11.2乘法公式讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）（2024）数学七年级上册

该初中数学单元复习教案系统梳理了平方差公式、完全平方公式、立方和与立方差公式的核心内容，通过结构化表格呈现公式表达式与应用示例，结合例题解析与巩固练习层层递进，帮助学生建立从识别到运用再到综合的完整知识网络，清晰展现各公式之间的内在联系与逻辑脉络。 其亮点在于融合“数学眼光”“数学思维”与“数学语言”三大核心素养，设计分层练习如选择题辨析公式结构、填空题强化符号意识、解答题训练推理能力，体现由浅入深的思维进阶。例如在计算99²时引导学生联想完全平方公式，既提升运算效率又深化对公式的理解，实现个性化复习与精准教学，有效助力学生夯实基础，提升解题灵活性，也为教师开展高效课堂提供可操作性强的教学支架。

11.2 乘法公式 学习目标 · 掌握平方差公式及其应用 · 掌握完全平方公式及其应用 · 理解立方和与立方差公式 · 能够运用整式公式进行简便计算 · 能够识别和应用公式解决实际问题 知识点讲解 1. 平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 (a + b)(a - b) = a² - b² 公式特点： · 左边是两个二项式的积，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数 · 右边是这两个数的平方差 2. 完全平方公式 完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。 (a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)² = a² - 2ab + b² 公式特点： · 左边是一个二项式的完全平方 · 右边是一个三项式，其中有两项是平方项，一项是乘积的2倍 3. 立方和与立方差公式 立方和公式：两个数的和乘以它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和。 (a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³ 立方差公式：两个数的差乘以它们的平方和与它们的积的和，等于这两个数的立方差。 (a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³ 4. 公式的应用技巧 · 识别公式结构：观察表达式是否符合公式形式 · 确定公式中的a和b：找出公式中对应的项 · 灵活运用公式：正用、逆用和变形使用 · 简化计算：利用公式进行简便运算 公式名称 公式表达式 应用示例 平方差公式 (a+b)(a-b) = a² - b² (x+3)(x-3) = x² - 9 完全平方和 (a+b)² = a² + 2ab + b² (2x+1)² = 4x² + 4x + 1 完全平方差 (a-b)² = a² - 2ab + b² (3y-2)² = 9y² - 12y + 4 立方和公式 (a+b)(a²-ab+b²) = a³+b³ (x+2)(x²-2x+4) = x³+8 立方差公式 (a-b)(a²+ab+b²) = a³-b³ (2a-1)(4a²+2a+1) = 8a³-1 例题解析 例1：运用平方差公式计算 (1)(2x + 3y)(2x - 3y) (2)103 × 97 解析： (1)(2x + 3y)(2x - 3y) = (2x)² - (3y)² = 4x² - 9y² (2)103 × 97 = (100 + 3)(100 - 3) = 100² - 3² = 10000 - 9 = 9991 例2：运用完全平方公式计算 (1)(3a + 2b)² (2)(x - 3y)² (3)99² 解析： (1)(3a + 2b)² = (3a)² + 2×3a×2b + (2b)² = 9a² + 12ab + 4b² (2)(x - 3y)² = x² - 2×x×3y + (3y)² = x² - 6xy + 9y² (3)99² = (100 - 1)² = 100² - 2×100×1 + 1² = 10000 - 200 + 1 = 9801 例3：运用立方和与立方差公式计算 (1)(x + 2)(x² - 2x + 4) (2)(2a - 3b)(4a² + 6ab + 9b²) 解析： (1)(x + 2)(x² - 2x + 4) = x³ + 2³ = x³ + 8 (2)(2a - 3b)(4a² + 6ab + 9b²) = (2a)³ - (3b)³ = 8a³ - 27b³ 例4：公式的综合应用 计算：(2x + y)² - (2x - y)(2x + y) 解析： (2x + y)² - (2x - y)(2x + y) = (4x² + 4xy + y²) - [(2x)² - y²] = (4x² + 4xy + y²) - (4x² - y²) = 4x² + 4xy + y² - 4x² + y² = 4xy + 2y² 巩固练习 一、选择题 1. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A.(a+b)(a+b)  B.(a-b)(a-b)  C.(a+b)(-a+b)  D.(a+b)(-a-b) 2. 计算(2x-3y)²的结果是（ ） A.4x² - 9y²  B.4x² - 6xy + 9y²  C.4x² - 12xy + 9y²  D.4x² + 12xy + 9y² 二、填空题 1.(x+4)(x-4) =______。 2.(2a+3b)² =______。 3.(3x-2)(9x²+6x+4) =______。 三、解答题 1. 运用乘法公式计算： (1)(3m+2n)(3m-2n) (2)(x-5)² (3)(2a+3b)² (4)(x+1)(x²-x+1) 2. 简便计算： (1)102 × 98 (2)99² (3)103³ 参考答案 一、选择题 1. C   2. C 二、填空题 1.x² - 16  2.4a² + 12ab + 9b²  3.27x³ - 8 三、解答题 1. (1)(3m+2n)(3m-2n) = 9m² - 4n² (2)(x-5)² = x² - 10x + 25 (3)(2a+3b)² = 4a² + 12ab + 9b² (4)(x+1)(x²-x+1) = x³ + 1 2. (1)102 × 98 = (100+2)(100-2) = 100² - 2² = 10000 - 4 = 9996 (2)99² = (100-1)² = 100² - 2×100×1 + 1² = 10000 - 200 + 1 = 9801 (3)103³ = (100+3)³ = 100³ + 3×100²×3 + 3×100×3² + 3³ = 1000000 + 90000 + 2700 + 27 = 1092727 本章小结 · 平方差公式：(a+b)(a-b) = a² - b² · 完全平方公式： 2. (a+b)² = a² + 2ab + b² 2. (a-b)² = a² - 2ab + b² · 立方和公式：(a+b)(a²-ab+b²) = a³+b³ · 立方差公式：(a-b)(a²+ab+b²) = a³-b³ · 应用技巧： 5. 识别公式结构，确定公式中的a和b 5. 灵活运用公式进行简便计算 5. 注意公式的正用、逆用和变形使用 学习提示：乘法公式是代数运算的重要工具，要熟练掌握各种公式的形式和特点，能够灵活运用于计算和问题解决中，为后续学习因式分解和更复杂的代数运算打下坚实基础。 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.2 乘法公式 学习目标 · 掌握平方差公式及其应用 · 掌握完全平方公式及其应用 · 理解立方和与立方差公式 · 能够运用整式公式进行简便计算 · 能够识别和应用公式解决实际问题 知识点讲解 1. 平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 (a + b)(a - b) = a² - b² 公式特点： · 左边是两个二项式的积，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数 · 右边是这两个数的平方差 2. 完全平方公式 完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。 (a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)² = a² - 2ab + b² 公式特点： · 左边是一个二项式的完全平方 · 右边是一个三项式，其中有两项是平方项，一项是乘积的2倍 3. 立方和与立方差公式 立方和公式：两个数的和乘以它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和。 (a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³ 立方差公式：两个数的差乘以它们的平方和与它们的积的和，等于这两个数的立方差。 (a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³ 4. 公式的应用技巧 · 识别公式结构：观察表达式是否符合公式形式 · 确定公式中的a和b：找出公式中对应的项 · 灵活运用公式：正用、逆用和变形使用 · 简化计算：利用公式进行简便运算 公式名称 公式表达式 应用示例 平方差公式 (a+b)(a-b) = a² - b² (x+3)(x-3) = x² - 9 完全平方和 (a+b)² = a² + 2ab + b² (2x+1)² = 4x² + 4x + 1 完全平方差 (a-b)² = a² - 2ab + b² (3y-2)² = 9y² - 12y + 4 立方和公式 (a+b)(a²-ab+b²) = a³+b³ (x+2)(x²-2x+4) = x³+8 立方差公式 (a-b)(a²+ab+b²) = a³-b³ (2a-1)(4a²+2a+1) = 8a³-1 例题解析 例1：运用平方差公式计算 (1)(2x + 3y)(2x - 3y) (2)103 × 97 例2：运用完全平方公式计算 (1)(3a + 2b)² (2)(x - 3y)² (3)99² 例3：运用立方和与立方差公式计算 (1)(x + 2)(x² - 2x + 4) (2)(2a - 3b)(4a² + 6ab + 9b²) 例4：公式的综合应用 计算：(2x + y)² - (2x - y)(2x + y) 巩固练习 一、选择题 1. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A.(a+b)(a+b)  B.(a-b)(a-b)  C.(a+b)(-a+b)  D.(a+b)(-a-b) 2. 计算(2x-3y)²的结果是（ ） A.4x² - 9y²  B.4x² - 6xy + 9y²  C.4x² - 12xy + 9y²  D.4x² + 12xy + 9y² 二、填空题 1.(x+4)(x-4) =______。 2.(2a+3b)² =______。 3.(3x-2)(9x²+6x+4) =______。 三、解答题 1. 运用乘法公式计算： (1)(3m+2n)(3m-2n) (2)(x-5)² (3)(2a+3b)² (4)(x+1)(x²-x+1) 2. 简便计算： (1)102 × 98 (2)99² (3)103³ 本章小结 · 平方差公式：(a+b)(a-b) = a² - b² · 完全平方公式： 2. (a+b)² = a² + 2ab + b² 2. (a-b)² = a² - 2ab + b² · 立方和公式：(a+b)(a²-ab+b²) = a³+b³ · 立方差公式：(a-b)(a²+ab+b²) = a³-b³ · 应用技巧： 5. 识别公式结构，确定公式中的a和b 5. 灵活运用公式进行简便计算 5. 注意公式的正用、逆用和变形使用 学习提示：乘法公式是代数运算的重要工具，要熟练掌握各种公式的形式和特点，能够灵活运用于计算和问题解决中，为后续学习因式分解和更复杂的代数运算打下坚实基础。 学科网（北京）股份有限公司 $