第14章 全等三角形（暑假单元自测）新八年级数学新教材人教版

**基本信息** 人教版初中数学全等三角形单元卷，90分钟120分，覆盖全等判定、性质及应用，含傣族油纸伞文化情境与动态问题，适配暑假巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|10/30|全等判定（SSS/SAS/ASA等）、角平分线性质与作图|结合傣族油纸伞非遗文化（第1题），设计数学游戏情境（第5题），考查几何直观与推理意识| |填空题|5/15|角平分线性质、动态全等、跨学科应用|融入物理光的反射定律（第12题），设置长方形运动全等问题（第15题），体现模型意识与应用意识| |解答题|8/75|全等证明、辅助线构造（倍长中线）、动态综合|分层设计基础证明（第16题）与创新探究（第22题倍长中线法），动态问题（第23题）考查推理能力与计算思维|

第14章 全等三角形 单元自测卷 【新教材，人教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共23题，单选10题，填空5题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．傣族油纸伞是傣家人引以为豪的传统手工艺之一，被列入第一批国家级非物质文化遗产保护名录，我县某中学八年级同学在了解了傣族油纸伞后，即组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．同学们依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，请添加一个条件，使得（　　） A． B． C．∠BED= ∠CFD D． 2．如图，在中，，是的平分线，，垂足为E，若，则的长度为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 3．下列作图中，点到，两边距离相等的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知△ABC中，平分，于点，连接，若，，则的面积是（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 5．甲、乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：已知△ABC和（点分别是点的对应点），两人轮流添加条件，如表记录了两人游戏的部分过程，第3轮添加条件后，若能判定，则甲失败，乙获胜；若不能判定，则甲获胜，乙失败，则下列说法错误的是（） 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … A．若甲第3轮添加的条件是，则乙获胜 B．若甲想获胜，第3轮可以添加条件 C．若乙修改第2轮的添加条件为，则第三轮乙必胜 D．若甲第3轮添加的条件是，则甲获胜 6．根据下列已知条件，能唯一画出的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，是的平分线，点，分别在射线和上，且．是射线上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 8．如图，在△ABC中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 9．如图，在中，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线，，若，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．20 10．如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 2、 填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在△ABC中，为的平分线，于E，于F，的面积是30，，，则____________           12．如图①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律如图②，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点A，B，C，D在同一条直线上已知，，则小红和木板之间的距离为_____． 13．如图，△ABC的两条高，相交于点F，若，，，则的面积为_________． 14．如图，△ABC中，，，平分交于点，，，则的周长为___________． 15．如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上向点运动，同时，点在线段上从点向点运动；已知点的运动速度是．则经过__________，与全等． 三、解答题（本题共8道题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（7分）如图，在△ABC中，，点D在边上（点D不与点B、点C重合），作，交边于点E． (1)求证：； (2)若，求证：． 17．（8分）如图，在△ABC中，， (1)在边上找一点D，使得点D到边的距离与到边的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； (2)在（1）的条件下，若，，求的面积． 18．（10分）如图，在和中，，且点在边上，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 19．（8分）如图，在△ABC中，，，，，垂足分别是，，，． (1)请说明和的数量关系，并说明理由； (2)求的长． 20．（8分）如图，在△ABC中，D为上一点，E为的中点，连接并延长至点F，连接，已知． (1)求证：E为的中点； (2)若，平分，求的度数． 21．（10分）如图，在△ABC中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 22．（12分）【学习问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （）①由已知和作图能得到，依据是 ；            ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ； 【学习反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【类比运用】 （）如图，是中点，点在上，且，求证：； 【拓展运用】 （）如图，已知直线，点、是直线上两点，点、是直线上两点，点是线段中点，且，两平行线、间的距离为．求证：． 23．（12分）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，与此同时，点在线段上由点向点运动，当，中的一点到达终点时，两点都停止运动，它们的运动时间为连接，． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当，时，写出与的数量关系与位置关系，并说明理由； (2)如图2，当时，设点的运动速度为，是否存在实数，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由． 11 / 11 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14章 全等三角形 单元自测卷 【新教材，人教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共23题，单选10题，填空5题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．傣族油纸伞是傣家人引以为豪的传统手工艺之一，被列入第一批国家级非物质文化遗产保护名录，我县某中学八年级同学在了解了傣族油纸伞后，即组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．同学们依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，请添加一个条件，使得（　　） A． B． C．∠BED= ∠CFD D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，据此结合全等三角形的判定定理逐一判断即可，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：根据题意可得， 添加条件时，结合，不可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件时，结合，不可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件时，则，即，结合，不可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件时，结合，可以利用证明，故D符合题意； 2．如图，在中，，是的平分线，，垂足为E，若，则的长度为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质定理得到即可． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴． 3．下列作图中，点到，两边距离相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，以及根据作图痕迹进行判断． 【详解】解：点到、两边距离相等， 点在的角平分线上， 由作法可知，选项C中 为 的角平分线，选项A、B、D均不符合题意． 4．如图，已知△ABC中，平分，于点，连接，若，，则的面积是（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题重点考查角平分线的性质、三角形的面积公式等知识．作于点F，由平分，于点E，根据角平分线的性质得，而，根据，代入数据计算即可求解． 【详解】解：作于点F， ∵平分，于点E， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．甲、乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：已知△ABC和（点分别是点的对应点），两人轮流添加条件，如表记录了两人游戏的部分过程，第3轮添加条件后，若能判定，则甲失败，乙获胜；若不能判定，则甲获胜，乙失败，则下列说法错误的是（） 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … A．若甲第3轮添加的条件是，则乙获胜 B．若甲想获胜，第3轮可以添加条件 C．若乙修改第2轮的添加条件为，则第三轮乙必胜 D．若甲第3轮添加的条件是，则甲获胜 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定方法：、、、、依次对各选项分析即可判断．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【详解】解：原问题已有条件为，，结合判定定理逐一分析： A．∵添加后，三边对应相等，满足全等判定，∴，乙获胜，A说法正确． B．∵添加后，现有条件为两边及其中一边的对角对应相等，即，不能判定三角形全等，∴无法判定全等，甲获胜，因此甲想获胜可以添加该条件，B说法正确． C．修改第二轮条件后，已有条件为，，∵无论甲第三轮添加任何一个条件，添加边时，加可由判定全等，加可由判定直角三角形全等；添加角时，加可由判定，加可由判定，因此都可判定全等，乙必胜，C说法正确． D．∵添加后，现有条件为，，，是与的夹角，满足全等判定，∴，乙获胜，甲失败，因此D说法错误． 6．根据下列已知条件，能唯一画出的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．利用三角形三边关系与全等三角形的判定方法，逐一分析各选项能否画出唯一三角形即可． 【详解】解：A选项中，不满足三角形三边关系“两边之和大于第三边”，∴不能构成三角形，故A不符合题意； B选项中，符合全等三角形判定定理，∴能画出唯一，故B符合题意； C选项中，属于的情况，无法确定唯一三角形，故C不符合题意； D选项中仅知道直角与斜边，可画出无数个直角三角形，∴不能确定唯一，故D不符合题意． 故选：B． 7．如图，是的平分线，点，分别在射线和上，且．是射线上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，过作于点，过作于点，根据角平分线的性质可得，然后分当在点右侧时，当在点左侧时两种情况，分别通过全等三角形的判定与性质即可求解，掌握以上知识点及分类讨论是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点，过作于点， ∵是的平分线， ∴， 当在点右侧时，如图，则， ∵， ∴， ∴，即， 当在点左侧时，如图，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上可得：的度数为或， 故选：． 8．如图，在△ABC中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用判定，根据全等三角形对应角相等可得，从而可得，根据三角形内角和定理可以求出，再利用三角形内角和定理可求的度数． 【详解】解：在中，， ， 在和中， ， ， 又， ， ， 在中，． 9．如图，在中，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线，，若，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【分析】首先证明，然后再根据定理证明，根据全等三角形的性质可得，，进而得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 10．如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先通过角的等量代换得到，利用证明，由此推出，再结合全等三角形对应角相等、三角形内角和、对顶角性质，分别验证度数与是否成立，逐一判断4个结论正误． 【详解】解：已知， ， 即， 在和中： ， ，结论①正确； 由全等三角形对应边相等，得，结论③正确； 由，得， 已知， ， ∵， ， 即， 代入，得， 在中，，结论②错误； 延长交于点，交于点， 由，得， 又，， ， ，即， ，结论④正确， 综上，①③④正确，共3个正确结论． 第Ⅱ卷 2、 填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在△ABC中，为的平分线，于E，于F，的面积是30，，，则____________           【答案】/ 【分析】根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式即可解答． 【详解】为的平分线，，， ， ∵面积是30， ， 即， 解得． 12．如图①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律如图②，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点A，B，C，D在同一条直线上已知，，则小红和木板之间的距离为_____． 【答案】6 【分析】根据入射角等于反射角得到，再证明三角形全等，即可解答． 【详解】解：由题意，得 ，     ，     在和中， ，     ， ∴． 13．如图，△ABC的两条高，相交于点F，若，，，则的面积为_________． 【答案】24 【分析】利用全等三角形的性质求出和的长可得结论． 【详解】解：， ，， ， ， ． 14．如图，△ABC中，，，平分交于点，，，则的周长为___________． 【答案】 【分析】根据角平分线的性质得，然后证明得，推出的周长为长． 【详解】解：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长为． 15．如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上向点运动，同时，点在线段上从点向点运动；已知点的运动速度是．则经过__________，与全等． 【答案】1或4 【分析】设运动的时间为，由条件分两种情况，当时，则有，由条件可得到关于的方程，当△△，则有，同样可得出的方程，可求出的值． 【详解】解：设运动的时间为，分两种情况： ①当，时，， ，， ， ， ， ， 点从点出发在线段上以的速度向点运动， ； ②当，时，， 由题意得：， 解得：， 综上，经过或，与全等． 三、解答题（本题共8道题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（7分）如图，在△ABC中，，点D在边上（点D不与点B、点C重合），作，交边于点E． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形的外角的性质和角的和差关系即可证明结论； （2）利用即可证明． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴；（3分） （2）证明：由（1）得， 又∵，， ∴．（7分） 17．（8分）如图，在△ABC中，， (1)在边上找一点D，使得点D到边的距离与到边的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； (2)在（1）的条件下，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】（1）作的角平分线：先以点B为圆心，一定长为半径画弧交于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接B与两弧的交点，交于点D，根据角平分线的性质定理可知，此时点到边的距离与到边的距离相等； （2）过点D作，由作图可知，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求， （2）解：如（1）图，过点D作， 由（1）可知，点D到边的距离与到边的距离相等， ∵，， ∴， ∵， ∴ ． 18．（10分）如图，在和中，，且点在边上，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据，推出，证明即可解答． （2）先证明，得到，再求出，，即可解答． （3）延长到，使得，连接，先证明，则．推导出，则，继而证明，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴． 在和中， ； ∴；（3分） （2）解：∵， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；（6分） （3）证明：延长到，使得，连接，如图所示． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∴．（10分） 19．（8分）如图，在△ABC中，，，，，垂足分别是，，，． (1)请说明和的数量关系，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据条件可以得出，进而得出，即可解答； （2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题； 【详解】（1）解：，理由如下； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴；（4分） （2）解：由（1）得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴．（8分） 20．（8分）如图，在△ABC中，D为上一点，E为的中点，连接并延长至点F，连接，已知． (1)求证：E为的中点； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线的性质，线段中点的性质，全等三角形的判定与性质，即可证明； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义，即可解答． 【详解】（1）证明：， ． 为的中点， ． 在和中， （）， ， 即为的中点． （2）解：，， ，． 平分， ， ． 21．（10分）如图，在△ABC中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用可证； （2）根据全等三角形的性质可证，，根据可知． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中，， ；（5分） （2）解：， ，， ， ．（10分） 22．（12分）【学习问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （）①由已知和作图能得到，依据是 ；            ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ； 【学习反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【类比运用】 （）如图，是中点，点在上，且，求证：； 【拓展运用】 （）如图，已知直线，点、是直线上两点，点、是直线上两点，点是线段中点，且，两平行线、间的距离为．求证：． 【答案】（）①，②； （）证明见解析； （）证明见解析 【分析】（）①延长至点，使，连接，利用全等三角形的判定定理解答即可； ②利用全等三角形的性质和三角形的三边关系定理列不等式解答即可； （）延长至点，使，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，，再利用等腰三角形的判定与性质和等式的性质解答即可； （）延长交于点，过点作于点，于点，利用全等三角形的判定与性质得到，，利用线段的垂直平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论． 【详解】（）解：①延长至点，使，连接，如图， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ， 的依据是； ②， ， ， ， ， ；（4分） （）证明：延长至点，使，连接，如图， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ；（8分） （）证明：延长交于点，过点作于点，于点，如图， 则， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为的垂直平分线， ， ， ， ， ．（12分） 23．（12分）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，与此同时，点在线段上由点向点运动，当，中的一点到达终点时，两点都停止运动，它们的运动时间为连接，． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当，时，写出与的数量关系与位置关系，并说明理由； (2)如图2，当时，设点的运动速度为，是否存在实数，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)存在，，或，． 【分析】（1）判定，推出，，由直角三角形的性质得到，因此，求出，即可证明； （2）当，时，，求出，；当，时，，求出，，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，，，理由如下； ∵点和的运动速度是，运动的时间是， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴；（6分） （2）解：存在实数，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等， ∵， 当，时，， ∴，， ∴，； 当，时，， ∴，， ∴，． 综上，或，．（12分） 11 / 11 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $