精品解析：浙江省绍兴市柯桥区2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题

2025学年第二学期八年级期末学业评价调测试卷 数学试卷 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 中国传统工艺中蕴含着丰富的对称之美，下列四个具有传统韵味的装饰图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需要满足两个条件：1被开方数不含分母；2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． B选项：，被开方数含分母，不是最简二次根式． C选项：，被开方数不含分母，且，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式． D选项：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式．【点睛】 3. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，整理后即可判断正确选项． 【详解】解：原方程为， 移项得， ∴方程两边同时加 ，得， 整理得． 4. 某校八年级开展数学竞赛，进入决赛的学生有20名，他们的决赛成绩如表所示： 决赛成绩/分 100 99 98 97 人数 4 7 3 6 则这20名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（ ） A. 98.5，99 B. 99，99 C. 97.5，98 D. 98.5，98 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵99分出现了7次，出现次数最多， ∴众数是99； ∵总共有20名学生，即20个数据，将成绩从小到大排列后，97分共6人，98分共3人，累计前9个数据都不超过98分， 因此第10个和第11个数据都是99， ∴中位数为． 5. 用反证法证明：在中，，，则，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】反证法证明命题时，第一步需要假设所要证明结论的反面成立，只需写出原结论的否定即可得到结果． 【详解】解：∵本题要证明的结论是， ∴反证法第一步应假设结论不成立，应假设． 6. 如图，在中，，为边上的中线，延长到点，使，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中线和已知条件，利用证明，推出，根据三角形内角和定理和等量代换即可求出度数． 【详解】解：为边上的中线， ． ，， （）， ． ， ， ． 7. 我国古代井田形制多为正方形，现对一块正方形井田修整，在田地四周向外修筑等宽田埂，四周每一侧均向外拓宽2丈，拓宽后整块田地仍为正方形，且新增开垦的田地面积恰好是原有井田面积的．设原正方形井田的边长为丈，则下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定拓宽后正方形的边长，再根据“新增开垦面积等于原井田面积的”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵原正方形井田边长为丈，四周每一侧向外拓宽丈，正方形左右两侧一共拓宽丈，上下两侧一共拓宽丈， ∴拓宽后正方形的边长为丈． ∵新增开垦面积拓宽后总面积原井田面积，且新增面积是原井田面积的，原面积为，拓宽后面积为， ∴列方程得． 8. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴ ． 9. 如图，在菱形中，，点是对角线的中点，点是边上的中点，连接，，已知，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据菱形的性质得，再根据中位线的定义以及性质得 ，又因为，得，最后由三角形的面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∵点是对角线的中点，点是边上的中点， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴的面积的面积． 10. 如图，在四边形中，，，，，点、、、分别为、、、边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形，当四边形为菱形时，的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先结合点、、分别为、、边的中点，得再根据菱形的性质得，故，又因为，得出，，，再根据，同理得，故，最后解得的长，即可作答． 【详解】解：连接，过点作过点作的延长线，如图所示： ∵点、、分别为、、边的中点， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∵过点作的延长线， 在中，， 则， 在中，， ∵， ∴， ∴， 则 解得或（舍去）． 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可； 【详解】解：由题可知， 解得： 故答案为： ． 12. 若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为___________． 【答案】 5 【解析】 【详解】解：设该多边形的边数为. 根据多边形内角和公式，得 解得． 13. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的定义，把，代入方程，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可. 【详解】解：把，代入方程，得：， 解得：， ∵， ∴； 故答案为： 14. 五个正整数从小到大排列，若这组数据的中位数是4，唯一的众数是5，则这五个正整数之和的最小值是____________． 【答案】17 【解析】 【分析】此题考查了众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．解此题的关键是理解唯一众数的含义与中位数的意义． 据题意，个正整数从小到大排列，中位数为，即第个数为。唯一的众数是，说明的个数最多，至少有个，则第、个数均为；再讨论前面的两个数，即可求出最小的和． 【详解】解：将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是中位数即是； 众数是一组数据中出现次数最多的数，据题意得这组数据有两个为， 另两个为小于的整数，且不相等，所以最小的两个为，． 则可得这组数据最小和是． 故答案为：17． 15. 如图，在矩形中，对角线，相交于与点，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，过点作的垂线交于点，．若，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意推出为等腰直角三角形，结合用勾股定理求出，过点作，垂足为，设，，其中，，，通过同角的余角相等证，故，，推出，，在中由勾股方程解得，在中由勾股定理解出和，利用矩形对角线中点性质得为的中位线，得出的长，从而可得出． 【详解】解：由题意得， ， 是等腰直角三角形， ，由勾股定理得， ，解得， 如图，过点作，垂足为， ， 设，，其中，，， 四边形是矩形，对角线，相交于与点， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， 化简得， 因式分解得， ，， ， ， 在中，， ，解得或（舍去）， ，， 点和点分别为，的中点， 为的中位线， ， ， ． 16. 平行四边形的面积为，点E，H在边上，点F，G在边上，，连接对角线，分别交，于点N，Q，连结交于点M，连结，，若，则图中与的面积和为________． 【答案】30 【解析】 【分析】利用线段比例关系确定点M和点Q在图形中的相对位置，进而利用“等高模型”将不规则三角形面积转化为已知平行四边形面积的一部分即可． 【详解】解：由题意知，设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题有小题，第小题分，第小题分，第小题分，共分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的因式分解法和配方法，熟练掌握因式分解和完全平方公式是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用完全平方式将变形为：，再开方解出即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 或． 【小问2详解】 ， ， ， 或， 解得：或． 19. 如图，在方格中，每个小正方形的边长为1，已知A、B在格点上，请按以下要求画图： （1）在图（1）中，将线段绕点O顺时针旋转，画对应线段； （2）在图（2）中，画出以线段为边的菱形． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质以及网格特征，得出，进行作图即可； （2）根据四边都相等的四边形是菱形，以及运用勾股定理得，画出四边长度都为的四边形，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：92，96，70，88，60，70，100，83，92，99； 乙：92，93，70，88，81，73，96，80，92，95 （1）小明利用平均数、方差进行分析： ①通过计算平均数：分，________分； ②方差：，，可以看出________（填“甲”或“乙”）组的测试更稳定； （2）小涛利用四分位数、箱线图进行分析： 最小值 最大值 甲 60 90 100 乙 70 80 93 96 ①求________；________；________； ②根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对甲乙两组的成绩的看法． 【答案】（1）①；②乙 （2）①；；；②甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中 【解析】 【分析】（1）①运用求平均数的公式列式计算，即可作答；②由方差越小越稳定，得出乙组的测试更稳定； （2）①观察箱线图的信息以及运用求四分位数的方法进行作答即可；②运用数形结合思想，得出甲组箱体较大，乙组箱体较小，故甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中，即可作答． 【小问1详解】 解：①（分）； ②，，， 乙组的测试更稳定； 【小问2详解】 解：①观察箱线图得出，， 把甲的数据按从小到大排序得：60，70，70，83，88，92，92，96，99，100，一共是个数据， 方法一：， 则取上整数为， ∴第三四分位数为第个数据，即， ∴； 方法二：甲组数据的中位数是， 则中位数右侧的原始数据是92，92，96，99，100， 故这组数据的中位数为， 即； ②略 21. 有一块长方形木板，小牛采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． （1）求长方形木板的面积； （2）小牛想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明小牛的想法是否可行． 【答案】（1） （2）解：∵要裁的长方形面积为，宽为， ∴它的长为 ， ∵原长方形的长为、宽为， ∴​， 即要裁出的长方形的长大于原长方形的任意一边， ∴小牛的想法不可行． 【解析】 【分析】（1）因为正方形是面积为的正方形，所以先根据正方形面积公式求其边长。因为正方形边长等于，也等于，所以代入和的长度，可分别求出长方形的长和宽，再用长方形面积公式计算其面积． （2）先根据裁出长方形的面积和宽，用长方形面积公式求出其长，再将裁出长方形的长和宽分别与长方形的长和宽比较大小，判断是否可行． 【小问1详解】 解：∵正方形面积为， ∴正方形边长为． ∵，： ∴， ． ∴长方形的面积为 ． 【小问2详解】 略 22. 如图，在平行四边形中，平分，过点作垂直平分交于点，连结，，． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）四边形的面积为，求四边形的周长． 【答案】（1）四边形的形状为菱形， 理由如下： ∵四边形是平行四边形 ∴ ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）运用平行四边形的性质，以及垂直平分线的性质，证明，再证明四边形是平行四边形，最后结合对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证． （2）结合平行线之间的距离相等，整理得的面积，平行四边形的面积，则四边形的面积与平行四边形的面积之比为：，又因为四边形的面积为，得平行四边形面积为，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作，如图所示： ∵四边形是平行四边形 ∴，， ∵， 则的面积， 平行四边形的面积， ∴四边形的面积 ∴四边形的面积与平行四边形的面积之比为： ∵四边形的面积为 ∴平行四边形面积为， ∴高． ∵， ∴， ∴四边形是菱形． ∴ ∴， ∴， 则， 即四边形的周长为． 23. 我们把一元二次方程的两根记为，，若方程的两根满足，则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对． 已知关于的方程 （1）求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程是对称根方程，且对称中心值为，求的值； （3）若是它的互补对，求的值． 【答案】（1）， ∵ ∴ ， 所以不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）列式计算得出方程的判别式，再进行分析，即可作答． （2）结合对称根方程以及对称中心值的定义进行列式计算，即可作答． （3）分别整理得出，，再结合这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，得，最后解得或，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的对称中心值为，该方程的根记为， 根据韦达定理得到， ∵该方程又是对称根方程，且对称中心值为， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：设的对称中心值为，该方程的根记为， ∴，， ∴ ∴对称中心值， 设的对称中心值为，该方程的根记为 ∴， ∴ ∴对称中心值， ∵这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值 ∴， ∴或 ∴或． 24. 在平行四边形中，，． （1）如图1，当时，连接，将沿折叠，点的对应点为点，交于点，求的长； （2）如图2，当时，点是射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点． ①若点恰好落在上，求的长； ②射线交射线于点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的长． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】(1)由折叠、平行可得为等腰三角形，建立勾股方程即可求解； (2)①过点作，交延长线于点，易得，设，在中，利用勾股定理建立方程求出，可得，过点作于点，解即可得解； ②分两种情况讨论，点在或者延长线上，依次画出符合题意的图形求解即可． 【小问1详解】 解∶(1)由折叠可知， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ． 【小问2详解】 解：①过点作，交延长线于点，如图 ∴， ，四边形是平行四边形， ∴，， ， ∴， 设，则， 由折叠可知，， 在中，， ， 解得（负值已舍去），即， 则， 过点作于点，如图 ∴， 设，则， ∵， ∴， ，， ， 在中，， ， 解得， ； ②当在线段上，与相交于点，如图 当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，为的中点，， ∴． 由折叠、平行，同理可得为等腰三角形， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作，同理可得，，， ∴， 解得， ． 当在线段的延长线上时，点的对应点恰好在的延长线上，如图 此时； 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期八年级期末学业评价调测试卷 数学试卷 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 中国传统工艺中蕴含着丰富的对称之美，下列四个具有传统韵味的装饰图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某校八年级开展数学竞赛，进入决赛的学生有20名，他们的决赛成绩如表所示： 决赛成绩/分 100 99 98 97 人数 4 7 3 6 则这20名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（ ） A. 98.5，99 B. 99，99 C. 97.5，98 D. 98.5，98 5. 用反证法证明：在中，，，则，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，为边上的中线，延长到点，使，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代井田形制多为正方形，现对一块正方形井田修整，在田地四周向外修筑等宽田埂，四周每一侧均向外拓宽2丈，拓宽后整块田地仍为正方形，且新增开垦的田地面积恰好是原有井田面积的．设原正方形井田的边长为丈，则下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 15 9. 如图，在菱形中，，点是对角线的中点，点是边上的中点，连接，，已知，则的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，，，点、、、分别为、、、边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形，当四边形为菱形时，的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是________． 12. 若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为___________． 13. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为______． 14. 五个正整数从小到大排列，若这组数据的中位数是4，唯一的众数是5，则这五个正整数之和的最小值是____________． 15. 如图，在矩形中，对角线，相交于与点，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，过点作的垂线交于点，．若，则的长是________． 16. 平行四边形的面积为，点E，H在边上，点F，G在边上，，连接对角线，分别交，于点N，Q，连结交于点M，连结，，若，则图中与的面积和为________． 三、解答题（本大题有小题，第小题分，第小题分，第小题分，共分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，在方格中，每个小正方形的边长为1，已知A、B在格点上，请按以下要求画图： （1）在图（1）中，将线段绕点O顺时针旋转，画对应线段； （2）在图（2）中，画出以线段为边的菱形． 20. 甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：92，96，70，88，60，70，100，83，92，99； 乙：92，93，70，88，81，73，96，80，92，95 （1）小明利用平均数、方差进行分析： ①通过计算平均数：分，________分； ②方差：，，可以看出________（填“甲”或“乙”）组的测试更稳定； （2）小涛利用四分位数、箱线图进行分析： 最小值 最大值 甲 60 90 100 乙 70 80 93 96 ①求________；________；________； ②根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对甲乙两组的成绩的看法． 21. 有一块长方形木板，小牛采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． （1）求长方形木板的面积； （2）小牛想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明小牛的想法是否可行． 22. 如图，在平行四边形中，平分，过点作垂直平分交于点，连结，，． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）四边形的面积为，求四边形的周长． 23. 我们把一元二次方程的两根记为，，若方程的两根满足，则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对． 已知关于的方程 （1）求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程是对称根方程，且对称中心值为，求的值； （3）若是它的互补对，求的值． 24. 在平行四边形中，，． （1）如图1，当时，连接，将沿折叠，点的对应点为点，交于点，求的长； （2）如图2，当时，点是射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点． ①若点恰好落在上，求的长； ②射线交射线于点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $