精品解析：重庆市璧山来凤中学校等校2025-2026学年高二下学期期末数学试题

高二下期数学试题卷 注意事项： 1．考试时间：120分钟，满分：150分，试题卷总页数：6页． 2．所有题目必须在答题卷上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑，需要书写的地方一律用0.5 mm签字笔． 4．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷规定的位置上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 在的展开式中，含项的系数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量服从二项分布，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．已知，依据的独立性检验，以下结论正确的是（ ） A. 变量与不独立 B. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C. 变量与独立 D. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.001 6. 从装有6个白球，2个红球的密闭容器中不放回任意抽取2个球，取得红球个数的期望为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 高三年级1、2、3、4、5、6六个班负责甲、乙、丙、丁、戊五个区域的卫生，每个班负责一个区域，每个区域至少有一个班级负责，其中1班和2班都不去区域甲，则不同的任务分配方法种数为（ ） A. 872 B. 966 C. 1104 D. 1228 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 据某客运公司统计，每天从甲地去乙地的旅客人数服从正态分布，从甲地去丙地的旅客人数服从正态分布，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 在内单调递减 B. 当方程有一个实根时， C. 当不等式解集中恰有两个不等的正整数时， D. 当过点可作曲线的两条切线时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为_________． 13. 60有____________个不同的正因数． 14. 若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 四、解答题：本题共有5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合．求： （1），； （2），． 16. 某高科技公司开发了一款机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026年2月该款机器人的月销量（单位：千台）数据，如下表所示： 月份 2025年10月 2025年11月 2025年12月 2026年1月 2026年2月 月份代码 1 2 3 4 5 月销量 8 10 13 20 24 （1）求出关于的经验回归方程，并估计2026年8月该款机器人的销量； （2）假设该科技公司对购买该款机器人的客户每人发放1000元/个的补贴．已知甲、乙两家商户各至多购买一个该款机器人，且购买该款机器人的概率分别为，，已知甲乙两家商户享受的补贴总金额为，求的数学期望． 参考公式：，． 17. 已知函数（，）． （1）若在时取得极值且，求的值和极小值； （2）若当时，在区间的最大值为，最小值为．求此时，的值． 18. 抽屉里有相同规格的4块充电电池和2块一次性干电池，当需要使用电池时即从抽屉随机抽取一块，充电电池使用完后充满电放回原抽屉，干电池使用完后即作垃圾回收，原抽屉中不再补充电池，当抽屉只剩下充电电池时则停止电池的随机抽取． （1）求第2次抽取的是干电池的概率； （2）求在第2次抽取的是干电池的条件下第1次抽取的是充电电池的概率； （3）记抽取第次时恰好抽到最后一块干电池的概率为，求． 19. 已知函数，，． （1）当时，讨论的单调性； （2）证明：仅有一个极值点； （3）记的极值点为，若，，对任意，恒成立，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下期数学试题卷 注意事项： 1．考试时间：120分钟，满分：150分，试题卷总页数：6页． 2．所有题目必须在答题卷上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑，需要书写的地方一律用0.5 mm签字笔． 4．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷规定的位置上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 所以函数在区间上的平均变化率为. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】命题“，”的否定是“，”. 3. 在的展开式中，含项的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项直接求解即可. 【详解】由题知，中不含项， 又中含的项为， 且中含的项为， 所以的展开式中，含项的系数为. 4. 已知随机变量服从二项分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由. 所以. 5. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．已知，依据的独立性检验，以下结论正确的是（ ） A. 变量与不独立 B. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C. 变量与独立 D. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.001 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以依据的独立性检验，没有足够的证据说明与相关，所以可认定变量与独立. 6. 从装有6个白球，2个红球的密闭容器中不放回任意抽取2个球，取得红球个数的期望为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据超几何分布的期望公式，可得取得红球个数的期望为：. 7. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由单调性可得恒成立，参变分离，结合基本不等式求出最值，得到答案 【详解】因为，所以. 由题意，当时，恒成立. 所以. 由当时，，当且仅当时取等号. 所以. 即的取值范围为. 8. 高三年级1、2、3、4、5、6六个班负责甲、乙、丙、丁、戊五个区域的卫生，每个班负责一个区域，每个区域至少有一个班级负责，其中1班和2班都不去区域甲，则不同的任务分配方法种数为（ ） A. 872 B. 966 C. 1104 D. 1228 【答案】C 【解析】 【分析】分甲区域去1个和2个班讨论即可. 【详解】第一类方法：甲区域去两个班，因为1班和2班都不去区域甲，所以从3、4、5、6四个班中选两个班去甲区域，其余四个班去其余四个区域，这样的分配方法有： 种； 第二类方法：甲区域去一个班，因为1班和2班都不去区域甲，所以从3、4、5、6四个班中选一个班去甲区域，再从剩余的五个班中选两个班，并成一组，和其他班分配到其余四个区域，这样的分配方法有： 种. 综上，不同的任务分配方法种数为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对A，当时，可得；当时，可得；当时，可得.故A错误； 对B，由可得，两边同除以，不等号方向不变，可得.故B正确； 对C，当时，C选项的结论不成立，故C错误； 对D，因为，，所以，， 所以，所以，故D正确. 10. 据某客运公司统计，每天从甲地去乙地的旅客人数服从正态分布，从甲地去丙地的旅客人数服从正态分布，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】对A：，，所以，故A正确； 对B：，，所以，故B正确； 对C：，，其中，，所以，故C正确； 对D：，，所以，故D错误. 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 在内单调递减 B. 当方程有一个实根时， C. 当不等式解集中恰有两个不等的正整数时， D. 当过点可作曲线的两条切线时， 【答案】AC 【解析】 【分析】求出函数的导数并探讨函数的性质，进而判断ABC；求出过点的切线方程，由的切线条数判断D. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得或，由，得， 函数在上单调递减，函数值集合为，在上单调递减， 函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为， 对于A，在内单调递减，A正确； 对于B，当时，方程有唯一实根，B错误； 对于C，不等式解集中恰有两个不等的正整数，这两个正整数为， 则，即，因此的取值范围是，C正确； 对于D，设切点坐标为，切线方程为， 由切线过点，得，整理得，， 当时，解得，即当时，过点与曲线相切的直线只有1条，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，再写出切线的点斜式方程即可. 【详解】由题意，，所以时，， 故切线方程为，即． 故答案为：. 13. 60有____________个不同的正因数． 【答案】12 【解析】 【详解】因为，所以正因数的个数为个. 14. 若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 【答案】 ①. 9 ②. 3 【解析】 【分析】第①问通过对已知等式变形结合基本不等式求解；第②问通过换元法化简，再结合已知等式利用基本不等式求最小值． 【详解】①，由，所以，，，当且仅当时取得等号,则的最小值为， 由条件得，，，，，当且仅当，时取得等号， 则的最小值为. 四、解答题：本题共有5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合．求： （1），； （2），． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据对数的真数大于0求集合，根据偶次根式被开方数非负求集合. （2）根据交集、并集的概念求解. 【小问1详解】 ，解得：或，所以 ，解得：，所以. 【小问2详解】 . 16. 某高科技公司开发了一款机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026年2月该款机器人的月销量（单位：千台）数据，如下表所示： 月份 2025年10月 2025年11月 2025年12月 2026年1月 2026年2月 月份代码 1 2 3 4 5 月销量 8 10 13 20 24 （1）求出关于的经验回归方程，并估计2026年8月该款机器人的销量； （2）假设该科技公司对购买该款机器人的客户每人发放1000元/个的补贴．已知甲、乙两家商户各至多购买一个该款机器人，且购买该款机器人的概率分别为，，已知甲乙两家商户享受的补贴总金额为，求的数学期望． 参考公式：，． 【答案】（1），48.6千台 （2）数学期望为： 【解析】 【小问1详解】 ，， 解得， ， 所以， ， 故关于的经验回归方程为. 2026年8月对应的的值为11， 当为11时，. 故可估计2026年8月该款机器人的月销量为48.6千台． 【小问2详解】 所有可能取值为，，， ， ， ， 的分布列为： 的数学期望为：. 17. 已知函数（，）． （1）若在时取得极值且，求的值和极小值； （2）若当时，在区间的最大值为，最小值为．求此时，的值． 【答案】（1），极小值为 （2）或 【解析】 【分析】（1）先利用求得的值，再利用导数分析函数单调性，证明所求的值满足题意，结合函数的单调性可求函数的极小值. （2）分和，利用导数分析函数在上的单调性，结合函数的最值求，的值. 【小问1详解】 ， 由题意可得，，即， 解得：． 此时，， 由可得或；由可得. 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减， 所以函数在时取得极大值.所以满足题意. 所以当时，有极小值为. 【小问2详解】 需分和两种情况． ①，此时导函数，因且， ，即在上单调递增， 所以的最大值：，最小值：． 依据题意，解得，符合题意． ②，此时，即在上单调递减． 所以的最大值：，最小值：． 依据题意，解得，符合题意． 综上可得，的值为或. 18. 抽屉里有相同规格的4块充电电池和2块一次性干电池，当需要使用电池时即从抽屉随机抽取一块，充电电池使用完后充满电放回原抽屉，干电池使用完后即作垃圾回收，原抽屉中不再补充电池，当抽屉只剩下充电电池时则停止电池的随机抽取． （1）求第2次抽取的是干电池的概率； （2）求在第2次抽取的是干电池的条件下第1次抽取的是充电电池的概率； （3）记抽取第次时恰好抽到最后一块干电池的概率为，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式求值. （2）利用条件概率的计算公式求值. （3）利用等比数列的求和公式求. 【小问1详解】 设“第次抽取的为干电池”（，）； 设“第次抽取的为充电电池”（，，…，） ． 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 记第次恰好抽到第一块干电池，第次恰好抽到第二块干电池的概率为： . 19. 已知函数，，． （1）当时，讨论的单调性； （2）证明：仅有一个极值点； （3）记的极值点为，若，，对任意，恒成立，证明：． 【答案】（1）在单调递减 （2）， 易知是上的减函数，又，， 所以根据零点存在定理，可知仅有一个零点，即 当，，单调递增， 当，，单调递减， 所以是的极大值点，也是唯一的极值点． （3）由题意，对任意的， 令，则，令 因为，，所以，即单调递减， 又，当，，所以存在唯一， 使得，即 此时在上单调递增，在上单调递减 ， 所以， 记，则，，， 所以，设函数， 则，因为，， 令，由（2）知该方程成立仅当，即， 即有唯一零点，此时在上单调递减，在上单调递增， 所以，将代入， ， 综上，． 【解析】 【分析】（1）利用导数正负与函数单调性关系求解即可；（2）利用导数研究的单调性即可证明结论； （3）令，利用导数分析的单调性，可得，设函数，可得有唯一零点，化简即可证明结论. 【小问1详解】 所以当时，在恒成立 在单调递减，即在单调递减 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $