第06讲 对数与对数函数（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦对数与对数函数高考核心考点，涵盖对数式运算、函数图像与单调性、比较大小及复合函数综合问题，按知识解构-题型破译-真题训练逻辑架构，通过命题透视明确考情，知识精讲拆解核心，题型破译归纳技巧，助力学生系统构建知识网络。 资料以分层突破和素养导向为特色，如比较对数大小时用中间量搭桥培养数学思维，解对数不等式强调定义域优先提升数学语言表达。课后分基础与创新演练，配合方法技巧总结，帮助学生高效突破难点，为教师提供精准复习路径，提升应考能力。

第06讲 对数与对数函数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 对数式的运算 知识点2 对数函数的定义及图像 题型破译 题型1 指数式与对数式的互化 【方法技巧】指数式与对数式的互化 题型2 对数的运算 【方法技巧】对数的运算 题型3 指数、对数函数模型的应用 【方法技巧】指数、对数函数模型的应用 题型4 对数函数图象的识别及应用 【方法技巧】对数函数图象的识别及应用 题型5 比较对数式的大小 【方法技巧】比较对数式的大小 题型6 解对数不等式 【方法技巧】解对数不等式 题型7 对数（型）函数的单调性问题 【方法技巧】对数（型）函数的单调性问题 题型8 对数（型）函数的综合问题 【方法技巧】对数（型）函数的综合问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 对数式化简与运算（换底公式） 天津卷 T4（5 分） 天津卷 T6（5 分） 天津卷 T5（5 分） 对数函数图像与单调性、比较大小 天津卷 T6（5 分） 天津卷 T7（5 分） 天津卷 T5（5 分） 对数复合型函数综合（定义域、零点、含参） 天津卷 T9（5 分） 天津卷 T15（5 分） 天津卷 T9（5 分） 考情分析 对数内容为天津高考稳定必考模块，全部以单选、填空小题考查，单题分值 5 分。基础运算、数值比较为中档送分题，位于试卷前中段；复合型含参、零点问题常作为单选压轴或填空压轴，区分度较强。命题常融合指数、幂函数联合比大小，搭配对数不等式、分段函数、恒成立设问，侧重数形结合与换元转化思想，每年至少 1 道相关考题，是函数板块得分关键。 复习目标 1.熟练掌握对数四则运算、换底公式，能快速完成对数式化简求值； 2.牢记对数函数定点、定义域值域、单调性规律，会借助 0、1 中间量比较对数值； 3.掌握对数复合函数定义域求解方法，能结合图像分析零点、不等式、参数范围； 4.灵活运用换元法处理复合型对数问题，理清分类讨论、数形结合解题思路 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 对数式的运算 (1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； (3) 对数的性质和运算法则： ①；；其中且；②(其中且，)；③对数换底公式：；④； ⑤；⑥，； ⑦和； ⑧； 必记结论 对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 自主检测__________. 知识点2 对数函数的定义及图像 (1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． 对数函数的图象 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 必记结论 1．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 2．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 自主检测已知函数（，且）的图象经过点，函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求不等式的解集． 题●型●破●译 题型1 指数式与对数式的互化 例1-1（2026·天津东丽·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 例1-2（2026·天津·一模）若，，则（   ） A． B． C． D． 方法技巧 指数式与对数式的互化 互化核心关系式：若 a>0 且 a≠1，aˣ=N 等价于 logₐN=x。转化时找准底数、指数、真数三者对应关系，指数的底数对应对数底数，幂对应真数，指数对应对数值。求解指对方程优先互化简化计算，已知对数值求幂、已知幂求对数都可互换形式。处理综合运算、求值证明时，常借助互化实现指对切换。 【变式训练1-1】（2026·天津宝坻·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】已知，则的值为___________． 【变式训练1-3】，，则______． 题型2 对数的运算 例2-1（2026·天津河西·模拟预测）某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中，为常数，，，.已知，，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（    ） （参考数据：，，） A．120 B．130 C．140 D．150 例2-2（2026·甘肃兰州·模拟预测）记，，，则（   ） A． B． C． D． 方法技巧 对数的运算 对数运算核心用好三大公式：对数加减法则、数乘对数、换底公式。加减运算统一化为真数相乘相除；系数可移入真数作乘方；不同底数对数统一换底再化简。遇到常数可写成同底对数方便合并，复杂根式、分式真数先拆分化简再计算。求值类题型常用整体代换，不用单独求解未知数。计算时牢记真数必须大于 0，换底公式常用来统一底数、证明等式。天津高考基础小题高频考查，重点规避符号、指数变形失误，熟练公式能大幅提升化简速度。 【变式训练2-1】（2026·天津河北·二模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】（2026·天津河东·二模）已知函数，当函数为奇函数时，为（   ） A． B． C．0 D． 【变式训练2-3】已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上． (1)求实数的值； (2)解不等式． 题型3 指数、对数函数模型的应用 例3-1物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述: 设物体的初始温度是 ， 后的温度是 ，则 ，其中 表示环境温度， 称为半衰期. 现有一杯88°C的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20 min，那么降温到35℃大约需要 （参考数据: ） （     ） A． B． C． D． 例3-2设，且. （1）求实数的值及函数的定义域； （2）求函数在区间上的最小值. 例3-3已知函数满足． （Ⅰ）当时，解不等式； （Ⅱ）若关于x的方程的解集中有且只有一个元素，求a的取值范围 （Ⅲ）设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围． 方法技巧 指数、对数函数模型的应用 实际应用题先区分增长、衰减模型，指数模型多用于翻倍、衰减变化，对数模型适配增长放缓的场景。第一步根据题意列出函数解析式，确定自变量实际取值范围；代入数据列式求解，利用指数、对数运算化简计算。求解最值、预测数值时结合函数单调性分析，含参数问题借助换元简化式子。天津考题常结合生活情境命题，算出结果后要检验是否符合实际意义，舍去不合理数值，熟练运用指对互化是快速求解方程的关键。 【变式训练3-1】声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），指的是人能听到的最低声强．已知人能承受的最大声强为，对应的声强级为． (1)若声强级增加，则声强变为原来的多少倍？ (2)若李明早读时读书的声强范围为（单位：），求他早读时读书的声强级范围（单位：）． 【变式训练3-2】中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率N的大小，其中叫做信噪比．已知当x比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带W在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了____________（附：） 题型4 对数函数图象的识别及应用 例4-1函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 例4-2函数的图象恒过定点，若点在函数的图象上，，，则的最小值为_____. 方法技巧 对数函数图象的识别及应用 标准对数函数恒过定点 (1,0)，底数 a>1 图像上升，0<a<1 图像下降。底数越大，在 x>1 区域图像越靠下。图像平移遵循左加右减、上加下减，绝对值变换会将 x 轴下方图像翻折至上方。解题先抓定点、定义域、单调性三大特征，借助图像判断取值范围、不等式解集与零点个数。天津小题常结合参数、分段函数考查，利用数形结合快速判断函数高低、交点情况，做题先标注关键点，规避忽略真数大于 0 的常见失误。 【变式训练4-1】函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】设函数过定点，则_____________． 【变式训练4-3】函数的图象恒过定点，若对任意正数都有，则的最小值是_____ 题型5 比较对数式的大小 例5-1设，，，则（    ） A． B． C． D． 例5-2设函数，记，则（   ） A． B． C． D． 方法技巧 比较对数式的大小 比较对数值大小分三类方法：同底数看单调性，底数大于 1 函数递增，底数 0 到 1 函数递减；同真数结合图像，底数越大，第一象限图像越低；底数、真数均不同时，借助 0、1 作为中间值搭桥判断。解题先判断正负，大于 0 或小于 0 可直接区分，无法区分再转化同底或同真。遇到含参对数需分类讨论底数范围，天津高考常搭配指数、幂函数综合比大小，全程优先判断定义域，灵活借助中间量简化运算，避免直接估算出错。 【变式训练5-1】设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】（2026·天津和平·一模）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型6 解对数不等式 例6-1（2026·天津滨海新区·三模）已知：，：，则是的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例6-2条件“”的一个必要不充分的条件是______（填上一个答案即可）． 方法技巧 解对数不等式 解对数不等式第一步优先列出限制条件，保证真数大于 0、底数大于 0 且不等于 1，先锁定定义域范围。统一两侧对数底数后分两类讨论：底数 a>1 时，对数单调递增，去掉对数符号不等号方向不变；底数 0<a<1 时函数递减，去对数后不等号反向。若两侧无同底对数，可将常数转化为同底对数，借助单调性转化整式不等式。含参数题型要对底数分类讨论，最终解集需与定义域取交集。天津高考常结合复合函数出题，极易因忽略真数范围出现增根，解题遵循先定定义域、再利用单调性化简、最后取交集的固定步骤。 【变式训练6-1】（2026·天津东丽·二模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练6-2】（2026·天津滨海新区·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练6-3】已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围. 题型7 对数（型）函数的单调性问题 例7-1若对数函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______． 例7-2已知函数，． (1)当时，求函数的值域； (2)已知，若存在两个不同的正数a，b，当函数的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围； (3)当时，是否存在使函数在区间上的最大值为，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由． 方法技巧 对数（型）函数的单调性问题 对数复合函数遵循 “同增异减” 法则，解题第一步先求定义域，保证真数大于 0，这是极易遗漏的得分点。拆分内外两层函数，外层为对数函数 y=logₐu，内层为真数 u=g (x)。当 a>1 时，外层单调递增，内外单调性一致则整体递增、相反则递减；当 0<a<1 时，外层单调递减，内外单调性相同则整体递减、相反则递增。求单调区间必须和定义域取交集，解含参单调性题目要分类讨论底数 a 的范围。天津高考常结合不等式、参数范围考查，解题先定定义域，再分层判断增减，最后整合区间，避免出现超出定义域的错误答案。 【变式训练7-1】若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是________． 【变式训练7-2】(1)若不等式对于恒成立，求实数k的取值范围； (2)若函数（，）在区间上单调递减，求实数a的取值范围； (3)已知不等式对满足的一切实数恒成立求的取值范围； (4)你认为解决恒成立问题的本质是什么？ 【变式训练7-3】已知是定义域上的减函数，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型8 对数（型）函数的综合问题 例8-1已知函数（为常数）是奇函数. (1)求的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 例8-2已知函数， (1)当时，求的定义域和单调区间； (2)若任意都有，求实数的取值范围． 方法技巧 对数（型）函数的综合问题 处理对数综合题优先使用换元法，设 t=logₐx，将复合式转化为二次函数简化计算，同时注意对数真数大于 0 的限制条件。求解定义域需联立真数大于 0、底数大于 0 且不等于 1 的不等式组；比较对数大小时，灵活借用 0、1 作为中间值，结合底数单调性判断。解对数不等式要分底数 a>1 与 0<a<1 两种情况，依据单调性改变不等号方向。零点、恒成立类题型依靠数形结合，结合函数图像交点分析参数范围。天津高考常融合分段函数、指数函数联合出题，解题时先明确定义域，再转化成熟悉函数模型，规避忽略真数范围造成的参数求解错误。 【变式训练8-1】已知函数 . (1)证明: 函数是奇函数; (2)判断的单调性，并用定义证明; (3)若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式训练8-2】已知函数. (1)求函数的定义域，判断函数的奇偶性并证明: (2)若，求实数的取值范围； (3)若存在使得不等式成立，求实数的最大值. 【变式训练8-3】已知函数，则关于x的不等式的解集是__________． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（2022·天津·高考真题）化简（         ） A．1 B． C．2 D． 4．（2022·天津·高考真题）设，，，则的大小关系为（      ） A． B． C． D． 5．（2021·天津·高考真题）若，则（    ） A． B． C．1 D． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知与互为相反数，则（    ） A． B． C． D． 2．设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，求的取值范围． 3．已知放射性物质镭经过年后，其剩余的质量为原来的，求经过多少年后其剩余的质量为原来的．（参考数据，） 4．求下列函数的定义域： (1)； (2)． 5．已知，求的值． 6．求使下列不等式成立的实数x的集合： (1)； (2). 7．已知，，． (1)比较x，y的大小； (2)比较y，z的大小． 8．设，求满足的x值． 9．（1）计算对数函数当，0.5，1，2，4，8时的函数值； （2）计算常用对数函数当，10000时的函数值． 10．某污水处理厂采用技术手段清除水中污染物的同时，还能生产出有用的肥料和清洁用水，在处理过程中，每小时可以从处理池中清除掉残留污染物的12％． (1)一天后污染物含量降低到什么程度？ (2)使污染物含量减半至少要多少小时（结果保留整数）？ 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：基础演练贴合天津高考前中段基础小题出题方向，侧重基础知识与简单运算，不设置复杂含参分类讨论。核心第一部分为对数基础运算，考查指数对数互化、对数加减乘除公式、换底公式，包含根式、分数对数化简与简单求值；第二部分考查对数函数基础性质，识别定点 (1,0)、定义域、值域，利用单调性比较对数大小，借助 0、1 作为中间值快速区分数值；第三部分为基础对数不等式与复合函数定义域求解，只需列出真数大于 0、底数范围基础不等式。题型均为简单单选，难度偏低，主要排查公式记忆混淆、忽略真数大于 0、单调性判断失误等常见低级错误，夯实指对转换、数形结合基础思路，为后续压轴综合题型做好铺垫。 1．下列函数是奇函数，且在区间上单调递增的为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的零点为，则所在的区间为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的最小值． 4．（1）求值：； （2）已知，，请用、表示. （3）已知角的终边在直线上，求的值 5．若函数（且）有最小值，则实数a的取值范围是__________. 6．函数，，则此函数的值域为______________． 7．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 8．（1） （2） （3）解关于方程：. 9．已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求函数的值域． (3)设函数，且函数在区间上的最小值为7，求的值． 10．已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若对于恒成立，求m的最小值． 重难·创新演练 设题创新:创新主要体现在四方面。一是多模块融合，将对数与指数、二次函数、充要条件、零点问题结合，利用换元构造复合型函数，增设参数分类讨论；二是新定义题型，给出全新对数类运算规则，要求现场理解转化，脱离固定解题模板；三是图像综合变换，搭配平移、翻折、分段函数，结合交点个数求参数范围，强化数形结合；四是实际应用创新，结合增长模型、统计情境构建对数模型，融合不等式求解。区别基础题单纯计算，侧重逻辑推导与综合转化，多作为单选、填空压轴，着重考查分类讨论、等价转化等高阶思维，拉开考生分数差距。 1．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.01%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为，其中是自然对数的底数，k为常数，（为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，则___________；要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为___________.（参考数据：） 2．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，都有不等式成立，若，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．已知，，当取得最大值时，此时有函数，函数，且对任意，有不等式恒成立，则实数p的取值范围为__________. 4．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，设，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数，若，则的最大值为__________. 7．已知函数，若恰有3个零点.则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数.若，且，则的取值范围是_____． 9．定义在上的偶函数满足，且时， 则= （    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则不等式的解集为___________． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 对数与对数函数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 对数式的运算 知识点2 对数函数的定义及图像 题型破译 题型1 指数式与对数式的互化 【方法技巧】指数式与对数式的互化 题型2 对数的运算 【方法技巧】对数的运算 题型3 指数、对数函数模型的应用 【方法技巧】指数、对数函数模型的应用 题型4 对数函数图象的识别及应用 【方法技巧】对数函数图象的识别及应用 题型5 比较对数式的大小 【方法技巧】比较对数式的大小 题型6 解对数不等式 【方法技巧】解对数不等式 题型7 对数（型）函数的单调性问题 【方法技巧】对数（型）函数的单调性问题 题型8 对数（型）函数的综合问题 【方法技巧】对数（型）函数的综合问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 对数式化简与运算（换底公式） 天津卷 T4（5 分） 天津卷 T6（5 分） 天津卷 T5（5 分） 对数函数图像与单调性、比较大小 天津卷 T6（5 分） 天津卷 T7（5 分） 天津卷 T5（5 分） 对数复合型函数综合（定义域、零点、含参） 天津卷 T9（5 分） 天津卷 T15（5 分） 天津卷 T9（5 分） 考情分析 对数内容为天津高考稳定必考模块，全部以单选、填空小题考查，单题分值 5 分。基础运算、数值比较为中档送分题，位于试卷前中段；复合型含参、零点问题常作为单选压轴或填空压轴，区分度较强。命题常融合指数、幂函数联合比大小，搭配对数不等式、分段函数、恒成立设问，侧重数形结合与换元转化思想，每年至少 1 道相关考题，是函数板块得分关键。 复习目标 1.熟练掌握对数四则运算、换底公式，能快速完成对数式化简求值； 2.牢记对数函数定点、定义域值域、单调性规律，会借助 0、1 中间量比较对数值； 3.掌握对数复合函数定义域求解方法，能结合图像分析零点、不等式、参数范围； 4.灵活运用换元法处理复合型对数问题，理清分类讨论、数形结合解题思路 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 对数式的运算 (1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； (3) 对数的性质和运算法则： ①；；其中且；②(其中且，)；③对数换底公式：；④； ⑤；⑥，； ⑦和； ⑧； 必记结论 对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 自主检测__________. 【答案】6 【详解】因为：， 所以： . 故答案为： 6. 知识点2 对数函数的定义及图像 (1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． 对数函数的图象 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 必记结论 1．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 2．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 自主检测已知函数（，且）的图象经过点，函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)5(2) 【详解】（1）将点代入到，即，解得， 将点代入到，即，解得，则， 故的值为5. （2）由（1）得，，所以，求不等式的解集即求的解集， 易得在上单调递减，故，解得， 故不等式的解集为 题●型●破●译 题型1 指数式与对数式的互化 例1-1（2026·天津东丽·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得，，即. 则， 由得， 所以. 例1-2（2026·天津·一模）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得，，即. 由得，，即，所以. 所以. 方法技巧 指数式与对数式的互化 互化核心关系式：若 a>0 且 a≠1，aˣ=N 等价于 logₐN=x。转化时找准底数、指数、真数三者对应关系，指数的底数对应对数底数，幂对应真数，指数对应对数值。求解指对方程优先互化简化计算，已知对数值求幂、已知幂求对数都可互换形式。处理综合运算、求值证明时，常借助互化实现指对切换。 【变式训练1-1】（2026·天津宝坻·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，， 所以 【变式训练1-2】已知，则的值为___________． 【答案】 【详解】已知 ，，则 ，， 代入得， 所以. 故答案为： 【变式训练1-3】，，则______． 【答案】 【详解】设，则， 所以，因为，所以， 所以，即， 解得或（负根舍去）， 所以. 故答案为： 题型2 对数的运算 例2-1（2026·天津河西·模拟预测）某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中，为常数，，，.已知，，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（    ） （参考数据：，，） A．120 B．130 C．140 D．150 【答案】D 【详解】由，得，解得， 由，得，解得，所以， 当循环为次时电池健康度为60，可得， 所以，两边取对数得，所以， 所以，解得， 电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加 例2-2（2026·甘肃兰州·模拟预测）记，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， , 因, 故. . 综上可得大小关系：. 方法技巧 对数的运算 对数运算核心用好三大公式：对数加减法则、数乘对数、换底公式。加减运算统一化为真数相乘相除；系数可移入真数作乘方；不同底数对数统一换底再化简。遇到常数可写成同底对数方便合并，复杂根式、分式真数先拆分化简再计算。求值类题型常用整体代换，不用单独求解未知数。计算时牢记真数必须大于 0，换底公式常用来统一底数、证明等式。天津高考基础小题高频考查，重点规避符号、指数变形失误，熟练公式能大幅提升化简速度。 【变式训练2-1】（2026·天津河北·二模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】指数函数 在定义域内单调递减，所以 ，即 . 对数函数 在 上单调递增， 所以 ，即 . 对数函数 在 上单调递增， 所以 ，即 . 又 ， ，， 所以 ，即 ，所以 . 综上，. 【变式训练2-2】（2026·天津河东·二模）已知函数，当函数为奇函数时，为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【详解】由题知，，则定义域为， 所以， ，经检验满足题意， 又， 所以． 【变式训练2-3】已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上． (1)求实数的值； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当 时，，与 无关， 故定点 的坐标为 ， 点 在函数 的图象上， 所以 ，即： ， 得：， 解得： （2）由第 1 问知 ，所以： 原不等式为：， 由对数真数必须大于 0， 得：，解得：； 由底数 ，对数函数在上单调递减， 因此原不等式等价于：， 整理得： ， 即，解得：， 又因为 ， 所以， 不等式的解集为： 题型3 指数、对数函数模型的应用 例3-1物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述: 设物体的初始温度是 ， 后的温度是 ，则 ，其中 表示环境温度， 称为半衰期. 现有一杯88°C的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20 min，那么降温到35℃大约需要 （参考数据: ） （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，即，，， 设降温到35℃大约需要，则， 即，， ， 所以， 故选：B． 例3-2设，且. （1）求实数的值及函数的定义域； （2）求函数在区间上的最小值. 【答案】（1），； （2） 【详解】（1）∵，∴，∴. 由得， ∴函数的定义域为. （2）. ∴当时， 是增函数；当时， 是减函数， 故函数在区间上单调递增，其最小值是. 例3-3已知函数满足． （Ⅰ）当时，解不等式； （Ⅱ）若关于x的方程的解集中有且只有一个元素，求a的取值范围 （Ⅲ）设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围． 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）或；（Ⅲ）. 【详解】（Ⅰ）由题意可得，得，解得． （Ⅱ）方程有且仅有一解， 等价于有且仅有一正解， 当时，符合题意； 当时，，此时方程有一正、一负根，满足题意， 当时，要使得有且仅有一正解，则：， 解得：，则方程的解为，满足题意． 综上，或 （Ⅲ）当时，， 所以在上单调递减 函数在区间上的最大值与最小值分别为，， 即对任意 恒成立， 因为， 所以函数在区间上单调递增， 所以时，y有最小值， 由，得 故的取值范围为 方法技巧 指数、对数函数模型的应用 实际应用题先区分增长、衰减模型，指数模型多用于翻倍、衰减变化，对数模型适配增长放缓的场景。第一步根据题意列出函数解析式，确定自变量实际取值范围；代入数据列式求解，利用指数、对数运算化简计算。求解最值、预测数值时结合函数单调性分析，含参数问题借助换元简化式子。天津考题常结合生活情境命题，算出结果后要检验是否符合实际意义，舍去不合理数值，熟练运用指对互化是快速求解方程的关键。 【变式训练3-1】声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），指的是人能听到的最低声强．已知人能承受的最大声强为，对应的声强级为． (1)若声强级增加，则声强变为原来的多少倍？ (2)若李明早读时读书的声强范围为（单位：），求他早读时读书的声强级范围（单位：）． 【答案】(1)10(2) 【详解】（1）解法1： 依题意可知当时，，即，解得， 若声强级增加，即， 所以当声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍． 解法2： 依题意可知当时，，即，解得， 所以，则 若声强级增加，则， 所以当声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍． （2）显然在上单调递增， 当时，， 当时，， 所以李明早读时读书的声强级范围为（单位：）． 【变式训练3-2】中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率N的大小，其中叫做信噪比．已知当x比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带W在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了____________（附：） 【答案】 【详解】根据题意可设技术提升前最大信息传送速率，信道带宽，信噪比； 提升后分别为，信道带宽，信噪比； 且满足，； 易知， 所以； 所以可得C大约增加了. 故答案为： 题型4 对数函数图象的识别及应用 例4-1函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得，即函数的定义域为且，关于原点对称， 由，可知函数为奇函数，故排除B、D； 又因为，故排除A. 故选：C. 例4-2函数的图象恒过定点，若点在函数的图象上，，，则的最小值为_____. 【答案】 【详解】在函数中，令，则，因此定点的坐标为， 把代入，得：，化简得：， 因为，且， 所以， 当且仅当时，等号成立，即， 因此，，即最小值为. 故答案为：. 方法技巧 对数函数图象的识别及应用 标准对数函数恒过定点 (1,0)，底数 a>1 图像上升，0<a<1 图像下降。底数越大，在 x>1 区域图像越靠下。图像平移遵循左加右减、上加下减，绝对值变换会将 x 轴下方图像翻折至上方。解题先抓定点、定义域、单调性三大特征，借助图像判断取值范围、不等式解集与零点个数。天津小题常结合参数、分段函数考查，利用数形结合快速判断函数高低、交点情况，做题先标注关键点，规避忽略真数大于 0 的常见失误。 【变式训练4-1】函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的定义域为，且， 所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，故排除B. 当时，在上单调递增，故排除A. 又，故排除D. 故选：C. 【变式训练4-2】设函数过定点，则_____________． 【答案】4 【详解】由过定点，可知， 解得，故. 故答案为：4. 【变式训练4-3】函数的图象恒过定点，若对任意正数都有，则的最小值是_____ 【答案】2 【详解】由题可知：函数的图象过定点，所以. 所以，即，则， 所以，当且仅当，即取等号. 故答案为：2. 题型5 比较对数式的大小 例5-1设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则， 在上单调递减，，， 在上单调递减，，，； ，，； 综上所述：. 例5-2设函数，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为,所以函数是偶函数，所以. 当时,,此时有，所以函数在单调递增， 又因为 ,所以. 又因为,所以, 由函数的单调性可得即 方法技巧 比较对数式的大小 比较对数值大小分三类方法：同底数看单调性，底数大于 1 函数递增，底数 0 到 1 函数递减；同真数结合图像，底数越大，第一象限图像越低；底数、真数均不同时，借助 0、1 作为中间值搭桥判断。解题先判断正负，大于 0 或小于 0 可直接区分，无法区分再转化同底或同真。遇到含参对数需分类讨论底数范围，天津高考常搭配指数、幂函数综合比大小，全程优先判断定义域，灵活借助中间量简化运算，避免直接估算出错。 【变式训练5-1】设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，即， ，即， ，则，可得， 即，所以，即. 【变式训练5-2】（2026·天津和平·一模）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，则， 由，而，则， 而，所以. 【变式训练5-3】已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】指数函数在定义域内单调递减，所以，即. 对数函数在上单调递增，所以，即. 对数函数在上单调递增，所以，即. 又， ，， 所以，即，所以. 综上，. 题型6 解对数不等式 例6-1（2026·天津滨海新区·三模）已知：，：，则是的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，， 因为是的真子集， 所以是的必要不充分条件. 例6-2条件“”的一个必要不充分的条件是______（填上一个答案即可）． 【答案】（答案不唯一，符合要求即可） 【详解】已知不等式，由于 指数函数是单调递减函数，因此不等式等价于； 又由于对数函数定义域为，且本身是单调递增函数，因此原条件等价于：. 必要不充分条件的定义为：若原条件为，所求条件为，满足，但，则是的必要不充分条件. 这里，取，可满足，但. 因此原条件的一个必要不充分条件是.（答案不唯一，符合要求即可） 方法技巧 解对数不等式 解对数不等式第一步优先列出限制条件，保证真数大于 0、底数大于 0 且不等于 1，先锁定定义域范围。统一两侧对数底数后分两类讨论：底数 a>1 时，对数单调递增，去掉对数符号不等号方向不变；底数 0<a<1 时函数递减，去对数后不等号反向。若两侧无同底对数，可将常数转化为同底对数，借助单调性转化整式不等式。含参数题型要对底数分类讨论，最终解集需与定义域取交集。天津高考常结合复合函数出题，极易因忽略真数范围出现增根，解题遵循先定定义域、再利用单调性化简、最后取交集的固定步骤。 【变式训练6-1】（2026·天津东丽·二模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，此时、无意义，故充分性不成立； 若，由函数在定义域内单调递增，故，即必要性成立； 故“”是“”的必要不充分条件. 【变式训练6-2】（2026·天津滨海新区·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由可得，解得或， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 【变式训练6-3】已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）当时，，因为， 所以，即， 解得，所以所求解集为； （2）因为， 由，得只有一个正根， 若，满足题意； 当时， 若，解是， 此时方程仅有一个实根为，满足题意； 若，即，此时方程的两根之积为，所以方程两根只能异号， 所以，可得，此时方程只有一个正根，满足题意； 综上，或， 所以实数的取值范围是：. 题型7 对数（型）函数的单调性问题 例7-1若对数函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】由对数函数在区间上单调递增，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 例7-2已知函数，． (1)当时，求函数的值域； (2)已知，若存在两个不同的正数a，b，当函数的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围； (3)当时，是否存在使函数在区间上的最大值为，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：当时，函数， 设，可得，则， 又由为单调递增函数，所以，即， 所以函数的值域为. （2）解：由题意，函数的定义域为，令，则， 因为为正数，所以，则， 令， 因为，可得图像的开口向上，且对称轴为， 所以在上为单调递增函数， 又因为为单调递增函数，所以在上为单调递增函数， 因为函数在上的值域为，所以且， 即有两个不等的实数根， 即有两个不等的实数根， 即有两个不等的且均大于实数根， 即有两个不等的且均大于实数根， 设，则满足 且， 解得，所以实数的取值范围为. （3）解：令，当时，可得， 设，因为，则， 当时，可得函数的图像开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增，所以， 因为为单调递增函数，所以在上单调递增， 又因为函数在区间上的最大值为，所以， 即，解得，不符合题意，舍去； 当时，可得， 因为为单调递减函数，所以在上单调递减函数， 所以，可得，解得，符合题意， 经验证：当时，在上恒成立， 且为单调递减函数，当时，取得最大值，符合题意. 综上可得，实数的值为. 方法技巧 对数（型）函数的单调性问题 对数复合函数遵循 “同增异减” 法则，解题第一步先求定义域，保证真数大于 0，这是极易遗漏的得分点。拆分内外两层函数，外层为对数函数 y=logₐu，内层为真数 u=g (x)。当 a>1 时，外层单调递增，内外单调性一致则整体递增、相反则递减；当 0<a<1 时，外层单调递减，内外单调性相同则整体递减、相反则递增。求单调区间必须和定义域取交集，解含参单调性题目要分类讨论底数 a 的范围。天津高考常结合不等式、参数范围考查，解题先定定义域，再分层判断增减，最后整合区间，避免出现超出定义域的错误答案。 【变式训练7-1】若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【详解】令，其图象开口向上且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 而在区间上单调递减，且在定义域上单调递增， 所以是的一个子区间，且，即， 所以. 故答案为： 【变式训练7-2】(1)若不等式对于恒成立，求实数k的取值范围； (2)若函数（，）在区间上单调递减，求实数a的取值范围； (3)已知不等式对满足的一切实数恒成立求的取值范围； (4)你认为解决恒成立问题的本质是什么？ 【答案】(1)(2)(3) (4)将不等式的恒成立问题，转化为函数的最值问题，数形结合是解决恒成立问题的有效方法. 【详解】（1）因为，所以不等式可化为， 即对任意的恒成立， 令， 所以，当且仅当时等号成立， 即的最小值为，所以， 所以实数k的取值范围为. （2）因为且，所以函数在定义域上单调递减， 根据复合函数的单调性及对数函数的定义域，由题意可得，解得， 所以实数a的取值范围为. （3）不等式可化为， 令， 当时，，满足题意， 当时，，不满足题意， 当时，函数在定义域上单调递增， 由题意可得，解得， 当时，函数在定义域上单调递减， 由题意可得，解得， 综上，的取值范围为. （4）将不等式的恒成立问题，转化为函数的最值问题，数形结合是解决恒成立问题的有效方法. 【变式训练7-3】已知是定义域上的减函数，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知： 当时，单调递减， 当时，单调递减， 且在处的函数值大于或等于当时，在处的临界值， 即，解得， 即的取值范围是， 故选：C 题型8 对数（型）函数的综合问题 例8-1已知函数（为常数）是奇函数. (1)求的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为函数（为常数）是奇函数， 所以，则， 即，所以，即，解得， 当时，则函数无意义，故舍去； 当时，则，令，解得， 可知函数是定义在内的奇函数，符合题意； 综上所述：. （2）由（1）可知，， 则， 若恒成立，即对任意的恒成立， 因为在上单调递增，则， 可得，所以的取值范围是. 例8-2已知函数， (1)当时，求的定义域和单调区间； (2)若任意都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)定义域；单调递增区间，单调递减区间(2) 【详解】（1）当时，， 由可得，故函数的定义域为， 又二次函数图象的对称轴为， 该函数在单调递增，单调递减，且是单调递增函数， 由复合函数的单调性得，在单调递增，单调递减． 故的定义域为，单调递增区间为，单调递减区间为． （2）由题意可知，对，，故，所以． 又任意，恒成立 即，， 因为，所以，所以， 解法一：故恒成立．因为，所以恒成立，所以． 解法二：令，其中， 要使得在恒成立，则，故． 综上，． 方法技巧 对数（型）函数的综合问题 处理对数综合题优先使用换元法，设 t=logₐx，将复合式转化为二次函数简化计算，同时注意对数真数大于 0 的限制条件。求解定义域需联立真数大于 0、底数大于 0 且不等于 1 的不等式组；比较对数大小时，灵活借用 0、1 作为中间值，结合底数单调性判断。解对数不等式要分底数 a>1 与 0<a<1 两种情况，依据单调性改变不等号方向。零点、恒成立类题型依靠数形结合，结合函数图像交点分析参数范围。天津高考常融合分段函数、指数函数联合出题，解题时先明确定义域，再转化成熟悉函数模型，规避忽略真数范围造成的参数求解错误。 【变式训练8-1】已知函数 . (1)证明: 函数是奇函数; (2)判断的单调性，并用定义证明; (3)若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析(3) 【详解】（1）证明: 由，得 ，即的定义域为， 所以的定义域关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数. （2）因为和在 上分别是增函数和减函数，所以 在 哦上为增函数， 证明：设， ， 因为，所以，， 所以，所以，即， 所以在单调递增； （3）由（2）可知在单调递增； 所以在上的最小值为， 由题知对恒成立， 所以，解得：， 所以实数得到取值范围是 【变式训练8-2】已知函数. (1)求函数的定义域，判断函数的奇偶性并证明: (2)若，求实数的取值范围； (3)若存在使得不等式成立，求实数的最大值. 【答案】(1)定义域为，函数为偶函数，证明见解析(2)(3) 【详解】（1）对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 故函数为偶函数. （2）当时，， 由得，解得， 由可得，解得， 所以，实数的取值范围是. （3）因为，则， 因为存在使得不等式成立， 则，解得， 因此，实数的最大值为. 【变式训练8-3】已知函数，则关于x的不等式的解集是__________． 【答案】 【详解】由题设，开口向下且对称轴为， 在上，在上递增，在上递减，且恒过点， 所以，上，上， 又，上，上， 综上，的解集为. 故答案为： 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得， 因为函数在上单调递增，所以， 又因函数在上单调递增，则， 所以， 因，且在上单调递增， 所以，即. 故. 2．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D 3．（2022·天津·高考真题）化简（         ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】原式 ， 故选：C 4．（2022·天津·高考真题）设，，，则的大小关系为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，故. 故选：D. 5．（2021·天津·高考真题）若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】，， . 故选：C. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知与互为相反数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知得，即，所以. 故选：C. 2．设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，求的取值范围． 【答案】 【详解】因为复数在复平面内的对应点在第三象限， 所以，即，所以，解得， 即实数的取值范围为. 3．已知放射性物质镭经过年后，其剩余的质量为原来的，求经过多少年后其剩余的质量为原来的．（参考数据，） 【答案】约经过年后其剩余的质量为原来的 【详解】设这种放射性物质最初的质量是，经过百年后，剩余量是， 依题意()，令，两边取对数，得， 解得， 所以约经过年后其剩余的质量为原来的． 4．求下列函数的定义域： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为. （2）解：由函数有意义，则满足，即，解得， 所以函数的定义域为. 5．已知，求的值． 【答案】 【详解】，解得或， 当时，，不合要求，舍去， 当时，，满足要求. 综上： 6．求使下列不等式成立的实数x的集合： (1)； (2). 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，且函数为定义域上的单调递增函数， 所以，所以，所以使成立的实数x的集合为. （2）因为函数为定义域上的单调递减函数，且， 所以，所以，所以使成立的实数x的集合为. 7．已知，，． (1)比较x，y的大小； (2)比较y，z的大小． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，所以，即 因为，所以，即， 所以； （2），且，所以， ，所以， 所以 8．设，求满足的x值． 【答案】3 【详解】当时，可知，解得，显然不合题意； 当时，可得，解得，符合题意； 综上可得满足的x值为3. 9．（1）计算对数函数当，0.5，1，2，4，8时的函数值； （2）计算常用对数函数当，10000时的函数值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由对数的运算法则可得： 对于函数， ， ， ， ， 综上所述,结论是:取0.25,0.5,1,2,4,8时的函数值为. （2）由对数的运算法则可得： 对于函数, ， ， 则当，10000时的函数值分别为. 10．某污水处理厂采用技术手段清除水中污染物的同时，还能生产出有用的肥料和清洁用水，在处理过程中，每小时可以从处理池中清除掉残留污染物的12％． (1)一天后污染物含量降低到什么程度？ (2)使污染物含量减半至少要多少小时（结果保留整数）？ 【答案】(1)大约降低到原来的5％(2)6h． 【详解】（1）设污水中污染物的初始含量为， 又设n h后残留在池中的污染物含量为，这个问题的数学模型是数列， 它满足． 因此，数列是以为首项，以0.88为公比的等比数列． 利用通项公式，得． ，所以一天后污染物含量大约降低到原来的5％． （2）为求何时污染物含量会减半，从解出n， 得． 故使污染物含量减半至少要6h． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：基础演练贴合天津高考前中段基础小题出题方向，侧重基础知识与简单运算，不设置复杂含参分类讨论。核心第一部分为对数基础运算，考查指数对数互化、对数加减乘除公式、换底公式，包含根式、分数对数化简与简单求值；第二部分考查对数函数基础性质，识别定点 (1,0)、定义域、值域，利用单调性比较对数大小，借助 0、1 作为中间值快速区分数值；第三部分为基础对数不等式与复合函数定义域求解，只需列出真数大于 0、底数范围基础不等式。题型均为简单单选，难度偏低，主要排查公式记忆混淆、忽略真数大于 0、单调性判断失误等常见低级错误，夯实指对转换、数形结合基础思路，为后续压轴综合题型做好铺垫。 1．下列函数是奇函数，且在区间上单调递增的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：函数的定义域为， 因为，所以是奇函数， 任取，则， 易知当时，，即， 所以在单调递减，不满足题意； 选项B：函数的定义域为，不是奇函数，不满足题意； 选项C：函数的定义域为， 因为，所以不是奇函数，不满足题意； 选项D：函数的定义域为， 因为，所以是奇函数， 又，在单调递增，所以在单调递增，满足题意； 故选：D 2．已知函数的零点为，则所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数定义域为，与在均单调递增， 故在单调递增． ； ， 因且，故． 由函数单调递增且、，得零点所在区间为． 故选：C． 3．已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的最小值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）函数的定义域为. . 令，则，当时，， 所以当时，， 当时，， 所以当时，该函数的值域为. （2）当时，， 原不等式可化为，即对恒成立. 令，. 任取，则， 所以， ， 则在上单调递增， 所以. 故，即的最小值为. 4．（1）求值：； （2）已知，，请用、表示. （3）已知角的终边在直线上，求的值 【答案】（1）；（2）；(3)或 【详解】（1）原式； （2）因为，所以，则， 又因为，. (3)在直线上任取点，则， 当时，， 此时； 当时，， 此时； 综上，或. 5．若函数（且）有最小值，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【详解】当时，函数在上单调递增， 要使（且）有最小值， 需使的最小值大于0，则， 解得，又，所以； 当时，在上单调递减， 又没有最大值， 所以（且）没有最小值，不合题意； 综上，实数a的取值范围是. 故答案为：. 6．函数，，则此函数的值域为______________． 【答案】 【详解】 令，，则， ∴， 当时，取得最小值，， 当或时，取得最大值，， 所以的值域为，即的值域为. 故答案为：. 7．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为且关于原点对称， 因为，所以为奇函数，即可排除A， 当时，，排除， 故选：B． 8．（1） （2） （3）解关于方程：. 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1） （2） （3）因为， 所以， 所以， 所以或舍，所以， 所以. 9．已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求函数的值域． (3)设函数，且函数在区间上的最小值为7，求的值． 【答案】(1)偶函数，理由见解析(2)答案见解析(3)2 【详解】（1）偶函数，理由如下： 由题意得，则， 所以的定义域为，关于原点对称， 由， 则， 所以是偶函数. （2）因为， 因为，又因为，则， ①当时，为增函数，此时，故的值域为， ②当时，为减函数，此时，故的值域为. 综上所述，当时，故的值域为. 当时，的值域为. （3）由题意， 设，因为为增函数，为减函数，所以为增函数， 所以时，， 所以在区间上的最小值为，且对称轴为，开口向上， ①当，即时，此时在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值为，不符合题意，故舍去； ②当，即时，此时在区间上单调递减， 在上单调递增，则时，有最小值为，解得（负值舍去），符合题意； ③当，即时，此时在区间上单调递减， 所以当时，最小值为，解得舍去. 综上所述，的值为. 10．已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若对于恒成立，求m的最小值． 【答案】(1)或(2) 【详解】（1）， 令，则， ，即，则，∴或， 当时，即，则， 当时，即，则， ∴或. （2）， 即，∴恒成立， 令，∵，∴， 则恒成立 令函数， ∵在上单调递增，在上单调递增，∴在上单调递增， ∴， ∴. 即m的最小值为. 重难·创新演练 设题创新:创新主要体现在四方面。一是多模块融合，将对数与指数、二次函数、充要条件、零点问题结合，利用换元构造复合型函数，增设参数分类讨论；二是新定义题型，给出全新对数类运算规则，要求现场理解转化，脱离固定解题模板；三是图像综合变换，搭配平移、翻折、分段函数，结合交点个数求参数范围，强化数形结合；四是实际应用创新，结合增长模型、统计情境构建对数模型，融合不等式求解。区别基础题单纯计算，侧重逻辑推导与综合转化，多作为单选、填空压轴，着重考查分类讨论、等价转化等高阶思维，拉开考生分数差距。 1．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.01%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为，其中是自然对数的底数，k为常数，（为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，则___________；要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为___________.（参考数据：） 【答案】 / 【详解】当时，，解得； ，即， 即 故答案为：； 2．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，都有不等式成立，若，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设函数，则， 所以根据题中条件，当时，，即函数在上单调递减， 因为为奇函数，所以，所以为偶函数， ，，， 因为，所以，即. 3．已知，，当取得最大值时，此时有函数，函数，且对任意，有不等式恒成立，则实数p的取值范围为__________. 【答案】 【详解】当， ，当且仅当， 即等号成立，故， 故函数，函数， 当时，，最小值为（时取到）， 当时，， 故的最小值为， 对任意，有不等式恒成立等价于对任意，有不等式恒成立， 即，解得或， 所以或， 因为函数在单调递减， 所以解得. 4．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，设，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增， 可得函数在上为单调递减函数，且， 所以，， 因为，所以，，， 可得，所以， 即，所以. 5．已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】取，，则，但，， 此时，，， 所以不是的充分条件， 取，，则，， 故，但， 所以不是的必要条件， 所以是的既不充分也不必要条件 6．已知函数，若，则的最大值为__________. 【答案】 【详解】由函数，可得其定义域为， 因为恒成立，所以三个因式正负号问题， 当时，可得，当且仅当时，即时，等号成立， 又因为，所以， ①当时，因为，所以， 且时，，此时不满足恒成立， ②当时，因为，当时，， 所以不能满足恒成立， ③当时，因为，所以， 要使得，则须， 又因为函数和在上都是单调递增函数， 要使得在上恒成立，必须两个函数值符号相同， 所以两个函数的零点也相同，即且， 综上可得，当，时，恒成立， 所以， 设，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 7．已知函数，若恰有3个零点.则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数在上单调递增，函数值集合为， 在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为， 由，得或；由，得或或， 函数恰有3个零点， 即直线与的图象有3个交点，且交点的横坐标为， 在同一坐标系内作出直线与的图象，如图， 观察图象得，， 由，得，因此，， 所以的取值范围是. 故选：C 8．已知函数.若，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】如图， 由，知，且， 得，即，得， 所以，当且仅当即时等号成立. 所以的取值范围为. 故答案为： 9．定义在上的偶函数满足，且时， 则= （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】定义在上的偶函数满足， 所以，所以的周期为， 又因为为偶函数，所以， 其中， 所以， 因为，所以， 所以，故A正确. 故选：A. 10．已知函数，则不等式的解集为___________． 【答案】 【详解】由，可得，即函数的定义域为， 由，且， 则， 因函数在上递增且为正数，而函数在上递增， 故函数在上为增函数，又与均为增函数， 故函数在上为增函数， 由不等式，等价于，即， 可得，解得. 故答案为：. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $