精品解析：上海市华东师范大学附属东昌中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

东昌中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期末 2026.1 一、填空题（每题3分，满分36分） 1. 若集合，则________ 【答案】 【解析】 【分析】 根据两个集合的元素直接写出并集即可. 【详解】由题：集合，则. 故答案为： 【点睛】此题考查集合的并集运算，根据集合中的元素，直接写出并集，属于简单题目. 2. 已知扇形的半径为1，圆心角为弧度，则该扇形的面积为______． 【答案】## 【解析】 【详解】因为扇形的半径为1，圆心角为弧度， 所以该扇形的面积为. 3. 已知，用表示______. 【答案】 【解析】 【分析】利用换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 4. 已知角在第二象限，且则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据诱导公式得，根据所在象限和同角三角函数关系则可得到，再利用二倍角正切公式即可得到答案. 【详解】，即，则， 角在第二象限，则，则， . 故答案为：. 5. 幂函数在上单调递减，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用幂函数定义求出m值，再借助幂函数单调性即可判断作答. 【详解】解：因为函数是幂函数， 则有，解得或， 当时，函数在上单调递增，不符合题意， 当时，函数在上单调递减，符合题意. 所以的值为 故答案为： 6. 把化成（其中，）形式时______． 【答案】 【解析】 【详解】由辅助角公式得，则. 7. 已知函数是在定义域上的严格减函数，且为奇函数.若，则不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性得到，从而得到，再根据定义域和单调性列出不等式组，求出解集. 【详解】因为是在定义域上的奇函数，， 所以， 故， 因为是在定义域上的严格减函数， 所以，解得：， 故答案为： 8. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与以坐标原点为圆心、为半径的圆交于点，若点的横坐标与纵坐标之和为，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，根据条件求解出值，再根据，代入数值可求结果. 【详解】设，由题意可知，所以， 所以， 故答案为：. 9. 已知函数（，且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，则的最小值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据指数函数求定点，再结合基本不等式中“1”的灵活运算求解. 【详解】令，即，则， ∴函数（，且）的图象恒过定点， 由题意可得：， ∴，当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 10. 设函数，若在上单调递增，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数在每一段上都递增，列出不等式，且有，再联立求解即得. 【详解】因函数在上单调递增，则有在上递增，于是得， 在上也递增，于是得，即，并且有，即，解得， 综上得：， 所以的取值范围是. 故答案为： 11. 已知函数，函数.若对任意的，都存在，使得成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将若对任意的，都存在，使得成立转化为 成立，再利用二次函数的性质和绝对值不等式，分别求解和的最小值，得到不等式即可求解. 【详解】由题意，若对任意的，都存在，使得成立， 有成立； 因为函数，所以； 又由， 因为，且， 所以，当时取等号，即的最小值为， 所以，解得，即的取值范围是. 故答案为：. 12. 若函数 的图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得的图形过点，得到的图象过点，结合，，联立方程组，求得的值，得出，再根据题意，得到必为函数的一个零点，结合，求得的值，即可求解. 【详解】由函数， 则函数的图形过点， 因为函数的图象关于对称，则函数的图象过点， 可得，且，可得， 又由，且，可得， 联立方程组，解得， 所以， 因为函数图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点， 则必为函数的一个零点，即， 可得，解得， 所以. 故答案为：. 二、单选题（每题3分，满分12分） 13. 设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充分不必要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】分别证明充分性和必要性，结合诱导公式和同角三角函数的关系分析即可. 【详解】若，化简得：，即， 故，故充分性成立； 若，又，可得， 即或，故或， 故必要性不成立，所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：C. 14. 已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在性定理和二分法，不断将区间一分为二后计算即可求得. 【详解】依题意，设函数在内的零点为； 因为，，所以，所以； 取区间的中点，则，所以，所以； 取区间的中点，则，所以，所以； 即两次二分法后，函数零点所在区间为. 故选：C. 15. 对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把问题转化为一元二次方程在给定的区间上有解，求参数的取值范围. 【详解】设为奇函数，且当时，，则时，. 则原问题转化为方程：在上有解，求的取值范围问题. 由在有解得： . 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据“隐对称点”的概念，把函数位于轴左侧的图象关于原点对称后，必与函数位于轴右侧的图象有公共点，从而转化为二次函数在给定区间上有零点的问题解决是该问题的关键.属于中档题. 16. 记，已知，均是定义在实数集R上的函数，设，有下列两个命题： ①若函数，都是奇函数，则也是奇函数； ②若函数，都是严格减函数，则也是严格减函数. 则关于两个命题判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①正确②错误 C. ①错误②正确 D. ①②都错误 【答案】C 【解析】 【分析】取特例可说明①；根据单调递减函数的定义可得，且时，有，.然后结合函数的定义可推出，即可判断②. 【详解】对于①，设，，则函数，都是奇函数，，显然不是奇函数，故①错误； 对于②，因为函数，都是严格减函数，则对于，且时，有，. 又，所以有，所以必有且. 又，所以有， 所以也是严格减函数，故②正确. 故选：C. 三．解答题 17 若集合，. （1）当时，求实数的取值范围； （2）当时，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）解出集合，，根据，即可求出的取值范围；（2）根据，即可求出的取值范围. 试题解析：（1）， ，； （2），. 18. 设常数，，关于的方程的两个实数根是，． （1）若，，分别求和的值 （2）若，，分别求和的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用平方关系得到，再利用根与系数间的关系，即可求解； （2）根据条件，利用平方关系得到，可得，进而可判断出，再利用，即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以， 又方程的两个实数根是，， 所以，得到，. 【小问2详解】 由题知，又， 所以，又，解得， 因为，又，所以， 又，所以. 19. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现，某水果的产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，且施用肥料及其它成本总投入为元．已知这种水果的市场售价大约10元/千克，且生产的水果都能售出．记该水果利润为（单位：元）．（利润销售额成本） （1）写出利润（元）关于施用肥料x（千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果利润最大？最大利润多少？ 【答案】（1） （2）当施用肥料为3千克时，该水果利润最大，最大利润是400元 【解析】 【分析】（1）根据题目信息直接写出表达式即可； （2）根据分段函数性质，结合二次函数和基本不等式分别求解最大值并比较即可. 【小问1详解】 由已知， 又， 所以， 整理得 【小问2详解】 当时，， 所以当时，， 当时， ， 当且仅当，即时等号成立，， 因为，所以的最大值为400， 故当施用肥料为3千克时，该水果的利润最大，最大利润是400元 20. 已知． （1）当时，若，判断的单调性并给出证明； （2）若在上有解，求实数a的取值范围； （3）若在区间上是增函数，求实数a的取值范围． 【答案】（1）单调递增，证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义可证函数的单调性. （2）不等式等价于，根据题意只需即可求解. （3）法一：由题意可得0在上恒成立，进而可得在上恒成立，可求得实数a的取值范围.法二：由在区间上是增函数，在上任取，则，进而计算可求得实数a的取值范围. 【小问1详解】 当时，在上单调递增. 证明：设，则 因为，所以，则， 所以，那么0， 即，所以在上单调递增. 【小问2详解】 由在上有解，可得在上有解， 即在上有解. 令，函数的图象开口向下，对称轴为， 所以在处取得最大值. 因为在上有解，所以，即实数的取值范围是. 【小问3详解】 法一：对求导，根据求导公式， 可得.因为在区间上是增函数， 所以0在上恒成立，即在上恒成立， 因为，所以在上恒成立，即在上恒成立. 令，因为，所以在上单调递减， 则，所以，即实数的取值范围是. 法二：因为在区间上是增函数， 所以在上任取， 所以， 因为，所以，，所以， 所以对恒成立， 所以对恒成立， ，所以， 所以实数的取值范围是. 21. 若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数，则称在上具有性质.若是函数定义域的一个子集，称函数，是函数在上的限制. （1）设是上具有性质的奇函数，求时不等式的解集； （2）设为上具有性质的偶函数.若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； （3）已知函数在区间上的限制是具有性质的奇函数，在上的限制是具有性质的偶函数.若对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据奇函数确定，再解不等式即可. （2）设，根据函数为偶函数，得到，不等式转化为，根据函数的值域和单调性计算最值得到答案. （3）确定函数解析式，根据函数的单调性计算函数的值域为，再考虑，，三种情况，分别计算综合得到答案. 【小问1详解】 设，则，函数为奇函数，故， ，则，， 函数为奇函数，满足， ，设，，解得或（舍） 即，解得，故 【小问2详解】 设，则，函数为偶函数， 故，故，， ，即， 设，，则，函数在上单调递减，在上单调递增，故， ， 即，函数在上单调递减， 故，故. 【小问3详解】 根据（1）（2）知：， 当时，，设，则，， 函数单调递增，， 时，，设，则，单调递增， 故，函数在上的偶函数， 故， 综上所述： ， 当时，即，即，解得； 当时，即，即，成立； 当时，即，即，解得； 综上所述： 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义，涉及函数的单调性，奇偶性，值域，不等式恒成立和能成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用换元法求函数值域是解题关键，换元法可以简化运算，是常考的方法，需要熟练掌握. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东昌中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期末 2026.1 一、填空题（每题3分，满分36分） 1. 若集合，则________ 2. 已知扇形的半径为1，圆心角为弧度，则该扇形的面积为______． 3. 已知，用表示______. 4. 已知角在第二象限，且则______． 5. 幂函数在上单调递减，则的值为______． 6. 把化成（其中，）形式时______． 7. 已知函数是在定义域上的严格减函数，且为奇函数.若，则不等式的解集是______. 8. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与以坐标原点为圆心、为半径的圆交于点，若点的横坐标与纵坐标之和为，则的值为_______． 9. 已知函数（，且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，则的最小值为___________. 10. 设函数，若在上单调递增，则的取值范围是__________． 11. 已知函数，函数.若对任意的，都存在，使得成立，则的取值范围是__________． 12. 若函数 的图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，则的值为________． 二、单选题（每题3分，满分12分） 13 设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充分不必要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 14. 已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 15. 对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 记，已知，均是定义在实数集R上的函数，设，有下列两个命题： ①若函数，都奇函数，则也是奇函数； ②若函数，都是严格减函数，则也是严格减函数. 则关于两个命题判断正确的是（ ） A ①②都正确 B. ①正确②错误 C ①错误②正确 D. ①②都错误 三．解答题 17. 若集合，. （1）当时，求实数的取值范围； （2）当时，求实数的取值范围. 18. 设常数，，关于的方程的两个实数根是，． （1）若，，分别求和的值 （2）若，，分别求和的值． 19. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现，某水果的产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，且施用肥料及其它成本总投入为元．已知这种水果的市场售价大约10元/千克，且生产的水果都能售出．记该水果利润为（单位：元）．（利润销售额成本） （1）写出利润（元）关于施用肥料x（千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果利润最大？最大利润是多少？ 20. 已知． （1）当时，若，判断的单调性并给出证明； （2）若在上有解，求实数a的取值范围； （3）若在区间上是增函数，求实数a的取值范围． 21. 若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数，则称在上具有性质.若是函数定义域的一个子集，称函数，是函数在上的限制. （1）设是上具有性质奇函数，求时不等式的解集； （2）设为上具有性质的偶函数.若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； （3）已知函数在区间上的限制是具有性质的奇函数，在上的限制是具有性质的偶函数.若对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $