3.2.2.2函数的奇偶性的应用课时分组练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 该同步练习通过A组基础训练与B组拔高提升的分层设计，实现从奇偶性概念辨析到综合应用的知识巩固路径，培养数学抽象、逻辑推理与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础训练|奇偶性定义判断、单调性与奇偶性结合、解析式求法|以选择、填空为主，如判断函数奇偶性（第1题）、求奇函数解析式（第5题），夯实基础概念，培养抽象能力| |B组拔高提升|奇偶性与单调性综合、抽象函数证明、不等式求解|含多选、证明题，如抽象函数奇偶性证明（第5题）、解含奇偶性不等式（第6题），深化逻辑推理，提升应用意识|

3.2.2.2函数的奇偶性的应用 A 组 基础训练 1．函数f(x)＝(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数 2．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝x3 B．y＝|x|＋1 C．y＝－x2＋1 D．y＝x－ 3．已知f(x)是奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　) A．f(－0.5)<f(0)<f(－1) B．f(－1)<f(－0.5)<f(0) C．f(0)<f(－0.5)<f(－1) D．f(－1)<f(0)<f(－0.5) 4．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列说法正确的有(　　) A．f(0)＝0 B．若f(x)在(0，＋∞)上有最小值－3，则f(x)在(－∞，0)上有最大值3 C．若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，－1)上单调递增 D．f(－1)＝f(1) 5．已知函数f(x)对一切实数x都满足f(x)＋f(－x)＝0，且当x<0时，f(x)＝2x2－x＋1，则f(x)＝_________________. 6．已知f(x)，g(x)均为R上的奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上的最大值为8，则F(x)在区间(－∞，0)上的最小值为__________． 7．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)＝4.当x<0时，f(x)＝x2＋ax. (1)求a的值； (2)求函数f(x)在R上的解析式； (3)解方程f(x)＝6. B组 拔高提升 1．若奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有(　　) A．最大值－ B．最大值 C．最小值－ D．最小值 2．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减．若x1<0且x1＋x2>0，则(　　) A．f(－x1)>f(－x2) B．f(－x1)＝f(－x2) C．f(－x1)<f(－x2) D．f(－x1)与f(－x2)的大小关系不确定 3．已知定义在[－4，4]上的偶函数f(x)在[0，4]上为减函数，且f(x＋1)>f(－2)，则实数x的取值范围是(　　) A．(－3，＋∞) B．(－3，3] C．(－3，1) D．(－1，3) 4．函数f(x)＝x3－3x2＋1图象的对称中心为　　　. 5．已知函数f(x)对一切x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)． (1)求证：f(x)是奇函数； (2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)． 6．已知函数f(x)＝，x∈(－2，2)． (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)证明：函数f(x)在(－2，2)上单调递增； (3)求不等式f(t)＋f(1－2t)>0的解集． 3.2.2.2函数的奇偶性的应用 A 组 基础训练 1．A　解析：函数f(x)的定义域关于原点对称， 当x>0时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)． 综上，f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数． 2．B　解析：y＝x3在定义域R上是奇函数，故A不符合；y＝－x2＋1在定义域R上是偶函数，但在(0，＋∞)上是单调递减的，故C不符合；y＝x－是奇函数，故D不符合；y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上是单调递增的，故B符合． 3．B　解析：因为函数f(x)为奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在R上单调递增，所以f(－1)<f(－0.5)<f(0)． 4．AB　解析：对于A，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，故A正确；对于B，若f(x)在(0，＋∞)上有最小值－3，即当x＞0时，f(x)≥－3，所以当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)≥－3，因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)≤－(－3)＝3，即f(x)在(－∞，0)上有最大值3，故B正确；对于C，根据奇函数在对称区域内的单调性一致，可知若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，－1)上也单调递减，故C错误；对于D，f(－1)＝－f(1)，故D错误． 5． 　解析：函数f(x)对一切实数x都满足f(x)＋f(－x)＝0，所以f(0)＝0. 设x>0，则－x<0，f(－x)＝2x2＋x＋1. 又因为f(x)＋f(－x)＝0，即f(x)＝－f(－x)， 所以f(x)＝－2x2－x－1， 所以f(x)＝ 6．－4　解析：由f(x)，g(x)均为R上的奇函数，知af(x)＋bg(x)为R上的奇函数．由F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上的最大值为8，得F(x)－2＝af(x)＋bg(x)在(0，＋∞)上的最大值为6.根据奇函数的性质可知F(x)－2＝af(x)＋bg(x)在(－∞，0)上的最小值为－6，故F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(－∞，0)上的最小值为－6＋2＝－4. 7． 解：(1)f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝－f(－1)＝－(1－a)＝4，解得a＝5. (2)当x<0时，f(x)＝x2＋5x，f(x)是定义在R上的奇函数； 则当x>0时，－x<0，则f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋5(－x)]＝－x2＋5x，x＝0时也满足， 所以f(x)＝ (3)f(x)＝6，即或解得x＝2或x＝3或x＝－6， 所以方程f(x)＝6的解集为{－6，2，3}． B组 拔高提升 1．B　解析：当x>0时，－x<0， 所以f(－x)＝－x(1－x)．又f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x＝－2＋(x>0)， 所以f(x)在(0，＋∞)上有最大值. 2．A　解析：因为f(x)是R上的偶函数，所以f(－x2)＝f(x2)． 由题可知x2>－x1>0，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)． 3．C　解析：因为f(x)为定义在[－4，4]上的偶函数，且f(x＋1)>f(－2)，可得f(|x＋1|)>f(2)， 且f(x)在[0，4]上为减函数，则0≤|x＋1|<2，解得－3<x<1，所以实数x的取值范围是(－3，1)．故选C． 4． (1，－1)　解析：f(x＋1)＋1＝(x＋1)3－3(x＋1)2＋2＝x3＋3x2＋3x＋1－3x2－6x－3＋2＝x3－3x. 设g(x)＝f(x＋1)＋1＝x3－3x，所以g(x)是奇函数， 即y＝f(x＋1)＋1是奇函数，图象关于原点对称． 所以函数f(x)＝x3－3x2＋1的图象关于点(1，－1)对称． 5． (1)证明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， 令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)． 令x＝y＝0，得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0. 所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)， 故f(x)是奇函数． (2)解：由(1)知f(x)为奇函数， 所以f(－3)＝－f(3)＝a， 所以f(3)＝－a. 又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)， 所以f(12)＝－4a. 6． (1)解：由f(－x)＋f(x)＝＋＝0，且定义域x∈(－2，2)关于原点对称，故f(x)为奇函数． (2)证明：任取x1，x2∈(－2，2)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝＝. 因为x1，x2∈(－2，2)，且x1<x2， 故x1－x2<0，x1x2∈(－4，4)，x1x2＋4>0，4－x>0，4－x>0， 所以<0，即f(x1)－f(x2)<0， 故函数f(x)在(－2，2)上单调递增． (3)解：由(1)(2)得f(x)＝为奇函数，且在(－2，2)上单调递增， 将f(t)＋f(1－2t)>0变形为f(t)>－f(1－2t)＝f(2t－1)， 则要满足解得－<t<1， 故不等式的解集为. 1/8 学科网（北京）股份有限公司 $