吉林松原市吉林油田高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

《高一数学期末答案》 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A C B A D B C AD CD ACD 12． 13． 14． 15．（1）； （2）且． （1）由，，，的夹角为，得， 所以． （2）由与的夹角为钝角，得，且与不共线， 由，得，即，解得； 由与共线，，不共线，得，解得，因此由与不共线，得，则且，所以的取值范围为且． 16．（1）小吃类24家，生鲜类9家 （2）①中位数为342.9，平均数为352.5；②168 （1），，所以应抽取小吃类24家，生鲜类9家； （2）①根据题意可得，解得，设中位数为，因为，，所以，解得，平均数为：， 所以该直播平台商家平均日利润的中位数为342.9，平均数为． ②，所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为168． 17．（1）证明见解析（2）证明见解析（3） （1）证明：连结，如图所示： 在中，为的中点，为的中点，所以为的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）证明：因为平面，平面， 所以，又，为的中点，则， 又，，平面，故平面 平面，平面平面． （3）由平面可知，为在平面内的射影， 所以为直线与平面所成的角由，，， 有，在中， 所以，所以直线与平面所成的角的正弦值． 18．（1） （2） （3）6 （1）因为，所以由正弦定理可得， 在中，， 所以， 即，因为，，所以， 因为，所以； （2）因为，所以， ，又，所以，所以， 又因为，所以． （3）由正弦定理得，可得，， ， ， 因为是锐角三角形，且，则，得， 得，，， 故的周长最大值为6． 19．（1）获得冠军的概率为，获得冠军的概率为． （2）在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为；在“双败赛制”赛制下，获得冠军的概率为；双败赛制对强者更有利 【分析】（1）利用独立事件的概率公式进行求解即可； （2）首先利用独立事件的概率公式分别求出两种赛制下获得冠军的概率 （3）利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）结合题意可得获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 所以获得冠军的概率为． 结合题意可得获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 所以获得冠军的概率为． （2）在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为． 在“双败赛制”赛制下，讨论进入胜者组、败者组两种情况： 当进入胜者组，若在胜者组失败，后两局都胜，方可得冠军；若在胜者组胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军， 此时获得冠军的概率为； 当进入败者组，后三局都胜，方可得冠军， 此时获得冠军的概率为． 综上，获得冠军的概率为． （3）令，（）， 则， 由得，． 若为强队，则，此时． 即，所以． 所以双败赛制对强者更有利． 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林油田高级中学2025—2026学年度第二学期期末考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 一、单选题 1．（ ） A． B． C． D． 2．在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，，是三个不同的平面，，，是三条不同的直线，下列命题中正确是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 4．如图，在矩形中，，分别为，中点，为线段上的一点，且，若，则（ ） A． B． C．2 D． 5．已知正四棱台的上、下底面的边长分别为、，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（ ） A．14 B．15 C．16 D．18 6．随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从2026年2月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（ ） A．若调查的游客中青年人有225人，则一共调查了500人 B．估计2026年2月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C．用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有12人，则中年人有21人 D．估计2026年2月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 7．黄山市境内风光奇绝，拥有12处国家级重点风景名胜区，在五一假期期间展现出独特的旅游魅力．对于，两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择景点出游的概率为，选择景点出游的概率为，，两个景点都不选的概率为，则，两个景点都选的概率为（ ） A． B． C． D． 8．在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的． 9．下列说法中正确的是（ ） A．样本的方差，则这组样本数据总和为60 B．若样本数据，，…，标准差为8，则数据，，…，的标准差为32 C．数据，，，，，，，，，的第70百分位数是23 D．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小 10．从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列是互斥且对立的两个事件的是（ ） A．至少有一个红球；至少有一个白球 B．恰有一个红球；都是白球 C．至少一个红球；都是白球 D．至多一个红球；都是红球 11．如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A．三棱锥的体积为定值 B．正方体的外接球表面积为 C．若平面，则的轨迹长度为2 D．过，，三点的平面截正方体所得截面面积是 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12．现有一枚质地均匀的骰子（六个面的点数分别为，，，，，），投掷两次此骰子，则骰子上面的点数之和为3的整数倍的概率为__________． 13．《几何原本》第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，若，是直角圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为__________． 14．已知非零向量，，满足，，对于任意实数满足，，则的最大值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知向量，满足，，，，的夹角为． （1）； （2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 16．近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台1200个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图所示． （1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取60个直播商家进行问询交流．如果按照比例分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？ （2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对（1）中抽取的60个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如右图所示，请根据频率分布直方图计算下面的问题： ①估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； ②若将平均日利润超过430元的商家评为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数． 17．如图，在四棱锥中，平面，，，且为的中点，又点为的中点，，． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求直线与平面所成的角的正弦值． 18．在中，角，，的对边分别为，，，若， （1）求角的大小； （2）若为中点，，，求边； （3）若为锐角三角形，且，求的周长最大值． 19．在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示）．双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，，，，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为（），另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，，同组，，同组． （1）若，在淘汰赛赛制下，，获得冠军的概率分别为多少？ （2）分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示）． （3）分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 学科网（北京）股份有限公司 $