精品解析：河北廊坊市大城县2025-2026学年高一下学期期末综合检测数学试题

综合检测卷 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将复数中的分式进行分母实数化运算，合并同类项得到复数的标准代数形式，再根据虚部的定义求解. 【详解】因为，所以 ， 因此的虚部为 2. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的减法运算法则即可求解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C. 3. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义结合正弦定理即可得出答案. 【详解】在中，设角、、所对的边分别为、、. 充分性：若，由正弦定理，可得， 根据等边对等角，可得； 必要性：若，根据等角对等边，可得， 由正弦定理得， 综上，“”是“”的充要条件. 故选：C 4. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面、面面位置关系的判定定理和性质逐一分析判断即可得解. 【详解】对A：若，，则或，故A错误； 对B：若，，，则或异面，故B错误； 对C：如图： 过直线作平面，交平面于直线，因为，所以； 过直线作平面，交平面于直线，因为，所以； 所以，且，，所以. ，，所以. 又，所以.故C正确； 对D：因为垂直于同一个平面的两个平面的位置关系不能确定，故D错误. 故选：C 5. 在孟德尔两对相对性状的豌豆杂交实验中，子二代豌豆性状表现型及理论比例为：黄色圆粒：黄色皱粒：绿色圆粒：绿色皱粒．现研究人员计划从大量该代豌豆种子中，随机抽取n粒豌豆作为样本进行研究．若希望样本中黄色皱粒豌豆的理论（期望）数量为30粒，则样本量n应为（ ） A. 160 B. 190 C. 220 D. 250 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层抽样结合样本数量计算求解. 【详解】根据题意得，黄色皱粒豌豆所占总体比例为，所以样本量． 故选：A． 6. 若样本数据：1，2，a，6，7的平均数为4，则此样本的第百分位数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先由平均数求未知量，再排序后根据百分位数定义计算. 【详解】由已知可求得：平均数，解得. 排序后数据：1，2，4，6，7共5个数据，，则此样本的第位数为， 故选：C. 7. 甲、乙两名同学为了参加“一二·九运动”相关体育比赛，赛前两人进行跳绳、踢毽球和长跑的专项对抗练习.在这三个项目中，甲获胜的概率分别为，且各项目的对抗练习结果相互独立.则甲恰好在两个项目中战胜乙的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记三个项目中，甲获胜分别是事件，综合对立事件、互斥事件、独立事件的概率公式求解即可. 【详解】记三个项目中，甲获胜分别是事件， 则， 所以. 由题意知事件“甲恰好在两个项目中战胜乙”， 因为两两互斥， 所以. 又各项目的对抗练习结果相互独立，即相互独立， 所以，， ， 所以. 故选：A. 8. 祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一，距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12根约为13米的金柱，代表十二个月；外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱和两根金柱，形成的几何体（图2）中，米，，则平面与平面所成角的正切值约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若平面平面，是的中点，连接，从而得到是平面与平面所成角的平面角，即为所求角，结合已知求其正切值. 【详解】过作平面平面，交于点 则平面与平面所成角，即为平面与平面所成角， 由题意有，即是等腰三角形，腰长约为8米，，易知， 若是的中点，连接，则，且平面， 由平面，则，都在平面内， 所以平面，又平面， 所以，又为平面与平面的交线， 则是平面与平面所成角的平面角， 其中，，则. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A，通过向量垂直时数量积为这一定义求解.B，通过向量平行的定义求解.C，通过的模和投影向量的定义求解.D，坐标表示出后利用特殊值求得比小的情况. 【详解】选项A，因为，且，所以，解得，错误. 选项B，，所以，可知，，正确. 选项C，因为，所以在上的投影表示为，正确. 选项D，，取，，故，错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若事件A与事件B相互独立，， 则 B. 若样本数据的方差为10， 则数据的方差为90 C. 一个盒子中有3个黑球，2个白球，1个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥 D. 这2026个数的上四分位数是507 【答案】BC 【解析】 【分析】根据概率公式，结合独立事件的概率乘法公式可判断A；根据方差的性质可判断B；根据互斥事件的概念可判断C；根据百分位数的定义直接计算可判断D. 【详解】对A，因为事件A与事件B相互独立，， 所以， 则，A错误； 对B，因为样本数据的方差为10， 所以数据的方差为，B正确； 对C，因为不放回地抽取两次最多有一个红球， 所以事件“至少有一个红球”发生时，取到的球必然有两种颜色（红黑或红白）， 此时事件“两个球颜色相同”不可能发生，故两事件互斥，C正确； 对D，因为，所以上四分位数是该组数据的第个数，即，D错误. 故选：BC 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥体积为 B. 三棱锥外接球的表面积为 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由三棱锥体积公式求得三棱锥体积，判断A选项；通过几何关系得到外接球心，即可求得球的半径，然后得到球的表面积，判断B选项；由勾股定理得到长，即可知道点的轨迹图象，然后求得轨迹长度，判断C选项；取点关于平面的对称点，从前得到取最小值时点的位置，然后计算的最小值，判断D选项. 【详解】在正方体中平面，∵，则， ∴，A选项正确； 取中点，过作平面，∵， ∴三棱锥外接球的球心在上， ∴设为三棱锥外接球的球心，且设， ∴，则， 即，即，∴， 则球的半径， 则球的表面积，B选项正确； ∵平面，∴，∴， 即，∴， ∴点的轨迹为以为原点，为半径的圆弧， ∴点的轨迹长度为，C选项错误； 如图，延长到点，使得，连接交平面于点， 此时取最小值， ，D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一个口袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，这6个球除颜色外完全相同，先从这个口袋中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，两次摸出的球颜色相同的概率是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由古典概型及事件的互斥性质进行求解． 【详解】记事件：摸出的是红球，事件 ：摸出的是白球，事件：摸出的是黑球，则 因为从口袋中有放回地摸球两次，两次摸球是相互独立的，两次摸出的球的颜色相同的事件可以表示为， 所以， 故答案为:. 13. 在直棱柱中，底面是边长为2的正方形，．点是线段上的点，且，则点到平面的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，过点作，垂足为,可以证明平面MBCN,然后在直角三角形中利用等面积转化计算即得. 【详解】 如图，过点作，分别交和于,连接,, 过点作，垂足为,∵，，∴， ∴平面与平面重合, ∵直棱柱，∴平面, 又平面,∴,又∵，且, ∴平面, ∵,∴,又∵,∴, 在三角形中，,. 故答案为：. 14. 在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点， 设，试用a，b表示为_____________; 的面积为，则的最小值为______________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求出；利用三角形面积公式及数量积的运算律，结合基本不等式求出最小值. 【详解】依题意，，则， 因此，， 由的面积为，得，则， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 公园内有一块三角形绿地，其中米，米，.绿地内种植有一扇形的花卉景观，扇形的两边都落在和上，弧与相切于点. （1）求扇形花卉景观的半径，以及面积； （2）为美观起见，设计在原有绿地基础上扩建成三角形（如图），其中，使得原有的扇形花卉景观扩建为半径米，并且与相切于点，两边都落在三角形边上的扇形，求绿地三角形占地面积的最小值，并求此时、的长. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求出的长度，再根据扇形弧与相切，借助等面积法求解； （2）假设，利用余弦定理得到，然后表示出三角形的面积，最后使用基本不等式计算可得结果. 【小问1详解】 在中， 由余弦定理，所以， 因为弧与相切于点，所以， 所以， 所以，； 【小问2详解】 设， 则由余弦定理可得， 所以， 因为，所以， 即，所以，即， 当且仅当时，取最小值为256． 所以当时，三角形占地面积最小，为． 16. 如图1，平面四边形ABCD中，是等边三角形，且是AD的中点.沿BD将翻折，折成三棱锥，如图2. （1）当三棱锥的体积最大时，证明：； （2）若棱CD上存在一点，使得平面ABC，且，求实数的值； （3）当平面平面BDC时，求三棱锥的外接球的表面积. 【答案】（1） 设到平面的距离为， 且， ， ， 故要使三棱锥的体积最大，则最大， 当的投影在棱上时，最大， 且，此时平面平面， ， 平面， 平面平面， ； （2） 2； （3） . 【解析】 【分析】（1）三棱锥的体积最大时，的投影在棱上，此时平面，进而可证明平面得； （2）取中点，连接，可证明平面，从而求出m； （3）过作，过点作交于，设为三棱锥的外接球的球心，外接球的半径为，进而根据几何关系求解即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接， 是的中点， ， 平面平面， 平面， 又， ； 【小问3详解】 为直角三角形， 过作平面， 设为三棱锥的外接球的球心，外接球的半径为， 平面平面，平面平面，平面， 平面， ， 如图所示，过点作交于， 四边形为矩形， ， 在中， ，即， 在中，， 即，进而解得， 三棱锥的外接球的表面积为. 17. 在中，内角所对的边分别为，已知 （1）求角； （2）若为边上一点(不包含端点)，且满足， (i) 若，求的长； (ii) 求的取值范围. 【答案】（1） （2）(i) (ii) 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简等式，即可解得. （2）(i)由得，结合题意得，即可得到，由边角关系求得，即求得. (ii)由条件得到边的关系，以及角的取值范围.然后由正弦定理求得，然后由角的取值范围求得结果. 【小问1详解】 ∵， 由正弦定理可得， ∵，∴，∴， ∴，即，即， ∵，∴. 【小问2详解】 (i)∵，∴， ∴，∴，∴. ∴， ∴ ∴. (ii) ∵，∴，∴， ∵，∴， 由∵点在边上且不包含端点， ∴， 在中，， 在中由正弦定理可得，又∵， ∴， ∵，则，∴， ∴的取值范围是. 18. 为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按，，，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. （1）求图中a，b的值，并估计A餐厅满意指数的中位数； （2）利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）现采用分层抽样的方式从B餐厅打分结果在，，这三组的学生中抽取6人，再从这6人中，随机抽取2人进行访谈，请写出样本空间，并求这2人来自相同组的概率. 【答案】（1），A餐厅满意指数的中位数为6.5 （2）A餐厅满意指数的平均数更高 （3） 样本空间为 概率为 【解析】 【分析】（1）根据频率的定义和频率分布直方图求解计算出的值，然后根据中位数的定义和公式计算即可. （2）根据两个餐厅的频率分布直方图和平均数的定义公式进行计算比较即可. （3）先求出分层抽样比，然后确定每组的抽样人数，进而可求得样本空间和概率. 【小问1详解】 因为餐厅的满意指数在内的学生有15人，样本量为50人， 所以满意指数在内的频率为，所以. 根据频率分布直方图可以得到，，解得. 餐厅每组的频率为： ：；：， ：，：. 前两组累计频率为，前三组累计频率为. 所以中位数落在内，设中位数为， 则，解得. 所以餐厅满意指数的中位数为6.5. 【小问2详解】 餐厅满意指数的平均数为. 餐厅满意指数的平均数为. 因为，所以餐厅满意指数的平均数更高. 【小问3详解】 因为B餐厅打分结果在，，的频率为， 所以分层抽样比为，由于分层抽样共抽取6人， 所以B餐厅打分结果在，，的人数分别为人，分别记为： ，，， 从这6人中，随机抽取2人进行访谈，所以样本空间为这2人来自相同组的概率为. 19. 如图，在三棱锥中，的中点分别为，点在上，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求平面与平面的夹角的大小. 【答案】（1） 由的中点分别为，则， 而平面，平面，故平面； （2） 由，则， 又，显然为的中点，则，， 由的中点分别为，则，所以， 由的中点为，则，且， 所以，，又， 所以，则，故， 由，， 所以，在和中，而， 所以，故， 又且平面，则平面， 由平面，则平面平面； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据已知得，再由线面平行的判定证明结论； （2）根据已知求得相关线段长，利用中位线、平行线的性质证明，通过计算得到，再应用线面垂直、面面垂直的判定证明结论； （3）若为的交点，为的交点，连接，根据面面角的定义得到为平面与平面的平面角，再通过计算得，从而有，最后根据已知求各边长，进而得到角的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，若为的交点，为的交点，连接， 由平面，平面，则，又，即， 由平面，平面，平面平面， 所以为平面与平面的平面角， 由等面积法有，可得， 所以，则，故， 所以， 由（2）知，， 由， 所以，则， 所以， 又，则， 所以， 中，故， 所以，即平面与平面的夹角为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 综合检测卷 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 5. 在孟德尔两对相对性状的豌豆杂交实验中，子二代豌豆性状表现型及理论比例为：黄色圆粒：黄色皱粒：绿色圆粒：绿色皱粒．现研究人员计划从大量该代豌豆种子中，随机抽取n粒豌豆作为样本进行研究．若希望样本中黄色皱粒豌豆的理论（期望）数量为30粒，则样本量n应为（ ） A. 160 B. 190 C. 220 D. 250 6. 若样本数据：1，2，a，6，7的平均数为4，则此样本的第百分位数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 甲、乙两名同学为了参加“一二·九运动”相关体育比赛，赛前两人进行跳绳、踢毽球和长跑的专项对抗练习.在这三个项目中，甲获胜的概率分别为，且各项目的对抗练习结果相互独立.则甲恰好在两个项目中战胜乙的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一，距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12根约为13米的金柱，代表十二个月；外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱和两根金柱，形成的几何体（图2）中，米，，则平面与平面所成角的正切值约为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 的最小值为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若事件A与事件B相互独立，， 则 B. 若样本数据的方差为10， 则数据的方差为90 C. 一个盒子中有3个黑球，2个白球，1个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥 D. 这2026个数的上四分位数是507 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥体积为 B. 三棱锥外接球的表面积为 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一个口袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，这6个球除颜色外完全相同，先从这个口袋中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，两次摸出的球颜色相同的概率是_____________. 13. 在直棱柱中，底面是边长为2的正方形，．点是线段上的点，且，则点到平面的距离为___________． 14. 在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点， 设，试用a，b表示为_____________; 的面积为，则的最小值为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 公园内有一块三角形绿地，其中米，米，.绿地内种植有一扇形的花卉景观，扇形的两边都落在和上，弧与相切于点. （1）求扇形花卉景观的半径，以及面积； （2）为美观起见，设计在原有绿地基础上扩建成三角形（如图），其中，使得原有的扇形花卉景观扩建为半径米，并且与相切于点，两边都落在三角形边上的扇形，求绿地三角形占地面积的最小值，并求此时、的长. 16. 如图1，平面四边形ABCD中，是等边三角形，且是AD的中点.沿BD将翻折，折成三棱锥，如图2. （1）当三棱锥的体积最大时，证明：； （2）若棱CD上存在一点，使得平面ABC，且，求实数的值； （3）当平面平面BDC时，求三棱锥的外接球的表面积. 17. 在中，内角所对的边分别为，已知 （1）求角； （2）若为边上一点(不包含端点)，且满足， (i) 若，求的长； (ii) 求的取值范围. 18. 为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按，，，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. （1）求图中a，b的值，并估计A餐厅满意指数的中位数； （2）利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）现采用分层抽样的方式从B餐厅打分结果在，，这三组的学生中抽取6人，再从这6人中，随机抽取2人进行访谈，请写出样本空间，并求这2人来自相同组的概率. 19. 如图，在三棱锥中，的中点分别为，点在上，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求平面与平面的夹角的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $