第05讲 有理数的乘法和与除法 讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册-

本讲义聚焦初中数学有理数的乘法与除法核心知识点，系统梳理乘法法则、倒数、运算律及多个有理数相乘符号规律，过渡到除法法则、乘除混合运算及加减乘除混合运算，构建从基础到综合的学习支架。 该资料通过即刻训练、热点题型（如货车行驶实际问题、新定义运算）及中考真题，培养推理能力（类比归纳法则）、运算能力（混合运算练习）和应用意识。课中助力教师高效授课，课后辅助学生强化练习，有效查漏补缺。

人教版（2024）七年级上册 第05讲 有理数的乘法与除法 学习目标 课标标准：掌握并熟练地对有理数的乘、除法以及加减乘除混合运算，理解有理数乘法的运算律，能运用运算律简化运算。能运用有理数乘、除法的运算解决简单问题 素养目标：能通过类比、归纳的推理方式总结出有理数乘法的法则以及运算律的应用（推理能力） 重难点：熟练进行有理数乘、除法的运算，并解决实际问题 知 识 点 睛 一 有理数的乘法 1、有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积 （2）任何数与0相乘，都得0 注意：在乘法运算中，所有式子中的小数化成分数，带分数化成假分数 2、倒数 （1）概念：乘积是1的两个数互为倒数，即 （2）求法：①分数的倒数将分子分母交换位置，带分数要先化为假分数②非0整数的倒数将整数作分母，1作分子③小数的倒数对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数；对于除不尽的数，转换为分数再进行 （3）0没有倒数；倒数等于本身是±1 3、有理数乘法的运算律 （1）乘法交换律：有理数的乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变 （2）乘法结合律：在有理数的乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 （3）乘法分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 注意：在分配律中出现“﹣”号，在计算中一定不要弄错符号 4、多个有理数相乘的符号法则 （1）几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；奇数时，积为负数。确定积的符号后，再把乘数的绝对值相乘，作为积的绝对值 （2）几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0。反之，若积为0，则至少有一个乘数为0 即刻训练：﹣2026的倒数是（　　） A．﹣2026 B．2026 C． D． 答案：考查倒数，熟练掌握倒数的定义 即刻训练：我国元代《算数启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（　　） A．0×（﹣2） B．2×2 C．（﹣2）×（﹣2） D．2×（﹣2） 答案：考查对有理数乘法法则的理解 二 有理数的除法 1、有理数的除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数 （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商；0除以任何一个不等于0的数，都得0 注意：①一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便；②两个数相除，若商为1，则这两个数相等；若商为﹣1，则这两个数互为相反数；③任何数除以1都等于原数，任何数都除以﹣1都等于原数的相反数；④有理数的除法没有交换律，结合律更没有分配律 2、乘除混合运算 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果 3、加减乘除混合运算 先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算。并合理利用运算律，进行简便运算 即刻训练：计算的结果是 　　 ． 答案：﹣2，考查有理数的乘除混合运算，熟知有理数的乘除运算法则，把除法转化为乘法运算 热 点 题 型 归 纳 （乘、除混合运算） 【例1】计算： （1）（﹣15）×（﹣4）． （2）（）． （3）（﹣8）÷（﹣1.25）． 答案：解：（1）（﹣15）×（﹣4）＝15×4＝60； （2）（） ； （3）（﹣8）÷（﹣1.25）＝（﹣8）×（）＝8． 考查有理数的除法和有理数的乘法 （运算与绝对值的结合） 【例2】三个有理数a、b、c满足abc＞0，则的值为 　 　 ． 答案：3或﹣1 解：∵有理数a、b、c满足abc＞0，∴a、b、c三数中的符号必定是三个正号或一正两负， ∴1+1+1＝3，或1﹣1﹣1＝﹣1， 故答案为：3或﹣1． 考查有理数的乘法，绝对值，注意分类讨论的思想 （新定义运算） 【例3】若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24． （1）求3*（﹣4）的值；（2）求（﹣2）*（6*3）的值． 答案：解：（1）3*（﹣4）＝4×3×（﹣4）＝﹣48； （2）（﹣2）*（6*3）＝（﹣2）*（4×6×3）＝（﹣2）*（72） ＝4×（﹣2）×（72）＝﹣576． 考查有理数的乘法 （相反数、倒数、绝对值综合） 【例4】已知互为相反数，互为倒数，是绝对值等于2的数 求式子的值 答案：解：∵a和b互为相反数，c和d互为倒数，m是绝对值等于2的数， ∴当m＝2时，原式＝0+2﹣1+2＝3；当m＝﹣2时，原式＝0﹣2﹣1﹣2＝﹣5． 考查求值问题，关键是掌握相反数之和为0，倒数之积等于1 （联系实际问题） 【例5】一辆货车从超市出发，向东走3千米到达小李家，继续向东走1.5千米到达小张家，然后又回头向西走9.5千米到达小陈家，最后回到超市． （1）以超市为原点，向东为正，以1个单位长表示1千米，在数轴上表示出上述位置． （2）小陈家距小李家多远？ （3）若货车每千米耗油0.5升，这趟路货车共耗油多少升？ 答案：解：（1）如图：点O表示超市，点A表示小李家，点B表示小张家，点C表示小陈家． （2）从图中可看出小陈家距小李家8千米． （3）0.5×（|+3|+|+1.5|+|﹣9.5|+|﹣5|）＝0.5×19＝9.5（升）故这趟路货车共耗油9.5升． 考查正负数在实际生活中的应用，结合简便计算记性求解 中 考 真 题 1.（2024•吉林）若（﹣3）×□的运算结果为正数，则□内的数字可以为（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 答案：，考查有理数乘法法则 同 步 检 测 一．选择题 1．有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列结论：①a与b互为相反数；③|a|＜|b|；③b+a＞0；④b﹣a＞0；⑤．其中正确的是（　　） A．①②④⑤ B．②③④ C．①③④ D．②③⑤ 2．有理数m，n在数轴上的位置如图所示，下列正确的是（　　） A．mn＞0 B．n﹣m＜0 C．m＞﹣3 D． 3．若m＞n，则下列结论一定正确的是（　　） A．mn＞0 B．mn＜0 C．m+n＞0 D．m﹣n＞0 4．下列说法：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若|a|＝a，则a＞0；③若ab＜0，则．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题 5．已知|a|＝5，|b|＝7，且|a+b|＝a+b，则ab的值为　 　 ． 6．在﹣6，﹣3，﹣2，1，6五个数中，任意取两个数相乘，能够得到的最大的乘积等于　　 ． 三．解答题 7．计算： （1）（﹣12）÷（）； （2）3÷（）×（﹣8）； （3）（﹣15.6）÷（﹣3.9）÷（）； （4）（）÷（）×（）； （5）（）×[（）÷（）]÷（）． （6）． （7）； （8）99（﹣9） （9）（﹣5）×（﹣3）+（﹣7）×（﹣3）+12×（﹣3） 8．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2． （1）直接写出a+b，cd，m的值；（2）求m+cd的值． 9．已知|x|＝6，y＝8． （1）若xy＞0，求x+y的值；（2）若|x+y|＝x+y，求x﹣y的值． 10．规定运算“*”，a*b＝ab+1，求：（1）（﹣2）*3；（2）[（﹣1）*2]*（﹣3）． 11．阅读下面解题过程： 计算：5÷（22）÷6 解：5÷（22）×6 ＝5÷（）×6…① ＝5÷（﹣25）…② ③ 回答： （1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第 　 步，错因是 　 　 ，第二处是 　 　 ，错因是 　 　 ． （2）正确结果应是 ． 12．我们知道，，显然a÷b与b÷a的结果互为倒数关系．小明利用这一思想方法计算的过程如下： 因为20+3﹣5+12＝﹣10． 故原式． 请你仿照这种方法计算：． 13．分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！ （1）当ab＜0时，若b＞0，|a|＜|b|，则a+b　 　 0； （2）当abc＜0时，若ab＞0，则c　 　 0； （3）已知a，b，c是非零有理数，则　 　 ； （4）当a与b都是整数，且|a|+|b|＝1，求a+b的值．（写出分类讨论的过程） 答 案 解 析 1． 解：由数轴可知，a＜0，b＞0，且|b|＞|a|． ∵a与b到原点的距离不相等，∴a与b不互为相反数，故①错误，不符合题意； ∵b到原点的距离大于a到原点的距离，∴|a|＜|b|，故②正确，符合题意； ∵|b|＞|a|，正数的绝对值更大，∴b+a＞0，故③正确，符合题意； ∵b＞0，a＜0，∴b﹣a＝b+|a|＞0，故④正确，符合题意； ∵a＜0，b＞0，∴，故⑤错误，不符合题意； 考查数轴上点的位置与有理数性质的关系 2． 解：由数轴可得﹣3＜m＜﹣2＜1＜n＜2，∴mn＜0，n﹣m＞0，m＞﹣3，． 考查有理数的乘法、数轴及有理数的减法 3． 解：根据题意可知，当m＞n＞0时，mn＞0，m+n＞0，m﹣n＞0， 当m＞0＞n时，mn＜0，m+n不一定大于0，m﹣n＞0， 当0＞m＞n时，mn＞0，m+n＜0，m﹣n＞0， ∴A、B、C选项结论不一定正确，不符合题意， D选项结论一定正确，符合题意． 考查了有理数的减法，有理数的加法，有理数的乘法 4． 解：若|a|＝|b|，则a＝±b，①错误；若|a|＝a，则a≥0，②错误； 若ab＜0，则，③正确． ∴正确的个数有1个． 考查有理数的乘法和绝对值 5．35或﹣35 解：∵|a|＝5，|b|＝7，∴a＝±5，b＝±7， ∵|a+b|＝a+b，∴a+b＞0， ∴a＝5，b＝7或a＝﹣5，b＝7，∴ab＝35或﹣35， 考查有理数的乘法 6．18 解：根据题意得：最大的乘积是（﹣6）×（﹣3）＝18． 考查了有理数的乘法 7．解：（1）原式； （2）原式＝3×7×8＝168； （3）原式＝﹣15.6÷3.9×2＝﹣8； （4）原式； （5）原式； （6）原式＝25×1＝25； （7）原式 ＝﹣15+16＝1； （8）原式＝（100）×（﹣9）＝﹣900＝﹣899； （9）原式＝（﹣5﹣7+12）×（﹣3）＝0×（﹣3）＝0． 考查的是有理数相关运算，并可以熟练应用运算律进行简便运算 8．解：（1）∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2， ∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2． （2）当m＝2时，m+cd2+1+0＝3；当m＝﹣2时，m+cd2+1+0＝﹣1． 考查倒数、相反数、绝对值结合计算的应用 9．解（1）∵|x|＝6，y＝8，xy＞0，∴x＝6，y＝8，∴x+y＝6+8＝14； （2）∵|x+y|＝x+y，∴x+y＞0， ∵|x|＝6，y＝8，∴x＝±6，y＝8， ∴x﹣y＝6﹣8＝﹣2，或x﹣y＝﹣6﹣8＝﹣14， ∴x﹣y的值是﹣2或﹣14． 考查有理数的乘法，绝对值，有理数的加、减运算 10．解：（1）（﹣2）*3＝（﹣2）×3+1＝﹣5； （2）[（﹣1）*2]*（﹣3）＝（﹣1×2+1）*（﹣3）＝（﹣1）*（﹣3） ＝（﹣1）×（﹣3）+1＝4． 考查了有理数的乘法运算 11．解：（1）第一处是第①步，错因是除以一个数相当于乘以这个数的倒数，第二处是②，错因是同级运算应从左到右的顺序依次进行计算； （2）5÷（22）÷6＝5÷（）＝5×（）． 考查有理数的乘除法 12．解：因为 ＝﹣7+9﹣28+12 ＝﹣14； 所以． 考查有理数的除法，理解a÷b与b÷a的结果互为倒数关系 13．解：（1）∵ab＜0，b＞0，∴a＜0， ∵|a|＜|b|，∴a+b＞0， （2）∵abc＜0，ab＞0，∴c＜0， （3）当a、b、c均为正数时，1+1+1＝3； 当a、b、c均为负数时，1﹣1﹣1＝﹣3； 当a、b、c中有两个正数一负数时，不妨设a＞0，b＞0，c＜0，1+1﹣1＝1； 当a、b、c中有一个正数两个负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，1﹣1﹣1＝﹣1， 综上，的值为±3或±1， （4）∵a与b都是整数，且|a|+|b|＝1， 分情况讨论： ①a＝1，b＝0，此时a+b＝1；②a＝0，b＝1，此时a+b＝1； ③a＝﹣1，b＝0，此时a+b＝﹣1；④a＝0，b＝﹣1，此时a+b＝﹣1， ∴a+b的值为±1． 考查有理数的乘法，有理数的加法，绝对值的性质，注意分情况讨论 23 学科网（北京）股份有限公司 $