第5章 §1 1.1 利用函数性质判定方程解的存在性(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[基础巩固·夯基提能] 1．已知函数h(x)是奇函数，且f(x)＝h(x)＋2，若x＝2是函数f(x)的一个零点，则f(－2)＝(　　) A．－4　　　　　　　 B．0 C．2 D．4 解析　因为x＝2是函数f(x)的一个零点， 所以f(2)＝0， 于是f(2)＝h(2)＋2＝0，即h(2)＝－2. 又函数h(x)是奇函数，则h(－2)＝－h(2)＝2， 所以f(－2)＝h(－2)＋2＝4. 答案　D 2．(多选)若函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,8)，(0,4)，(0,2)内，则下列说法不正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点 B．函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C．函数f(x)在区间(1,8)内无零点 D．函数f(x)在区间[2,8)内无零点 解析　因为函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,8)，(0,4)，(0,2)内，所以函数f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)内，所以函数f(x)在区间[2,8)内无零点．故只有D正确． 答案　ABC 3．函数f(x)＝－|lg x|的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　函数f(x)的零点个数可转化为函数y＝和y＝|lg x|的图象的交点个数．作出y＝和y＝|lg x|的图象，如图所示，有2个交点，所以函数f(x)的零点个数为2. 答案　C 4．已知函数f(x)＝则方程f(x)－3＝0的实根之和为________． 解析　当x≤0时，令f(x)－3＝－3＝0， 解得x＝－8； 当x>0时，令f(x)－3＝2＋log2x－3＝0， 解得x＝2， 所以方程f(x)－3＝0的实根之和为－8＋2＝－6. 答案　－6 5．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________． 解析　∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内， ∴∴∴－1<b<0. 答案　(－1,0) 6．判断方程log2x＋x2＝0在区间内有没有实数根？为什么？ 解析　设f(x)＝log2x＋x2，先设该方程有实数根， ∴f＝log2＋2＝－1＋＝－<0， f(1)＝log21＋1＝1>0， ∴f·f(1)<0. ∵函数f(x)＝log2x＋x2的图象在区间上是连续的， ∴f(x)在区间内有零点， 即方程log2x＋x2＝0在区间内有实根． [关键能力·综合提升] 7．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x.若g(x)有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．[－1，＋∞) C．(－∞，0) D．[0，＋∞) 解析　画出f(x)的大致图象如图所示，g(x)有且仅有一个零点等价于方程f(x)＝－x有且仅有一个解，结合y＝f(x)的图象与y＝－x的图象可知，当e0＋a≥0，即a≥－1时，y＝f(x)的图象与y＝－x的图象有唯一的交点，故选B. 答案　B 8．已知函数f(x)＝5x＋2x－a在(1,2)内存在零点，则实数a的取值范围为(　　) A．(7,29) B．(7，＋∞) C．(1,29) D．(7,14) 解析　解法一(直接法) 因为f(x)在区间(1,2)内单调递增，所以根据零点存在定理可得 解得7<a<29. 故选A. 解法二(分离参数法) 令f(x)＝5x＋2x－a＝0，得a＝5x＋2x. 令g(x)＝5x＋2x，则g(x)在R上为增函数， 所以当1<x<2时， 7＝g(1)<g(x)<g(2)＝29， 所以a的取值范围为(7,29)． 答案　A 9．已知函数f(x)＝3x＋x－5的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N＋，则a＝______，b＝________. 解析　∵函数f(x)＝3x＋x－5， ∴f(1)＝31＋1－5＝－1＜0， f(2)＝32＋2－5＝6＞0， ∴f(1)f(2)＜0，且函数f(x)在R上单调递增， ∴f(x)的零点x0在区间[1,2]内． ∴a＝1，b＝2. 答案　1　2 10．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，求下列条件下，实数a的取值范围． (1)零点均大于1； (2)一个零点大于1，一个零点小于1. 解析　(1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得 解得2≤a＜. (2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得f(1)＝5－2a＜0，解得a＞. [核心价值·探索创新] 11．(新定义)若在定义域内存在实数x0使f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立，则称函数有“漂移点”x0. (1)请判断函数f(x)＝是否有“漂移点”？并说明理由； (2)求证：函数f(x)＝x2＋3x在(0,1)上存在“漂移点”． (1)解析　假设函数f(x)＝有“漂移点”x0， 则＝＋2， 即x＋x0＋1＝0， 因为此方程无实根，与题设矛盾，所以函数f(x)＝没有“漂移点”． (2)证明　令h(x)＝f(x＋1)－f(x)－f(1) ＝(x＋1)2＋3x＋1－(x2＋3x)－4 ＝2×3x＋2x－3， 则h(0)＝－1，h(1)＝5. 因为h(0)h(1)<0， 又h(x)在(0,1)上连续，所以h(x)＝0在(0,1)上至少有一个实根， 即函数f(x)＝x2＋3x在(0,1)上存在“漂移点”. 学科网（北京）股份有限公司 $$