精品解析：江苏省宿迁市宿城区项里学校2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷

2025-2026学年江苏省宿迁市宿城区项里学校九年级（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 是关于的一元二次方程，故符合题意； B．是分式方程，故不符合题意； C．的最高次数是3，故不符合题意； D．含有2个未知数，故不符合题意． 故选A． 2. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：． 3. 已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4，则的半径可能是（    ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟知判断直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离是解题的关键．根据，圆和直线相交即可求解， 【详解】解：直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4， 的半径大于4， 故选：． 4. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半， ． 故选：B． 5. 某种品牌的手机经过八、九月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为x，列式，即可作答． 【详解】解：设平均每月降价的百分率为， 根据题意有：， 故选：C 6. 如图半径为5的与y轴交于，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，垂径定理，勾股定理等知识，过点A作与D，连接，根据点B和点C的坐标求出，再根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可，继而即可求解坐标 【详解】解：过点A作与D，连接, , 半径为5的与y轴交于点， ， 过圆心A， ， ∴， 由勾股定理得： ， ∴ 故选：A． 7. 如图，在矩形中，，，E是矩形内部的一个动点，且，则线段最小值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理的推论及勾股定理是解题的关键． 由，得到在以为直径的上，连接交圆于，当与重合时，线段的长最小，由勾股定理求出，即可得到，于是得到线段的最小值为8． 【详解】解：如图， ， ， ， 在以为直径的上， 连接交圆于，当与重合时，线段的长最小， ， ， ， ， ， 线段的最小值为8． 故选答案为：A． 8. 如图，是的外接圆，，弦平分并交于点，弦，连接，，则的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，圆周角定理，已知圆内接四边形求角度，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理得到，根据勾股定理求出，然后根据勾股定理计算，得到的半径． 【详解】解：如图，连接并延长，交于， 四边形为的内接四边形， ， ， 平分， ， ， 为等边三角形，， ， 由勾股定理得：， 设的半径为，则， 在中，， 即， 解得：， 即的半径为， 故选：A． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 若是一元二次方程的一个根，则_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查已知一元二次方程的根求参数的值，将代入方程即可求出m的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：2． 10. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握平方的非负性．根据一元二次方程有实数根，可得． 【详解】解：一元二次方程有实数根， ， 故答案为：． 11. 如图，的半径为6，直角三角板的角的顶点A落在上，两边与圆交于点B、C，则弦的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，连接，，根据圆周角定理得出，继而得出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：6． 12. 已知点P为平面内一点，若点P到上的点的最长距离为5，最短距离为1，则的半径为______． 【答案】3或2 【解析】 【分析】本题应分两种情况进行讨论，当P在圆内，直径长度为，半径为3；当P在圆外，直径长度为，半径为2． 【详解】解：∵当P在圆内，直径长度为，半径为3， 当P在圆外，直径长度为，半径为2， ∴的半径为3或2． 故答案为：3或2． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，在解答此题时要注意分类讨论． 13. 如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，若AE＝CD＝4，则⊙O的半径为__________． 【答案】2.5 【解析】 【分析】连接OC，设，则，根据垂径定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接OC，则， 设，则， ∵，AB为直径， ∴AB垂直平分CD，即：， ∴在Rt△OCE中，， 即：， 解得：， ∴， 故答案为：2.5． 【点睛】本题考查垂径定理，理解并熟练运用垂径定理是解题关键． 14. 如图，为的直径，C、D为圆上两点且，连接并延长交于点E，则__________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，根据圆周角定理可得，则可推出，用平角的定义求出的结果，则可求出的结果，据此根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，四边形内接于，若四边形是平行四边形，则______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题重点考查圆内接四边形的性质和圆周角定理的综合应用，通过平行四边形性质将圆心角与圆周角关联并建立方程是解题的关键． 利用圆内接四边形的性质和圆周角定理列方程求解． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 16. 已知O为的外心，，则________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．分圆心与点在的同侧和圆心与点在的两侧两种情况解答，利用一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半即可求得结论；延长交于点，连接，利用一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半即可求得，再利用圆内接四边形的性质即可求得结论． 【详解】解：当圆心与点在的同侧时，如图， ； 当圆心与点在的两侧时，如图， 延长交于点，连接， ， ． 四边形为圆的内接四边形， ． ． 综上，或． 故答案为：或 17. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，垂径定理，对于，当时，得直线过定点，再求出，得点P在内部，根据过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，得当直线与垂直时，为最小，此时，在中，由勾股定理求出，进而可得的最小值． 【详解】解：∵ ∴直线过定点， ∵点， ∴， 又∵的半径为， ∴， ∴点P在内部， 由于过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，即当直线与垂直时，为最小，如图所示： 由垂径定理得：， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 即的最小值为6． 故答案为：6． 18. 如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，的最小值是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，取的中点，连接，，，，过点作于点，可得 ，由为的中位线，得，那么当点沿半圆从点运动至点时，点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆弧，可得为等腰直角三角形，则，，在中，，由于，即可求解最小值． 【详解】解：如图，取的中点，取的中点，连接，，，，过点作于点， ∵在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上， ∴， ∵为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当点沿半圆从点运动至点时，点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆弧， ∵等腰，点为中点， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∵F为中点， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴，当点三点共线时，取得最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，圆的定义，解直角三角形，勾股定理，三角形的三边关系求最值等，难度较大，解题的关键在与确定点M的轨迹． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 19. 尺规作图，将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C． （1）画出该轮的圆心； （2）若△ABC是等腰三角形，底边BC=16cm，腰AB=10cm，求圆片的半径R． 【答案】（1）如图所示： （2）圆片的半径R为cm． 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求； （2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R． 【详解】（1）分别作弦AB和AC的垂直平分线，交点O即为所求的圆心； （2）连接AO，OB， ∵BC=16cm，∴BD=8cm，∵AB=10cm，∴AD=6cm， 设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD=（R-6）cm， ∴R2=82+（R-6）2， 解得：R=cm， ∴圆片的半径R为cm． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，我们可以把垂径定理的题设和结论这样叙述：一条直线①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧．在应用垂径定理解题时，只要具备上述5条中任意2条，则其他3条成立． 四、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：，． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） ， ∵， ∴， 该方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式，即可判断； （2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴，即． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 22. 如图，是的直径，是上一点，，为延长线上一点，且，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，先证明得到，再由三角形外角的性质得到，根据等边对等角得到，再由，，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴． 由三角的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 23. 如图，的弦AB、CD的延长线相交于点，且．求证：． 【答案】 证明：连接AC， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】连接，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用等式的性质可得，从而可得，即可解答． 【详解】略 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的性质、圆周角，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 24. 某商店经销的某种商品，每件成本价为40元，经市场调研，售价为50元/件，可销售150件；销售单价每提高1元，销售量将减少5件．如果商店将一批这种商品全部售完，盈利了1500元，问：该商店销售了这种商品多少件？每件售价多少元？ 【答案】该商店销售了这种商品50或150件，每件售价为70或50元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用利润得到相应的等量关系是解决问题的关键，根据等量关系为：（售价成本）（原来的销售量提高的价格），列出方程即可． 【详解】解：设每件商品售价为x元，则销售量为件， 由题意得：， 整理得：， 解得， 当时，销售量为： (件)； 当时，销售量为：件． 答：该商店销售了这种商品50或150件，每件售价为70或50元． 25. 如图，是的直径，是的弦，于点，点在上且 ，连接． （1）求证：； （2）连接．若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的直径，， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由垂径定理可得，则，，进而可得． （2）如图，连接，连接，设的半径为，由是的直径，可得，由，可得，，则，证明，则，即，可求，则，，由勾股定理得，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，连接， 设的半径为， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即． 解得， ∴，， 由勾股定理得，， ∵是的直径，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了垂径定理，同弧或等弧所对的弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，同弧或等弧所对的弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 26. 如图，是的外接圆，，平分，且交于点D，过点D作，交的延长线于点E，连接、． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图： ∵， ∴是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是圆的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，如图：根据，得出是的直径，从而得出，由平分，根据圆周角定理得出，从而得出是等腰直角三角形，垂径定理得出，结合，得出，即可证明是的切线； （2）在直角三角形中，勾股定理算出，由（1）知是等腰直角三角形，从而算出． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：在直角三角形中，，，， ∴， 由（1）知：是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的知识点是切线的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理等知识点，解题关键是掌握圆周角定理． 27. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，设运动时间为t秒． （1）当时，的面积为______； （2）是否存在一个时刻，使得点Q在的垂直平分线上，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值． 【答案】（1）28； （2）存在，； （3）当或时A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得出，，，由题意得出，，，，由矩形的面积减去三个直角三角形的面积，即可得出答案； （2）由得出，解方程可得出答案； （3）证出A、P、D三点在以为直径的圆上，由圆周角定理得出，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ，，， 由题意得：，， ，， 当时，，，，， 的面积， 故答案为：28； 【小问2详解】 解：存在； 当时，Q在DP的垂直平分线上， ， 解得，舍去，； 【小问3详解】 解：， 、P、D三点在以DP为直径的圆上， 若点Q也在圆上，则， ，，，， ； 解得，， 当或时，A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质、三角形面积、勾股定理等知识；熟练掌握勾股定理是解题的关键． 28. 某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【问题探究】如图1，，为的两条弦，点为的中点，过作、垂足为．求证：． 小明同学的思路是：如图2．在上截取，连接，，，…请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程． 【结论运用】如图3，是的内接等边三角形，点是上一点，，连接，．过点作，垂足为．若，求的周长． 【变式探究】如图4，若将（问题探究）中“点为的中点”改为“点为优弧的中点”，其他条件不变，请直接写出、、之间的等量关系． 【答案】 问题探究：证明：如图2，在上截取，连接，，，， ∵点C为的中点， ∴， ∴， 由圆周角定理得，， 在和中， ∴， ∴，又， ∴， ∴； 结论运用：； 变式探究： 【解析】 【分析】问题探究：在上截取，连接，，，，证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的三线合一、结合图形证明结论； 结论运用：连接，在上截取，连接，证明，得到，根据等腰直角三角形的性质求出，根据三角形的周长公式计算，得到答案； 变式探究：在线段上截取，连接、、、，证明，根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：问题探究：略 结论运用：连接，在上截取，连接， ∵是的内接等边三角形， ∴， 由问题探究可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 变式探究：，理由如下： 在线段上截取，连接、、、，如图所示： ∵点C为优弧的中点， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，等边三角形的性质，掌握圆心角、弦、弧之间的关系、圆周角定理、全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省宿迁市宿城区项里学校九年级（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4，则的半径可能是（    ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 某种品牌的手机经过八、九月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图半径为5的与y轴交于，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，，，E是矩形内部的一个动点，且，则线段最小值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 6 8. 如图，是的外接圆，，弦平分并交于点，弦，连接，，则的半径是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 若是一元二次方程的一个根，则_____________． 10. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_________． 11. 如图，的半径为6，直角三角板的角的顶点A落在上，两边与圆交于点B、C，则弦的长为______． 12. 已知点P为平面内一点，若点P到上的点的最长距离为5，最短距离为1，则的半径为______． 13. 如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，若AE＝CD＝4，则⊙O的半径为__________． 14. 如图，为的直径，C、D为圆上两点且，连接并延长交于点E，则__________度． 15. 如图，四边形内接于，若四边形是平行四边形，则______． 16. 已知O为的外心，，则________ 17. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________． 18. 如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，的最小值是___________． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 19. 尺规作图，将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C． （1）画出该轮的圆心； （2）若△ABC是等腰三角形，底边BC=16cm，腰AB=10cm，求圆片的半径R． 四、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 22. 如图，是的直径，是上一点，，为延长线上一点，且，求的度数． 23. 如图，的弦AB、CD的延长线相交于点，且．求证：． 24. 某商店经销的某种商品，每件成本价为40元，经市场调研，售价为50元/件，可销售150件；销售单价每提高1元，销售量将减少5件．如果商店将一批这种商品全部售完，盈利了1500元，问：该商店销售了这种商品多少件？每件售价多少元？ 25. 如图，是的直径，是的弦，于点，点在上且 ，连接． （1）求证：； （2）连接．若，求的长． 26. 如图，是的外接圆，，平分，且交于点D，过点D作，交的延长线于点E，连接、． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 27. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，设运动时间为t秒． （1）当时，的面积为______； （2）是否存在一个时刻，使得点Q在的垂直平分线上，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值． 28. 某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【问题探究】如图1，，为的两条弦，点为的中点，过作、垂足为．求证：． 小明同学的思路是：如图2．在上截取，连接，，，…请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程． 【结论运用】如图3，是的内接等边三角形，点是上一点，，连接，．过点作，垂足为．若，求的周长． 【变式探究】如图4，若将（问题探究）中“点为的中点”改为“点为优弧的中点”，其他条件不变，请直接写出、、之间的等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $