13.2与三角形有关的线段（5知识点+12大题型+针对训练）【暑假自学课】 2026-2027学年人教版八年级数学上册

13.2与三角形有关的线段（解析版） 学习目标导航 1. 掌握三角形的三边关系，能够判断三边能否构成三角形； 2. 三角形三边关系的应用，能够熟练的求第三边的值或范围，能够利用三角形的三边关系求字母的范围，化简绝对值等。 3. 掌握三角形的高线及其画法，并能够判断三角形的高线或用高线判断三角形的形状； 4. 掌握三角形的中线及其性质，并能够利用中线解决与面积和周长的相关题目。 洞悉◆教材知识 知识点01 三角形的三边关系 1．三角形的三边关系： 如图，三角形的三边分别是a，b，c（a＜b＜c）由两点之间线段最短可知： 三角形的任意两边之和 大于第三边。即有 任意两边之差 小于 第三边。即有。 这是三角形的限定条件。解题时常用两边之差小于第三边小于两边之和建立不等式。 知识点03 三角形的稳定性 1. 三角形的稳定性： 三角形的三条边确定，则这个三角形的 形状 和 大小 就会确定。这就是三角形的稳定性。三角形的稳定性是三角形独有的特性。 知识点03 三角形的高 1.三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫做三角形的高． 知识点04 三角形的中线 1. 三角形中线的定义： 如图，三角形的顶点与 对边中点 的连线段叫做三角形的中线。 2. 三角形中线的性质： ①AM是三角形的中线M是BC的 中点 BM ＝ CM＝ BC。 ②中线平分三角形的 面积 。即： ③中线分三角三角形的周长差等于对应另两边的差。即： ④三角形有 3 条中线，且三条中线交于一点，叫做三角形的 重心 。 知识点05 三角形的角平分线 1.三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点. 2.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形这边的 高线 ，简称 三角形的高．如图，线段 AD是BC边上的高． 3.直角三角形的两条高与直角边重合，另外一条高在内部，三条高的交点为 直角顶点.钝角三角形的两条高在外部，另外一条高在内部，三条高没有交点，但三条高所在直线交于三角形外一点. 4.连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的 中线 ．三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做 三角形的重心 ． 5.三角形的中线将这个三角形分为面积相等的两个三角形 核心题型◆归纳 题型01 判断三边能不能构成三角形 题型02 求三角形的第三边的值或范围 题型03 根据三角形的三边关系求字母的取值范围 题型04 三角形的三边关系与等腰三角形 题型05 利用三角形的三边关系化简绝对值 题型06 三角形的稳定性的 题型07 判断三角形某一边上的高 题型08 利用高线和垂心的位置判断三角形的形状 题型09 等面积求三角形的边或高 题型10 三角形的中线与面积 题型11 三角形的中线与周长 题型12 三角形的中线、高线及角平分线综合 针对训练 题型解析◆精准备考 题型01 判断三边能不能构成三角形 【典例1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3，4，8 C．4，5，6 D．5，5，11 【答案】C 【解答】解：A、∵2+3＝5， ∴长为2，3，5的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵3+4＜8， ∴长为3，4，8的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵4+5＞6， ∴长为4，5，6的三条线段能组成三角形，符合题意； D、∵5+5＜11， ∴长为5，5，11的三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 【变式1】以下列各组数为边，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．4，3，8 C．7，7，16 D．5，7，7 【答案】D 【解答】解：A、2+3＝5，不能组成三角形，故A不符合题意； B、4+3＜8，不能组成三角形，故B不符合题意； C、7+7＜16，不能组成三角形，故C不符合题意； D、7+5＞7，能组成三角形，故D符合题意． 故选：D． 题型02 求三角形的第三边的值或范围 【典例1】一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（　　） A．1 B．2 C．6 D．9 【答案】B 【解答】解：设第三边长为x， ∵一个三角形的两边长分别为2和3， ∴3﹣2＜x＜3+2， 解得：1＜x＜5． 故选：B． 【变式1】已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（　　） A．3cm B．5cm C．8cm D．13cm 【答案】C 【解答】解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，且小于两边之和， 即9﹣4＝5cm，9+4＝13cm． ∴第三边取值范围应该为：5cm＜第三边长度＜13cm， 故只有C选项符合条件． 故选：C． 题型03 根据三角形的三边关系求字母的取值范围 【典例1】若三角形的三边长分别为3，1+2m，8，则m的取值范围是 　2＜m＜5　 ． 【答案】2＜m＜5． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：8﹣3＜1+2m＜3+8， ∴5＜2m+1＜11， ∴2＜m＜5． 故答案为：2＜m＜5． 【变式1】若三角形的三边长分别为x、2x、9，则x的取值范围是（　　） A．3＜x＜9 B．3＜x＜15 C．9＜x＜15 D．x＞15 【答案】A 【解答】解：根据题意，得， 解得3＜x＜9． 故选：A． 题型04 三角形的三边关系与等腰三角形 【典例1】已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 　3　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵|b﹣3|＝0， ∴a﹣6＝0，b﹣3＝0， ∴a＝6，b＝3， 如果等腰三角形的底边长是6， ∵3+3＝6，不满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的底边长不可能是6， 如果等腰三角形的底边长是3， ∵3+6＞6，满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的底边长是3． 故答案为：3． 【变式1】用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为5cm，则另两边的长度分别是 　7.5 cm和7.5　 cm． 【答案】7.5；7.5． 【解答】解：当腰为5cm时，底边长为20﹣5﹣5＝10（cm）， 而5+5＝10，不符合三角形三边的关系，故舍去； 当底边长为5cm，腰长为（20﹣5）＝7.5（cm）， 综上所述，能围成有底边长是5cm，腰长为7.5cm的等腰三角形， 故答案为：7.5；7.5． 题型05 利用三角形的三边关系化简绝对值 【典例1】已知a，b，c是△ABC三边的长，化简|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|＝ 　2c　 ． 【答案】2c． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：a+c＞b，b+c＞a， ∴a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0， ∴|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c| ＝a﹣b+c+[﹣（a﹣b﹣c）] ＝a﹣b+c﹣a+b+c ＝2c． 故答案为：2c． 【变式1】a，b，c为△ABC的三边，化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，结果是（　　） A．0 B．2a+2b+2c C．4a D．2b﹣2c 【答案】A 【解答】解：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c| ＝（a+b+c）﹣（b+c﹣a）﹣（a﹣b+c）﹣（a+b﹣c） ＝a+b+c﹣b﹣c+a﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c ＝0 故选：A． 题型06 三角形的稳定性的 【典例1】下列图形具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、图形不具有稳定性，不符合题意； B、图形具有稳定性，符合题意； C、图形不具有稳定性，不符合题意； D、图形不具有稳定性，不符合题意； 故选：B． 【变式1】小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请在下列选项中选择一个最好的加固方案（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、C、D中长方形框架的加固方案具有四边形结构，四边形具有不稳定性，框架很容易变形，故A、C、D不符合题意； B、长方形框架的加固方案具有三角形结构，三角形具有稳定性，框架不容易变形，故B符合题意． 故选：B． 题型07 判断三角形某一边上的高 【典例1】下列能表示△ABC的边BC上的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：△ABC的边BC上的高为AE，如图， ． 故选：B． 【变式1】如图，在△ABC中，线段BE表示△ABC的边AC上的高的图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：过点B作AC的垂线，且垂足在直线AC上， 所以正确画出AC边上的高的是D选项， 故选：D． 题型08 利用高线和垂心的位置判断三角形的形状 【典例1】如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，则这个三角形的形状一定是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【解答】解：一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，这个三角形是直角三角形． 故选：D． 【变式1】如果三角形有一条高与三角形的一条边重合，那么这个三角形的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【解答】解：一个三角形有两条高与其边重合，则这正是直角三角形的两个直角边，所以该三角形为直角三角形． 故选：B． 题型09 等面积求三角形的边或高 【典例1】如图，已知∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，BC＝3，则点A到线段BC的距离为　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：由条件可知AC⊥BC， ∴点A到线段BC的距离为线段AC的长，即为4． 故答案为：4． 【变式1】如图，在三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，AC＝5cm，则点C到直线AB的距离为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】C 【解答】解：根据点到直线的距离可知： ∵∠B＝90°，BC＝4cm， ∴点C到直线AB的距离为：4cm． 故选：C． 题型10 三角形的中线与面积 【典例1】三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 【答案】B 【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形． 故选：B． 【变式1】如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点，则阴影部分的面积为 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接AE，BF，CD， ∵点D、E、F分别是线段AF、BD的中点， ∴AD＝DF，BE＝ED， ∴S△ADE＝S△ABE，S△ABE＝S△FDE， 同理可得：△ABC被分为7个面积相同的三角形， ∴阴影部分的三角形的面积是△ABC的面积的， ∵△ABC的面积为10， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：． 题型11 三角形的中线与周长 【典例1】如图，△ABC的周长是16，AD是BC边上的中线，AB＝6，CD＝3，则△ABD与△ACD 的周长之差为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【解答】解：△ABC的周长为16， ∴AB+AC+BC＝16， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD＝3，则BC＝6， ∴AC＝16﹣AB﹣BC＝16﹣6﹣6＝4， ∵△ABD的周长为AB+BD+AD，△ACD的周长为AC+CD+AD， ∴AB+BD+AD﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝6﹣4＝2， 故选：A． 【变式1】如图，在周长为20cm的△ABC中，AD是边BC上的中线，已知CD＝4cm，AC＝7cm，则AB的长为（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 【答案】B 【解答】解：∵AD是边BC上的中线， ∴BC＝2CD＝8（cm）， ∵△ABC的周长＝20cm， ∴AB+AC+BC＝20（cm）， ∴AB＝20﹣7﹣8＝5（cm）， 故选：B． 题型12 三角形的中线、高线及角平分线综合 【典例1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE，BF分别是△ABC的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（　　） A．∠ABF＝∠CBF B．∠ABC＝∠CAD C．S△ABE＝S△ACE D．AF＝CF 【答案】D 【解答】解：A、∵BF是△ABC的角平分线， ∴∠ABF＝∠CBF， ∴结论A正确， 故该选项不符合题意； B、∵AD是△ABC的高线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABC+∠BAD+∠ADB＝180°， ∴∠ABC+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠ABC＝∠CAD， ∴结论B正确， 故该选项不符合题意； C、∵AE是△ABC的中线， ∴BE＝CE， ∴， 即S△ABE＝S△ACE， ∴结论C正确， 故该选项不符合题意； D、∵BF是△ABC的角平分线，无法判定BF是△ABC的中线， ∴结论D错误， 故该选项符合题意； 故选：D． 【变式1】如图，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，AB＝BD．则下列结论中不一定正确的是（　　） A．AB＝CD B．FG＝GC C．∠ABE＝2∠FCB D．∠BFH＝∠BHF 【答案】B 【解答】解：A、∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， ∵AB＝BD， ∴AB＝CD，故本选项结论正确，不符合题意； B、FG与GC的大小不能确定，故本选项结论不一定正确，符合题意； C、∵∠ABC＝90°， ∴∠ABE+∠EBC＝90°， ∵BE⊥AC， ∴∠BCE+∠EBC＝90°， ∴∠ABE＝∠BCE， ∵CF是△ABC的角平分线， ∴∠BCE＝2∠FCA＝2∠FCB， ∴∠ABE＝2∠FCB，故本选项结论正确，不符合题意； D、∵∠ABC＝90°， ∴∠BFH＝90°﹣∠FCB， ∵BE⊥AC， ∴∠EHC＝90°﹣FCA， ∴∠BFH＝∠EHC， ∵∠BHF＝∠EHC， ∴∠BFH＝∠BHF，故本选项结论正确，不符合题意； 故选：B． 针对训练 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是(   ) A．2、3、5 B．4、4、7 C．8、6、2 D．10、15、3 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．依次验证各选项是否满足该条件即可． 【详解】A．最大边为， ，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形． B．最大边为， ，满足条件； 另验证 和 均成立，因此能组成三角形． C．最大边为， ，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形． D．最大边为， ，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形． 故选：B． 2．将一根长度为10（单位：）的铁丝按下面的长度剪开，剪得的三段铁丝可以首尾顺次相接围成三角形的是（　　） A．6，2，2 B．5，3，2 C．5，4，1 D．4，3，3 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边．只需验证各选项中最大边是否小于其余两边之和即可． 【详解】解：A最大边6，其余两边之和，，不满足三角形条件，故该选项不符合题意； B最大边5，其余两边之和，，无法构成三角形，故该选项不符合题意； C最大边5，其余两边之和，，无法构成三角形，故该选项不符合题意； D最大边4，其余两边之和．，满足三角形条件，故该选项符合题意； 故选：D． 3．如图，已知，小明以点B为圆心，为半径画弧线，又以点A为圆心，m为半径画弧线，两弧交于点C，然后连接，，得到，则m的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．6 D．10 【答案】A 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三边关系求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由作图可知：， ∵， ∴，即：； ∴m的值不可能是1； 故选A． 4．若一个三角形的两边长为3和4，则这个三角形的第三边长不可能是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系．根据三角形三边关系定理，第三边必须满足两边之和大于第三边且两边之差小于第三边． 【详解】解：已知三角形的两边长分别为3和4， 设第三边长为． 两边之和大于第三边：，即； 两边之差小于第三边：，即； 因此，第三边的取值范围为． 选项中只有7不在此范围内，故第三边长不可能是7． 故选：A． 5．利用到三角形的稳定性的生活实例是（    ） A．车库大门口的起落杆 B．四条腿的方桌 C．用枪的准星瞄准目标 D．脚踏车的三角车架 【答案】D 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形具有稳定性，即三边确定后形状固定不变形，而四边形等不具备该特性，需逐一分析选项，判断是否利用三角形结构来增强稳定性． 【详解】解： A：车库起落杆通常为平行四边形结构，利用四边形的不稳定性实现升降功能，而非三角形稳定性； B：四条腿的方桌仅由四边形支撑，未添加三角形加固结构，易摇晃，属于四边形不稳定的实例； C：枪的准星瞄准目标时，三点一线原理属于几何应用，与结构稳定性无关； D：脚踏车三角车架通过三角形结构连接各部件，利用三角形的稳定性使车架坚固不易变形； 故选：D． 6．如图，小明将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．这其中用到的数学原理是（      ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】解：吸管一端顶住瓶壁，可以构造一个三角形， ∴这其中用到的数学原理是三角形具有稳定性． 故选：D． 7．有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是___________． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边的关系． 根据三角形三边的关系，选出能围成三角形的三条木棒，计算周长即可． 【详解】解：∵，，，， ∴恰好能首尾相接构成三角形的三根木棒长为：，，，或，，， ∴这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是或， 故答案为： 或． 8．一个三角形的三边长均为奇数，其中两边长分别为3和5，则这个三角形周长的最大值为________． 【答案】15 【分析】本题考查了三角形三边关系，关键是求出三角形第三边的取值范围，熟练掌握三角形三边关系，是解答此题的关键．根据三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边，解答此题即可． 【详解】解：∵第三边， ∴第三边， ∵三边长都是奇数， ∴这个三角形第三边长的最大值是7， ∴这个三角形周长的最大值为， 故答案为：15． 9．现有长度为和的木棒，再从长度为，，的木棒中选取一根，使得三根木棒能够拼出三角形，则选取的木棒长度应是______． 【答案】5 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得出第三根木棒长度的取值范围，即可求解． 【详解】解：现有木棒的长度为和， 第三根木棒的长度， 即：第三根木棒的长度， 选取的木棒长度应是， 故答案为：5． 10．已知三角形的三边长分别为3，，8．则正整数的值可以是________． 【答案】4或5 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解不等式组，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式即可求出a的取值范围． 【详解】三角形的三边长分别为3，，8， ， 即， 故答案为：4或5． 11．木兰溪大桥全长，由我国著名桥梁专家、莆籍院士林元培设计，以莆田特色的“壶山兰水”为主题，将莆田人文景观与自然环境结合，体现了莆田地域文化和时代特征．如图，桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，运用的数学原理是三角形的__________ 【答案】稳定性 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键． 根据三角形的稳定性求解即可． 【详解】由题意可知运用的数学原理是三角形的稳定性； 故答案为：稳定性． 12．已知三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，求这个三角形的周长． 【答案】、、、或 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，根据“三角形两边之差小于三边，两边之和大于第三边”，求出x的取值范围，即可解答． 【详解】解：设第三边的长为， 根据三角形的三边关系，，即， ∵第三条边长为偶数， ∴第三边是，，，， 第三边是时，该三角形的周长． 第三边是时，该三角形的周长． 第三边是时，该三角形的周长． 第三边是时，该三角形的周长． 第三边是时，该三角形的周长． 13．如图，在中，，，为中线．则与的周长之差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用三角形中线的定义、三角形的周长公式进行计算即可得出结果． 【详解】在中，为中线, ． ，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的中线的理解与运用能力．三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线．明确三角形的中线的定义，运用两个三角形的周长的差等于两边的差是解本题的关键． 14．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的个数为(     ) ①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AE平分∠BAC． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：AD不一定平分∠BAF，①错误； AF不一定平分∠DAC，②错误； ∵∠1=∠2，∴AE平分∠DAF，③正确； ∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠CAE，∴AE平分∠BAC，④正确； 故选B． 15．如图，在中，边上的高为（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】利用三角形的高的定义可得答案． 【详解】解：在△ABC中，BC边上的高为AE， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的高，关键是掌握从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 16．如图，是的角平分线，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，由平行线的性质可得，，，进而由角平分线的定义可得，再根据角的和差关系即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵是的角平分线， ∴， ∴ ， 故选：． 17．已知三角形的三条中线交于一点,则下列结论:①这一点在三角形的内部;②这一点有可能在三角形的外部;③这一点是三角形的重心.其中正确的结论有____.(填序号) 【答案】①③ 【详解】解：三角形的三条中线的交点一定在三角形内部，这个交点叫三角形的重心．故①③正确．故答案为①③． 18．如图，是的中线，是的中线，若，则_______________． 【答案】9 【分析】本题考查了中线的应用，根据是的中线，是的中线，得出，再运用线段的和差关系，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是的中线，是的中线， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：9． 19．如图，在中，，是的角平分线，则____，_____，_____． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键．由平分，得．由平分，得，进而解决此题． 【详解】解：平分， ． 平分， ． ． 故答案为：、、． 20．如图，是的边上的高，则与的位置关系是______，____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，垂线的定义，根据三角形高的定义可得，则由垂线的定义可得答案． 【详解】解；∵是的边上的高， ∴， ∴， 故答案为：；；． 21．如图，是的中线，是的中线，若，则______． 【答案】16 【分析】本题考查了三角形中线的性质，由三角形中线性质可得，据此即可求解，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】是的中线， ， 是的中线， ， 故答案为：16 22．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠EAD＝________°.    【答案】10 【分析】由AE平分∠BAC，可得∠1＝∠EAD＋∠2，所以∠EAD＝∠1－∠2＝30°－20°＝10°. 【详解】解：∵ AE平分∠BAC， ∴∠1＝∠EAD＋∠2， 即：∠EAD＝∠1－∠2＝30°－20°＝10°. 故答案为10. 【点睛】本题考查角平分线分得的两个角相等和角的有关计算. 23．如图，在中，，，都是的高，且，求的长． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形面积公式的应用，熟练掌握三角形面积公式是解决本题的关键． 根据三角形面积公式，当是高，是底时，，当是高，是底时，，由此可求解． 【详解】解：当是高，是底时，的面积为， 当是高，是底时，也可表示为， ∴． 把，，代入上式， 可得，解得． ∴的长为12． 24．【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得； （3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得． 【详解】（1）解：如图，过点A作AE⊥BC， 则， ∵AE=AE， ∴． （2）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． （3）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.2与三角形有关的线段（原卷版） 学习目标导航 1. 掌握三角形的三边关系，能够判断三边能否构成三角形； 2. 三角形三边关系的应用，能够熟练的求第三边的值或范围，能够利用三角形的三边关系求字母的范围，化简绝对值等。 3. 掌握三角形的高线及其画法，并能够判断三角形的高线或用高线判断三角形的形状； 4. 掌握三角形的中线及其性质，并能够利用中线解决与面积和周长的相关题目。 洞悉◆教材知识 知识点01 三角形的三边关系 1．三角形的三边关系： 如图，三角形的三边分别是a，b，c（a＜b＜c）由两点之间线段最短可知： 三角形的任意两边之和 大于第三边。即有 任意两边之差 小于 第三边。即有。 这是三角形的限定条件。解题时常用两边之差小于第三边小于两边之和建立不等式。 知识点03 三角形的稳定性 1. 三角形的稳定性： 三角形的三条边确定，则这个三角形的 形状 和 大小 就会确定。这就是三角形的稳定性。三角形的稳定性是三角形独有的特性。 知识点03 三角形的高 1.三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫做三角形的高． 知识点04 三角形的中线 1. 三角形中线的定义： 如图，三角形的顶点与 对边中点 的连线段叫做三角形的中线。 2. 三角形中线的性质： ①AM是三角形的中线M是BC的 中点 BM ＝ CM＝ BC。 ②中线平分三角形的 面积 。即： ③中线分三角三角形的周长差等于对应另两边的差。即： ④三角形有 3 条中线，且三条中线交于一点，叫做三角形的 重心 。 知识点05 三角形的角平分线 1.三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点. 2.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形这边的 高线 ，简称 三角形的高．如图，线段 AD是BC边上的高． 3.直角三角形的两条高与直角边重合，另外一条高在内部，三条高的交点为 直角顶点.钝角三角形的两条高在外部，另外一条高在内部，三条高没有交点，但三条高所在直线交于三角形外一点. 4.连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的 中线 ．三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做 三角形的重心 ． 5.三角形的中线将这个三角形分为面积相等的两个三角形 核心题型◆归纳 题型01 判断三边能不能构成三角形 题型02 求三角形的第三边的值或范围 题型03 根据三角形的三边关系求字母的取值范围 题型04 三角形的三边关系与等腰三角形 题型05 利用三角形的三边关系化简绝对值 题型06 三角形的稳定性的 题型07 判断三角形某一边上的高 题型08 利用高线和垂心的位置判断三角形的形状 题型09 等面积求三角形的边或高 题型10 三角形的中线与面积 题型11 三角形的中线与周长 题型12 三角形的中线、高线及角平分线综合 针对训练 题型解析◆精准备考 题型01 判断三边能不能构成三角形 【典例1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3，4，8 C．4，5，6 D．5，5，11 【变式1】以下列各组数为边，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．4，3，8 C．7，7，16 D．5，7，7 A．3，4，5 B．3，6，7 C．4，5，9 D．6，6，11 题型02 求三角形的第三边的值或范围 【典例1】一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（　　） A．1 B．2 C．6 D．9 【变式1】已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（　　） A．3cm B．5cm C．8cm D．13cm 题型03 根据三角形的三边关系求字母的取值范围 【典例1】若三角形的三边长分别为3，1+2m，8，则m的取值范围是 　 　 ． 【变式1】若三角形的三边长分别为x、2x、9，则x的取值范围是（　　） A．3＜x＜9 B．3＜x＜15 C．9＜x＜15 D．x＞15 题型04 三角形的三边关系与等腰三角形 【典例1】已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 　 　 ． 【变式1】用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为5cm，则另两边的长度分别 是 cm和　 cm． 题型05 利用三角形的三边关系化简绝对值 【典例1】已知a，b，c是△ABC三边的长，化简|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|＝ 　 　 ． 【变式1】a，b，c为△ABC的三边，化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，结果是（　　） A．0 B．2a+2b+2c C．4a D．2b﹣2c 题型06 三角形的稳定性的 【典例1】下列图形具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请在下列选项中选择一个最好的加固方案（　　） A． B． C． D． 题型07 判断三角形某一边上的高 【典例1】下列能表示△ABC的边BC上的高的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在△ABC中，线段BE表示△ABC的边AC上的高的图是（　　） A． B． C．D． 题型08 利用高线和垂心的位置判断三角形的形状 【典例1】如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，则这个三角形的形状一定是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【变式1】如果三角形有一条高与三角形的一条边重合，那么这个三角形的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 题型09 等面积求三角形的边或高 【典例1】如图，已知∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，BC＝3，则点A到线段BC的距离为　 　 ． 【变式1】如图，在三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，AC＝5cm，则点C到直线AB的距离为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 题型10 三角形的中线与面积 【典例1】三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 【变式1】如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点，则阴影部分的面积为 　 ． 题型11 三角形的中线与周长 【典例1】如图，△ABC的周长是16，AD是BC边上的中线，AB＝6，CD＝3，则△ABD与△ACD 的周长之差为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1】如图，在周长为20cm的△ABC中，AD是边BC上的中线，已知CD＝4cm，AC＝7cm，则AB的长为（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 题型12 三角形的中线、高线及角平分线综合 【典例1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE，BF分别是△ABC的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（　　） A．∠ABF＝∠CBF B．∠ABC＝∠CAD C．S△ABE＝S△ACE D．AF＝CF 【变式1】如图，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，AB＝BD．则下列结论中不一定正确的是（　　） A．AB＝CD B．FG＝GC C．∠ABE＝2∠FCB D．∠BFH＝∠BHF 针对训练 一、三角形的边 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是(   ) A．2、3、5 B．4、4、7 C．8、6、2 D．10、15、3 2．将一根长度为10（单位：）的铁丝按下面的长度剪开，剪得的三段铁丝可以首尾顺次相接围成三角形的是（　　） A．6，2，2 B．5，3，2 C．5，4，1 D．4，3，3 3．如图，已知，小明以点B为圆心，为半径画弧线，又以点A为圆心，m为半径画弧线，两弧交于点C，然后连接，，得到，则m的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．6 D．10 4．若一个三角形的两边长为3和4，则这个三角形的第三边长不可能是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 5．利用到三角形的稳定性的生活实例是（    ） A．车库大门口的起落杆 B．四条腿的方桌 C．用枪的准星瞄准目标 D．脚踏车的三角车架 6．如图，小明将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．这其中用到的数学原理是（      ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 7．有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是___________． 8．一个三角形的三边长均为奇数，其中两边长分别为3和5，则这个三角形周长的最大值为________． 9．现有长度为和的木棒，再从长度为，，的木棒中选取一根，使得三根木棒能够拼出三角形，则选取的木棒长度应是______． 10．已知三角形的三边长分别为3，，8．则正整数的值可以是________． 11．木兰溪大桥全长，由我国著名桥梁专家、莆籍院士林元培设计，以莆田特色的“壶山兰水”为主题，将莆田人文景观与自然环境结合，体现了莆田地域文化和时代特征．如图，桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，运用的数学原理是三角形的__________ 12．已知三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，求这个三角形的周长． 二、三角形的中线、角平分线、高  13．如图，在中，，，为中线．则与的周长之差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的个数为(     ) ①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AE平分∠BAC． A．1 B．2 C．3 D．4 15．如图，在中，边上的高为（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 16．如图，是的角平分线，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 17．已知三角形的三条中线交于一点,则下列结论:①这一点在三角形的内部;②这一点有可能在三角形的外部;③这一点是三角形的重心.其中正确的结论有____.(填序号) 18．如图，是的中线，是的中线，若，则_______________． 19．如图，在中，，是的角平分线，则____，_____，_____． 20．如图，是的边上的高，则与的位置关系是______，____________． 21．如图，是的中线，是的中线，若，则______． 22．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠EAD＝________°.    23．如图，在中，，，都是的高，且，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $