河北唐山市玉田县2025-2026学年第二学期质量调研高一数学试题

河北省唐山市玉田县2025——2026学年度高一第二学期期末考试 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时长120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 2．复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．某公司生产的一批零件有、、三种不同型号，产量分别为，300，200件，现用分层抽样的方法从这批零件中抽取45件进行检验，若种零件被抽取20件，则（ ） A．400 B．300 C．250 D．200 4．某校春季运动会男子100米项目有8名同学进入决赛，其成绩（单位：秒）分别为：12.1，12.3，12.7，12.7，12.9，13.1，13.5，14.4．则这8名同学百米成绩的第60百分位数是（ ） A．12.7 B．12.9 C．12.8 D．13.1 5．在正四棱台中，，高为，则该四棱台的体积为（ ） A． B． C． D． 6．将一枚质地均匀的硬币在光滑平面上连续抛掷3次，设事件“至少出现一次正面向上”，则（ ） A． B． C． D． 7．已知，，是空间中三条不同的直线，，为空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，，则 D．若，是异面直线，，，，，则 8．如图，水平放置的圆台上底半径为1，下底半径为2，高为，一只蚂蚁从底部点沿侧面爬到中点，则它爬行路线的最短长度为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是关于的方程（，）的一个根，另一个根记作，则（ ） A．， B． C． D． 10．设，为两个互斥事件，且，，则下列结论一定正确的有（ ） A． B． C． D． 11．已知正方体的棱长为2，点在该正方体表面上移动．下列说法正确的有（ ） A．若点在线段上，则 B．若点在线段上，则的最小值为 C．若与所成角为，则点的轨迹长度为 D．若点是线段的中点，则三棱锥外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知5个数为：1，2，3，4，5，则这5个数的方差为________． 13．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为________． 14．在中，的平分线交于点，若，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知平面向量与的夹角为，且，． （1）求； （2）求； （3）若与垂直，求的值． 16．（15分） 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在该市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（单位：），月用水量不超过的部分按平价收费，每吨收费5元；超出的部分按议价收费，每吨6.75元．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民某年的月均用水量（单位：），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图估计这组数据的众数（最高矩形底边中点的横坐标）并求的值； （2）已知该市有80万户居民，估计全市居民中月均用水量不低于的户数； （3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准，估计的值；若该市某户居民某月用水量为，求该户居民本月应缴水费多少元？ 17．（15分） 在中，角，，对应的边分别为，，，，． （1）若，求； （2）当为何值时，的面积最大？并求出的最大值． 18．（17分） 如图，平行四边形中，且，将沿翻折至，使得，是的中点，是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 三角形各边中线交点为重心，各边高线交点为垂心，各边垂直平分线交点为外心． （1）在中，若满足：，证明：点为的重心； （2）在中，若满足：，证明：点为的垂心； （3）在中，为外心，为重心，为垂心，证明：，，共线． 2025～2026学年度高一年级第二学期期末考试 数学参考答案 一、选择题 1∼4 CBAB 5∼8 BCDA 二、选择题 9．ABD 10．BC 11．ACD 三、填空题 12．2 13． 14． 四、解答题：（若有其他解法，请参照给分） 15．解：（1）已知平面向量与的夹角为，且，， 则． （2）， 所以． （3）由题意可知，， 解得：． 16．解：（1）根据频率分布直方图可知众数为， 根据频率分布直方图可得， 解得． （2）由频率分布直方图可知，每户居民月用水量不低于14t的频率为． 由此可估计全市80万户居民中月用水量不低于14t的户数约为（户）． （3）因为前6组的频率之和为， 前5组的频率之和为， 所以．由，解得． 因此，估计月用水量标准为11.6t时，的居民每月的用水量不超过标准． 该户居民某月用水量为14t时，应繳水费为（元）． 17．解：（1）由正弦定理得， ，． ． （2）由余弦定理得，即． 我们知道，则，得． 当且仅当时，等号成立． 则． 因此，当为时，的面积取得最大值． 18．解：（1）∵在平行四边形中，， ，． 设，则，，， ，即． 平面，平面，， 平面． 平面， ． 又平面，平面，， 平面． （2）过作，垂足为． 由（1）知平面，且平面， ∴平面平面． ∵平面平面，平面， 平面，即为直线与平面所成角． 设，则，， 中，， 解得． . （3）方法一： 存在，当时，平面． 连接并延长交于点，连接． 平面，平面，平面平面， ． 取中点，连接，由于是中点，是中点， 是的中位线，是的中位线． ． 为靠近的四等分点． 为靠近的四等分点，即． 方法二： 存在，当时，平面． 过作，交于点，连接， 平面，平面， 平面． 又平面，平面，平面，， ∴平面平面． ∵平面平面，平面平面， ． 为中点，为中点，即靠近的四等分点． 为靠近的四等分点，即． 19．解：（1）设的三边，，的中点分别为，，． 由得，则． 由得，则． 因此，点在边的中线上． 同理可得，， 即点在边的中线上，还在边的中线上． 因此，点为各边中线的交点，即为的重心． （2）由得， 则，即点在边的高线上． 同理可得，， 即点在边的高线上，还在边的高线上． 因此，点为各边高线的交点，即为的垂心． （3）若点为的外心，则． 设， 则． 同理，． 由于与不共线，则． 因此，． 由（1）证明过程可知：（1）的道命题也成立，即为的重心，有． 则． 因此，，则点与的重心和垂心在同一条直线上． 学科网（北京）股份有限公司 $