精品解析：安徽省安庆市怀宁县新安中学2023-2024学年高一下学期期末质检考试数学试题

2023--2024高一第二学期期末质检考试卷 试题范围： 高中数学必修一、二 册 （侧重第二册） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3∶2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为（ ） A. 600 B. 800 C. 1000 D. 1200 2. 已知一组数据8，4，7，6，5，3，9，10，则这组数据的25%分位数是（ ） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 3. 若，则（ ） A B. 1 C. D. 2 4. 掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，则（ ） A. 与对立 B. 与不互斥 C. 与相互独立 D. 与相互独立 5. 设的内角对边分别为，若，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 或 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥的底面是正三角形，，点在侧面内的射影是的垂心，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9 已知复数，则（ ） A. 虚部为 B. C. 在复平面内对应的点在第四象限 D. 是关于的方程的一个根 10. 下列四个命题正确的是（ ） A. 若，则的最大值为3 B. 若复数满足，则 C. 若，则点的轨迹经过的重心 D. 在中，所在平面内一点，且，则 11. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ） A. 该正八面体结构的表面积为 B. 该正八面体结构的体积为 C. 该正八面体结构的外接球表面积为 D. 该正八面体结构的内切球表面积为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知，，且，则__________． 13. 一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为______． 14. 三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，，，则三棱锥的外接球体积为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）在中，角，，所对的边分别是，，，若，，，求边. 16. 已知在中，点在线段上，且，延长到使．设，． （1）用、表示向量、； （2）若向量，，、夹角为，求的值． 17. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB中点． (1)求证：BC1∥平面A1CD； (2)若四边形CB B1C1是正方形，且求多面体的体积. 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件；，． （I）求角A的值； （Ⅱ）求的范围． 19. 如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，且AC为斜边，为等边三角形．若，为的中点，为线段上的动点． （1）证明：⊥面； （2）求二面角的正切值； （3）当的面积最小时，求与底面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023--2024高一第二学期期末质检考试卷 试题范围： 高中数学必修一、二 册 （侧重第二册） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3∶2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为（ ） A. 600 B. 800 C. 1000 D. 1200 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为和，则，继而算出抽到的各年级人数，再根据分层抽样的原理可以推得该校高二年级的人数． 【详解】根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为和，则 ， 即， 所以高一年级和高二年级抽到的人数分别是12人和8人， 则该校高二年级学生人数为人． 故选：． 【点睛】本题考查分层抽样的方法，属于容易题． 2. 已知一组数据8，4，7，6，5，3，9，10，则这组数据的25%分位数是（ ） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合百分位数定义可解． 【详解】数据从小到大排序：3，4，5，6，7，8，9，10，共8个， 则，则这组数据的25%分位数是：． 故选：C. 3. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则进行运算，继而直接求模即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B． 4. 掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，则（ ） A. 与对立 B. 与不互斥 C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件的对立与互斥的概念判断AB；利用是否成立来判断CD. 【详解】对于A，事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，与互斥但不对立，因为红骰子的点数还有其他情况，比如，A错误； 对于B，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，与不可能同时发生，故与互斥，B错误； 对于C，两个骰子的点数之和为的情况有， 则， 所以，所以与相互独立，C正确； 对于D，两个骰子的点数之和为的情况有， ，所以，D错误. 故选：C. 5. 设的内角对边分别为，若，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求出，再由大边对大角确定角的范围求解即可. 【详解】由正弦定理得，即， 解得， 因为，所以, 所以. 故选：A 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于，然后利用余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】因为， 所以 ， 故选：D 7. 已知三棱锥的底面是正三角形，，点在侧面内的射影是的垂心，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点，连接，连接并延长交于点，连接，推导出为正的中心，可得出，说明当、、两两垂直时，三棱锥的体积取得最大值，然后将三棱锥补成正方体，可求出三棱锥的外接球直径，即可求得外接球的表面积. 【详解】如下图所示，延长交于点，连接， 为的垂心，则， 平面，平面，， ，平面， 平面，， 连接并延长交于点，连接， 平面，平面，， ，，平面， 平面，， 设点在平面内的射影为点，延长交于点，连接， 平面，平面，， ，平面， 、平面，则，， ，为正的中心，且为的中点， 平面，、、平面， ，，，且， 所以，，， 当时，的面积取最大值， 当平面时，三棱锥的体积取得最大值， 将三棱锥补成正方体， 所以，三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线长， 设三棱锥的外接球直径为，则， 因此，三棱锥的外接球的表面积为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 8. 在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量加减的几何意义可得，结合已知有，根据三点共线知，应用基本不等式“1”的代换即可求最值，注意等号成立的条件. 【详解】由题设，如下图示：，又，， ∴，由三点共线，有， ∴，当且仅当时等号成立. 故选：A 【点睛】关键点点睛：利用向量线性运算的几何表示，得到、、的线性关系，根据三点共线有，再结合基本不等式求最值. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. C. 在复平面内对应的点在第四象限 D. 是关于的方程的一个根 【答案】BD 【解析】 【分析】化简复数，根据复数的概念判断A，求出，根据复数的几何意义判断C，根据复数代数形式的加法运算及复数的模判断B，求出方程的解，即可判断D. 【详解】因为，所以虚部为，故A错误； ，则在复平面内对应的点为，位于第一象限，故C错误； 因为，，所以，故B正确； 由，即，所以， 所以，即，，故D正确； 故选：BD 10. 下列四个命题正确的是（ ） A. 若，则的最大值为3 B. 若复数满足，则 C. 若，则点的轨迹经过的重心 D. 在中，为所在平面内一点，且，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】A根据复数模的几何意义及圆的性质判断；B利用复数的运算和模的运算求解即可；C结合重心的性质进行判断；D利用平面向量基本定理，判断出D点位置，进而可求. 【详解】对A，由的几何意义，知复数对应的动点到定点的距离为1，即动点的轨迹以为圆心，1为半径的圆，表示动点点的轨迹以的距离，由圆的性质知： ，A正确； 对B，设，因为， 所以，， 所以，所以，B正确； 对C，由正弦定理的，即， ，设中点为， 如图： 则，则，由平面向量的共线定理得三点共线，即点在边的中线上，故点的轨迹经过的重心,C正确； 对D，如图由已知点在中与平行的中位线上，且靠近的三等分点处，故有，所以，D错误. 故选：ABC 11. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ） A. 该正八面体结构的表面积为 B. 该正八面体结构的体积为 C. 该正八面体结构的外接球表面积为 D. 该正八面体结构的内切球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项. 【详解】 对A：由题知，各侧面均为边长为的正三角形， 故该正八面体结构的表面积，故A正确； 对B：连接，则，底面， 故该正八面体结构的体积，故B错误； 对C：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径， 故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确； 对D：该正八面体结构的内切球半径， 故内切球的表面积，故D正确； 故选：ACD． 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知，，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示可求得；代入两角和差正切公式即可求得结果. 【详解】 本题正确结果： 【点睛】本题考查两角和差正切公式的应用，涉及到向量平行的坐标表示，属于基础题. 13. 一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】分第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”，或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄一白”，三种情况计算即可，分别计算可得结论. 【详解】“两次得分和为0分”可能的情况有第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”， 或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄一白”， 第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”， 记黄球为，2个白球为、1个红球为， 利用枚举法可知从中一次取2个小球， 共有10种取法，而颜色相同的取法有两种， 故第一次取2个小球颜色相同的概率为，第二次取2个小球中有红球的概率为， 所以第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”的概率为． 第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”， 第一次取2个小球中有红球的概率为，第二次2个小球颜色相同的概率为， 所以第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”的概率为． 两次均为“2个小球颜色一黄一白”， 第一次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为， 第二次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为， 所以两次均为“2个小球颜色一黄一白”的概率为． 所以两次先后取2个小球，得分为零分的概率为. 故答案为：. 14. 三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，，，则三棱锥的外接球体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】先由题中条件，作出示意图，在中，用余弦定理求得，用勾股定理证得为直角三角形，再由平面平面，为等边三角形，证得平面，得到三棱锥的外接球的球心必在直线上，再由，求得外接球半径，得到外接球体积. 【详解】解析：作出图形如图所示， 在中，由余弦定理，， 解得，或（，舍）， 又由，，则，故为直角三角形， 设的中点为，因为为等边三角形，故，又平面平面， 故平面， 又为直角三角形，点为斜边的中点， 则球心必在直线上，易知， 故在之间，设，则， 即，解得，故所求球半径，球的体积为. 故答案为： . 【点睛】本题考查了面面垂直的性质，三棱锥的外接球半径的求法，属于中档题. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）在中，角，，所对边分别是，，，若，，，求边. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及降幂公式,结合辅助角公式化简,即可由周期公式求得最小值正周期. （2）根据正弦函数的图像与性质,由可求得角.再结合余弦定理,即可求得的值. 【详解】（1）由 由周期公式可得 所以的最小正周期为 （2）由,则 则,解得 由余弦定理,代入可得 解得(负值舍去) 【点睛】本题考查了三角函数式的化简,正弦函数的图像与性质的综合应用,余弦定理解三角形的应用,属于基础题. 16. 已知在中，点在线段上，且，延长到使．设，． （1）用、表示向量、； （2）若向量，，、夹角为，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解， （2）根据数量积的运算律以及模长公式，即可利用夹角公式求解. 【小问1详解】 因为，结合图形可知A为BC的中点，所以 ， 因为，则， 所以． 【小问2详解】 由题意知， 由（1）知，，， 所以， ，， 所以． 17. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB中点． (1)求证：BC1∥平面A1CD； (2)若四边形CB B1C1是正方形，且求多面体的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】 【分析】（1）连结，与相交于点，连接，则为中点.利用三角形中位线的性质得到：，即证：平面. （2）将多面体的体积进行转化得到：，分别计算各自体积即可. 【详解】（1)证明：连结，设与相交于点，连接，则为中点. ∵为的中点，∴. ∵平面，平面， ∴平面. （2），. 又，，， 又，平面. ∴所求多面体的体积. . 即所求多面体的体积为. 【点睛】本题第一问主要考查利用中位线法证明线面平行，第二问求不规则多面体的体积，需转化为三棱柱的体积减去两个三棱锥的体积，考查了转化的思想，属于难题. 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件；，． （I）求角A值； （Ⅱ）求的范围． 【答案】（I）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（I）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理可得解； （Ⅱ）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角函数恒等变换公式化简，再利用正弦函数的性质求值域即可得解. 【详解】（I）由， 利用正弦定理可得，即 故， 又， （Ⅱ），，利用正弦定理 故， 在中，，故 ，， 所以的范围是 【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，求最值可以将“边化角”利用三角函数思想求值域，考查学生的转化能力与运算 能力，属于较难题. 19. 如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，且AC为斜边，为等边三角形．若，为的中点，为线段上的动点． （1）证明：⊥面； （2）求二面角的正切值； （3）当的面积最小时，求与底面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解答 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，，可证面； （2）由题意可证，进而可证平面，过点作于， 为二面角的平面角，求解即可； （3）当最小时，的面积最小，此时，进而可证平面平面，（或其补角）是CF与底面ABD所成的角，求解即可. 【小问1详解】 因为E为AC的中点，为等腰直角三角形，所以， 又为等边三角形，所以， 又，平面，所以面； 【小问2详解】 为等腰直角三角形，且AC为斜边，，可得， 为等边三角形．若，所以， 所以，所以， 又，，平面，所以平面， 所以平面，， 过点作于，因为，平面， 所以平面，平面，从而可得， 所以为二面角的平面角， 又，所以，所以， 所以， 所以二面角的正切值为； 【小问3详解】 因为AC⊥平面，平面，所以， 所以当最小时，的面积最小，此时， 由面，面，可得，又，， 所以平面，又平面，所以平面平面， 所以（或其补角）是CF与底面ABD所成的角， 由（2）可知，且，所以， 由勾股定理可求得， 中，由余弦定理可得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$