第04讲 命题（知识清单+4题型讲解练+强化训练）（讲义）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（沪教版2020必修一）

第04讲 命题 知识清单 知识点：命题 1 题型归纳 题型01 命题的概念 2 题型02 判断命题的真假 3 题型03 写出原命题的否命题 4 题型04 已知命题的真假求参数 4 强化训练 5 知识点. 命题 1.定义：能判断真假的、不带有变元的陈述句，叫做命题（proposition）. 判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题. 例如，“10是2的倍数”是真命题，“11是偶数”是假命题. 说明：①命题必定由条件与结论两部分组成； ②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 【注意】构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段. ③真命题的确定：直接法和反证法. 说明：反证法既是一种重要的数学思想，也是命题证明的一种方法，后面会有赘述. 2. 推出关系： 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 题型01 命题的概念 【变式2】（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）下列语句 ①考数学开心吗？ ②好好做作业，争取下次数学能及格 ③2不是素数 ④0是自然数 其中是命题的语句的序号有 . 【变式1】判断下列语句是否为命题，并在相应的括号内填入“是”或“否”. （1）正方形是四边形.( ) （2）任意一个三角形的内角和都是.( ) （3）1是自然数吗？( ) 【变式2】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）下列语句中是命题的有 ． A．三边对应相等的两个三角形全等 B．如果，则 C．对于任意数，不能被3整除 D．八月的桂花真香啊 E． 【变式3】判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2) (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若，则； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若与是无理数，则是无理数． 题型02 判断命题的真假 【例2】（24-25高一上·上海·期中）命题“如果，那么”是 命题（填写“真”或“假”） 【变式1】（24-25高一上·上海青浦·阶段练习）命题“若，则”是 命题（填“真”或“假”） 【变式2】（24-25高一上·上海宝山·期中）下列叙述正确的是 . ①不等式的所有解可以组成一个集合； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是无限集； ③是的真子集； ④. 【变式3】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知非空集合，满足对于的任意一个排列，对任意，，都有.   关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ）. 命题①：若，则中至少有两个相等； 命题②：若，则中至少有两个相等； A．①是真命题；②是真命题 B．①是真命题；②是假命题 C．①是假命题；②是真命题 D．①是假命题；②是假命题 题型03 写出原命题的否命题 【例3】（23-24高一上·上海闵行·期中）陈述句“或”的否定形式是（    ）． A．且 B．且 C．且 D．或 【变式1】（23-24高一上·上海浦东新·期中）陈述句“、、全为”的否定形式为 ． 【变式2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）陈述句或，则的否定形式： 【变式3】（22-23高一上·上海闵行·期末）“且”的否定形式为 . 题型04 已知命题的真假求参数 【例4】（23-24高一上·上海·期中）已知命题“如果，那么”是真命题，则实数的取值范围是 . 【变式1】（23-24高一上·上海虹口·期中）若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 【变式2】（24-25高一上·上海·阶段练习）为说明“设是任意实数，若，则”是假命题，可以在集合中选取的值，此时为 . 【变式3】（24-25高一上·上海·阶段练习）命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 一、单选题 1．（22-23高一上·上海·阶段练习）设，关于的方程组.对于命题：①存在a，使得该方程组有无数组解；②对任意a，该方程组均有一组解，下列判断正确的是（　　） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 2．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ① ②⫋⫋ A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，，，，其中，下列说法正确的个数是（   ） ①对任意a，是的子集，对任意b，不是的子集； ②对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集； ③存在a，不是的子集，对任意b，不是的子集； ④存在a，不是的子集，存在b，使得是的子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（    ） A．甲乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲乙都不是真命题 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）设全集，集合A，B是R的两个子集，对于任意，定义，，给出下列两个命题： ①对于任意，都有； ②对于任意，都有. 则（   ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 二、填空题 6．（24-25高一上·上海·期末）陈述句“或”的否定形式为 ． 7．（23-24高一上·上海·期末）陈述句“或”的否定形式是 ． 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）陈述句“对于任意，都有成立”的否定形式为 . 9．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）“且”的否定形式为 10．（22-23高一上·上海长宁·阶段练习）陈述句“或”的否定形式是 . 11．（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 12．（24-25高一上·上海·期中）“若且，则且”是 命题.（填“真”或“假”） 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，则“若，则”是 命题.（填“真”或“假”） 14．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，则“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 15．（22-23高一上·上海静安·期中）命题“如果，那么”是 命题（填“真”或“假”）. 16．（22-23高一上·上海奉贤·期中）“所有偶数都不是素数”是 命题.（填“真”或“假”） 17．（22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）命题：“，，都是自然数，如果是的倍数，那么，中至少有一个是的倍数”，该命题是 命题．（填“真”或“假”） 18．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）下列语句中是命题的有 ． A．三边对应相等的两个三角形全等 B．如果，则 C．对于任意数，不能被3整除 D．八月的桂花真香啊 E． 19．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为 . ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则 三、解答题 20．判断下列各命题的真假，并简要说明理由： (1)方程有唯一的解； (2)若方程的两实数根同号，则； (3)合数一定是偶数． 21．已知命题：关于方程有两个不相等的负根，命题：关于的方程无实数根. （1）若命题是真命题，求的取值范围； （2）若命题，中有且仅有一个是真命题，求的取值范围. 22．课上我们学习了“”符号和数学上陈述句一些常用的否定形式 ，实际上“若，则”为假命题可以表述为“至少存在特例满足性质，使”，即我们常说的举反例． (1)请利用上述逻辑语言说明以下两个命题为假： ①任何集合都不是空集的子集；②若，则； (2)其他教材中有这样一种新命题的表述： 如果把命题“若，则”称为原命题，那么将其结论的否定作为条件，将其条件的否定作为结论，可以得到一个新命题“若，则”，我们称新命题为原命题的逆否命题．并且有一个非常强有力的结论：原命题与它的逆否命题是同真或同假的．请综合利用上述知识证明：对于正实数，若，则； (3)证明：原命题“若，则”与它的逆否命题“若，则”同为真命题或同为假命题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 命题 知识清单 知识点：命题 1 题型归纳 题型01 命题的概念 2 题型02 判断命题的真假 5 题型03 写出原命题的否命题 7 题型04 已知命题的真假求参数 9 强化训练 11 知识点. 命题 1.定义：能判断真假的、不带有变元的陈述句，叫做命题（proposition）. 判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题. 例如，“10是2的倍数”是真命题，“11是偶数”是假命题. 说明：①命题必定由条件与结论两部分组成； ②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 【注意】构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段. ③真命题的确定：直接法和反证法. 说明：反证法既是一种重要的数学思想，也是命题证明的一种方法，后面会有赘述. 2. 推出关系： 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 题型01 命题的概念 【变式2】（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）下列语句 ①考数学开心吗？ ②好好做作业，争取下次数学能及格 ③2不是素数 ④0是自然数 其中是命题的语句的序号有 . 【答案】③④ 【知识点】命题的概念 【分析】根据命题的概念即得. 【详解】因为可以判断真假的陈述句为命题， 所以①为疑问句，不是命题； ②不能判断真假，不是命题； ③为假命题； ④为真命题； 所以是命题的语句的序号有③④. 故答案为：③④. 【变式1】判断下列语句是否为命题，并在相应的括号内填入“是”或“否”. （1）正方形是四边形.( ) （2）任意一个三角形的内角和都是.( ) （3）1是自然数吗？( ) 【答案】 是 是 否 【知识点】命题的概念 【分析】根据命题的定义判断语句是否为命题. 【详解】（1）"正方形是四边形"是陈述句且可判断真假，即为命题； （2）任意一个三角形的内角和都是是陈述句且可判断真假，即为命题； （3）1是自然数吗？不是陈述句，不为命题. 故答案为：是，是，否 【变式2】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）下列语句中是命题的有 ． A．三边对应相等的两个三角形全等 B．如果，则 C．对于任意数，不能被3整除 D．八月的桂花真香啊 E． 【答案】ABC 【分析】根据命题的定义能判断真假的陈述句即是命题，逐项验证即可求解. 【详解】对于A，三边对应相等的两个三角形全等，是真命题； 对于B，如果，则，是假命题； 对于C，对于任意数，不能被3整除，能判断真假，是真命题； 对于D，八月的桂花真香啊，不能判断真假，所以不是命题； 对于E，，不能判断真假，所以不是命题. 故答案为：ABC. 【变式3】判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2) (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若，则； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若与是无理数，则是无理数． 【详解】（1）“是有理数”是陈述句，并且能够判断它是假的，所以它是命题． （2）因为无法判断“”的真假，所以它不是命题． （3）“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题． （4）“若，则”是陈述句， 并且．它是真的，所以它是命题． （5）“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句， 并且能够判断它是假的，所以它是命题． （6）“若与是无理数，则是无理数”是陈述句， 并且能够判断它是假的，所以它是命题． 题型02 判断命题的真假 【例2】（24-25高一上·上海·期中）命题“如果，那么”是 命题（填写“真”或“假”） 【答案】真 【知识点】判断命题的真假、常用数集或数集关系应用 【分析】根据数集之间的关系判断真假即可. 【详解】由所有有理数都是实数，知“如果，那么”为真命题. 故答案为：真 【变式1】（24-25高一上·上海青浦·阶段练习）命题“若，则”是 命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【知识点】判断命题的真假 【分析】利用特殊值说明即可. 【详解】当，时，满足，但是， 故命题“若，则”是假命题. 故答案为：假 【变式2】（24-25高一上·上海宝山·期中）下列叙述正确的是 . ①不等式的所有解可以组成一个集合； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是无限集； ③是的真子集； ④. 【答案】①③ 【知识点】判断元素能否构成集合、判断两个集合的包含关系、判断命题的真假、集合的分类 【分析】利用集合的相关概念及子集的意义判断命题①②③；利用推出符号的意义判断命题④. 【详解】对于①，不等式的所有解可以组成一个集合，①正确； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是有限集，②错误； ③是的真子集，③正确； ④若，则或，④错误， 所以正确的命题是①③. 故答案为：①③ 【变式3】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知非空集合，满足对于的任意一个排列，对任意，，都有.   关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ）. 命题①：若，则中至少有两个相等； 命题②：若，则中至少有两个相等； A．①是真命题；②是真命题 B．①是真命题；②是假命题 C．①是假命题；②是真命题 D．①是假命题；②是假命题 【答案】B 【知识点】判断命题的真假 【分析】分别研究两个命题的真假性即可得到答案. 【详解】根据条件，显然都是关于原点对称的集合，所以对，，有. 同时，对，只要包含，则对，有，反之亦然，故. 这表明，只要中有任何一个包含，中就至少有两个相等. 与此同时，对于，设满足，若，，则，所以，据的对称性有，同理，故，同理. 同时，设，则，所以. 故，所以，同理. 有了这些准备工作，下面分别研究两个命题①和②： 对于①，如果中的每个数都是偶数，则可以不断对每个元素除以（这个过程不能无限进行），直至中不全为偶数. 所以不妨设中至少有一个包含奇数，不妨设奇数，此时任取. 根据前面已经证明的结论，可知对任意整数，有，. 再结合前面证明的结论，可知对任意整数，有，. 从而对任意整数，据，，有. 这表明对任意整数，只要不全是偶数，就有. 由于是奇数，故不全是偶数，从而. 根据前面证明的结论，可知中至少有两个相等，故①正确； 对于②，设，，. 则满足全部条件，但两两不相等，故②错误. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对已有条件的适当转化。 题型03 写出原命题的否命题 【例3】（23-24高一上·上海闵行·期中）陈述句“或”的否定形式是（    ）． A．且 B．且 C．且 D．或 【答案】C 【知识点】写出原命题的否命题及真假判断 【分析】根据命题的否定的概念求解即可. 【详解】“或”的否定形式是：且. 故选：C 【变式1】（23-24高一上·上海浦东新·期中）陈述句“、、全为”的否定形式为 ． 【答案】、、不全为 【知识点】命题的概念 【分析】直接对陈述句进行否定即可. 【详解】陈述句“、、全为”的否定形式为“、、不全为”. 故答案为：、、不全为. 【变式2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）陈述句或，则的否定形式： 【答案】 【知识点】写出原命题的否命题及真假判断 【分析】根据已知命题否定的定义写出对应否定形式即可. 【详解】由或，则. 故答案为： 【变式3】（22-23高一上·上海闵行·期末）“且”的否定形式为 . 【答案】或 【知识点】写出原命题的否命题及真假判断 【分析】根据原命题的否定的定义可直接写出结论. 【详解】原命题的否定形式为：或， 故答案为：或. 题型04 已知命题的真假求参数 【例4】（23-24高一上·上海·期中）已知命题“如果，那么”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】由命题为真求解即可. 【详解】已知命题“如果，那么”是真命题， 则实数的取值范围是. 故答案为： 【变式1】（23-24高一上·上海虹口·期中）若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 【答案】 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】分甲命题为真乙命题为假和甲命题为假乙命题为真分类求解，最后再求并集即可. 【详解】若甲命题为真乙命题为假，则，可得，即； 若甲命题为假乙命题为真，则，可得或，即； 综上所述，实数x的取值范围是. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海·阶段练习）为说明“设是任意实数，若，则”是假命题，可以在集合中选取的值，此时为 . 【答案】 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】根据题意在集合中选取的值，满足. 【详解】若命题为假命题，则由题意知，且，此时为. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海·阶段练习）命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】根据交集结果求集合或参数、已知命题的真假求参数、根据或且非的真假求参数 【分析】（1）根据条件，利用集合的运算结果得到，即可求解； （2）利用，将问题转化成或集合中元素是非正数，从而通过方程的解，求得，即可求解； （3）利用（1）和（2）中结果，分命题甲是真命题，命题乙是假命题和命题甲是假命题，命题乙是真假命题两种情况，即可求解. 【详解】（1）因为，又， 所以，解得， 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为. （2）因为，且，则或集合中元素是非正数， 又，所以中元素是方程的解， 当时，，解得， 当集合中元素是非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得， 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为. （3）当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，，得到， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，或，得到， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数的取值范围为或. 一、单选题 1．（22-23高一上·上海·阶段练习）设，关于的方程组.对于命题：①存在a，使得该方程组有无数组解；②对任意a，该方程组均有一组解，下列判断正确的是（　　） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】D 【知识点】判断命题的真假 【分析】通过解方程组的知识求得正确答案. 【详解】由得，则，，所以， 则，解得， 所以关于的方程组有唯一解. 所以①为假命题，②为真命题. 故选：D 2．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ① ②⫋⫋ A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算、并集的概念及运算、判断命题的真假 【分析】根据集合交并运算，判断集合间包含关系，进而判断命题的真假. 【详解】①因为，，所以，真命题， ②当时，，此时，非真子集，假命题. 故选：B 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，，，，其中，下列说法正确的个数是（   ） ①对任意a，是的子集，对任意b，不是的子集； ②对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集； ③存在a，不是的子集，对任意b，不是的子集； ④存在a，不是的子集，存在b，使得是的子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】利用全称量词命题、存在量词命题的定义，结合子集的意义判断各个命题即可. 【详解】对于集合，， 任意，即，则，即有， 因此对任意a，是的子集，命题③④错误； 对于集合，， 当时，，，则是的子集， 当时，，， 则不是的子集，命题①③错误， 所以对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集，命题②正确，正确命题的个数为1. 故选：B 【点睛】思路点睛：判断全称量词命题为真、存在量词命题为假都需推理证明；判断全称量词命题为假、存在量词命题为真只需举例说明即可. 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（    ） A．甲乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲乙都不是真命题 【答案】B 【知识点】判断命题的真假、集合新定义、利用Venn图求集合 【分析】根据对称差集合的定义和集合的运算将变形即可判断命题甲；对于乙，画出和的图示即可判断. 【详解】对于甲， ，故命题甲正确； 对于乙，如图所示： 所以，，故命题乙不正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：对于集合新定义问题，关键是理解新定义，利用韦恩图结合集合的运算，利用数形结合判断. 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）设全集，集合A，B是R的两个子集，对于任意，定义，，给出下列两个命题： ①对于任意，都有； ②对于任意，都有. 则（   ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】A 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断命题的真假 【分析】根据题意确定，的取值，得出与集合，的关系，判断命题是否正确. 【详解】命题①对于任意，都有； 若，则即，,或，，，即， 若，则时即即， 或时即即，故总有， 故命题①为真命题； 命题②对于任意，都有. 若，则，而，故即，故； 若，则当，一定成立，即，此时， 当时，，此时也成立， 故命题②为真命题； 故选：A. 二、填空题 6．（24-25高一上·上海·期末）陈述句“或”的否定形式为 ． 【答案】且 【知识点】命题的否定与否命题的区别与判断 【分析】根据或命题的否定为且命题，注意相应条件取反，即可写出原命题的否定形式. 【详解】由或命题的否定为且命题，则原命题的否定为且. 故答案为：且. 7．（23-24高一上·上海·期末）陈述句“或”的否定形式是 ． 【答案】且 【知识点】命题的否定与否命题的区别与判断 【分析】根据命题的否定即可得到结论. 【详解】命题“或”的否定形式为“且”. 故答案为：且. 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）命题“存在，使得”的否定是 . 【答案】任意，都有. 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】“存在，使得”的否定是“任意，都有”. 故答案为：任意，都有. 9．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）“且”的否定形式为 【答案】或 【知识点】写出简单命题的非命题 【分析】直接根据否定的定义得到答案. 【详解】“且”的否定形式为：或. 故答案为：或. 10．（22-23高一上·上海长宁·阶段练习）陈述句“或”的否定形式是 . 【答案】且 【知识点】命题的否定与否命题的区别与判断 【分析】根据原条件写出其相反表达的形式，即可得否定形式. 【详解】“或”的否定形式是“且”. 故答案为：且 11．（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【知识点】判断命题的真假 【分析】通过取反例即可判断. 【详解】取，满足， 显然不成立，所以命题为假命题. 故答案为：假 12．（24-25高一上·上海·期中）“若且，则且”是 命题.（填“真”或“假”） 【答案】假 【知识点】判断命题的真假 【分析】直接取特殊值验证即可. 【详解】当时，且；此时不满足且，故该命题为假命题. 故答案为：假 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，则“若，则”是 命题.（填“真”或“假”） 【答案】真 【知识点】判断命题的真假 【分析】根据，可判断. 【详解】因为等价于， 所以命题“若，则”是真命题. 故答案为：真. 14．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，则“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【知识点】判断命题的真假 【分析】根据题意举出反例即可证明该命题是假命题. 【详解】不妨取，则，不满足， 因此该命题是假命题. 故答案为：假 15．（22-23高一上·上海静安·期中）命题“如果，那么”是 命题（填“真”或“假”）. 【答案】真 【知识点】判断命题的真假 【分析】解不等式即可求解. 【详解】由得解得且， 所以命题“如果，那么”是真命题， 故答案为:真. 16．（22-23高一上·上海奉贤·期中）“所有偶数都不是素数”是 命题.（填“真”或“假”） 【答案】假 【知识点】判断命题的真假 【分析】由2既是偶数又是素数即可解决. 【详解】所有偶数都不是素数，是错的，例如2既是偶数又是素数. 故答案为：假. 17．（22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）命题：“，，都是自然数，如果是的倍数，那么，中至少有一个是的倍数”，该命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【知识点】判断命题的真假 【分析】利用特殊值判断即可. 【详解】解：当，，时满足是的倍数， 但是，均不是的倍数，故该命题为假命题， 故答案为：假 18．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）下列语句中是命题的有 ． A．三边对应相等的两个三角形全等 B．如果，则 C．对于任意数，不能被3整除 D．八月的桂花真香啊 E． 【答案】ABC 【知识点】命题的概念、判断命题的真假 【分析】根据命题的定义能判断真假的陈述句即是命题，逐项验证即可求解. 【详解】对于A，三边对应相等的两个三角形全等，是真命题； 对于B，如果，则，是假命题； 对于C，对于任意数，不能被3整除，能判断真假，是真命题； 对于D，八月的桂花真香啊，不能判断真假，所以不是命题； 对于E，，不能判断真假，所以不是命题. 故答案为：ABC. 19．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为 . ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则 【答案】②③④ 【知识点】描述法表示集合、判断命题的真假 【分析】根据集合的特征，代入公式或，并结合举例判断. 【详解】①若，①错误， ②，②正确， ③，③正确， ④，④正确， ⑤若，⑤错误. 故答案为：②③④ 三、解答题 20．判断下列各命题的真假，并简要说明理由： (1)方程有唯一的解； (2)若方程的两实数根同号，则； (3)合数一定是偶数． 【详解】（1）当时方程无解，故命题为假命题. （2）若一元二次方程两实数根同号，则，故命题为真命题. （3）9是合数也为奇数，故命题为假命题. 21．已知命题：关于方程有两个不相等的负根，命题：关于的方程无实数根. （1）若命题是真命题，求的取值范围； （2）若命题，中有且仅有一个是真命题，求的取值范围. 【详解】（1）若命题是真命题，则关于方程有两个不相等的负根， 所以只需，解得， 即的取值范围为； （2）若为真命题，即关于的方程无实数根， 则，即，解得：或； 若为假命题，则； 由（1）知，是真命题时，；所以为假命题时，或； 因为命题，中有且仅有一个是真命题， 当为真命题，为假命题时，由，可得； 当为真命题，为假命题时，只需求与的交集，即； 综上，的取值范围为. 23．课上我们学习了“”符号和数学上陈述句一些常用的否定形式 ，实际上“若，则”为假命题可以表述为“至少存在特例满足性质，使”，即我们常说的举反例． (1)请利用上述逻辑语言说明以下两个命题为假： ①任何集合都不是空集的子集；②若，则； (2)其他教材中有这样一种新命题的表述： 如果把命题“若，则”称为原命题，那么将其结论的否定作为条件，将其条件的否定作为结论，可以得到一个新命题“若，则”，我们称新命题为原命题的逆否命题．并且有一个非常强有力的结论：原命题与它的逆否命题是同真或同假的．请综合利用上述知识证明：对于正实数，若，则； (3)证明：原命题“若，则”与它的逆否命题“若，则”同为真命题或同为假命题． 【详解】（1）①存在集合，使得A是空集的子集， 故任何集合都不是空集的子集为假命题； ②存在，满足，但是； 故若，则为假命题. （2）转化为证明其逆否命题：对于正实数，若，则， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以，所以即，证毕， 因此原命题：对于正实数，若，则为真命题； （3）①“若，则”真， 假设“若，则”假，那么至少存在特例满足性质，使， 由于，所以至少存在特例满足性质，使，有，矛盾，故假设不成立，即“若，则”真； ②“若，则”假， 假设“若，则”真，那么至少存在特例满足性质，使， 由于，所以至少存在特例满足性质，使，有，矛盾，故假设不成立，即“若，则”假； 综上所述，原命题“若，则”与它的逆否命题“若，则”同为真命题或同为假命题 1 学科网（北京）股份有限公司 $