精品解析：新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州伊犁州直和兵团第四师第七师各校联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

伊犁州直和兵团第四师、第七师 2025春学期高一年级期中考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足：（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是（ ） A. 三边互不相等的三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 顶角A为锐角的等腰三角形 4. 已知由五个面围成多面体，有且只有四个面是三角形，则这个几何体为（ ） A. 四棱柱 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 三棱锥 5. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角（ ） A. B. C. 或 D. 7. 已知向量，是平面上两个不共线单位向量，且，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 8. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，外接圆的半径为1，则面积的最大值为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全都选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各数是方程的根有（ ） A. B. C. 1 D. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B. 长方体是直四棱柱；正四棱柱是平行六面体 C. 有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 D. 球面可以看作一个半圆绕着它直径所在的直线旋转一周所形成的曲面 11. 有下列说法，其中正确的说法为（ ） A. 若，，则 B. 两个非零向量、，若，则与垂直 C. 若点G为的重心，则 D. 若，，分别表示、的面积，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知i是虚数单位，复数______． 13. 在中，角所对的边分别为，若，则中最大角的余弦值为______． 14. 如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角（，）的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 平面内给定两个向量，． （1）求，夹角的余弦值； （2）求． 16. 已知复数，其中，i为虚数单位． （1）若复数z为纯虚数，求实数m的值； （2）若复数z对应的点在第三象限，求实数m的取值范围； （3）当时，求． 17. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若D为AB中点，，，求的周长． 18. 如图，在平行四边形中，，，设，．若M，N分别是边，所在直线上的点，且满足，，其中． （1）当，时，用向量和分别表示向量，和，； （2）当，时，求的取值范围． 19. 极化恒等式实现了向量与数量转化，阅读以下材料，解答问题． 材料1．代数模式极化恒等式：， 公式推导：； 材料2．平行四边形模式：如图a，在平行四边形中，O是对角线交点，则； 材料3．三角形模式：如图b，在中，设D为的中点，则． 推导过程：由． （1）已知中，M为中点，，，求值； （2）如图1，在边长为2的正方形中，其对称中心O平分线段，且，点E为的中点，求的值； （3）“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图2）．某太极八卦图的平面图如图3所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，是圆O的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，．若点P是正八边形边上的一点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 伊犁州直和兵团第四师、第七师 2025春学期高一年级期中考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量加法法则及相反向量的意义求解． 【详解】． 故选：A 2. 已知复数z满足：（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简复数z，再根据复数的几何意义，即可求解． 【详解】， 即z在复平面内对应的点为，位于第四象限． 故选：D 3. 水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是（ ） A. 三边互不相等的三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 顶角A为锐角的等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则求解即可. 【详解】由题意，在原中，，因为，则， 又，所以，O为中点， 则，， 所以原是一个等腰直角三角形． 故选：B. 4. 已知由五个面围成多面体，有且只有四个面是三角形，则这个几何体为（ ） A 四棱柱 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 三棱锥 【答案】B 【解析】 【分析】根据棱锥的定义判断即可． 【详解】有一个面是多边形，其余四个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥， 故根据棱锥的定义可知该几何体有四条侧棱，该几何体是四棱锥． 故选：B. 5. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量线性运算及向量共线的坐标表示列方程，解方程即可. 【详解】由，，则，， 又， 则，解得， 故选：D. 6. 已知三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理解三角形． 【详解】在中，由，，及正弦定理， 得，所以或． 故选：C. 7. 已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 【答案】C 【解析】 【分析】结合向量的线性运算，逐项判断向量共线得解. 【详解】对A，因为，则、、三点不共线，故A错误； 对B，因为，则、、三点不共线，故B错误； 对C，因为，则、、三点共线，则C正确； 对D，，因为，则、、三点不共线. 故选：C． 8. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，外接圆的半径为1，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】根据余弦定理求得B，由正弦定理求得b，结合三角形面积公式和基本不等式求出结果. 【详解】由和正弦定理，得， 故， ∵，∴， ∵外接圆的半径为1，∴由正弦定理得，则， ∴，则，∴，当且仅当时等号成立， ∴，当且仅当时等号成立，即面积的最大值为． 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全都选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各数是方程的根有（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】解实系数一元二次方程的根，可以直接利用求根公式，但要注意． 【详解】因为， 所以方程的解为． 方程有两根，． 故选：BD. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B. 长方体是直四棱柱；正四棱柱是平行六面体 C. 有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 D. 球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正棱锥的概念判断A；根据直四棱柱和正四棱柱的概念判断B；根据棱台的概念判断C；根据球的概念判断D． 【详解】对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，故A错误； 对于B，易知长方体的侧棱和底面垂直，所以是直四棱柱，正四棱柱的底面是正方形，所以正四棱柱是平行六面体，故B正确； 对于C，根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点． 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故C错误； 对于D，球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，故D正确． 故选：BD. 11. 有下列说法，其中正确的说法为（ ） A. 若，，则 B. 两个非零向量、，若，则与垂直 C. 若点G为的重心，则 D. 若，，分别表示、的面积，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理及向量的运算即可判断ABC，然后结合图形，结合向量运算及三角形面积公式即可判断D． 【详解】对于A，若，则，不一定平行，故A错误； 对于B，因为向量，为非零向量，且， 即，即，又，均为非零向量，故与垂直，故B正确； 对于C，若点G为的重心，延长AG与BC交于M，则M为BC的中点，如图所示： 所以，所以，故C正确； 对于D，如图所示取AC中点为D，则， 由，可知， 所以O，B，D三点共线，且，故，故D正解． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知i是虚数单位，复数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，即可求得答案． 【详解】复数． 故答案为：. 13. 在中，角所对的边分别为，若，则中最大角的余弦值为______． 【答案】 【解析】 分析】根据题意，令，，，利用余弦定理，即可求解. 【详解】由，根据正弦定理，可得， 令，，，可得，则， 由余弦定理可得． 故答案为： 14. 如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角（，）的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，在仿射坐标系下，得到，，结合向量数量积运算公式，以及向量的线性运算法，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由题意得，在仿射坐标系下，可得，， 所以， ， ， 则． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 平面内给定两个向量，． （1）求，夹角的余弦值； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的坐标，利用模长公式以及数量积公式，结合夹角余弦值公式，可得答案； （2）由向量的坐标，利用线性运算以及模长公式，可得答案． 【小问1详解】 由题意可得，， 则，夹角的余弦值. 【小问2详解】 由题意可得，即. 16. 已知复数，其中，i为虚数单位． （1）若复数z为纯虚数，求实数m的值； （2）若复数z对应的点在第三象限，求实数m的取值范围； （3）当时，求． 【答案】（1）8 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数的定义，列式计算即得； （2）利用复数在复平面对应点的性质，列式计算即得； （3）代入参数求得复数的模长. 【小问1详解】 由复数是纯虚数，且， 得，解得，所以实数m的值为3. 【小问2详解】 由复数对应点在第三象限，且， 得，解得，即， 所以实数m的取值范围为. 【小问3详解】 当时，， ． 所以. 17. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若D为AB中点，，，求的周长． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：利用正弦定理将边化角后，再利用两角和的正弦公式及，得到，再得出c的值； 方法二：利用余弦定理将角化边，得出，消去，进而求得c的值． （2）方法一，利用已知条件和余弦定理，得出，转化成，利用余弦定理得出，求得，进而得到的周长； 方法二，利用，利用余弦定理，求得，由余弦定理，得到，得出，求得，进而得到的周长； 方法三：在 和中，利用余弦定理，得出，再由余弦定理，得到，得出，求得，进而得到的周长. 【小问1详解】 解：方法一：因为，可得， 由正弦定理，可得， 因为，可得， 所以， 又因为，可得，所以． 方法二：因为，可得， 由余弦定理，可得， 整理得，可得， 因为，所以． 【小问2详解】 解：方法一：由（1）知：且， 因为，可得， 在中，利用余弦定理得，所以， 又由余弦定理得，所以， 可得，所以的周长为． 方法二：因为，所以， 由余弦定理，可得，所以， 又由余弦定理得，所以，所以， 又因为，所以， 所以的周长为． 方法三：在和中，由余弦定理可得， 所以， 又由余弦定理得，所以，所以， 又因为，所以， 所以的周长为． 18. 如图，在平行四边形中，，，设，．若M，N分别是边，所在直线上的点，且满足，，其中． （1）当，时，用向量和分别表示向量，和，； （2）当，时，求的取值范围． 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算求解； （2）用表示，利用数量积运算求得，根据二次函数的性质求得范围. 【小问1详解】 当时，， ， ， . 【小问2详解】 当，时， ，， ， 因为，所以，即的取值范围为. 19. 极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题． 材料1．代数模式极化恒等式：， 公式推导：； 材料2．平行四边形模式：如图a，在平行四边形中，O是对角线交点，则； 材料3．三角形模式：如图b，在中，设D为的中点，则． 推导过程：由． （1）已知中，M为中点，，，求的值； （2）如图1，在边长为2的正方形中，其对称中心O平分线段，且，点E为的中点，求的值； （3）“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图2）．某太极八卦图的平面图如图3所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，是圆O的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，．若点P是正八边形边上的一点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由极化恒等式即可求解； （2）由极化恒等式即可求解； （3）连接，根据三角形模式可得，即可求解. 【小问1详解】 如图，由是的中点，， 由极化恒等式可得. 【小问2详解】 如图，连接，由，， 由极化恒等式可得. 【小问3详解】 如图，连接， 因为，， 所以， 因为正八边形内切圆的半径为，， 所以， 又，则，所以， 即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $