 当且仅当时，等号成立，即时，等号成立， 因为正实数x，y满足时，有恒成立， 所以，即， 所以，的最大值为. 故选：C 3．（24-25高三下·重庆·阶段检测）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式求积的最大值 【分析】条件转化为恒成立，再利用基本不等式求右侧的最大值，即可求得参数范围. 【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号，故. 故选：A 4．（25-26高一上·辽宁大连·阶段检测）若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的恒成立问题 【分析】将转化为，然后根据基本不等式得到，最后列不等式求的范围即可. 【详解】∵，则， 原题意等价于对任意恒成立， 由，，则， 可得， 当且仅当，即时取得等号， ∴，解得． 故正实数的取值集合为. 故选：A． 5．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 【答案】9 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为，，且， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 因为恒成立，所以， 所以实数的最大值是9. 故答案为：9 6．（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的恒成立问题 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 7．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是_______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题 【分析】由题意得到，再结合基本不等式求得最小值，进而可求解； 【详解】恒成立，即， ，当且仅当时取等号， 所以， 即， 解得：， 所以实数t的取值范围是， 故答案为： 重难点题型8 基本不等式的实际应用 1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题． 2、注意定义域，验证取得条件． 3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等． 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式的实际应用 【分析】根据题意列出方程，然后利用基本不等式求解可得结果. 【详解】由题意得，，则， 因为，即 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：B. 2．（25-26高一上·四川·期中）“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是___个∕时． 【答案】60 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的实际应用 【分析】列出全程生产成本的表达式并结合基本不等式即可求解． 【详解】生产速度为x（个∕时）（），生产时间为小时， 则全程生产成本， ，当时，即等号成立， 综上，当该公司全程生产成本最低时，生产速度为60个/时． 故答案为：60． 3．（25-26高一上·重庆·阶段检测）某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则的最小值是______万元． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的实际应用 【分析】由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】因为不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元， 则，又由题可得. 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 4．（25-26高一上·广西河池·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 【答案】(1) (2)万元. 【难度】0.65 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、基本不等式的实际应用 【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，等号成立时， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 重难点题型9 基本不等式的证明问题 1．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知，， (1)比较与大小； (2)证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由基本不等式证明不等关系、作差法证明不等式 【分析】（1）利用作差法，化简表达式，然后根据其符号判断该表达式的正负即可比较大小. （2）根据基本不等式的性质，将化简成，同理可得，从而证之. 【详解】（1） 由知，因此. （2）证明：由题设，及基本不等式知， . 同理，， ，即. 即：. 2．（25-26高一上·河北保定·期中）（1）已知，证明： ； （2）已知a，b均不为0，且，试比较与的大小； （3）已知，证明：若，，，则x，y，z中至少有一个不小于0. 【答案】 （1）因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； 可得，当且仅当时，等号成立； 又因为， 即， 可得， 所以，当且仅当时，等号成立； （2）若，则；若，则； （3）假设x，y，z中均小于0， 因为 ， 当且仅当时，等号成立， 这与相矛盾，假设不成立， 所以x，y，z中至少有一个不小于0. 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小、由基本不等式证明不等关系、反证法证明 【分析】（1）根据题意结合基本不等式分析证明即可； （2）作差整理可得，结合题意分类讨论判断； （3）利用反证法，假设x，y，z中均小于0，整理可得，推出矛盾即可得结果. 【详解】（1）略 （2）因为， 且，则，，可得， 若，则，即； 若，则，即； （3）略 3．（25-26高一上·青海·阶段检测）（1）已知，求的最大值． （2）当时，求的最小值； （3）已知都是正数，且，求证：． 【答案】（1）8，（2）6，（3）证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】由基本不等式证明不等关系、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）利用“配凑法”，即可由不等式求解. （2）将看作整体进行变形，再利用基本不等式的性质即可得解； （3）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. 【详解】（1）由于，则， ， 当且仅当，即时取到等号，此时函数取得最大值为8. （2），， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当时，函数的最小值为6. （3），且，      ， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 4．（25-26高一上·海南儋州·阶段检测）已知实数满足. (1)比较与的大小关系； (2)若，求的最小值； (3)求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由基本不等式证明不等关系、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）根据基本不等式及不等式的性质比较大小即可； （2）根据基本不等式求出最值，再由不等式的性质得解； （3）原不等式转化为，再化简后由基本不等式及不等式的性质得证. 【详解】（1）因为， 所以，，， 所以， 当且仅当时，取等号. （2）由可得，当且仅当时等号成立， 所以，所以， 所以， 故的最小值为. （3）要证， 只需证， 即证， 因为，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立. 所以成立. 5．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）（1）已知，，，试比较与大小，并用分析法证明． （2）已知正数，求证权方和不等式：，并说明取等条件． （3）已知，求证：成立的充要条件是． 【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析，且同号；（3）证明见解析 【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明、由基本不等式证明不等关系、分析法证明、权方和不等式 【分析】（1）直接利用分析法证明的方法，即可求解； （2）利用基本不等式，可得，即可求解； （3）利用充要条件的证明方法，即可求解. 【详解】（1），分析法证明如下， 要证明，即，即证明， 又，则，即证明， 即，也即，即证明，显然成立. （2）因为为正数， 则， 当且仅当，即且同号时取等号， 又为正数，则，当且仅当且同号时取等号. （3）先证明充分性，因为，则，所以， 即， 必要性，因为，则，又， 所以，即，故成立的充要条件是. 6．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）（1）已知正实数，且，求证：． （2）已知正实数，且，求证： （3）已知，都是正数，且，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由基本不等式证明不等关系、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. （2）根据题设及基本不等式易得，，，将这三个式子相加即可求证. （3）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. 【详解】（1）由均为正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故. （2）由均为正实数，且， 则，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以， 则，当且仅当时等号成立. （3）由均为正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故. 重难点题型10 综合应用 1．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知正实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式对进行变形，然后结合的取值范围求解其最小值. 【详解】由基本不等式，可得， 要使下界最小，只需分母最大，分子最小即可，即， 此时， 验证等号条件，，即，当时，， 即，满足条件，故的最小值为. 故选：B. 2．已知，若，则的最大值为（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】条件等式求最值 【分析】由条件可得，利用基本不等式，即可得出结论． 【详解】根据题意可得， 又，故 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为4. 故选：C. 3．（25-26高一上·上海·期中）若正实数a，b满足，则的最小值是________． 【答案】/0.25 【难度】0.42 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用换元法和分离常数的思路将式子整理为，然后根据“1”的运用求最值. 【详解】由题意得， 令，，则，，， ， 当且仅当，即，时等号成立. 4．（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知，，则的最小值为_________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】解法一：设，，则，，可得出，结合基本不等式求解即可； 解法二：由基本不等式可得，，再利用不等式的可加性可得出的最小值. 【详解】法一：设，，则，， 则. 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 故的最小值为； 法二：因为，，则，， 由基本不等式可得， ， 上述两个不等式相加可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以的最小值为. 5．若实数a，b满足，则的最小值为________． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的应用 【分析】由题意设，则，可得，，化简所求利用基本不等式即可求解. 【详解】因，则，即， 令，则，可得，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由基本不等式比较大小 【分析】分别设两次加油的单价，计算全程的均价，结合基本不等式比较大小即可判断. 【详解】设第一次加油的单价为元/升，第二次加油的油单价为元/升， 则方案一的均价：，当且仅当时等号成立； 方案二的均价：，当且仅当时等号成立； 又两次加油单价不同， 则方案一的均价，方案二的均价， 所以， 故选：A. 2．（25-26高二下·天津南开·期末）已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【详解】由题可知，已知， 则，， 由基本不等式得：， 当且仅当“”，即“，”时取“”. 3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】基本不等式求积的最大值 【详解】由得，于是， 当且仅当，即，时，等号成立. 4．（25-26高一上·辽宁大连·期中）若，，且，则（    ） A．有最小值144 B．有最大值288 C．有最小值 D．有最小值 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式求积的最大值 【分析】A选项根据基本不等式，结合已知条件求出的最大值；B选项根据基本不等式，结合已知条件求出的最小值；C选项将进行变形，然后利用基本不等式求出其最小值；D选项对进行展开，结合的取值范围求出的最大值. 【详解】对于A选项，，，，， 当且仅当时等号成立，的最大值为.故A错误； 对于B选项，，，，， ，当且仅当时等号成立， 的最小值为.故B错误； 对于C选项，，，，， 由A选项可知，，，，即， 当且仅当时等号成立，的最小值为.故C正确； 对于D选项，，，，， 由A选项可知，，，，即， ，的最大值为， 当且仅当时等号成立.故D错误. 故选：C. 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求积的最大值 【分析】根据基本不等式可得，求得，由可求得最小值. 【详解】由于，即， 则，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为18， 所以有， 所以的最小值为，此时. 6．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先根据条件，变形为，然后用常数代换思想 ，利用均值不等式求解最小值. 【详解】已知，则， ， 当且仅当时，即时取等号，联立 解得，满足 为正实数，等号能够取到，所以最小值为. 7．（25-26高一上·天津南开·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题 【分析】同分后借助立方和公式因式分解，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】，，恒成立， 而 ， 当且仅当时，等号成立，则，故的最大值为. 故选：C. 8．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的内容及辨析、基本不等式的实际应用 【分析】由题知，结合及，即可求解. 【详解】因为，点在直径上，不妨设点在线段上，如图所示， 则， 当与不重合时，因为，则， 当与重合时，，，也满足， 又易知，所以，    故选：D. 9．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知正数，，满足，则当取最大值时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.42 【知识点】条件等式求最值 【分析】先根据已知条件，对进行变形，利用基本不等式求出取最大值时的关系，再根据的关系求出的最大值. 【详解】因为正数满足， 所以， 设 ，则 ，， 所以， 令 ，则 ，且 ， ， 由基本不等式：， 当且仅当 时取等号， 联立 ，得 ， 即， 因为 则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为. 二、多选题 10．（24-25高二下·江苏徐州·期末）（多选题）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【难度】0.46 【知识点】条件等式求最值、基本（均值）不等式的应用 【分析】将题设条件拼凑分解成，代入消元后利用二次函数单调性即可判断A项；设，利用结合基本不等式计算可逐一判断B，C，D. 【详解】由可得. 对于A，，则当时，取得最小值，故A正确； 对于B，在中，不妨设，则，且， 于是，，因， 当且仅当，即时取等，则有，故B错误； 对于C，由B项，，当且仅当， 即时取等，即的最小值为14，故C错误； 对于D，由B项，，当且仅当，即时取等， 即的最小值为，故D正确. 11．（25-26高一下·海南海口·期中）（多选题）已知，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为9 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【难度】0.68 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】A：由基本不等式：， 两边平方得，即，等号成立当且仅当， 即，符合条件，因此最大值为，A正确； B：， 得到的最小值为，无最大值，B错误； C：将代入得：， 这是开口向上的二次函数，对称轴， 代入得最小值为，C错误； D：， 等号成立当且仅当即，符合条件，因此最小值为，D正确. 三、填空题 12比较大小：________2(填“”“”“”或“”)． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由基本不等式比较大小 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故答案为：. 13．（2026·安徽·模拟预测）已知，，且，则的最小值为________． 【答案】 【难度】0.79 【知识点】基本不等式求和的最小值 【详解】由题意得，， 所以， 当且仅当，，即时，等号成立． 14．（2026高二下·天津南开·学业考试）若实数满足，则的最大值为________． 【答案】/0.25 【难度】0.95 【知识点】基本不等式求积的最大值 【详解】已知实数a，b满足，显然不能全为负数，也不能是一个负数和一个为0； 当是一正一负时，，则不可能取到最大值； 当是一个正数和一个为0时，，也不可能是最大值； 当均为正数时，由基本不等式得，当且仅当时取等号， 综上，可得的最大值为. 15．（2026高一·全国·专题练习）若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【难度】0.82 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、基本不等式求和的最小值、对勾函数求最值 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 16．（25-26高一上·上海·阶段检测）若对恒有，则的取值范围是_____ 【答案】 【难度】0.4 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、基本不等式的恒成立问题、对勾函数求最值 【分析】问题化为恒成立，讨论的符号确定代数式的范围，即可得参数范围. 【详解】由， 令，则， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 当时，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 综上，， 所以对恒有，只需，即. 故答案为： 17．（2026高一·全国·专题练习）已知，则的最小值为____. 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】因为，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为. 18．（25-26高一上·上海·期末）已知，且，则的最小值为___________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】将转化为，由得到，从而得到，将代入，进行整理，利用基本不等式求解即可得解. 【详解】，，，，， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 的最小值. 故答案为：. 19．（25-26高一上·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的恒成立问题、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】先结合题意得到，再利用基本不等式得到，进而求出的最小值为，最后得到，求解参数范围即可. 【详解】因为， 且由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以， 即，得到，解得， 故的最小值为，要使恒成立， 即成立，解得.   故答案为：. 20．（25-26高一上·广西桂林·期中）如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________ 【答案】 10 8 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的实际应用 【分析】根据已知可得，应用基本不等式求最值，并确定取值条件，即可得. 【详解】设矩形铁片的面积为， 因为，所以，解得， 所以，则， 当且仅当时等号成立，即取得最大值时. 故答案为：， 21．（25-26高一上·北京通州·阶段检测）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元／件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元／件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为______元． 【答案】8000 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的实际应用 【分析】根据已知条件列出利润函数，利用换元法化简函数表达式，再利用基本不等式求出利润的最小值． 【详解】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ， 当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故答案为：8000 22．（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）若，，，则的最小值为________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本（均值）不等式的应用 【分析】根据所给因式特征先提取公因式c，接着利用常数“1”进行等价代换并结合基本不等式得到仅关于c的因式，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，，， 所以 . 当且仅当且即且时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题 23．（25-26高一上·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【答案】(1)为，为时，所用篱笆总长最小，最小值为 (2)当时有最小值，最小值是 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式的实际应用 【分析】（1）由题意可知，再根据基本不等式即可得解； （2）由题意可知，再根据基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意得，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为； （2）由题意得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值，最小值是. 答（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为， （2）当时，有最小值，最小值是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $