精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市土默特左旗2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题

2025-2026学年第二学期期末考试试卷七年级数学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1. 下列实数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组运动项目图标，将其中一个图形只经过平移就能得到另一个图形的是( ) A. B. C. D. 3. 下列采用的调查方式中，合理的是（　　　） A. 检查神舟十八号飞船的各零部件，采用抽样调查 B. 统计某校九年级一班学生视力情况，采用抽样调查 C. 对全国所有中小学生进行健康调查，采用全面调查 D. 了解某品牌新能源电动汽车的碰撞测试效果，采用抽样调查 4. 如果，下列不等式中不正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的两个角一定是邻补角；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离；④两条直线被第三条直线所截，同位角相等；其中真命题的个数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，点M的坐标是，点N在x轴下方，若轴，且，则点N的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系第一象限内画多个由边长为1的小正方形组成的网格（数量充足，只展示部分），每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边叫做格线．现有2026个点，坐标分别为：，，，，将这2026个点全部画出来，若点落在网格中的格线上，则称这样的点为“上岸点”．那么，这2026个点中，“上岸点”共有（）个 A. 89 B. 90 C. 91 D. 92 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 9. 已知（其中为相邻的两个正整数），则的值为________． 10. 观察如图所示的频数直方图，其中组界为99.5～124.5这一组的频数为________． 11. 如图，把一张长方形的纸条折叠，是折痕，若，则______． 12. 若关于的不等式组恰有个整数解，且关于，的方程组也有整数解，则所有符合条件的整数的和为________． 三、解答题（本大题共6小题，共64分） 13. 计算： （1）； （2）求式子中x的值：； （3）解方程组：； （4）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 14. 2021年的3月29日是全国中小学生安全教育日，某校为加强学生的安全意识，组织了全校学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，绘制了图中两幅不完整的统计图． （1）________，________； （2）补全频数直方图； （3）该校共有2000名学生．若成绩在70分以下（含70分）的学生安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？ 15. 如图，三角形的顶点，，若三角形向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形，且点的对应点坐标是点． （1）画出三角形，写出点的坐标； （2）若三角形内有一点，平移后的对应点为点，请你直接写出点的坐标． 16. 如图，在中，，F、G是、上的两点，． （1）求证：； （2）若，平分，求的度数． 17. 某公司计划购进一批智能机器人．据了解，2台甲型号、3台乙型号的智能机器人进价共计90万元；4台甲型号、1台乙型号的智能机器人进价共计130万元． （1）求甲、乙两种型号智能机器人每台进价分别为多少万元； （2）该公司计划用完160万元购进以上两种型号的智能机器人（两种型号均要购买），帮该公司求解所有的购进方案． 18. 【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末考试试卷七年级数学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1. 下列实数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、不是无理数，故本选项不符合题意； B、是无理数，故本选项符合题意； C、不是无理数，故本选项不符合题意； D、不是无理数，故本选项不符合题意； 2. 下列各组运动项目图标，将其中一个图形只经过平移就能得到另一个图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：符合将其中一个图形只经过平移就能得到另一个图形的是： ． 3. 下列采用的调查方式中，合理的是（　　　） A. 检查神舟十八号飞船的各零部件，采用抽样调查 B. 统计某校九年级一班学生视力情况，采用抽样调查 C. 对全国所有中小学生进行健康调查，采用全面调查 D. 了解某品牌新能源电动汽车的碰撞测试效果，采用抽样调查 【答案】D 【解析】 【分析】根据调查对象的特征判断，对于范围过大，具有破坏性，普查难度大的调查选择抽样调查，对于范围小，精确度要求高，事关重大的调查选择全面调查，据此逐一判断即可。 【详解】解：∵检查神舟十八号飞船各零部件，事关飞行安全，精确度要求高，需采用全面调查，∴A不合理； ∵统计某校九年级一班学生视力情况，调查范围小，人数少，需采用全面调查，∴B不合理； ∵对全国所有中小学生进行健康调查，调查范围广，工作量大，适合采用抽样调查，∴C不合理； ∵了解某品牌新能源电动汽车的碰撞测试效果，测试具有破坏性，适合采用抽样调查，∴D合理． 4. 如果，下列不等式中不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴A．不等式两边同时减3，不等号方向不变，可得，A正确，不符合题意； B．不等式两边同时除以正数2，不等号方向不变，可得，B正确，不符合题意． C．不等式两边同时乘负数﹣2，不等号方向改变，可得，C正确，不符合题意． D．由不等式性质得，两边同时加1，不等号方向不变，可得，因此D错误，符合题意． 5. 下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的两个角一定是邻补角；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离；④两条直线被第三条直线所截，同位角相等；其中真命题的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，如两直线平行，同位角相等，但不是对顶角，故①是假命题； ②互补的两个角仅和为，邻补角需要满足互补且相邻，因此互补的角不一定是邻补角，故②是假命题； ③该描述符合点到直线距离的定义，故③是真命题； ④只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，原命题未说明两直线平行，故④是假命题； 真命题的个数为． 6. 如图，下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的判定定理逐项进行判断． 【详解】解：A.∵， ∴； B. ∵， ∴； C. ∵， ∴， 无法得出； D.∵， ∴； 【点睛】注意掌握“三线八角”模型和平行线的判定定理． 7. 在平面直角坐标系中，点M的坐标是，点N在x轴下方，若轴，且，则点N的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查平面直角坐标系中点的坐标的表示，与x轴垂直的直线的特征，正确表示点在直角坐标系中的位置是解题的关键．根据垂直于x轴的性质，可得出点N的横坐标为，再由即可得到点N的坐标． 【详解】解：点的坐标是，轴， 点N的横坐标为， ， 点B的纵坐标为：或， 或． ∵点N在x轴下方， ∴点B的坐标为． 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系第一象限内画多个由边长为1的小正方形组成的网格（数量充足，只展示部分），每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边叫做格线．现有2026个点，坐标分别为：，，，，将这2026个点全部画出来，若点落在网格中的格线上，则称这样的点为“上岸点”．那么，这2026个点中，“上岸点”共有（）个 A. 89 B. 90 C. 91 D. 92 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，点落在格线上意味着点的横坐标或纵坐标为整数，即为整数或为整数，分别求出满足条件的的个数，利用完全平方数的性质求解即可． 【详解】解：点落在格线上，则为整数或为整数， ， 当为整数时，设（为正整数），则， ，且，，， ，即可取，共个值， 当为整数时，设（为正整数），则， ， ， 即， ，， ，即可取，共个值， 两个连续正整数不可能同时为完全平方数， 不存在和同时为整数的情况， “上岸点”共有个． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 9. 已知（其中为相邻的两个正整数），则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，代数式求值，先利用算术平方根的性质估算出的取值范围，确定出最接近它的正整数和，再代入计算的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵，为相邻的两个正整数， ∴，， ∴， 故答案为：． 10. 观察如图所示的频数直方图，其中组界为99.5～124.5这一组的频数为________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据直方图中的数据，可以得到组界为99.5～124.5这一组的频数． 【详解】解：由直方图可得， 组界为99.5～124.5这一组的频数是20-3-5-4=8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查频数分布直方图，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 11. 如图，把一张长方形的纸条折叠，是折痕，若，则______． 【答案】##68度 【解析】 【分析】由折叠可得，且，根据直线得，，最后由对顶角的性质求得． 【详解】解：如图所示： 是折痕， ，且， ， ，， 又， ， ， 又， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行的性质，对顶角的性质，解题关键是合理利用平行线的性质以及对顶角的性质． 12. 若关于的不等式组恰有个整数解，且关于，的方程组也有整数解，则所有符合条件的整数的和为________． 【答案】 【解析】 【分析】先解不等式组，根据恰有3个整数解确定m的取值范围，再解方程组，根据方程组有整数解筛选出符合条件的整数m，最后计算所有符合条件的m的和． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有3个整数解， ∴不等式组的整数解为， ∴， ∴； 得，解得， 由④得， ∵原方程组有整数解， ∴只需要保证x为整数，即可保证原方程组有整数解， ∴是整数， 又∵m为整数， ∴或或， 解得（舍去）或或或（舍去）或（舍去）或， ∴所有符合条件的整数的和为． 三、解答题（本大题共6小题，共64分） 13. 计算： （1）； （2）求式子中x的值：； （3）解方程组：； （4）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2） （3） （4），数轴表示如下： 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解得； 【小问3详解】 解： 整理得， 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为； 【小问4详解】 解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为； 数轴表示略． 14. 2021年的3月29日是全国中小学生安全教育日，某校为加强学生的安全意识，组织了全校学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，绘制了图中两幅不完整的统计图． （1）________，________； （2）补全频数直方图； （3）该校共有2000名学生．若成绩在70分以下（含70分）的学生安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？ 【答案】（1）75，54 （2）见解析 （3）600人 【解析】 【分析】（1）由组人数及其百分比求得总人数，再用总人数乘以组百分比可得的值，先求得组的百分比，用乘以组百分比可得的值； （2）总人数乘以组的百分比可得其人数，据此补全图形可得； （3）总人数乘以样本中、百分比之和． 【小问1详解】 解：∵本次调查的总人数为÷（人）， ∴， 组所占百分比为， 所以组的百分比为， 则， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：组人数为（人）， 故组的频数为， 补全统计图如下： 【小问3详解】 解：（）（人）， 答：该校安全意识不强的学生约有人． 15. 如图，三角形的顶点，，若三角形向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形，且点的对应点坐标是点． （1）画出三角形，写出点的坐标； （2）若三角形内有一点，平移后的对应点为点，请你直接写出点的坐标． 【答案】（1） 平移后的图形如下： （2） 【解析】 【分析】本题考查了画图形的平移，根据平移写出平移后点的坐标；掌握平面直角坐标系中点平移的特点：左减右加，上加下减是关键； （1）根据平移，得到点三点的坐标，依次连接这三点即可； （2）根据平移即可写出点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据平移规律：点平移后的坐标为． 16. 如图，在中，，F、G是、上的两点，． （1）求证：； （2）若，平分，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和判定证明即可； （2）根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 17. 某公司计划购进一批智能机器人．据了解，2台甲型号、3台乙型号的智能机器人进价共计90万元；4台甲型号、1台乙型号的智能机器人进价共计130万元． （1）求甲、乙两种型号智能机器人每台进价分别为多少万元； （2）该公司计划用完160万元购进以上两种型号的智能机器人（两种型号均要购买），帮该公司求解所有的购进方案． 【答案】（1）甲型号每台进价30万元，乙型号每台进价10万元 （2）共有5种购进方案：①购买甲1台、乙13台；②购买甲2台、乙10台；③购买甲3台、乙7台；④购买甲4台、乙4台；⑤购买甲5台、乙1台 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）设甲型号智能机器人每台进价为x万元，乙型号为y万元，根据题意可列，进行求解即可； （2）设购进甲型号a台，乙型号b台，根据题意得，将b表示出来，进而可得，最后根据题意进行讨论即可． 【小问1详解】 解：设甲型号智能机器人每台进价为x万元，乙型号为y万元． 根据题意得， 解得， ∴甲型号每台进价30万元，乙型号每台进价10万元； 【小问2详解】 解：设购进甲型号a台，乙型号b台， 根据题意得， ∵为正整数， ∴， 解得， ∴当时，；当时，；当时，；当时，；当时，， ∴共有5种购进方案：①购买甲1台、乙13台；②购买甲2台、乙10台；③购买甲3台、乙7台；④购买甲4台、乙4台；⑤购买甲5台、乙1台． 18. 【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；；（2）82；（3），见解析；（4）131 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过P作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系； （4）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数． 【详解】解：（1）如图，过P作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；； （2）过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：82； （3），，之间的数量关系是：；理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：； （4）∵的平分线和的平分线交于点Q， ∴设，， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：131． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $