精品解析：重庆市荣昌中学校2025-2026学年高二下学期期末学情调研数学试卷

南开荣中高2027届高二（下）期末学情调研 数学试卷 （全卷总分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上相应位置，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，答题卡交回，试卷自行保存． 第一部分（选择题 共58分） 一、单项题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得， 再根据交集的概念得． 2. 已知，，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】应用不等式性质及特殊值法结合充分必要条件定义判断求解. 【详解】满足“”成立，“且”不成立， 又因为“且”可以得出“”， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 3. 若的展开式的各项的二项式系数和为32，则展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式展开式的各项的二项式系数和求得，结合展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】由题得，解得. 的通项为. 令，则系数为. 4. 已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（ ） x 2 3 4 5 y 4 7 8 13 A. 经验回归直线必过点 B. C. 当时，预测值 D. 当时，样本点对应的残差为0.2 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，因为，， 所以经验回归直线必过点，A错误； 对于B，因为经验回归直线的方程为，且该直线过点， 所以，解得，B错误； 对于C，将代入经验回归方程得，C错误； 对于D，当时，实际值，预测值， 所以残差为，D正确． 5. 已知随机变量X服从正态分布，若，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由正态分布以及二次函数的性质求解即可. 【详解】由随机变量X服从正态分布，所以， 又因为，所以， 由对称性可知，即，所以， 当时，可得，等号成立时. 6. 某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（ ） A. 12种 B. 16种 C. 24种 D. 30种 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列组合的知识以及分组分配的方法求解． 【详解】因为甲､乙到同一所学校，所以将甲、乙“捆绑”看成一个元素， 因此原问题转化为要将四个元素：甲乙、丙、丁、戊分配到三所学校，每所学校至少1个元素， 若A学校安排一个元素，该元素不为丙，则有种分配方法； 若A学校安排两个元素，其中不含丙，则需从甲乙、丁、戊中选两个元素，有种分配方法； 所以不同的安排方式有种． 7. 已知函数在上单调递减，则当m取得最小值时，关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的分段函数的单调性求出的范围，再利用对数函数单调性求解不等式. 【详解】因函数在上单调递减， 则可得， 解得，，， 不等式， 即或， 解得或，即， 所以所求不等式的解集为. 故选：C 8. 对，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】双变量不等式恒成立，先对一个变量求导分析求最值，再对另一个变量分析，即可得到参数范围. 【详解】原不等式对，恒成立，移项整理得： 我们先将看成常量，把不等式看作关于的函数， 令，， 求导得：， 当时， 因为，，所以， 即在上单调递减， 又因为当时，，所以不可能恒成立，即被舍去； 当时， 由时，，则在上单调递减， 由时，，则在上单调递增， 所以， 要对，不等式恒成立， 则，解得，所以实数的取值范围是. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（     ） A. 若随机变量，，则 B. 若随机变量，则方差 C. 从10名男生，5名女生中选取4人，则至少有一名女生的概率为 D. 已知随机变量的分布列为（，2，3），则 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题结合正态分布、二项分布、古典概型、离散型随机变量分布列的性质，对各选项逐一计算判断即可。 【详解】对于A：随机变量，因与关于对称，故，故A正确. 对于B：随机变量，，则，故B错误； 对于C：“至少有一名女生”的对立事件为“选取的4人全是男生”，而全是男生的概率为， 故至少有一名女生的概率为，故C正确； 对于D：由离散型随机变量分布列性质，所有概率之和为，即， 裂项化简得，解得，因此，故D正确. 10. 下列说法正确的是（    ） A. 函数的最小值为 B. 函数的单调递减区间为 C. 函数恒有意义，则实数的取值范围是 D. 函数（且）在区间上单调递增，则实数取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据二次函数以及指数函数的单调性求解选项A.根据复合函数的单调性求解选项B.根据对数函数的定义域以及二次函数判别式求解选项C.根据对数函数以及一次函数的单调性，复合求解选项D. 【详解】选项A.设指数部分，则，函数是减函数，因此当取最大值时，取最小值. 最小值为，错误. 选项B. . 内层二次函数开口向下，对称轴，因此在上单调递减； 外层是增函数，的单调递减区间为，正确. 选项C.函数恒有意义等价于，对任意恒成立. 当时，真数为，恒成立； 当时，二次函数恒正需满足，解得. 综上，，正确. 选项D.内层函数是增函数，由复合函数单调性，外层也需递增，故； 要保证真数在上恒正：对所有成立，递增， 故最小值趋近于 . 因此，错误. 11. 设，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，曲线在处的切线方程为 C. 当时，有唯一极小值点 D. 若有两个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导，可得，即可判断A；利用导数的几何意义可求切线方程判断B；令，可得，构造函数，求导，可得在上有唯一解，设为，进而可得的单调性可判断C；利用极小值小于0，进而计算可求得判断D. 【详解】由，得， 对于A，当时，又，所以， 所以在上单调递增，故A正确； 对于B，当时，，可得， 所以，， 所以曲线在处的切线方程为，即，故B错误； 对于C，令，得， 又，所以，所以，所以， 令，求导得， 因为，所以，所以， 当时，方程在上有唯一解，设为， 当时，，即， 所以，所以在上单调递减， 当时，，即， 所以，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值，且是唯一极小值，故C正确； 对于D，当时，在是单调递增，至多一个零点，故不符合题意； 当时，由C选项分析可得在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，； 所以要使在上有两个零点，则需极小值， 即，所以，所以， 所以，所以 令，函数在上单调递增，又， 所以，所以，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若命题：“，”为假命题，实数的取值范围为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出命题为真命题时的取值范围，进而即可得到命题为假命题时的取值范围． 【详解】若命题：“，”为真命题， 由，当且仅当时取等号，则， 所以命题为假命题时，． 13. 数学王老师在一个四选一的单选题中，提问一个数学基础非常差的甲同学，当甲同学随机选了一个选项后，王老师在剩余的三个选项中剔除了一个错误选项，甲同学放弃原来的选择，并从另外两个未被剔除的选项中随机选择一个，则甲同学选对的概率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】通过分类讨论甲首次选择正确、错误两种情况，结合全概率公式可得答案. 【详解】设事件为“甲第一次选对正确选项”，事件为“甲换选项后选对”， 甲随机从4个选项中选1个，故， 此时剩余3个选项均为错误选项，王老师剔除1个错误选项后， 剩余未选选项全错，因此条件概率； 甲第一次选错的概率， 此时剩余3个选项包含1个正确选项、2个错误选项， 王老师剔除1个错误选项后，剩余2个未选选项为1对1错， 甲换选项时从这2个中随机选取，因此条件概率； 根据全概率公式可得：  . 故答案为：. 14. 若对任意，恒成立，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】将不等式变形为，构造函数，得到在上单调递增，从而将问题转化为恒成立，令，，利用导数求出的最大值即可求解. 【详解】因为 所以等价于， 两边同加得 则原不等式等价于 记，则等价于， 因为恒成立，在上单调递增， 所以等价于， 记，，则恒成立等价于， 又， 所以当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 所以， 因为，所以，解得， 所以的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，求的最大值及的值； （2）已知正实数满足．求的最小值及取最值时的值． 【答案】（1），；（2）的最小值为6，． 【解析】 【分析】（1）由，结合基本不等式求解即可； （2）将已知等式变形为积定值和取最大值，或结合基本不等式建立关于的不等式求解． 【详解】（1）由题知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． （2）因为，所以，整理得， 解得或（舍）， 当且仅当时，取得最小值为6． 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若不等式恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式方程求解即得； （2）依题意将问题转化为不等式恒成立问题，设，利用求导得出该函数的最大值为，解对数不等式即可求得参数的范围. 【小问1详解】 当时，， 则，得，又， 故曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 若恒成立， 即恒成立，即恒成立. 令，则， 当时，则，函数在上单调递增， 因为，不符合题意； 当时，由，得，则函数在上单调递增， 由，得，则函数在上单调递减， 故的最大值为，由和，解得. 综上可得，的最大值为. 17. 某社团调研男女同学课余运动偏好，统计数据如下列联表： 喜爱球类 喜爱慢跑 合计 男生 24 16 40 女生 12 28 40 合计 36 44 80 （1）依据小概率值的独立性检验，判断是否认为运动偏好与性别有关； （2）从男生中按喜爱的运动分层抽样抽取10人，再从这10人中随机选6人，设X为6人中喜爱球类与喜爱慢跑人数之差的绝对值，求X的分布列与数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）依据小概率值的独立性检验，认为运动偏好与性别有关. （2）分布列为： X 0 2 4 6 P 【解析】 【分析】第一小问直计算并与3.841比较大小；第二小问求出离散型随机变量的概率、列出分布列和期望. 注意X为6人中喜爱球类与喜爱慢跑人数之差的绝对值，X的可能取值为0，2，4，6，其中含喜爱球类与喜爱慢跑人数之差为2和两种情况. 【小问1详解】 提出零假设：运动偏好与性别无关． ， 所以有的把握认为运动偏好与性别有关． 【小问2详解】 按分层抽样10名男生中喜爱球类有6人，喜爱慢跑有4人． X的可能取值为0，2，4，6， ， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 2 4 6 P 所以． 18. 甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜.已知每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立. （1）当时. （i）记比赛开始的前三场的中甲获胜的场数为X，求的分布列； （ii）求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； （2）若比赛结果为或者时胜方的成长值记3分，负方记0分，比赛结果为时胜方的成长值记2分，负方记1分，求甲队本次比赛的成长值得分的期望，并求的取值范围. 【答案】（1）（i）的分布列为 0 1 2 3 （ii） （2）， 【解析】 【分析】（1）（i）根据服从二项分布，可得的分布列.（ii）利用条件概率求解即可. （2）先求的分布列，表示出，再利用导数分析函数的单调性，求函数的值域. 【小问1详解】 （i）由题意可知，，则X的可能取值为 则；； ；， 所以的分布列为 0 1 2 3 （ii）设事件A表示“比赛恰好进行4场”，事件B表示“甲队获胜”．甲队获胜包含三种情况： 比赛3场甲队获胜，其概率为． 比赛4场甲队获胜，即前3场甲队胜2场，第4场甲队胜，概率为． 比赛5场甲队获胜，即前4场甲队胜2场，第5场甲队胜，概率为． 甲队获胜的概率为． 甲队获胜且比赛进行4场的概率为． 在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了4场的概率为． 【小问2详解】 甲队本次比赛的成长值得分Y的可能取值为． ； ； ； ． ． 令，则 ， 再令，. 判别式，的两根为. 由可得，则在上单调递减，则， 所以时，，. 因此函数在上单调递增，又， 当p趋近于1时，，则. 故的取值范围是． 19. 已知，． （1）求的极值； （2）若方程有两个不相等的实数根． （i）求的取值范围； （ii）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）极小值，无极大值； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）直接求导分析的符号即可求解； （2）（i）设，把问题转化为与有两个交点，利用导数求出的最值即可求解； （ii）设，则方程变为，设两根为， 则，利用比值换元法证明对数均值不等式可得，然后再根据基本不等式即可求解． 【小问1详解】 定义域为，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以单调递减区间为，单调递增区间为． 故有极小值，无极大值． 【小问2详解】 （i）方程等价于， 设，问题转化为与有两个交点， ，时，， 令，，所以在上单调递增， 且，故存在唯一满足，即， 并且当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， ， 又因为和时，，所以当时方程有两个不等实根． 故的取值范围为． （ii）原方程变形得：，设，则方程变为， 设两根为，则， 且满足， 不妨设，下面证明， 令， 则不等式变形为， 令，， 所以在上单调递增，所以， 即不等式成立，变形可得， 由基本不等式可得 ， 要使不等式恒成立，只需， 故的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南开荣中高2027届高二（下）期末学情调研 数学试卷 （全卷总分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上相应位置，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，答题卡交回，试卷自行保存． 第一部分（选择题 共58分） 一、单项题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若的展开式的各项的二项式系数和为32，则展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（ ） x 2 3 4 5 y 4 7 8 13 A. 经验回归直线必过点 B. C. 当时，预测值 D. 当时，样本点对应的残差为0.2 5. 已知随机变量X服从正态分布，若，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（ ） A. 12种 B. 16种 C. 24种 D. 30种 7. 已知函数在上单调递减，则当m取得最小值时，关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 对，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（     ） A. 若随机变量，，则 B. 若随机变量，则方差 C. 从10名男生，5名女生中选取4人，则至少有一名女生的概率为 D. 已知随机变量的分布列为（，2，3），则 10. 下列说法正确的是（    ） A. 函数的最小值为 B. 函数的单调递减区间为 C. 函数恒有意义，则实数的取值范围是 D. 函数（且）在区间上单调递增，则实数取值范围为 11. 设，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，曲线在处的切线方程为 C. 当时，有唯一极小值点 D. 若有两个零点，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若命题：“，”为假命题，实数的取值范围为______． 13. 数学王老师在一个四选一的单选题中，提问一个数学基础非常差的甲同学，当甲同学随机选了一个选项后，王老师在剩余的三个选项中剔除了一个错误选项，甲同学放弃原来的选择，并从另外两个未被剔除的选项中随机选择一个，则甲同学选对的概率为________. 14. 若对任意，恒成立，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，求的最大值及的值； （2）已知正实数满足．求的最小值及取最值时的值． 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若不等式恒成立，求的最大值． 17. 某社团调研男女同学课余运动偏好，统计数据如下列联表： 喜爱球类 喜爱慢跑 合计 男生 24 16 40 女生 12 28 40 合计 36 44 80 （1）依据小概率值的独立性检验，判断是否认为运动偏好与性别有关； （2）从男生中按喜爱的运动分层抽样抽取10人，再从这10人中随机选6人，设X为6人中喜爱球类与喜爱慢跑人数之差的绝对值，求X的分布列与数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 18. 甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜.已知每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立. （1）当时. （i）记比赛开始的前三场的中甲获胜的场数为X，求的分布列； （ii）求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； （2）若比赛结果为或者时胜方的成长值记3分，负方记0分，比赛结果为时胜方的成长值记2分，负方记1分，求甲队本次比赛的成长值得分的期望，并求的取值范围. 19. 已知，． （1）求的极值； （2）若方程有两个不相等的实数根． （i）求的取值范围； （ii）若恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $