2026年九年级数学秋季开学学情自测卷（江苏常州专用，新教材苏科版）

2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 意事 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 7 1 2 内作答，超出区域书写的答案无 12 3 3 3 3 3 123 23 23 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 4 4 4 4 4 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 4 4. 5 5 5 5 5 破。 6 6 6 5. 正确填涂 7 7 7 7 56789 6 567 567 8 8 8 8 8 8 缺考标记 9 9 9 9 9 9 9 一、 选择题（每小题2分，共16分） 1[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 4[A][B][C]D] 5[A][B][C][D] 6[A]B][C][D] 款 7[A][B][C]D] 8[A][B][C][D] 二、填空题： 本题共8小题，每题2分，共16分 11. 12 13. 14. 15. 16. 17. 18. 蕾 三、解答题：本题共8小题，共8分。解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤。 的1 17.(8分) 摇 心觳悠骄（进77分觳效应E中立空出阳证阳计积式密管共趣） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(8分) 20.(8分) 九年级部分学生成绩频数直方图 +频数 30 25 20 15 10 5 待合格合格中等良好优秀等级 (1) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) P D 0 Q 22.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) A D B E (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) y 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）2026年秋季九年级开学·学情自测卷 : 数学 (考试时间：90分钟试卷满分：100分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：苏科版八年级下册内容+九年级上册第1章反比例函数 : 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.如果二次根式√2x-4有意义，那么实数x满足条件的范围是() 尽 A.x≠2 B.x≥2 C.x≤2 D.≠-2 2.如果把分式y中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ x+V A.不变 B.扩大3倍 O O C.缩小三分之一 D.扩大9倍 3.下列事件中，属于不可能事件的是() : A.经过红绿灯路口，遇到绿灯 B.投篮高手投篮一次，命中篮框 C.班里所有同学只有两个属相 D.任画一个三角形，可能有两个内角为钝角 4.若a,b互为倒数，且ab,则分式ab2+a2D b-Q的值为() O A.1 B.0 C.-1 D.-2 5.如果点E、F、G、H分别是菱形ABCD四边AB、BC、CD、DA上的中点，那么四边形EFGH是() A.菱形 B.矩形 ·: C.正方形 D.平行四边形 6.小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a-b,a什b,a2-b,c-d,c+d,c2 -分别对应下列六个字：勤，奋，博，自，主，学，现将(2-b)c2-(心2-b2)因式分解，结 : 果呈现的密码信息应是( ) : ○ A.勤奋博学 B.博学自主 C.勤奋自学 D.勤奋自主 : : 试题第1页（共6页） : 可学科网·上好课 7.如图，面积为25的正方形OBCD的两边与坐标轴的正半轴重合，则点C的坐标是() C A.(25,25) B.(-5,5) C.(5,5) D.(5,V⑤ 8.小欧直播售卖手工小物件，一共上架了1-4号四款饰品，图中四个点分别对应四款饰品单件的利润率 (利润率= 单件商品利润 ×100%)与成本（元)的情况，其中描述1号和3号的点恰好在同一个反比例 成本 函数的图象上，则四款饰品中单件利润最高的是() 利润率 成本（元） A.1号 B.2号 C.3号 D.4号 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.若式了二3+(2x-1)°有意义，则x应满足的条件是 10.如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.可以估计“钉尖向上”的概率 是」 “针尖向上”的顿率 0.620. 0.618 500100100200020030003500400045005000较掷次数 11.某市9月1日到10日的最高气温的折线统计图如图所示，则这10天的最高气温的中位数是 ℃. ↑温度（℃） 0 26 22 012345678910 日期 试题第2页（共6页） 学科网·上好课 12.一个不透明袋子中有3个红球、2个白球，随机摸出一球是红球的概率为 13.对于一个正实数，我们规定：用符号[√m表示不大于Vm的最大整数([表示不大于m的最大整数)， 称[vm为m的根整数，如：[V④=2，[V1O=3.如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止.例 如：对11连续求根整数2次，[V11=3→[V③]=1，这时候结果为1.只需进行3次连续求根整数运 算后结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差 14.如图，在四边形ABCD中，ADIBC,∠B=90°，AD=2,BC=3,将DC绕点D逆时针旋转90°得到点 E,则△ADE的面积为 E D 15.如图，平面直角坐标系中，己知直线：y=2x+1,☐OABC的边OC在x轴正半轴上，点B的坐标是 (9,3),☐OABC正以每秒1个单位长度的速度沿着x轴向左平移，经过 秒， 直线I将口OABC分成面积相等的两部分. 16.如图，点B为反比例函数y=(化k<0,x<0)上的一点，点A为x轴负半轴上一点，连接AB,将线段 AB绕点A逆时针旋转90°，点B的对应点为点C,若点C恰好也在反比例函数y=的图象上，己知B、 C纵坐标分别为3,1，则k= B 试题第3页（共6页） 三、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分)计算： (1)2V3-√27-V12: (2)6x3+V匝+5-4经 18.(8分)解分式方程： (1) 3x+41 x+1x+1 2)飞 米 x-31=2 游 游 19.(8分)一个数学活动小组编了一个创新题目：如图，在三张硬纸板的正面分别写了一个代数式，记为 A,B,C,然后在黑板上写了一个等式：AB=C(m,n为常数). S (1)求，n的值； (2)当x为任意正整数时，B2-2C的结果都能被这个活动小组的人数整除，求这个活动小组有几个人 (活动小组的人数大于1) A=x-1 B-2x+m C=2x2+x+n 世 : 20.(8分)人工智能(A)是当今科技领域最热门的话题之一，某学校组织学生参加以人工智能(A)为 主题的知识竞赛，为了解该校学生在本次竞赛中的情况，现随机抽取了九年级部分学生的竞赛成绩（成 绩用x表示，且x为整数，单位：分)，将测试成绩按以下5组进行整理：A(优秀)：90S≤100：B(良 好)：80sx<90;C(中等)：70sx<80;D(合格)：60x<70:E(待合格)：x<60.并绘制了这些学 试题第4页（共6页） : 生的竞赛成绩的频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下： 九年级部分学生成绩频数直方图 九年级部分学生成绩扇形统计图 O +频数 30 25 良好 201 1891 6 优秀 中等 10 a 5 待合格 合格 0 m% 待合格合格中等良好优秀等级 已知C等级学生的成绩分别为72,72,74,74,74,75,75,75,76,76,76,76,76,78,78. 请根据以上信息，完成下列问题： O (1)本次抽查样本容量为 ,扇形统计图中的值为 °，m的值为 (2)请补全频数分布直方图 (3)学生小涛和小涵对本次成绩进行了讨论： 尽 小涛：这次抽取成绩的中位数是75分， 小涵：我们学校九年级800名学生中，不低于75分的估计有450人. 你认为以上两位同学谁的观点正确？并说明理由 O O 21.(8分)如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于点Q, 连接BP,DQ. (1)求证：四边形PBOD是平行四边形： 然 (2)若AD=8Cm,AB=6c,点P从点A出发，以lc/秒的速度向点D运动（不与点D重合），设点 P的运动时间为t秒.求t为何值时，四边形PBQD是菱形. 22.(8分)新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，已知甲种图书进价是 ·: 乙种图书每本进价的1.4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10 本 (1)甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？ (2)新华书店决定甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，问书店应如何进货才能获得 : 最大利润？（购进的两种图书全部销售完） 试题第5页（共6页） 丽学科网·上好课 23.(10分)己知：如图，AB⊥BC,AB=BC,DC⊥BC,E是线段BC上一个动点，且AE=BD,AE交BD 与点F (1)求证：AE1BD: (2)八(1)班小明同学在学习了课本中我国古代数学家赵爽通过弦图”对勾股定理的验证方法后，受 此启发，利用第(1)题的图形，连接AD,设AB=a,BE=b,AE=c,通过用不同方法计算四边形ABCD 的面积，也验证了勾股定理.请你帮助小明同学完成验证过程， (3)连接CF,若AB=2,则线段CF的最小值为 .(直接写出答案) A 24.(10分)如图，直线y=-x+2与反比例函数y=k≠0)的图象交于A(a,3),B(3,b)两点，过 点A作ACLx轴于点C,过点B作BDLx轴于点D. (1)求a,b的值及反比例函数的解析式： (2)若点P在线段AB上，且S△ACP=S△BDP,请求出此时点P的坐标； (3)在x轴正半轴上是否存在点M,使得△MAB为等腰三角形？若存在，请求出M点的坐标：若不存 在，说明理由 试题第6页（共6页） 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B D C B D C D 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9． x≠3且 10．0.618 11． 26 12． 13． 239 14． 1 15． 16．﹣6 三、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分） 解：（1） ； （2） ． 18．（8分） 解：（1）原式 ＝3； （2）原方程去分母得：x（x+3）﹣（x+3）（x﹣3）＝12， 整理得：3x+9＝12， 解得：x＝1， 检验：当x＝1时，（x+3）（x﹣3）≠0， 故原方程的解为x＝1． 19．（8分） 解：（1）∵A＝x﹣1，B＝2x+m，C＝2x2+x+n， ∴A•B＝C， （x﹣1）（2x+m）＝2x2+x+n， 2x2+mx﹣2x﹣m＝2x2+x+n， 2x2+（m﹣2）x﹣m＝2x2+x+n， ∴， 由①得：m＝3， 把m＝3代入②得：n＝﹣3， ∴； （2）∵， ∴B＝2x+3，C＝2x2+x﹣3， ∴B2﹣2C ＝（2x+3）2﹣2（2x2+x﹣3） ＝4x2+12x+9﹣4x2﹣2x+6 ＝10x+15 ＝5（2x+3）， ∴B2﹣2C能够被5整除， ∵B2﹣2C的结果都能被这个活动小组的人数整除，x为任意正整数， ∴这个活动小组有5个人． 20．（8分） 解：（1）由扇形统计图可知，良好与中等所对应的圆心角为180°， ∴待合格，合格与优秀所对应的圆心角为360°﹣180°＝180°， 即占总人数的， 由频数分布直方图可知，待合格，合格与优秀的人数为5+25+10＝40（人）， 即总人数为40×2＝80（人）； 待合格对应的圆心角为； 合格所占百分比为． 故答案为：80；22.5；31.25． （2）C等级学生的成绩分别为72，72，74，74，74，75，75，75，76，76，76，76，76，78，78． C等级即中等学生人数为15人， ∴良好学生人数为80﹣40﹣15＝25（人）， 补全频数分布直方图如图所示． （3）小涵的观点正确，小涛的观点错误，理由如下． 理由：本次抽样调查的样本容量是80，待合格和合格共30人，72分至75分的有8人， ∴第40人和第41人都是76分，所以这次抽取成绩的中位数是76分，所以小涛的观点错误． ∵（人）， ∴九年级800名学生中，不低于75分的估计有450人，所以小涵的观点正确． 21．（8分） （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠PDO＝∠QBO， ∵O为BD的中点， ∴OD＝OB， 在△POD和△QOD中， ， ∴△POD≌△QOD（ASA）， ∴OP＝OQ， ∴四边形PBQD是平行四边形． （2）解：当PQ⊥BD时，四边形PBQD是菱形， ∵OD＝OB， ∴PQ垂直平分BD， ∵AD＝8cm，AB＝6cm，AP＝tcm， ∴PB＝PD＝（8﹣t）cm， ∵∠A＝90°， ∴AP2+AB2＝PB2， ∴t2+62＝（8﹣t）2， 解得t， ∴当t为秒时，四边形PBQD是菱形． 22．（8分） 解：（1）设乙种图书进阶每本x元，则甲种图书进阶为每本1.4x元， 由题意得：10， 解得：x＝20， 经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意， 则1.4x＝1.4×20＝28， 答：甲种图书进阶每本28元，乙种图书进阶每本20元； （2）设书店甲种图书进货a本，总利润为w元， 由题意得：w＝（40﹣28）a+（30﹣20）（1200﹣a）＝2a+12000， ∵28a+20×（1200﹣a）≤28000， 解得：a≤500， ∵w随a的增大而增大， ∴当a最大时w最大， ∴当a＝500时，w最大＝2×500+12000＝13000（元）， 此时，乙种图书进货本数为1200﹣500＝700（本） 答：书店甲种图书进货500本，乙种图书进货700本时利润最大，最大利润是13000元． 23．（10分） （1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠ABE＝∠BCD＝90°， ∴△ABE和△BCD是直角三角形， 在Rt△ABE和Rt△BCD中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△BCD（HL）． ∴∠BAE＝∠CBD， ∵∠ABE＝90°， ∴∠CBD+∠ABF＝90°， ∴∠BAE+∠ABF＝90°， ∴∠AFB＝90°， ∴AE⊥BD； （2）证明：如图1，Rt△ABE≌Rt△BCD，连接DE、AD， ∴CD＝BE＝b，AB＝BC＝a，AE＝BD＝c，CE＝a﹣b． ∴S四边形ABCD． ∵AE⊥BD， ∴S四边形ABCD＝S四边形ABED+S△DCE， ∴， 即a2+b2＝c2； （3）解：线段CF的最小值为．理由如下： 取AB的中点O，连接OF，OC， ∵OF+CF≤OC， ∴当O、F、C在同一直线上时， ∴线段CF取得最小值，最小值为OC﹣OF的长， ∵AB＝BC＝2， ∴BO＝OFAB＝1， 在直角三角形BOC中，由勾股定理得：OC， ∴线段CF的最小值为， 故答案为：． 24．（10分） 解：（1）∵直线y＝﹣x+2与反比例函数的图象交A（a，3），B（3，b）两点， ∴﹣a+2＝3，﹣3+2＝b， ∴a＝﹣1，b＝﹣1， ∴A（﹣1，3），B（3，﹣1）， ∵点A（﹣1，3）在反比例函数上， ∴k＝﹣1×3＝﹣3， ∴反比例函数解析式为； （2）连接CP、PD，作PE⊥AC，垂足为E，PF⊥BD，垂足为F， 设P（x0，﹣x0+2）， ∵A（﹣1，3）， ∴C（﹣1，0）， ∵B（3，﹣1）， ∴D（3，0）， ∴，． ∵S△ACP＝S△BDP， ∴， ∴x0＝0或x0＝﹣3（不合题意，舍去）， ∴P（0，2）； （3）设M（m，0）（m＞0）， ∵A（﹣1，3），B（3，﹣1）， ∴MA2＝（m+1）2+9，MB2＝（m﹣3）2+1，AB2＝（3+1）2+（﹣1﹣3）2＝32， ∵△MAB是等腰三角形， ∴①当MA＝MB时，（m+1）2+9＝（m﹣3）2+1， ∴m＝0（舍去）； ②当MA＝AB时，（m+1）2+9＝32， ∴或（舍去）， ∴； ③当MB＝AB时，（m﹣3）2+1＝32， ∴或（舍去）， ∴； 即：满足条件的或． ( 1 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( 学校 __________________ 班级 __________________ 姓名 __________________ 准考证号 __________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、选择题（每小题 2 分，共 16 分） 1 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题：本题共 8 小题，每 题2 分，共 16 分． 1 1 ． _________ ； 12 ． _________ ； 13 ． _________ 14 ． _________ ； 15 ． _________ ； 16 ． _________ 17 ． _________ ； 18 ． _________ ； 三、解答题：本题共 8 小题，共 6 8 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1 7 ．（ 8 分） 12 [A] [B] 13 [A] [B]           四 、解答题（共 7 7 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 15 ．（ 13 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 8 分） 19 ．（ 8 分） 2 0 ．（ 8 分） （ 1 ） ； ； ； ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 1 ． （ 8 分） 2 2 ． （ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ． （ 10 分） （ 3 ） ； ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏科版八年级下册内容+九年级上册第1章反比例函数 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如果二次根式有意义，那么实数x满足条件的范围是（　　） A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠﹣2 2．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．扩大3倍 C．缩小三分之一 D．扩大9倍 3．下列事件中，属于不可能事件的是（　　） A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．投篮高手投篮一次，命中篮框 C．班里所有同学只有两个属相 D．任画一个三角形，可能有两个内角为钝角 4．若a，b互为倒数，且a≠b，则分式的值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2 5．如果点E、F、G、H分别是菱形ABCD四边AB、BC、CD、DA上的中点，那么四边形EFGH是（　　） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形 6．小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣b，a+b，a2﹣b2，c﹣d，c+d，c2﹣d2分别对应下列六个字：勤，奋，博，自，主，学，现将（a2﹣b2）c2﹣（a2﹣b2）d2因式分解，结果呈现的密码信息应是（　　） A．勤奋博学 B．博学自主 C．勤奋自学 D．勤奋自主 7．如图，面积为25的正方形OBCD的两边与坐标轴的正半轴重合，则点C的坐标是（　　） A．（25，25） B．（﹣5，5） C．（5，5） D． 8．小欧直播售卖手工小物件，一共上架了1﹣4号四款饰品，图中四个点分别对应四款饰品单件的利润率（利润率与成本（元）的情况，其中描述1号和3号的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则四款饰品中单件利润最高的是（　　） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．若式子有意义，则x应满足的条件是　 　 ． 10．如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．可以估计“钉尖向上”的概率是　 　 ． 11．某市9月1日到10日的最高气温的折线统计图如图所示，则这10天的最高气温的中位数是　 　 ℃． 12．一个不透明袋子中有3个红球、2个白球，随机摸出一球是红球的概率为　 　 ． 13．对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（[m]表示不大于m的最大整数），称为m的根整数，如：．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差　 　 ． 14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，BC＝3，将DC绕点D逆时针旋转90°得到点E，则△ADE的面积为 　 　 ． 15．如图，平面直角坐标系中，已知直线l：y＝2x+1，▱OABC的边OC在x轴正半轴上，点B的坐标是（9，3），▱OABC正以每秒1个单位长度的速度沿着x轴向左平移，经过 　 　 秒，直线l将▱OABC分成面积相等的两部分． 16．如图，点B为反比例函数上的一点，点A为x轴负半轴上一点，连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转90°，点B的对应点为点C，若点C恰好也在反比例函数的图象上，已知B、C纵坐标分别为3，1，则k＝　 　 ． 三、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）计算： （1）； （2）． 18．（8分）解分式方程： （1）； （2）． 19．（8分）一个数学活动小组编了一个创新题目：如图，在三张硬纸板的正面分别写了一个代数式，记为A，B，C，然后在黑板上写了一个等式：A•B＝C（m，n为常数）． （1）求m，n的值； （2）当x为任意正整数时，B2﹣2C的结果都能被这个活动小组的人数整除，求这个活动小组有几个人（活动小组的人数大于1）． 20．（8分）人工智能（AI）是当今科技领域最热门的话题之一，某学校组织学生参加以人工智能（AI）为主题的知识竞赛，为了解该校学生在本次竞赛中的情况，现随机抽取了九年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，且x为整数，单位：分），将测试成绩按以下5组进行整理：A（优秀）：90≤x≤100；B（良好）：80≤x＜90；C（中等）：70≤x＜80；D（合格）：60≤x＜70；E（待合格）：x＜60．并绘制了这些学生的竞赛成绩的频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下： 已知C等级学生的成绩分别为72，72，74，74，74，75，75，75，76，76，76，76，76，78，78． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）本次抽查样本容量为　 　 ，扇形统计图中α的值为　 　 °，m的值为　 　 ． （2）请补全频数分布直方图． （3）学生小涛和小涵对本次成绩进行了讨论： 小涛：这次抽取成绩的中位数是75分． 小涵：我们学校九年级800名学生中，不低于75分的估计有450人． 你认为以上两位同学谁的观点正确？并说明理由． 21．（8分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于点Q，连接BP，DQ． （1）求证：四边形PBOD是平行四边形； （2）若AD＝8cm，AB＝6cm，点P从点A出发，以1cm/秒的速度向点D运动（不与点D重合），设点P的运动时间为t秒．求t为何值时，四边形PBQD是菱形． 22．（8分）新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，已知甲种图书进价是乙种图书每本进价的1.4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本． （1）甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？ （2）新华书店决定甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完） 23．（10分）已知：如图，AB⊥BC，AB＝BC，DC⊥BC，E是线段BC上一个动点，且AE＝BD，AE交BD与点F． （1）求证：AE⊥BD； （2）八（1）班小明同学在学习了课本中我国古代数学家赵爽通过“弦图”对勾股定理的验证方法后，受此启发，利用第（1）题的图形，连接AD，设AB＝a，BE＝b，AE＝c，通过用不同方法计算四边形ABCD的面积，也验证了勾股定理．请你帮助小明同学完成验证过程． （3）连接CF，若AB＝2，则线段CF的最小值为　 　 ．（直接写出答案） 24．（10分）如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D． （1）求a，b的值及反比例函数的解析式； （2）若点P在线段AB上，且S△ACP＝S△BDP，请求出此时点P的坐标； （3）在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏科版八年级下册内容+九年级上册第1章比例函数 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如果二次根式有意义，那么实数x满足条件的范围是（　　） A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠﹣2 2．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．扩大3倍 C．缩小三分之一 D．扩大9倍 3．下列事件中，属于不可能事件的是（　　） A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．投篮高手投篮一次，命中篮框 C．班里所有同学只有两个属相 D．任画一个三角形，可能有两个内角为钝角 4．若a，b互为倒数，且a≠b，则分式的值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2 5．如果点E、F、G、H分别是菱形ABCD四边AB、BC、CD、DA上的中点，那么四边形EFGH是（　　） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形 6．小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣b，a+b，a2﹣b2，c﹣d，c+d，c2﹣d2分别对应下列六个字：勤，奋，博，自，主，学，现将（a2﹣b2）c2﹣（a2﹣b2）d2因式分解，结果呈现的密码信息应是（　　） A．勤奋博学 B．博学自主 C．勤奋自学 D．勤奋自主 7．如图，面积为25的正方形OBCD的两边与坐标轴的正半轴重合，则点C的坐标是（　　） A．（25，25） B．（﹣5，5） C．（5，5） D． 8．小欧直播售卖手工小物件，一共上架了1﹣4号四款饰品，图中四个点分别对应四款饰品单件的利润率（利润率与成本（元）的情况，其中描述1号和3号的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则四款饰品中单件利润最高的是（　　） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．若式子有意义，则x应满足的条件是　 　 ． 10．如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．可以估计“钉尖向上”的概率是　 　 ． 11．某市9月1日到10日的最高气温的折线统计图如图所示，则这10天的最高气温的中位数是　 　 ℃． 12．一个不透明袋子中有3个红球、2个白球，随机摸出一球是红球的概率为　 　 ． 13．对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（[m]表示不大于m的最大整数），称为m的根整数，如：．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差　 　 ． 14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，BC＝3，将DC绕点D逆时针旋转90°得到点E，则△ADE的面积为 　 　 ． 15．如图，平面直角坐标系中，已知直线l：y＝2x+1，▱OABC的边OC在x轴正半轴上，点B的坐标是（9，3），▱OABC正以每秒1个单位长度的速度沿着x轴向左平移，经过 　 　 秒，直线l将▱OABC分成面积相等的两部分． 16．如图，点B为反比例函数上的一点，点A为x轴负半轴上一点，连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转90°，点B的对应点为点C，若点C恰好也在反比例函数的图象上，已知B、C纵坐标分别为3，1，则k＝　 　 ． 三、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）计算： （1）； （2）． 18．（8分）解分式方程： （1）； （2）． 19．（8分）一个数学活动小组编了一个创新题目：如图，在三张硬纸板的正面分别写了一个代数式，记为A，B，C，然后在黑板上写了一个等式：A•B＝C（m，n为常数）． （1）求m，n的值； （2）当x为任意正整数时，B2﹣2C的结果都能被这个活动小组的人数整除，求这个活动小组有几个人（活动小组的人数大于1）． 20．（8分）人工智能（AI）是当今科技领域最热门的话题之一，某学校组织学生参加以人工智能（AI）为主题的知识竞赛，为了解该校学生在本次竞赛中的情况，现随机抽取了九年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，且x为整数，单位：分），将测试成绩按以下5组进行整理：A（优秀）：90≤x≤100；B（良好）：80≤x＜90；C（中等）：70≤x＜80；D（合格）：60≤x＜70；E（待合格）：x＜60．并绘制了这些学生的竞赛成绩的频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下： 已知C等级学生的成绩分别为72，72，74，74，74，75，75，75，76，76，76，76，76，78，78． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）本次抽查样本容量为　 　 ，扇形统计图中α的值为　 　 °，m的值为　 　 ． （2）请补全频数分布直方图． （3）学生小涛和小涵对本次成绩进行了讨论： 小涛：这次抽取成绩的中位数是75分． 小涵：我们学校九年级800名学生中，不低于75分的估计有450人． 你认为以上两位同学谁的观点正确？并说明理由． 21．（8分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于点Q，连接BP，DQ． （1）求证：四边形PBOD是平行四边形； （2）若AD＝8cm，AB＝6cm，点P从点A出发，以1cm/秒的速度向点D运动（不与点D重合），设点P的运动时间为t秒．求t为何值时，四边形PBQD是菱形． 22．（8分）新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，已知甲种图书进价是乙种图书每本进价的1.4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本． （1）甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？ （2）新华书店决定甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完） 23．（10分）已知：如图，AB⊥BC，AB＝BC，DC⊥BC，E是线段BC上一个动点，且AE＝BD，AE交BD与点F． （1）求证：AE⊥BD； （2）八（1）班小明同学在学习了课本中我国古代数学家赵爽通过“弦图”对勾股定理的验证方法后，受此启发，利用第（1）题的图形，连接AD，设AB＝a，BE＝b，AE＝c，通过用不同方法计算四边形ABCD的面积，也验证了勾股定理．请你帮助小明同学完成验证过程． （3）连接CF，若AB＝2，则线段CF的最小值为　 　 ．（直接写出答案） 24．（10分）如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D． （1）求a，b的值及反比例函数的解析式； （2）若点P在线段AB上，且S△ACP＝S△BDP，请求出此时点P的坐标； （3）在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学 (考试时间：90分钟试卷满分：100分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：苏科版八年级下册内容+九年级上册第1章比例函数 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.如果二次根式√2x-4有意义，那么实数x满足条件的范围是() A.+2 B.x22 C.≤2 D.x≠-2 2.如果把分式义中的x和y都扩大3倍，那么分式的值() x+y A.不变 B.扩大3倍 C.缩小三分之一 D.扩大9倍 3.下列事件中，属于不可能事件的是() A.经过红绿灯路口，遇到绿灯 B.投篮高手投篮一次，命中篮框 C.班里所有同学只有两个属相 D.任画一个三角形，可能有两个内角为钝角 4.若a,b互为倒数，且4h,则分式a02+Q2b a-b+-Q的值为() A.1 B.0 C.-1 D.-2 5.如果点E、F、G、H分别是菱形ABCD四边AB、BC、CD、DA上的中点，那么四边形EFGH是() A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.平行四边形 6.小明是名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a-b,a什b,-b2,c-d,c+d,c -d分别对应下列六个字：勤，奋，博，自，主，学，现将（心-b)c2-(-b)因式分解，结果 呈现的密码信息应是() A.勤奋博学 B.博学自主 C.勤奋自学 D.勤奋自主 7.如图，面积为25的正方形OBCD的两边与坐标轴的正半轴重合，则点C的坐标是() 1/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.(25,25) B.(-5,5) C.(5,5) D.(5,V5 8.小欧直播售卖手工小物件，一共上架了1-4号四款饰品，图中四个点分别对应四款饰品单件的利润率 (利润率= 单件商品利润 ×100%)与成本（元）的情况，其中描述1号和3号的点恰好在同一个反比例 成本 函数的图象上，则四款饰品中单件利润最高的是() 利润率 成本（元） A.1号 B.2号 C.3号 D.4号 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 。若式了己+（心-）省意义，则x应清足的条件是 10.如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.可以估计“钉尖向上”的概率 是 “针尖向上”的频率 0.620 0.618 0 500100015002000250030003500400045005000接掷次数 11.某市9月1日到10日的最高气温的折线统计图如图所示，则这10天的最高气温的中位数是 ℃. ·温度（℃） 30 28 24 22 012345678910 日期 2/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.一个不透明袋子中有3个红球、2个白球，随机摸出一球是红球的概率为 13.对于一个正实数m,我们规定：用符号[vm表示不大于√m的最大整数([表示不大于的最大整数)， 称[vm为m的根整数，如：[V④=2，[V1而=3.如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止.例 如：对11连续求根整数2次，[V1=3→[③]=1，这时候结果为1.只需进行3次连续求根整数运 算后结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差 14.如图，在四边形ABCD中，ADIBC,∠B=90°，AD=2,BC=3,将DC绕点D逆时针旋转90°得到点 E,则△ADE的面积为 B 15.如图，平面直角坐标系中，已知直线1：y=2x+1,口OABC的边OC在x轴正半轴上，点B的坐标是(9， 3),口OABC正以每秒1个单位长度的速度沿着x轴向左平移，经过 秒，直线 I将☐OABC分成面积相等的两部分. 16.如图，点B为反比例函数y=(k<0,x<0)上的一点，点A为x轴负半轴上一点，连接AB,将线段 AB绕点4A逆时针旋转90°，点B的对应点为点C,若点C恰好也在反比例函数y=的图象上，已知B、 C纵坐标分别为3,1，则k= B A 0 三、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分)计算： (1)23-√27-√12： (2)v6xV3+V2+V3-42 3/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(8分)解分式方程： (1)3x+41 (2) x+1x+1 X-3 112 X2-9 19.(8分)一个数学活动小组编了一个创新题目：如图，在三张硬纸板的正面分别写了一个代数式，记为 A,B,C,然后在黑板上写了一个等式：AB=C(m,n为常数). (1)求，n的值； (2)当x为任意正整数时，B2-2C的结果都能被这个活动小组的人数整除，求这个活动小组有几个人 (活动小组的人数大于1). A=x-1 B=2x+m C=2x2+x+n 20.(8分)人工智能(A)是当今科技领域最热门的话题之一，某学校组织学生参加以人工智能(A)为 主题的知识竞赛，为了解该校学生在本次竞赛中的情况，现随机抽取了九年级部分学生的竞赛成绩（成 绩用x表示，且x为整数，单位：分)，将测试成绩按以下5组进行整理：A(优秀)：90x≤100：B(良 好)：80x<90:C(中等)：70Sx<80;D(合格)：60sx<70:E(待合格)：x<60.并绘制了这些学生 的竞赛成绩的频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下： 九年级部分学生成绩频数直方图 九年级部分学生成绩扇形统计图 +频数 30 良好 20 189 的 优秀 中等 10 待合格 合格 0 m% 待合格合格中等良好优秀等级 已知C等级学生的成绩分别为72,72,74,74,74,75,75,75,76,76,76,76,76,78,78. 请根据以上信息，完成下列问题： (1)本次抽查样本容量为 ,扇形统计图中Q的值为 °，m的值为 (2)请补全频数分布直方图， (3)学生小涛和小涵对本次成绩进行了讨论： 小涛：这次抽取成绩的中位数是75分， 小涵：我们学校九年级800名学生中，不低于75分的估计有450人. 你认为以上两位同学谁的观点正确？并说明理由 4/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.(8分)如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于点Q, 连接BP,DO (1)求证：四边形PBOD是平行四边形： (2)若AD=8c,AB=6cm,点P从点A出发，以1cm/秒的速度向点D运动（不与点D重合），设点 P的运动时间为t秒，求t为何值时，四边形PBQD是菱形. B 22.(8分)新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，已知甲种图书进价是乙 种图书每本进价的1.4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本. (1)甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？ (2)新华书店决定甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，问书店应如何进货才能获得最 大利润？（购进的两种图书全部销售完） 23.(10分)己知：如图，ABLBC,AB=BC,DCLBC,E是线段BC上一个动点，且AE=BD,AE交BD 与点F. (1)求证：AELBD: (2)八(1)班小明同学在学习了课本中我国古代数学家赵爽通过“弦图对勾股定理的验证方法后，受 此启发，利用第(1)题的图形，连接AD,设AB=a,BE=b,AE=c,通过用不同方法计算四边形ABCD 的面积，也验证了勾股定理.请你帮助小明同学完成验证过程 (3)连接CF,若AB=2,则线段CF的最小值为 ·(直接写出答案) 5/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.(10分)如图，直线y=x+2与反比例函数y=光k≠0)的图象交于A(a,3),B(3,b)两点，过 点A作ACLx轴于点C,过点B作BDLx轴于点D. (1)求a,b的值及反比例函数的解析式： (2)若点P在线段AB上，且S△4CP=S△BDP,请求出此时点P的坐标： (3)在x轴正半轴上是否存在点M,使得△MAB为等腰三角形？若存在，请求出M点的坐标；若不存 在，说明理由. D B 6/6 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学•全解全析 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如果二次根式有意义，那么实数x满足条件的范围是（　　） A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠﹣2 【解答】解：根据题意得2x﹣4≥0， 解得x≥2． 故选：B． 2．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．扩大3倍 C．缩小三分之一 D．扩大9倍 【解答】解：， 可见新分式是原分式的3倍． 故选：B． 3．下列事件中，属于不可能事件的是（　　） A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．投篮高手投篮一次，命中篮框 C．班里所有同学只有两个属相 D．任画一个三角形，可能有两个内角为钝角 【解答】解：A．本选项是随机事件，不符合题意； B．本选项是随机事件，不符合题意； C．本选项是随机事件，不符合题意； D．本选项是不可能事件，符合题意． 故选：D． 4．若a，b互为倒数，且a≠b，则分式的值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2 【解答】解：∵a，b互为倒数， ∴ab＝1， ∴ ＝﹣ab ＝﹣1， 故选：C． 5．如果点E、F、G、H分别是菱形ABCD四边AB、BC、CD、DA上的中点，那么四边形EFGH是（　　） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形 【解答】解：如图，连接AC、BD相较于O； ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD． ∵点E，F，G，H分别是菱形ABCD四边的中点， ∴EF∥AC，EFAC； 同理可证：FG∥BD， GH∥AC，GHAC， ∴EF∥GH，EF＝GH， ∴四边形EFGH为平行四边形； ∵EF∥AC，FG∥BD，AC⊥BD， ∴∠EFG＝90°， ∴四边形EFGH为矩形， 故选：B． 6．小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣b，a+b，a2﹣b2，c﹣d，c+d，c2﹣d2分别对应下列六个字：勤，奋，博，自，主，学，现将（a2﹣b2）c2﹣（a2﹣b2）d2因式分解，结果呈现的密码信息应是（　　） A．勤奋博学 B．博学自主 C．勤奋自学 D．勤奋自主 【解答】解：原式＝（a2﹣b2）（c2﹣d2） ＝（a﹣b）（a+b）（c﹣d）（c+d）． 根据密码手册：a﹣b对应“勤”，a+b对应“奋”，c﹣d对应“自”，c+d对应“主”， ∴密码信息为“勤奋自主”． 故选：D． 7．如图，面积为25的正方形OBCD的两边与坐标轴的正半轴重合，则点C的坐标是（　　） A．（25，25） B．（﹣5，5） C．（5，5） D． 【解答】解：∵四边形OBCD是正方形，且面积为25， ∴OB＝BC＝CD＝OD＝5，∠CBO＝∠CDO＝90°， ∴点C的坐标为：（5，5）． 故选：C． 8．小欧直播售卖手工小物件，一共上架了1﹣4号四款饰品，图中四个点分别对应四款饰品单件的利润率（利润率与成本（元）的情况，其中描述1号和3号的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则四款饰品中单件利润最高的是（　　） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【解答】解：∵1号和3号的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴1号和3号单品的成本×利润率相等， ∴1号商品单件利润＝3号商品单件利润， ∵2号商品的成本＜3号商品的成本，2号商品的利润率＜3号商品的利润率， ∴2号商品单件利润＜3号商品单件利润， 如图，过描述4号的点作x轴的垂线，交反比例函数图象于点P， ∵描述4号的点与点P的横坐标相同，但描述4号的点的纵坐标＞点P的纵坐标， ∴4号商品单件利润＞P号商品单件利润， ∵P号商品单件利润＝1号商品单件利润＝3号商品单件利润， ∴4号商品单件利润＞1号商品单件利润＝3号商品单件利润＞2号商品单件利润， ∴四款商品中单件利润最高的是4号． 故选：D． 二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分） 9．若式子有意义，则x应满足的条件是x≠3且　 ． 【解答】解：根据分式的分母不能为0和零指数幂的底数不能为0可知： 由分式的分母不能为0，得x﹣3≠0，即x≠3；由零指数幂（2x﹣1）0的底数不能为0，得2x﹣1≠0，即． ∴x应满足x≠3且． 故答案为：x≠3且． 10．如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．可以估计“钉尖向上”的概率是　0.618　 ． 【解答】解：由题意知，估计“钉尖向上”的概率是0.618， 故答案为：0.618． 11．某市9月1日到10日的最高气温的折线统计图如图所示，则这10天的最高气温的中位数是　26　 ℃． 【解答】解：从低到高为：30，30，28，27，26，26，26，24，24，23，平均数为（26+26）÷2＝26℃， ∴则这10天的中位数是26℃， 故答案为：26． 12．一个不透明袋子中有3个红球、2个白球，随机摸出一球是红球的概率为　　 ． 【解答】解：∵一个不透明袋子中有3个红球、2个白球， ∴随机摸出一球是红球的概率为． 故答案为：． 13．对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（[m]表示不大于m的最大整数），称为m的根整数，如：．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差　239　 ． 【解答】解：∵[]＝4→[]＝2→[]＝1，[]＝16→[]＝4→[]＝2→[]＝1， ∴进行3次连续求根整数运算后结果为1的最小正整数m＝16，最大正整数是255， ∴进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差255﹣16＝239， 故答案为：239． 14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，BC＝3，将DC绕点D逆时针旋转90°得到点E，则△ADE的面积为 　1　 ． 【解答】解： 过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，过E作EF⊥AD交AD的延长线于F， 则∠F＝∠CGD＝90°， ∵∠B＝90°， ∴AB∥CG， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCG是平行四边形， ∴AG＝BC＝3， ∴DG＝3﹣2＝1， ∵将DC绕点D逆时针旋转90°得到点E， ∴DE＝DC，∠EDC＝90°， ∴∠EDF+∠CDG＝90°，∠GDC+∠GCD＝90°， ∴∠EDF＝∠DCG， 在△DEF和△CDG中 ∴△DEF≌△CDG（AAS）， ∴GD＝EF＝1， ∴△ADE的面积是AD×EF2×1＝1． 故答案为：1． 15．如图，平面直角坐标系中，已知直线l：y＝2x+1，▱OABC的边OC在x轴正半轴上，点B的坐标是（9，3），▱OABC正以每秒1个单位长度的速度沿着x轴向左平移，经过 　　 秒，直线l将▱OABC分成面积相等的两部分． 【解答】解：连接AC、BO，交于点D， 当y＝2x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分； ∵四边形AOCB是平行四边形， ∴BD＝OD，B（9，3）， ∴， 把代入y＝2x+1，可得：， 解得：， 由移动到位置时，该直线可将口OABC的面积平分； 移动距离为：， ▱OABC正以每秒1个单位长度的速度沿着x轴向左平移， ∴时间为秒； 故答案为：． 16．如图，点B为反比例函数上的一点，点A为x轴负半轴上一点，连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转90°，点B的对应点为点C，若点C恰好也在反比例函数的图象上，已知B、C纵坐标分别为3，1，则k＝　﹣6　 ． 【解答】解：如图，过点C作CE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F， ∴∠AEC＝∠BFA＝90°， ∴∠BAF+∠ABF＝90°， 由旋转知，AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠CAE+∠BAF＝90°， ∴∠ABF＝∠CAE， ∴△ABF≌△CAE（AAS）， ∴AF＝CE，BF＝AE， ∵B、C的纵坐标分别为3、1， ∴CE＝1，BF＝3， ∴AF＝1，AE＝3， 设B（x，3），C（x﹣4，1）， ∵点B、点C在反比例函数y的图象上， ∴3x＝x﹣4， ∴x＝﹣2， ∴B（﹣2，3）， ∴k＝﹣6， 故答案为：﹣6． 三．解答题（共8小题，满分68分） 17．（8分）计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1） ； （2） ． 18．（8分）解分式方程： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ＝3； （2）原方程去分母得：x（x+3）﹣（x+3）（x﹣3）＝12， 整理得：3x+9＝12， 解得：x＝1， 检验：当x＝1时，（x+3）（x﹣3）≠0， 故原方程的解为x＝1． 19．（8分）一个数学活动小组编了一个创新题目：如图，在三张硬纸板的正面分别写了一个代数式，记为A，B，C，然后在黑板上写了一个等式：A•B＝C（m，n为常数）． （1）求m，n的值； （2）当x为任意正整数时，B2﹣2C的结果都能被这个活动小组的人数整除，求这个活动小组有几个人（活动小组的人数大于1）． 【解答】解：（1）∵A＝x﹣1，B＝2x+m，C＝2x2+x+n， ∴A•B＝C， （x﹣1）（2x+m）＝2x2+x+n， 2x2+mx﹣2x﹣m＝2x2+x+n， 2x2+（m﹣2）x﹣m＝2x2+x+n， ∴， 由①得：m＝3， 把m＝3代入②得：n＝﹣3， ∴； （2）∵， ∴B＝2x+3，C＝2x2+x﹣3， ∴B2﹣2C ＝（2x+3）2﹣2（2x2+x﹣3） ＝4x2+12x+9﹣4x2﹣2x+6 ＝10x+15 ＝5（2x+3）， ∴B2﹣2C能够被5整除， ∵B2﹣2C的结果都能被这个活动小组的人数整除，x为任意正整数， ∴这个活动小组有5个人． 20．（8分）人工智能（AI）是当今科技领域最热门的话题之一，某学校组织学生参加以人工智能（AI）为主题的知识竞赛，为了解该校学生在本次竞赛中的情况，现随机抽取了九年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，且x为整数，单位：分），将测试成绩按以下5组进行整理：A（优秀）：90≤x≤100；B（良好）：80≤x＜90；C（中等）：70≤x＜80；D（合格）：60≤x＜70；E（待合格）：x＜60．并绘制了这些学生的竞赛成绩的频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下： 已知C等级学生的成绩分别为72，72，74，74，74，75，75，75，76，76，76，76，76，78，78． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）本次抽查样本容量为　80　 ，扇形统计图中α的值为　22.5　 °，m的值为　31.25　 ． （2）请补全频数分布直方图． （3）学生小涛和小涵对本次成绩进行了讨论： 小涛：这次抽取成绩的中位数是75分． 小涵：我们学校九年级800名学生中，不低于75分的估计有450人． 你认为以上两位同学谁的观点正确？并说明理由． 【解答】解：（1）由扇形统计图可知，良好与中等所对应的圆心角为180°， ∴待合格，合格与优秀所对应的圆心角为360°﹣180°＝180°， 即占总人数的， 由频数分布直方图可知，待合格，合格与优秀的人数为5+25+10＝40（人）， 即总人数为40×2＝80（人）； 待合格对应的圆心角为； 合格所占百分比为． 故答案为：80；22.5；31.25． （2）C等级学生的成绩分别为72，72，74，74，74，75，75，75，76，76，76，76，76，78，78． C等级即中等学生人数为15人， ∴良好学生人数为80﹣40﹣15＝25（人）， 补全频数分布直方图如图所示． （3）小涵的观点正确，小涛的观点错误，理由如下． 理由：本次抽样调查的样本容量是80，待合格和合格共30人，72分至75分的有8人， ∴第40人和第41人都是76分，所以这次抽取成绩的中位数是76分，所以小涛的观点错误． ∵（人）， ∴九年级800名学生中，不低于75分的估计有450人，所以小涵的观点正确． 21．（8分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于点Q，连接BP，DQ． （1）求证：四边形PBOD是平行四边形； （2）若AD＝8cm，AB＝6cm，点P从点A出发，以1cm/秒的速度向点D运动（不与点D重合），设点P的运动时间为t秒．求t为何值时，四边形PBQD是菱形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠PDO＝∠QBO， ∵O为BD的中点， ∴OD＝OB， 在△POD和△QOD中， ， ∴△POD≌△QOD（ASA）， ∴OP＝OQ， ∴四边形PBQD是平行四边形． （2）解：当PQ⊥BD时，四边形PBQD是菱形， ∵OD＝OB， ∴PQ垂直平分BD， ∵AD＝8cm，AB＝6cm，AP＝tcm， ∴PB＝PD＝（8﹣t）cm， ∵∠A＝90°， ∴AP2+AB2＝PB2， ∴t2+62＝（8﹣t）2， 解得t， ∴当t为秒时，四边形PBQD是菱形． 22．（8分）新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，已知甲种图书进价是乙种图书每本进价的1.4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本． （1）甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？ （2）新华书店决定甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完） 【解答】解：（1）设乙种图书进阶每本x元，则甲种图书进阶为每本1.4x元， 由题意得：10， 解得：x＝20， 经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意， 则1.4x＝1.4×20＝28， 答：甲种图书进阶每本28元，乙种图书进阶每本20元； （2）设书店甲种图书进货a本，总利润为w元， 由题意得：w＝（40﹣28）a+（30﹣20）（1200﹣a）＝2a+12000， ∵28a+20×（1200﹣a）≤28000， 解得：a≤500， ∵w随a的增大而增大， ∴当a最大时w最大， ∴当a＝500时，w最大＝2×500+12000＝13000（元）， 此时，乙种图书进货本数为1200﹣500＝700（本） 答：书店甲种图书进货500本，乙种图书进货700本时利润最大，最大利润是13000元． 23．（10分）已知：如图，AB⊥BC，AB＝BC，DC⊥BC，E是线段BC上一个动点，且AE＝BD，AE交BD与点F． （1）求证：AE⊥BD； （2）八（1）班小明同学在学习了课本中我国古代数学家赵爽通过“弦图”对勾股定理的验证方法后，受此启发，利用第（1）题的图形，连接AD，设AB＝a，BE＝b，AE＝c，通过用不同方法计算四边形ABCD的面积，也验证了勾股定理．请你帮助小明同学完成验证过程． （3）连接CF，若AB＝2，则线段CF的最小值为　　 ．（直接写出答案） 【解答】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠ABE＝∠BCD＝90°， ∴△ABE和△BCD是直角三角形， 在Rt△ABE和Rt△BCD中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△BCD（HL）． ∴∠BAE＝∠CBD， ∵∠ABE＝90°， ∴∠CBD+∠ABF＝90°， ∴∠BAE+∠ABF＝90°， ∴∠AFB＝90°， ∴AE⊥BD； （2）证明：如图1，Rt△ABE≌Rt△BCD，连接DE、AD， ∴CD＝BE＝b，AB＝BC＝a，AE＝BD＝c，CE＝a﹣b． ∴S四边形ABCD． ∵AE⊥BD， ∴S四边形ABCD＝S四边形ABED+S△DCE， ∴， 即a2+b2＝c2； （3）解：线段CF的最小值为．理由如下： 取AB的中点O，连接OF，OC， ∵OF+CF≤OC， ∴当O、F、C在同一直线上时， ∴线段CF取得最小值，最小值为OC﹣OF的长， ∵AB＝BC＝2， ∴BO＝OFAB＝1， 在直角三角形BOC中，由勾股定理得：OC， ∴线段CF的最小值为， 故答案为：． 24．（10分）如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D． （1）求a，b的值及反比例函数的解析式； （2）若点P在线段AB上，且S△ACP＝S△BDP，请求出此时点P的坐标； （3）在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2与反比例函数的图象交A（a，3），B（3，b）两点， ∴﹣a+2＝3，﹣3+2＝b， ∴a＝﹣1，b＝﹣1， ∴A（﹣1，3），B（3，﹣1）， ∵点A（﹣1，3）在反比例函数上， ∴k＝﹣1×3＝﹣3， ∴反比例函数解析式为； （2）连接CP、PD，作PE⊥AC，垂足为E，PF⊥BD，垂足为F， 设P（x0，﹣x0+2）， ∵A（﹣1，3）， ∴C（﹣1，0）， ∵B（3，﹣1）， ∴D（3，0）， ∴，． ∵S△ACP＝S△BDP， ∴， ∴x0＝0或x0＝﹣3（不合题意，舍去）， ∴P（0，2）； （3）设M（m，0）（m＞0）， ∵A（﹣1，3），B（3，﹣1）， ∴MA2＝（m+1）2+9，MB2＝（m﹣3）2+1，AB2＝（3+1）2+（﹣1﹣3）2＝32， ∵△MAB是等腰三角形， ∴①当MA＝MB时，（m+1）2+9＝（m﹣3）2+1， ∴m＝0（舍去）； ②当MA＝AB时，（m+1）2+9＝32， ∴或（舍去）， ∴； ③当MB＝AB时，（m﹣3）2+1＝32， ∴或（舍去）， ∴； 即：满足条件的或． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $