精品解析：河北NT20名校联合体2025-2026学年高一下学期7月期末巩固训练数学试题

7月高一期末巩固训练 数学 考试说明：1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. i D. 【答案】B 【解析】 【详解】可知，则虚部为. 2. 已知向量，，且，则等于（ ） A. -2 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】因为，，且， 所以，解得. 3. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【详解】A选项，若，，则平面内存在直线， 因为直线与直线不一定平行，直线与直线不一定平行， 所以A选项不正确； B选项，因为垂直于同一平面的两条直线平行，故B选项正确； C选项，若，，则平面与平面也可能相交， 例：正方体中，平面，平面， 而平面. 故C选项不正确； D选项，若，，则或，故D选项不正确， 4. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则此三角形的解的情况是（ ） A. 无解 B. 一解 C. 两解 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】通过正弦定理确定，即可求解. 【详解】根据正弦定理，代入已知条件，，， 得： ， 由题意：，又​，所以， 即只有一个解， 因此该三角形只有一解. 5. 某校为了解高一学生的月阅读时间（单位：小时），得到如下数据：已知阅读时间在内的频率为0.1，在内的频率为0.2，在内的频率为0.4，在内的频率为0.2，在内的频率为0.1，若月阅读时间不低于15小时的学生共有90人，则根据上述数据，该校高一学生总人数为（ ） A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知的频率和频数，根据频率=频数/总数可计算总数． 【详解】因为月阅读时间不低于15小时的学生频率为，频数为90， 故总人数为人． 6. 一个正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，若将正四面体连续抛掷两次，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将正四面体连续抛掷两次，则一共有个样本点； 其中两次向下的面上数字之积为偶数的情况包含两次都是偶数、或者一奇一偶 （包含第一次是奇数，第二次是偶数；第一次是偶数，第二次是奇数）两类， 包含样本点， 故概率为． 7. 在中，，，若点满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，根据设出点坐标，根据向量的数量积及辅助角公式求解即可. 【详解】由题意知，为等边三角形. 以点为原点，以为轴建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以点在以点为圆心，1为半径的圆上，设， 则，， 所以 . 因为，所以的最小值为. 8. 在边长为1的正方形中，点为边的中点，点为线段上的动点，点为的中点，则线段长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过向量数乘表示动点位置，将线段长度最值转化为含参数的向量模长最值问题，利用函数单调性求解，核心考查平面向量的线性运算及模长公式的应用. 【详解】以为坐标原点，、的方向分别为轴、轴正方向建立平面直角坐标系. ∵ 正方形边长为，∴. ∵ 为的中点，∴. ∴ . ∵ 为线段上的动点，设，， ∴ . ∵ 为的中点， ∴ . ∴ . 令，∵ ，∴ . 代入化简得. ∵ ，∴ 随的增大而增大， ∴ 当时，取得最小值，最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，，则下列结论正确的是（ ） A. 为纯虚数 B. C. D. 若是实系数方程的一个根，则另一个根为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据复数的定义判断即可；对于B，根据复数的乘法和除法及共轭复数求解即可；对于C，根据复数的几何意义求解即可；对于D，根据实系数方程的虚根共轭成对求解即可. 【详解】对于A，，实部是1，虚部是，不是纯虚数，A错误. 对于B，，， 所以，B正确. 对于C，由B知，，所以，C正确. 对于D，实系数方程的虚根共轭成对，若是根，则另一个根是它的共轭，D正确. 10. 某同学进行了5次掷骰子（点数1~6）试验，得到一组整数数据，关于这组数据的统计量，有四个说法： ①若平均数为3，则方差可能为2.4； ②若中位数为2，则众数可能为3； ③若平均数为4，则极差可能为2； ④若中位数为3，则方差可能为2.8． 其中正确的说法是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用平均数，方差，中位数，众数的定义依次分析选项即可求解. 【详解】设数据为,，且， 对于A，因为平均数，假设方差， 可得， 取这组数据为：，则这五个数的和为，方差，满足条件. 对于B，若中位数为2，则，若众数为3，则3出现次数最多， 但3最多出现2次，1或2必然也至少出现2次，3无法成为唯一众数，故②错误； 对于C，若极差为2，则，取这组数据为：，满足平均数为4，极差为2，故③正确； 对于D,若中位数为3，则，取这组数据为：， 则平均数为，方差,满足条件，故正确 11. 如图，在矩形中，，，点在边上，且，将沿翻折至，使得平面平面．设点在平面内的投影为，连接，，则下列结论正确的是（ ） A. 点在直线上 B. 直线与直线所成角的余弦值大于 C. 线段的长度为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】翻折类立体几何问题需优先明确翻折前后不变的长度、角度关系，结合面面垂直性质确定投影点位置；求解多面体外接球时，可通过底面外接圆圆心的垂线定位球心，利用球心到各顶点距离相等列方程求解. 【详解】∵ 平面平面，交线为，在平面内的投影为，即平面， ∴ 由面面垂直的性质定理得在交线上，故选项A正确. B选项：∵ 原矩形中，，， ∴ . 翻折后，，为斜边上的高， 由直角三角形射影定理， ∴ . 又，且， ∴ . ∵ ，∴ 直线与直线所成角等于直线与直线所成角. 过作于，在中，， ∵ ， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ， 在中，， ∴ . 在中，由余弦定理 代入数值计算， ， ∴ ，故B错误. C选项：过作于， ∵ 四边形为矩形，∴ ，， 在中，， ∴ ，故C错误. D选项：为直角三角形，其外接圆圆心为中点，，故到三点距离相等，均为. 已知，平面中， ∵ 在矩形中，，， 前已得，， ∴ 由余弦差角公式： ， 在中，由余弦定理， 代入数值得， ∴ . 设外接球球心在过且垂直于平面的直线上，到平面的距离为， 由得， 代入，，，解得， ∴ 外接球半径， 外接球表面积，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在随机模拟中，用计算机生成三枚均匀硬币的抛掷结果（正面记作1，反面记作0），每次抛掷三枚硬币得到一组三位数（如101表示第一枚正面、第二枚反面、第三枚正面），连续生成以下8组随机数：110，010，101，000，111，001，100，011，统计事件“三枚硬币恰好出现一个正面”的组数，若用这8组数据估计该事件的概率，则估计值为________．（用最简分数表示） 【答案】## 【解析】 【详解】8组随机数：110，010，101，000，111，001，100，011中， 统计事件“三枚硬币恰好出现一个正面”的组是，共三组， 所以若用这8组数据估计该事件的概率，则估计值为. 13. 已知复数满足，且，则复数在复平面内对应的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合复数的几何意义即可求解. 【详解】设复数，则，， ，， 由于复数满足，且，所以，解得， 因此，所以复数在复平面内对应的点的坐标为. 14. 在平面直角坐标系中，已知点，，，点在内部（含边界）一点，且满足，则的最小值为________． 【答案】． 【解析】 【分析】根据题意化简可得点在以为圆心，半径为1的圆及其内部，同时点是内部（含边界），化简，可将问题转化为求的最小值，结合图形分析即可求解. 【详解】设，则, 由， 即， 所以点在以为圆心，半径为1的圆及其内部，同时点在内部（含边界），的边界为， 由于， 且的最小值，即求的最小值， 令，则，所以当与圆相切时，取得最值， 则， 解得：， 结合点是内部（含边界），取时，取得最小值， 最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知两个不共线的向量，，设，，． （1）若，求实数，的值； （2）设，且，，三点共线，其中，，，为坐标原点，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意整理可得，结合平面向量基本定理运算求解即可； （2）根据三点共线的推论可知存在实数使得，即可得，结合平面向量基本定理运算求解即可. 【小问1详解】 因为，即， 又因为，不共线，由平面向量基本定理得，解得. 【小问2详解】 因为，，三点共线，且，，， 所以存在实数使得， 又因为，即， 且不共线，由平面向量基本定理得，解得， 故实数的值为． 16. 某校高一年级共有学生600人，其中男生360人，女生240人，为了解学生周末体育锻炼时间（单位：小时），学校采用分层随机抽样的方法，按性别比例分配样本，抽取了一个容量为50的样本，男生样本中，体育锻炼时间的平均值为2.5小时，方差为1.2，女生样本中，体育锻炼时间的平均值为2.0小时，方差为0.8，另外，在该样本中，将体育锻炼时间达到3小时及以上定义为“运动达标”．统计发现，男生样本中有6人运动达标，女生样本中有4人运动达标． （1）求样本中男生和女生各有多少人，并计算样本中所有学生体育锻炼时间的平均值和方差； （2）用样本中男、女生的运动达标率分别估计全校男、女生的运动达标率，现从全校高一年级中随机抽取2名学生（假设每次抽取相互独立，且性别比例与全校一致），若运动达标率与性别相互独立，求这2名学生中至少有1名女生且恰有1人运动达标的概率． 【答案】（1）30人，20人，平均值2.3小时，方差1.1 （2）0.2048． 【解析】 【分析】(1)按分层随机抽样的性别比例分配规则，计算样本中男生、女生的人数，再求出样本所有学生体育锻炼时间的平均值和方差 (2)用样本男女生运动达标率估计全校对应达标率，结合抽取独立性、达标率与性别相互独立的条件，计算从全校高一年级随机抽名学生中，至少有名女生且恰有人运动达标的概率 【小问1详解】 样本中男生有（人），女生有（人） 样本平均值（小时）． 样本方差． 【小问2详解】 由题意知，男生运动达标率，女生运动达标率． 全校学生中，男生占比为0.6，女生占比为0.4． 记事件为“抽取的2名学生中至少有1名女生”，则． 记事件为“抽取的2名学生中恰有1人运动达标”，由于男女生达标率均为0.2， 则． 由于达标率与性别相互独立，故所求概率， 故这2名学生中至少有1名女生且恰有1人运动达标的概率为0.2048． 17. 如图，四棱锥的底面是以为中心的矩形，，，侧棱底面，且，点为棱的中点，点为棱的中点． （1）求证：平面平面； （2）点是线段上的动点（不与端点重合），若二面角的大小为，若，求的值． 【答案】（1）因为点，分别为，的中点，则， 且平面，平面，所以平面， 在矩形中，为中心，则为的中点， 因为为的中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又因为，，平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）可证平面，平面，结合面面平行的判定定理分析证明； （2）利用三垂线法作二面角的平面角，可知为二面角的平面角，分和两种情况，结合几何性质运算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接，过点作于点． 因为底面，点在线段上，所以底面． 在底面内过点作于点，连接． 因为，，， 所以平面，由平面可得， 故为二面角的平面角，即． 设，，则， 因为，则， 在矩形中，，，则，， 点到的距离， 因为，， 当时，点在线段上， 由相似三角形可得， 在中，， 由得，解得； 若，则点落在线段上，二面角为钝角，与矛盾； 故，即的值为． 18. 一个盒子里装有3个完全相同的球，分别标有数字1、2、3，现进行两次独立试验：每次从盒中随机摸出一个球，记录数字后放回．设第一次摸出的数字为，第二次摸出的数字为．定义事件：是奇数为事件，是质数（注：1不是质数，2和3是质数）为事件，是偶数为事件． （1）求，，； （2）判断事件与是否相互独立，并说明理由； （3）求事件“与至少有一个发生，且发生”的概率． 【答案】（1），， （2）事件与相互独立． 理由如下：事件表示“第一次摸出奇数且第二次摸出质数”，包含的样本点为，，，，共4个，所以． 因为，所以， 故事件与相互独立． （3） 【解析】 【分析】（1）列举所有样本点，结合古典概型概率计算公式即可求解； （2）由独立事件概率公式即可判断； （3）通过事件之间的关系，确定，即可求解. 【小问1详解】 摸出的数字为，样本空间， 样本点，总数为． 事件的结果与第二次抽中的结果无关，而三个数中有两个奇数，故． 事件的结果与第一次抽中的结果无关，而三个数中有两个质数，故． 事件发生即，奇偶性相同： 当，均为奇数时，，共4个； 当，均为偶数时，，共1个． 所以事件包含5个样本点，故． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 “事件与至少有一个发生”记为事件． 由题意知其对立事件，即“不是奇数且不是质数”， 即，，对应样本点为， 可知包含除之外的所有8个样本点． 又事件， 观察可知，事件中的所有样本点均属于， 所以， 故． 19. 在凸四边形中，对角线平分，，，，． （1）证明：； （2）求； （3）求； （4）点为的中点，线段的垂直平分线交于点，求的面积． 【答案】（1）证明：在中，因为，设，． 由三角函数定义得． 在中，由于平分，故． 由正弦定理，得， 整理得， 即． （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 在中，由内角和定理得． 则． 由题意，代入得， 整理得． 将代入上式得，， 整理得． 由于，上式变为，提取公因式得． 因为，故，即． 由于四边形为凸四边形，则，故． 【小问3详解】 由（1）（2）知，则． 由得，， 所以． 在中，由余弦定理， 解得． 因为，故． 【小问4详解】 以为原点，射线为轴正方向建立如图平面直角坐标系，则点坐标为，点坐标为． 因为点为的中点，则点坐标为． 设点坐标为． 因为在的垂直平分线上，则， 即，解得， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7月高一期末巩固训练 数学 考试说明：1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. i D. 2. 已知向量，，且，则等于（ ） A. -2 B. C. D. 2 3. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则此三角形的解的情况是（ ） A. 无解 B. 一解 C. 两解 D. 无法确定 5. 某校为了解高一学生的月阅读时间（单位：小时），得到如下数据：已知阅读时间在内的频率为0.1，在内的频率为0.2，在内的频率为0.4，在内的频率为0.2，在内的频率为0.1，若月阅读时间不低于15小时的学生共有90人，则根据上述数据，该校高一学生总人数为（ ） A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 6. 一个正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，若将正四面体连续抛掷两次，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，若点满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在边长为1的正方形中，点为边的中点，点为线段上的动点，点为的中点，则线段长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，，则下列结论正确的是（ ） A. 为纯虚数 B. C. D. 若是实系数方程的一个根，则另一个根为 10. 某同学进行了5次掷骰子（点数1~6）试验，得到一组整数数据，关于这组数据的统计量，有四个说法： ①若平均数为3，则方差可能为2.4； ②若中位数为2，则众数可能为3； ③若平均数为4，则极差可能为2； ④若中位数为3，则方差可能为2.8． 其中正确的说法是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 11. 如图，在矩形中，，，点在边上，且，将沿翻折至，使得平面平面．设点在平面内的投影为，连接，，则下列结论正确的是（ ） A. 点在直线上 B. 直线与直线所成角的余弦值大于 C. 线段的长度为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在随机模拟中，用计算机生成三枚均匀硬币的抛掷结果（正面记作1，反面记作0），每次抛掷三枚硬币得到一组三位数（如101表示第一枚正面、第二枚反面、第三枚正面），连续生成以下8组随机数：110，010，101，000，111，001，100，011，统计事件“三枚硬币恰好出现一个正面”的组数，若用这8组数据估计该事件的概率，则估计值为________．（用最简分数表示） 13. 已知复数满足，且，则复数在复平面内对应的点的坐标为________． 14. 在平面直角坐标系中，已知点，，，点在内部（含边界）一点，且满足，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知两个不共线的向量，，设，，． （1）若，求实数，的值； （2）设，且，，三点共线，其中，，，为坐标原点，求实数的值． 16. 某校高一年级共有学生600人，其中男生360人，女生240人，为了解学生周末体育锻炼时间（单位：小时），学校采用分层随机抽样的方法，按性别比例分配样本，抽取了一个容量为50的样本，男生样本中，体育锻炼时间的平均值为2.5小时，方差为1.2，女生样本中，体育锻炼时间的平均值为2.0小时，方差为0.8，另外，在该样本中，将体育锻炼时间达到3小时及以上定义为“运动达标”．统计发现，男生样本中有6人运动达标，女生样本中有4人运动达标． （1）求样本中男生和女生各有多少人，并计算样本中所有学生体育锻炼时间的平均值和方差； （2）用样本中男、女生的运动达标率分别估计全校男、女生的运动达标率，现从全校高一年级中随机抽取2名学生（假设每次抽取相互独立，且性别比例与全校一致），若运动达标率与性别相互独立，求这2名学生中至少有1名女生且恰有1人运动达标的概率． 17. 如图，四棱锥的底面是以为中心的矩形，，，侧棱底面，且，点为棱的中点，点为棱的中点． （1）求证：平面平面； （2）点是线段上的动点（不与端点重合），若二面角的大小为，若，求的值． 18. 一个盒子里装有3个完全相同的球，分别标有数字1、2、3，现进行两次独立试验：每次从盒中随机摸出一个球，记录数字后放回．设第一次摸出的数字为，第二次摸出的数字为．定义事件：是奇数为事件，是质数（注：1不是质数，2和3是质数）为事件，是偶数为事件． （1）求，，； （2）判断事件与是否相互独立，并说明理由； （3）求事件“与至少有一个发生，且发生”的概率． 19. 在凸四边形中，对角线平分，，，，． （1）证明：； （2）求； （3）求； （4）点为的中点，线段的垂直平分线交于点，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $