精品解析：内蒙古呼和浩特铁路局呼和浩特职工子弟第一中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

呼铁一中2025-2026学年第二学期期末考试 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】集合，， 所以. 2. 以下不等式正确的是（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】C 【解析】 【分析】举反例排除选项A，B，D，结合不等式性质判断C. 【详解】对于选项A，取，，，， 满足，，但，A错误； 对于选项B，取，，，， 满足，但，B错误； 对于选项C，因为，所以，C正确； 对于选项D，取，， 满足，但，D错误； 3. 命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为真命题， 即对于，​成立. 设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为. 充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有 ，满足条件， 因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】方法一：由，得， 化简得，即， 等价于，解得. 所以原不等式的解集为. 方法二：由，得或， 化简得或（舍去），所以， 所以原不等式的解集为. 5. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 又因为，所以， 所以，所以A、C无法判断， 对于B、D，， 所以，即. 6. 在等差数列中，，（，），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式列出已知项的表达式，求解公差与首项，再代入计算即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，其通项公式为，. 由，，可得， 两式作差得. 因为，可得，进而. 故. 7. 如图是函数的导函数的图象，则在下列区间内，一定存在最大值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】由图象可知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 对于A，在开区间先减后增，无最大值，A错误. 对于B，结合在开区间上的单调性，知为极大值点，开区间内，无法确定端点函数值与极大值的大小关系，故不一定存在最大值，B错误. 对于C，在开区间先增后减，一定有最大值，C正确. 对于D，结合在开区间上的单调性，知为极大值点，开区间内，无法确定端点值与极大值的大小关系，故不一定存在最大值，D错误. 8. 设是定义在上的函数且满足，当时，，则函数在区间上的零点个数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出函数在区间上的零点，再利用周期性求解在区间的零点. 【详解】当时，， 在区间内的零点为和，共个零点. 由得，则函数在区间上的零点为共6个. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误. 10. 下列能够取得最小值为4的函数有（ ） A. 函数 B. 函数 C. 函数 D. 函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用均值不等式依次计算每个选项的最小值，A选项的最小值为3不满足，其余均满足即可得到答案. 【详解】对A：， 当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对B：，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对C：， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对D：， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 11. 已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 是的一个周期 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用赋值法令根据表达式可判断A正确，再根据偶函数定义可得B正确；取并根据对称中心定义可得C正确，由对称中心以及偶函数性质可判断是的一个周期，可得D错误. 【详解】对于A,根据题意令，则由可得，解得，即A正确； 对于B,令可得，所以， 即可得对任意的满足，即是偶函数，所以B正确； 对于C,令，则由可得， 即满足，因此可得的图象关于点中心对称，即C正确； 对于D,由于是偶函数，所以满足，即， 可得，也即，所以是的一个周期，即D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则实数的值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据集合相等的定义分析即可. 【详解】集合，， 若，则， 则或，所以或或， 当时，集合，，则，满足题意； 当时，集合，，不符合； 当时，集合，，不符合； 综上，实数的值为2. 故答案为：2 13. 设函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先对原函数求导得到含常数的导函数表达式，再将代入导函数构造出关于的一元一次方程，解方程即可得到的值. 【详解】由题意得， 令，得，解得. 14. 已知数列的前项和为，且，令数列 的前项和为，______． 【答案】 【解析】 【分析】借助与关系计算可得数列的通项公式，再利用裂项相消法计算即可得解. 【详解】由题意，当时，， 而满足上式，因此， 则， 则， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数解析式： （1）函数满足； （2）函数对任意的都有 ； （3）函数是一次函数且满足 . 【答案】（1） （2） （3）或 ． 【解析】 【分析】（1）用换元法，令，代入求出后即可得； （2）用替换已知式中的，然后解方程组可得； （3）设，代入已知条件求解. 【小问1详解】 令，则， 所以，则． 【小问2详解】 ∵ ，① ∴ ，② 由得 解得： ． 【小问3详解】 设 ，则 . 又 ，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性，并求其极值． 【答案】（1） （2）在上单调递减，在上单调递增，极小值为，无极大值 【解析】 【分析】（1）利用切线的几何意义求出斜率，再结合题意得到切点，最后得到切线方程即可. （2）利用导数求解函数的单调性，再求解极值即可. 【小问1详解】 因为，所以， 设切线的斜率为，由斜率的几何意义得， 而，得到切点为，则切线方程为， 化简得，故切线方程为. 【小问2详解】 ，令，可得， 令，可得， 则在上单调递减，在上单调递增， 得到极小值为，无极大值. 17. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） （2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为（万元） 【解析】 【分析】（1）直接根据题中所给的利润关系及相应成本可得函数解析式； （2）根据分段函数的性质，分别求出函数在两段上的最大值，再比较可得最大利润. 【小问1详解】 因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元， 且年利润年销售收入固定成本流动成本， 当时，流动成本， 所以； 当时，流动成本， 所以. 因此，年利润的函数解析式为. 【小问2详解】 分当时，由基本不等式，当且仅当，​即时取等号，满足， 因此，（万元） 当时，是开口向下的二次函数， 对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值. 比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）. 18. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求及数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）赋值求出前3项，作差得到递推关系，证明数列是等比数列，从而写出通项即可. （2）写出的表达式，采用错位相减法，即可得解. 【小问1详解】 根据已知条件，，令，解得， 同理，易得. 当时，， 与两式相减，得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以，则， 两式相减可得， 整理得. 19. 设函数，． （1）求函数在区间上的最值； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）已知 ，方程有两个不等实根，，方程有两个不等实根，，试判断与的大小关系，并证明你的结论． 【答案】（1）最大值为，最小值为. （2）. （3）.证明如下： 由（1）可知，函数在单调递减，在单调递增， 因为方程有两个不等实根，，不妨设, 所以，， 化简得，即， 令，其中，则，所以， 解得，则解得； 因为方程有两个不等实根，，不妨设, 所以，， 化简得，即， 令，其中，则，所以， 解得，解得； 设，其中，令，， 则，， ， ， 因为，所以，，，， 令，其中， 则，设 则，当时，，所以在上单调递减， ，所以在上单调递增， 当趋于0时，趋于1，趋于负无穷，所以，则， 所以在上单调递减， 因为，所以，所以， 则，所以，即. 【解析】 【分析】（1）利用导数可得函数在区间上单调递增，即可得最值； （2）不等式转化为恒成立，令，，则恒成立，即，利用导数求解； （3）根据函数的单调性可得方程有两个不等实根，，且,则化简可得，令，则，同理得；设，其中，利用导数可得 . 【小问1详解】 因为的定义域为，， 当时，，所以在区间上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 【小问2详解】 由，得，即， 令，，则恒成立，即， ， 令得，； 令得，；令得，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， ， 则,得，解得，故的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 呼铁一中2025-2026学年第二学期期末考试 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 2. 以下不等式正确的是（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 3. 命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 在等差数列中，，（，），则（ ） A. B. C. D. 7. 如图是函数的导函数的图象，则在下列区间内，一定存在最大值的是（ ） A. B. C. D. 8. 设是定义在上的函数且满足，当时，，则函数在区间上的零点个数为（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列能够取得最小值为4的函数有（ ） A. 函数 B. 函数 C. 函数 D. 函数 11. 已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 是的一个周期 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则实数的值为______. 13. 设函数，则______． 14. 已知数列的前项和为，且，令数列 的前项和为，______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数解析式： （1）函数满足； （2）函数对任意的都有 ； （3）函数是一次函数且满足 . 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性，并求其极值． 17. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） （2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求及数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 19. 设函数，． （1）求函数在区间上的最值； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）已知 ，方程有两个不等实根，，方程有两个不等实根，，试判断与的大小关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $