精品解析：安徽安庆市怀宁县2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

高一数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教版必修第一册，必修第二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集是小于8的自然数，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为是小于8的自然数，所以， 因为，所以， 所以． 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 所以，所以的虚部为． 3. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 13 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，解得， 即，所以， 所以. 4. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】斜二测画法画出的直观图中，已知中，，， 则， 还原直观图，则， ． 5. 在中，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，如图，故点在线段上，且， . 6. 已知是两条不同直线，是两个不同平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】C 【解析】 【详解】A选项：若，则可能平行，可能相交，也可能为异面直线，A选项错误； B选项：若，则，B选项错误； C选项：若，是两个不同平面，所以，C选项正确； D选项：若且，则可能平行，可能垂直，也可能相交但不垂直，D选项错误. 7. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，将原函数化为二次函数，问题转化为 在正半轴上有两个不同实根，利用二次函数根的分布，由判别式、韦达定理建立不等式组求解即可． 【详解】设，则原函数化为， 令 ，则  有两个零点等价于方程  在  上有两个不同的实数解， 二次函数  开口向上，对称轴为 ，要使其在  上有两个零点，需满足，解得， 因此实数  的取值范围为 . 8. 如图，某数学实践小组为测量电视塔高度（垂直于地面），在水平地面上选两点，在､两点处测得电视塔的仰角分别为；在水平地面上测得，且的距离是米，则电视塔的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 20米 【答案】B 【解析】 【分析】设电视塔高度 ，利用直角三角形的边角关系将用表示，再在中利用余弦定理列方程求解． 【详解】设电视塔高度为，在中，，所以， 在中，，所以， 在中，，， 由余弦定理 代入，，， 可得， 化简得，解得. 因此电视塔的高度为米. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组数据为，则这组数据的（ ） A. 极差为6 B. 中位数为12 C. 分位数为12 D. 方差为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，再根据极差、中位数、百分位数、平均数及方差的定义分别计算对应值，判断各选项正误． 【详解】将数据按升序排列得：，共个数据， 对于选项A：极差为最大值与最小值的差，即，故A正确； 对于选项B：中位数为第4、第5个数据的平均值，即，故B错误； 对于选项C：计算，非整数时向上取整，第分位数为第6个数据，故C正确； 对于选项D：平均数， 方差，故D正确． 10. 在当今科技迅速发展的时代，人工智能（AI）已经成为科技创新的核心驱动力.当前AI正处于从生成式向智能体跃进的关键阶段，同时也面临着算力､数据､安全与可解释性等核心难题.某公司成立了甲､乙､丙三个科研攻关小组，决定对其中某个技术难题进行攻关，攻克该技术难题的小组都会受到奖励.已知甲､乙､丙三个小组各自独立进行攻关，且攻克该技术难题的概率分别为，则（ ） A. 若甲､乙两个小组各自独立攻克该技术难题为事件，则 B. 该技术难题被攻克的概率为 C. 只有一个小组受到奖励的概率等于 D. 甲､乙､丙三个小组均受到奖励的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式及对立事件概率公式，逐一计算各选项对应概率判断正误即可． 【详解】设事件分别表示甲、乙、丙小组攻克技术难题，由题意得，且相互独立， 对于选项A：根据和事件概率公式， 因相互独立，所以， 所以，所以A错误； 对于选项B：技术难题被攻克的概率等于三个小组至少有一个攻克，即其对立事件为三个小组都未攻克， 故所求概率为，所以B正确； 对于选项C：只有一个小组受奖励包含三种互斥情况：仅甲攻克、仅乙攻克、仅丙攻克， 其概率为， 所以C正确； 对于选项D：三个小组均受奖励即三个小组都攻克，概率为，所以D正确． 11. 棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，则（ ） A. 四点共面 B. 过点的平面截该正方体所得的截面面积为 C. 点到平面的距离为 D. 线段上存在点使得二面角的正切值为 【答案】AC 【解析】 【分析】由中位线得到线平行从而证明四点共面，判断A选项；得到截面图形，由等腰梯形的面积求得截面面积，判断B选项；由等体积转换法求得点到面的距离，判断C选项；由二面角的定义求得二面角的平面角，由图求得角的正切值的最大值，判断D选项. 【详解】连接， 在正方体中， 又因为分别是棱的中点，所以， 所以，所以四点共面，A选项正确； 所以过点的平面截该正方体所得的截面为四边形， 四边形为等腰梯形，， 所以梯形的高为， 梯形的面积，B选项错误； 设点到平面的距离为，，所以， 所以，C选项正确； 在正方体中，平面于点，连接， 因为平面，所以， 所以二面角的平面角为， 由图可知当与重合时，取最大值， 此时，故，D选项错误. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为.我们通过设计模拟实验的方法求概率.由计算机产生的随机数，当出现随机数2，4时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】统计20组随机数中恰好包含2个代表下雨的数字（2、4）的组数，用频率近似估计概率． 【详解】由题意可知，随机数中，2、4表示下雨，每组三位随机数对应三天的天气情况，只需统计每组中数字2、4的总个数恰好为2的组数即可， 逐一筛查20组随机数，符合条件的随机数为：344、124、524、342、432、245，共6组， 由频率估计概率，可得三天中恰有两天下雨的概率近似为． 13. 已知圆台的上､下底面半径分别为，高为，体积为.球的表面积为，半径为，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】先由圆台体积公式求出高 ，再由球表面积公式 求出球半径，最后计算比值． 【详解】圆台上底面半径，下底面半径，高为， 圆台体积为， 代入，，所以 由题意，得， 球的表面积为，由，得. 因此. 14. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.如图是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正六边形，正六边形的边长为是正六边形内部以及边界上任意一点，则的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】建立以为原点，所在直线为轴的平面直角坐标系，将向量数量积转化为坐标运算，结合正六边形的几何性质确定动点横坐标的范围即可求解． 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为正六边形的边长为2，所以，，则 ， 设，则，所以， 由正六边形的性质可知，，所以点的横坐标为，点的横坐标为 ， 因为是正六边形的内部以及边界上任意一点，观察图形可知，点的横坐标的最小值为点的横坐标，最大值为点的横坐标， 所以，即， 所以 的取值范围为． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求函数的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标条件建立等式，转化为三角函数方程，结合给定角度范围确定角的大小； （2）先计算向量数量积，通过三角恒等变换将函数化为正弦型函数，再根据自变量的范围分析函数的最小值． 【小问1详解】 若，则有， 由于，，所以，所以. 【小问2详解】 ， 因为，所以， 根据正弦函数的性质，当即时，取得最小值， 此时. 16. 在锐角中，内角所对的边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）将等式左边用平方差公式展开，化简后与余弦定理的标准形式对照，可得  的值，从而求出  的大小； （2）由内角和求出角，利用正弦定理求出边，再代入面积公式即可求得三角形面积． 【小问1详解】 由已知， 整理得， 由余弦定理， 所以，因为，所以，又为锐角，所以. 【小问2详解】 因为，，由(1)知，则， 由正弦定理得， 所以． （） 17. 第六届亚洲沙滩运动会（简称“三亚亚沙会”）于2026年4月22日至30日在海南三亚举办，是亚洲档次最高､影响力最大的沙滩体育盛会.为做好2026年第六届亚洲沙滩运动会的志愿服务保障工作，组委会定期对报名者进行综合能力测评.现从某高校的报名者中随机抽取100人进行综合评分（满分100分），将每个学生所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的人为“优秀志愿者候选人”. （1）求的值，并估计学生所得的综合评分的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） （2）按分层抽样的方法，先在该高校中随机抽取5名志愿者候选人，再从这5人中随机抽取2人记录详细数据.求这2人中至少有一个“优秀志愿者候选人”的概率. 【答案】（1），平均数为； （2）. 【解析】 【分析】（1）用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为求出的值，再利用每组区间的中点值乘以对应的频率求和得到平均数； （2）根据分层抽样的比例确定抽取的人中“优秀志愿者候选人”与“非优秀志愿者候选人”的人数，利用古典概型概率公式或对立事件概率公式求解． 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，组距为，因为所有小矩形的面积之和为， 所以，解得． 估计学生所得的综合评分的平均数为： ． 所以的值为，平均数为81． 【小问2详解】 由题意可知，“优秀志愿者候选人”的综合评分成绩在之间， 其频率为， 非优秀志愿者候选人的频率为， 按分层抽样抽取人，优秀志愿者候选人抽取人，记为， 非优秀志愿者候选人抽取人，记为， 从这5人中随机抽取2人，所有可能结果共10种， 其中至少有1人是优秀志愿者候选人的结果有9种，故所求概率为． 18. 已知函数. （1）求函数的定义域，并判断其奇偶性； （2）若，求实数的取值范围； （3）已知函数在区间上单调递减.证明：恒成立. 【答案】（1）函数的定义域为，函数为奇函数. （2） （3）， ， 又因为函数在区间上单调递减， 所以当时， ，，所以， 所以恒成立. 【解析】 【分析】（1）由定义域的定义列不等式即可求得定义域，由奇偶函数的定义判断函数的奇偶性； （2）由函数解析式判断函数的单调性，结合（1）中的奇偶性和定义域，列出不等式即可求得的取值范围； （3）由对数的运算化简，然后通过构造，结合函数的单调性，即可证明结论. 【小问1详解】 由，得，所以， 所以函数的定义域为， 又， 所以函数为奇函数. 【小问2详解】 由（1）可知，，则， 因为，函数在上单调递减， 所以， 解得，即. 【小问3详解】 略 19. 如图所示，四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，且平面平面，，分别为的中点. （1）求证：平面平面； （2）若点在棱上，，点在棱上，，证明：平面； （3）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）在等边中，为中点，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 则平面，又因为平面，所以， 在正方形中，，又因为分别为的中点， 所以，所以，且平面，平面，， 所以平面，平面， 所以平面平面. （2）连接 ，设其与  交于点 ， 显然，平面，且 平面， 又因为平面，且 平面，所以平面平面， 设平面， 因为平面，且平面，所以， 因此三点共线， 在中，直线分别交 的延长线于 ， 已知：， 设， 则， 因为三点共线，所以，则， 即， 因为，所以， 所以，所以. 因为平面且平面， 所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，然后由线线垂直得到线面垂直，从而证明面面垂直； （2）作平面,由梅涅劳斯定理求得，然后证明，即可得证； （3）取中点，由中位线得到异面直线与所成角，结合（1）的结论利用勾股定理求出的边长，利用余弦定理求得夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 取中点，连接， 因为分别为中点，所以且， 所以异面直线与的所成角或其补角， 在等边中， 由（1）可知，在中， 所以，， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教版必修第一册，必修第二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集是小于8的自然数，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 13 4. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 在中，已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是两条不同直线，是两个不同平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 7. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某数学实践小组为测量电视塔高度（垂直于地面），在水平地面上选两点，在､两点处测得电视塔的仰角分别为；在水平地面上测得，且的距离是米，则电视塔的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 20米 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组数据为，则这组数据的（ ） A. 极差为6 B. 中位数为12 C. 分位数为12 D. 方差为 10. 在当今科技迅速发展的时代，人工智能（AI）已经成为科技创新的核心驱动力.当前AI正处于从生成式向智能体跃进的关键阶段，同时也面临着算力､数据､安全与可解释性等核心难题.某公司成立了甲､乙､丙三个科研攻关小组，决定对其中某个技术难题进行攻关，攻克该技术难题的小组都会受到奖励.已知甲､乙､丙三个小组各自独立进行攻关，且攻克该技术难题的概率分别为，则（ ） A. 若甲､乙两个小组各自独立攻克该技术难题为事件，则 B. 该技术难题被攻克的概率为 C. 只有一个小组受到奖励的概率等于 D. 甲､乙､丙三个小组均受到奖励的概率为 11. 棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，则（ ） A. 四点共面 B. 过点的平面截该正方体所得的截面面积为 C. 点到平面的距离为 D. 线段上存在点使得二面角的正切值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为.我们通过设计模拟实验的方法求概率.由计算机产生的随机数，当出现随机数2，4时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为_________. 13. 已知圆台的上､下底面半径分别为，高为，体积为.球的表面积为，半径为，则_________. 14. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.如图是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正六边形，正六边形的边长为是正六边形内部以及边界上任意一点，则的取值范围为_________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求函数的最小值. 16. 在锐角中，内角所对的边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 17. 第六届亚洲沙滩运动会（简称“三亚亚沙会”）于2026年4月22日至30日在海南三亚举办，是亚洲档次最高､影响力最大的沙滩体育盛会.为做好2026年第六届亚洲沙滩运动会的志愿服务保障工作，组委会定期对报名者进行综合能力测评.现从某高校的报名者中随机抽取100人进行综合评分（满分100分），将每个学生所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的人为“优秀志愿者候选人”. （1）求的值，并估计学生所得的综合评分的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） （2）按分层抽样的方法，先在该高校中随机抽取5名志愿者候选人，再从这5人中随机抽取2人记录详细数据.求这2人中至少有一个“优秀志愿者候选人”的概率. 18. 已知函数. （1）求函数的定义域，并判断其奇偶性； （2）若，求实数的取值范围； （3）已知函数在区间上单调递减.证明：恒成立. 19. 如图所示，四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，且平面平面，，分别为的中点. （1）求证：平面平面； （2）若点在棱上，，点在棱上，，证明：平面； （3）求异面直线与所成角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $