精品解析：内蒙古自治区通辽市科尔沁区第七中学2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试卷

2025－2026学年七年级下学期期末考试数学试卷 温馨提示：1.本试卷共三大题，共18小题，满分100分．考试时间90分钟． 2.根据网上阅卷需要，本试卷所有试题均按要求在答题卡上作答，答在本试卷内无效3.考试结束后，只需将答题卡上交． 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．每个小题都给出了四个选项，其中只有一个是正确的，请将你认为代表正确选项的字母在答题卡上用2B铅笔涂黑． 1. 在数学史上，希帕索斯发现了无理数，由此引发了第一次数学危机．下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3 2. 甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ） A. B. C. D. 林 3. 《中国居民膳食指南（2022）》建议，青少年每人每天糖的摄入量不超过克，则青少年每天摄入糖的质量克应满足的不等关系为（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中最适合采用全面调查的是（ ） A. 调查辽河公园里面的河流水质情况 B. 调查通辽市居民的消费水平 C. 调查蒙超中通辽队队员的进攻能力 D. 调查学校食堂晚餐中红烧肉的咸淡情况 5. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，四位投壶者分别站在直线上的点，处，往点处的壶内投箭矢，小深认为站在点处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 6. 已知的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线轴，点的坐标为，且线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 明代《九章算法比类大全》记载：“今有甲乙二匠造屋，共得钱五百文、甲匠日得三十文，乙匠日得二十文．甲、乙先后作工，凡二十二日而毕．问甲乙各作几日？”其大意是：“现有甲、乙两位工匠合作建房，总共获得工钱文．甲匠每日工钱是文，乙匠每日工钱是文．两人先后做工，共用天完成．问甲、乙各做工多少天？”设甲匠做工天，乙匠做工天，根据题意，可列方程组为 A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案直接填在答题卡对应题目的横线上 9. 若为正整数，且满足，的值是_____． 10. 若点在y轴上，则______． 11. 若关于的方程组的解满足与互为相反数，则的值为_____． 12. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，则的度数为_____． 三、解答题：本大题共6小题，共64分．请在答题卡上写出各小题解答的文字说明、证明过程或计算步骤． 13. 计算 （1）计算：． （2）解方程组： （3）求不等式组：的整数解． 14. 如图，是上一点，于点是上一点，于点，，求证：． 请补全下列证明过程． 证明：连接， ， ① （ ② ）． （ ③ ）． ④ （ ⑤ ）． 又， ⑥ （ ⑦ ）． 即． （ ⑧ ）． 15. 为传承红色基因，增强文化自信，某校开展“重温通辽文化”的研学活动，预选地点有四个：A．麦新烈士纪念馆；B．施介烈士纪念馆；C．通辽市博物馆（通辽革命史展馆）；D．吕明仁烈士纪念馆．每名同学从四个地点中必须且只能选择一个，数学老师随机抽取了名学生进行调查，并把调查结果绘制成如下统计图表根据以上信息，回答下列问题： 地点 频数 百分比 A 45 B C 10 b D 25 （1）样本容量的值为__________，表中_____，_____； （2）补全条形统计图； （3）估计该学校940名女生中有多少人参加“通辽市博物馆”的研学活动． 16. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是第一象限的点，且轴，点到轴的距离是5，过点作轴的平行线，与轴交于点．动点从点出发，以3个单位长度的速度沿直线向左移动，动点从原点同时出发，以1个单位长度的速度沿轴向右移动，到达点后，、同时停止运动． （1）点的坐标为_____； （2）当时，点的坐标为_____，点的坐标为_____； （3）当点满足时，求的值； （4）当点满足四边形的面积为30时，求点的坐标． 17. “通达辽阔，近悦远来”．通辽依托通辽人的热情淳朴和通辽的特色元素，吸引了八方游客到通辽游玩为满足游客需求，某景点商家计划购进通辽特产A、B两种型号的奶豆腐进行销售，总数量为2000块．商家经过市场调研，制定了营销策略，相关信息如表： 成本（元/块） 定价（元/块） A款奶豆腐 8 10 B款奶豆腐 15 20 （1）若这些奶豆腐全部售出且获利7600元，求该商家购进A、B款奶豆腐各多少块？ （2）若该商家计划投入的总成本不超过23000元，求最少购进多少块A款奶豆腐？ 18. 综合与实践 【课题学习】平行线的“角转化”功能． 如图1，已知点是外一点，连接．求的度数． 解：过点作， _____，_____ 即． _____． 【问题解决】 （1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“角转化”的功能，即由平行可得两角相等或两角互补，从而进行角的转化． 【方法运用】 （2）如图2，，，，求度数； 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．按小明的思路，求出度数． （3）如图3，，点在、两点之间运动，记，，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【拓展探究】 （4）图4为北斗七星的位置图，将其抽象成图5，其中北斗七星分别标为，将顺次连接，天文小组发现和恰好相交于点，且．若，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年七年级下学期期末考试数学试卷 温馨提示：1.本试卷共三大题，共18小题，满分100分．考试时间90分钟． 2.根据网上阅卷需要，本试卷所有试题均按要求在答题卡上作答，答在本试卷内无效3.考试结束后，只需将答题卡上交． 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．每个小题都给出了四个选项，其中只有一个是正确的，请将你认为代表正确选项的字母在答题卡上用2B铅笔涂黑． 1. 在数学史上，希帕索斯发现了无理数，由此引发了第一次数学危机．下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，化简各选项后即可判断． 【详解】解：A．是无限不循环小数，是无理数； B．，是整数，属于有理数； C．是分数，属于有理数； D．是整数，属于有理数； 故选：A． 2. 甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ） A. B. C. D. 林 【答案】D 【解析】 【分析】平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，据此求解即可． 【详解】解：依题意，观察四个选项，能用其中一部分平移得到的是D选项． 3. 《中国居民膳食指南（2022）》建议，青少年每人每天糖的摄入量不超过克，则青少年每天摄入糖的质量克应满足的不等关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将实际问题中的文字描述转化为数学不等关系即可． 【详解】解：已知青少年每人每天糖的摄入量不超过克， 设摄入量为克，可得不等关系． 4. 下列调查中最适合采用全面调查的是（ ） A. 调查辽河公园里面的河流水质情况 B. 调查通辽市居民的消费水平 C. 调查蒙超中通辽队队员的进攻能力 D. 调查学校食堂晚餐中红烧肉的咸淡情况 【答案】C 【解析】 【分析】根据普查与抽样调查的适用条件判断即可． 【详解】解：选项：调查辽河公园河流水质，调查范围大，无法进行全面调查，适合抽样调查； 选项：调查通辽市居民消费水平，调查对象数量多、范围广，适合抽样调查； 选项：调查蒙超通辽队队员的进攻能力，调查对象数量少，需要得到准确结果，适合全面调查； 选项：调查学校食堂红烧肉的咸淡，调查具有破坏性，适合抽样调查． 5. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，四位投壶者分别站在直线上的点，处，往点处的壶内投箭矢，小深认为站在点处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意得，蕴含的数学道理是垂线段最短． 6. 已知的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质解答即可． 【详解】解：∵不等式 的解集是，不等号方向发生改变， ∴可得， ∴解得． 7. 已知直线轴，点的坐标为，且线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由轴，可得点与点纵坐标相等，再根据，分点在点左侧、右侧两种情况计算横坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：∵直线轴，点的坐标为， ∴点的纵坐标为， ∵， ∴当点在点右侧时，点的横坐标为，得， 当点在点左侧时，点的横坐标为，得， ∴点的坐标为或． 8. 明代《九章算法比类大全》记载：“今有甲乙二匠造屋，共得钱五百文、甲匠日得三十文，乙匠日得二十文．甲、乙先后作工，凡二十二日而毕．问甲乙各作几日？”其大意是：“现有甲、乙两位工匠合作建房，总共获得工钱文．甲匠每日工钱是文，乙匠每日工钱是文．两人先后做工，共用天完成．问甲、乙各做工多少天？”设甲匠做工天，乙匠做工天，根据题意，可列方程组为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意找出两个等量关系：一是甲乙做工总天数为天，二是总工钱为文，据此列方程组即可． 【详解】解：设甲匠做工天，乙匠做工天， ∵甲乙两人先后做工共用天完成， ∴可得第一个方程为， 又∵甲每日工钱文，乙每日工钱文，总工钱为文， ∴甲总工钱为，乙总工钱为，可得第二个方程， 故可列方程组． 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案直接填在答题卡对应题目的横线上 9. 若为正整数，且满足，的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查无理数大小的估算，有理数的乘方计算，确定所在的整数范围是解题关键，通过比较相邻完全平方数得到的范围，进而求出的值，再计算即可． 【详解】解：，， ， ，且为正整数， ， 则． 10. 若点在y轴上，则______． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据平面直角坐标系中y轴上点的坐标特征，可知y轴上的点的横坐标为， 点在轴上， ， ∴． 11. 若关于的方程组的解满足与互为相反数，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法得出，再根据相反数的定义，得出，即可求解． 【详解】解：， 由得， ， 与互为相反数， ， ， 解得：． 12. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，则，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 三、解答题：本大题共6小题，共64分．请在答题卡上写出各小题解答的文字说明、证明过程或计算步骤． 13. 计算 （1）计算：． （2）解方程组： （3）求不等式组：的整数解． 【答案】（1） （2） （3）整数解为，0，1，2，3 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根，化简绝对值，求一个数的立方根，进行计算即可求解； （2）根据加减消元法解二元一次方程组； （3）分别解两个不等式，求公共解集，再求整数解，即可求解． 【小问1详解】 解：原式 =． 【小问2详解】 解： ①②，得，． 把代入①，得， 所以这个方程组的解是 ． 【小问3详解】 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集是，所以此不等式组的整数解为，，，，． 14. 如图，是上一点，于点是上一点，于点，，求证：． 请补全下列证明过程． 证明：连接， ， ① （ ② ）． （ ③ ）． ④ （ ⑤ ）． 又， ⑥ （ ⑦ ）． 即． （ ⑧ ）． 【答案】①；②垂直的定义；③同位角相等，两直线平行；④；⑤两直线平行，内错角相等；⑥；⑦等式的性质；⑧内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】根据垂线的定义推出，进而得出，即可证明平行． 【详解】略 15. 为传承红色基因，增强文化自信，某校开展“重温通辽文化”的研学活动，预选地点有四个：A．麦新烈士纪念馆；B．施介烈士纪念馆；C．通辽市博物馆（通辽革命史展馆）；D．吕明仁烈士纪念馆．每名同学从四个地点中必须且只能选择一个，数学老师随机抽取了名学生进行调查，并把调查结果绘制成如下统计图表根据以上信息，回答下列问题： 地点 频数 百分比 A 45 B C 10 b D 25 （1）样本容量的值为__________，表中_____，_____； （2）补全条形统计图； （3）估计该学校940名女生中有多少人参加“通辽市博物馆”的研学活动． 【答案】（1）100，20，10% （2） （3）40人 【解析】 【分析】（1）根据频数，百分比与总数之间的关系进行求解即可； （2）根据表格结合条形图中给出的数据，求出地点D中女生的人数，补全条形图即可； （3）用该校女生总人数乘以参加“通辽市博物馆”的研学活动的女生占比求解即可． 【小问1详解】 解：样本容量， ， ； 【小问2详解】 解：地点D中女生的人数为（人）， 补全条形统计图如答图； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该学校940名女生中有40人参加“通辽市博物馆”的研学活动． 16. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是第一象限的点，且轴，点到轴的距离是5，过点作轴的平行线，与轴交于点．动点从点出发，以3个单位长度的速度沿直线向左移动，动点从原点同时出发，以1个单位长度的速度沿轴向右移动，到达点后，、同时停止运动． （1）点的坐标为_____； （2）当时，点的坐标为_____，点的坐标为_____； （3）当点满足时，求的值； （4）当点满足四边形的面积为30时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得点的横坐标为9，纵坐标为5，即可得解； （2）根据题意写出坐标即可； （3）设经过t秒后，轴，此时P，Q两点的横坐标相等，据此列方程求解即可； （4）设经过t秒，四边形的面积为30，此时，，再结合梯形面积公式列方程求解即可． 【小问1详解】 解：点的坐标为，且轴， 点的横坐标为9， 点是第一象限的点，且点到轴的距离是5， 点的纵坐标为5， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：过点作轴的平行线，动点从点出发，以3个单位长度的速度沿直线向左移动， 当时，点向左移动3个单位长度，且点的纵坐标为5， 点的坐标为，即； 动点从原点同时出发，以1个单位长度的速度沿轴向右移动， 当时，点的坐标为； 【小问3详解】 解：设经过t秒，轴，此时P，Q两点的横坐标相等， 由题意可知，P、Q两点的横坐标分别为、t， 则， 解得： 【小问4详解】 解：设经过t秒，四边形的面积为30，此时，， ， ，， ， ， 解得，此时， 点P的坐标为，即． 17. “通达辽阔，近悦远来”．通辽依托通辽人的热情淳朴和通辽的特色元素，吸引了八方游客到通辽游玩为满足游客需求，某景点商家计划购进通辽特产A、B两种型号的奶豆腐进行销售，总数量为2000块．商家经过市场调研，制定了营销策略，相关信息如表： 成本（元/块） 定价（元/块） A款奶豆腐 8 10 B款奶豆腐 15 20 （1）若这些奶豆腐全部售出且获利7600元，求该商家购进A、B款奶豆腐各多少块？ （2）若该商家计划投入的总成本不超过23000元，求最少购进多少块A款奶豆腐？ 【答案】（1）A款奶豆腐800块，B款奶豆腐1200块 （2）1000块 【解析】 【分析】（1）设购进A款奶豆腐x块，B款奶豆腐y块，根据总数量和盈利列二元一次方程组求解即可； （2）设购进m块A款奶豆腐，根据总成本列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设购进A款奶豆腐x块，B款奶豆腐y块， 则， 解得：． 答：购进A款奶豆腐800块，B款奶豆腐1200块； 【小问2详解】 解：设购进m块A款奶豆腐，则购进块B款奶豆腐， ∵总成本不超过23000元， ∴． ∴． 答：最少购进A款奶豆腐1000块． 18. 综合与实践 【课题学习】平行线的“角转化”功能． 如图1，已知点是外一点，连接．求的度数． 解：过点作， _____，_____ 即． _____． 【问题解决】 （1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“角转化”的功能，即由平行可得两角相等或两角互补，从而进行角的转化． 【方法运用】 （2）如图2，，，，求度数； 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．按小明的思路，求出度数． （3）如图3，，点在、两点之间运动，记，，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【拓展探究】 （4）图4为北斗七星的位置图，将其抽象成图5，其中北斗七星分别标为，将顺次连接，天文小组发现和恰好相交于点，且．若，求的度数． 【答案】（1），， （2） （3）． 理由：如图，过点P作交于点E， ∵， ∴． ∵，， ∴，． ∴； （4） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质求解即可； （2）过点P作，根据平行线的性质，得出，即可求解； （3）过点P作交于点E，根据平行线的性质，得出，，即可求解； （4）过点C作，根据平行线的性质，得出，则，进而推出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点P作， ∵， ∴． ∴，． ∵，， ∴，． ∴． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图，过点C作， ∵， ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 即的度数为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $