吉林通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

**基本信息** 立足高一核心知识，以销售数据、燃油价格等现实情境和立体几何折叠、圆台与球等空间问题为载体，分层考查数学抽象、空间观念与数据意识，实现基础巩固与创新应用的有机统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数运算、统计（频率分布直方图）、概率、立体几何线面关系|第3题结合销售员工销售额现实数据，考查统计推断；第6题以正方体为载体，考查异面直线所成角，体现空间观念| |填空题|3题/15分|解三角形、立体几何截面、实际应用（路灯材料）|第14题通过路灯设计，将三角函数与最值问题结合，培养数学应用意识| |解答题|5题/77分|复数方程、向量运算、统计概率、立体几何证明与距离、圆台与球综合|第18题折叠问题融合线面平行与面面垂直证明，第19题圆台与双球最值问题，考查空间想象与逻辑推理，呼应高考综合题型趋势|

高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数据的中位数为2，方差为3，那么数据的中位数和方差分别为（ ） A. 2，3 B. 7，6 C. 7，12 D. 4，12 3. 某品牌家电公司从其全部200名销件员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间（单位：百万元）内，将其分成5组：，并整理得到如下的频率分布直方图，下列说法正确的是（ ） A. 频率分布直方图中a的值为0.06 B. 估计全部销售员工销售额的中位数为15 C. 估计全部销售员工中销售额在区间内有6人 D. 估计全部销售员工销售额的第76百分位数为17 4. 甲乙两人进行三分远投比赛，甲、乙每次投篮命中的概率分别为0.5和0.4，且两人之间互不影响.若两人分别投篮一次，则两人中至少一人命中的概率为（ ） A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 5. 已知，是两条不同的直线，平面，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则，共面 B. 若，则与有公共点 C. 若与无公共点，且，则 D. 若存在平面，使得，，，则 6. 如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角，，所对的边分别为，，，，设的面积为，若，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 8. 若，，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）已知为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则的虚部为 D. 若，则 10. 在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. ，则 C. 若，，有两解，则 D. 11. 如图，在正方体中，分别为，，的中点，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 几何体是三棱台 B. 直线与平面相交 C. 二面角的平面角的正切值为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在中，三个内角，，的对边分别是，，，若，，，则______. 13. 如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，过点的平面∥平面，则平面截该正方体所得截面的面积为________． 14. 某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路走向垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示：已知，，路宽米.设，则制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小值为_________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数满足. （1）求； （2）已知是关于的实系数一元二次方程的一个根，分别求 的值. 16. 已知向量. （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值； （3）当为钝角时，求的取值范围. 17. 俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示： （1）求样本中数据落在的频率； （2）求样本数据的第50百分位数； （3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率. 18. 如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使，为的中点，如图2. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求点到平面的距离. 19. 一个上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2的圆台，如图所示，等腰梯形ABCD是圆台的轴截面，P为圆台上底面圆周上一点 （1）若平面APC与圆台下底面的圆周交于点Q． （ⅰ）证明：平面ADQ； （ⅱ）若四棱锥的体积为，求二面角的正弦值； （2）若圆台是封闭容器（容器壁厚度忽略不计），且圆台内有两个半径相等的铁球，求铁球半径的最大值． ACDBD DCA 9BCD 10BCD 11AC 12或 13 14 15 【小问1详解】 设复数，所以， 又， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 由题意得：是关于的实系数一元二次方程的一个根， 所以也是实系数一元二次方程的另一个根， 所以，解得. 16 【小问1详解】 ， 因为， ， 所以. 【小问2详解】 ， 因为，所以， 所以， . 【小问3详解】 角为钝角，即，且与不能反向共线， 所以，因为，可得， 且， 综上. 17 【小问1详解】 由频率分布直方图可得：组距为10，所以： ， 得：，故样本中数据落在的频率为：. 【小问2详解】 设第50百分位数为，易得位于50和60之间， 则有： 解得：. 【小问3详解】 分组人数为：人； 分组人数为：人， 利用分层抽样的方法易得： 分组抽人， 分组抽人， 从这6人中随机抽取2人进行座谈，抽取的2人中至少有1人的年龄在分组，即： 2人中有1人的年龄在分组，另1人的年龄在分组；2人的年龄都在分组， 故抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率为：. 18【详解】证明：取中点，连接，． 在中，，分别为，的中点， 所以，且． 由已知，，所以，且． 所以四边形为平行四边形．所以． 又因为平面，且平面，所以平面． （2）在正方形中，．又由题知， 直线，在平面内，且相交于点，所以平面， 又平面，所以平面平面，即平面平面. (3)在直角梯形中，，，可得，． 在中，， 所以．所以． 由(2)知，平面与平面垂直且交线为，所以平面． 又因为平面，所以平面平面． 过点作的垂线交于点，则平面 所以点到平面的距离等于线段的长度 在直角三角形中， ， 所以 所以点到平面的距离等于． 【小问1详解】 （ⅰ）（1）（ⅰ）因为圆台上、下底面平行，平面与上底面的交线为，与下底面的交线为， 所以， 又因为平面，平面，所以平面. （ⅱ）因为圆台上底面半径为1，下底面半径为2，所以， 如图1，连接，则，则， 又因为.圆台的高为. 则，所以， 又因为，所以点到直线的距离为2，所以，则. 过点作，垂足为，过点作，交于点，连接， 因为，所以，因为平面，所以，所以平面， 所以，则即为二面角的平面角， 因为，，则，所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 由（ⅰ）（ⅱ）可知为圆台的轴截面，， 因为是等腰梯形，所以，. 设两铁球半径为， Ⅰ.当两个铁球的球心在竖直方向上时，若半径最大，则分别与两个底面相切，如图2， 则铁球球心与圆台上、下底面的距离均为，则有，所以此时铁球半径； Ⅱ.当两个铁球都与底面相切时，若半径最大，则两铁球相外切，且各与圆台一侧面也相切，如图3， ，分别是两球与底面相切的切点，则，，， 连接，因为点到与的距离都等于，所以点在的角平分线上， 同理，点也在的角平分线上， 则，又因为，则， 所以，则； Ⅲ.当两个铁球一个与下底面相切，另一个与上底面相切， 若球的半径最大，则两球相切且分别各与圆台一侧面相切，如图4所示， 球与下底面相切的切点为，球与上底面相切的切点为， 的延长线与交于点，过向直线作垂线，垂足为， 则，， 同上分析，在的角平分线上，点在的角平分线上，所以，， 则，由， 即，化简得：， 解得或（舍）. 又因为，所以铁球半径的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $