专题1.3集合的运算重难点题型讲义（3个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版必修第一册）

专题1.3集合的运算重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 交集的概念及运算 题型二 根据交集结果求集合或参数 题型三 根据交集结果求集合元素个数 题型四 并集的概念及运算 题型五 根据并集结果求集合或参数 题型六 根据并集结果求集合元素个数 题型七 补集的概念及运算 题型八 根据补集运算确定集合或参数 题型九 交并补混合运算 题型十 根据交并补混合运算确定集合或参数 拓展训练一 集合交、并、补集的综合运算 拓展训练二 集合及参数的求解问题 知识点一：交集及其性质 交集：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即 ①；②，；③； ④；⑤若，则； 可以用文氏图直观地反映 A ∩ B的几种不同情况 （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时阴影部分A∩B既是A的真子集又是B的真子集 ； （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∩B＝A ； （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 ，此时A∩B＝∅． 【即时训练】 1．（24-25高一下·贵州黔南·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，，则 . 知识点二：并集及其性质 并集：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即 ；②，；③； ④；⑤若，则； 可以用文氏图直观地反映 A∪B的几种不同情况 ， 如图其中阴影部分表示A∪B． （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时A和B都是A∪B的真子集 （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∪B＝B （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 【即时训练】 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2 ．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）集合，或， ． 知识点三：全集、补集及其性质 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2．补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 符号语言 ＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 U A 【即时训练】 1．（24-25高二下·吉林长春·期末）设全集，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海·期末）已知全集，集合，则 ． 【经典例题一 交集的概念及运算】 【例1】（24-25高二下·云南曲靖·期末）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·山东潍坊·阶段练习）已知集合， (1)求； (2)若定义集合，求中元素的个数. 1．（24-25高二下·内蒙古·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）设集合，，则 ． 4．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列每对集合的交集： (1)，； (2)，； (3)，； (4)， 【经典例题二 根据交集结果求集合或参数】 【例1】（2025高一上·全国·专题练习）已知集合，，且满足，则实数的取值范围为（   ）. A．或 B． C．或 D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）设，集合,． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 1．（24-25高三下·山西大同·期末）已知集合，，若，则实数a的取值是（   ） A．或 B．2或 C．2或或0 D．或或0 2．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知集合，，若，则实数（   ） A． B．1 C．2 D．4 3．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的值是 . 4．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 【经典例题三 根据交集结果求集合元素个数】 【例1】（2025·湖南邵阳·三模）若集合，，则的元素的个数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一上·河南·期中）已知集合，，． (1)若，求中元素的个数； (2)若，求a的取值范围． 1．（23-24高三上·河南·期末）已知集合，，则的真子集个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 2．（2023·宁夏银川·三模）设集合，，则中元素的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 3．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则的元素个数是 . 4．（23-24高三上·吉林四平·阶段练习）设集合． （1）证明：若，则： （2）已知集合，若的子集共有个，求的取值范围． 【经典例题四 并集的概念及运算】 【例1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 1．（2025高三·全国·专题练习）已知集合,则（   ） A．或 B． C． D． 2．（24-25高一下·云南楚雄·期末）已知集合，则的整数元素的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2025·山东泰安·模拟预测）已知集合，，则 . 4．（24-25高一上·山西晋城·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围. 【经典例题五 根据并集结果求集合或参数】 【例1】（24-25高二下·重庆·期末）已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知集合，且，若，. (1)求集合A、B； (2)求p，q，r. 1．（24-25高二下·湖南郴州·期中）已知集合，，则B可能为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知集合，集合满足，则的所有可能取值的集合为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·北京西城·阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 4．（24-25高一上·广西北海·期中）已知集合，. (1)若，求，. (2)是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【经典例题六 根据并集结果求集合元素个数】 【例1】（2023·宁夏银川·三模）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一上·全国·课后作业）某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，两次一共进了几种货？ 1．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）满足条件永安，漳平德化，漳平，永安的集合的个数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（23-24高三上·山西·阶段练习）满足的所有集合的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）若集合，，，则集合中的元素个数是 . 4．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知三个集合：，，. （1）求； （2）已知，，求实数的取值范围. 【经典例题七 补集的概念及运算】 【例1】（24-25高一下·四川德阳·期末）已知全集，集合，则（   ） A．或 B．或 C． D． 【例2】（22-23高一上·福建漳州·阶段练习）已知集合，，求： (1)； (2)； (3)． 1．（24-25高二下·江苏淮安·期末）设全集，集合，则中元素个数为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·上海黄浦·三模）已知全集，集合，则 ． 4．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知全集为，集合. (1)求； (2)求. 【经典例题八 根据补集运算确定集合或参数】 【例1】（24-25高一上·海南海口·阶段练习）已知集合，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值 1．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，若，则（    ） A．2 B． C． D．1 2．（2023·河南驻马店·一模）已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）设全集，则集合 ． 4．（23-24高一上·上海·阶段练习）若全集，，，求实数的值. 【经典例题九 交并补混合运算】 【例1】（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，求． 1．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东·模拟预测）已知全集，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，或，则 . 4．（2025高二·全国·专题练习）全集 ，集合.求：. 【经典例题十 根据交并补混合运算确定集合或参数】 【例1】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）已知全集，集合，． (1)求； (2)若集合，，求． 1.（24-25高三上·辽宁·阶段练习）设全集，集合，，则集合中的元素个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25高一上·重庆·期中）已知全集是的两个子集，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习），，，，则 . 4．（23-24高一上·新疆昌吉·阶段练习）已知集合，集合，全集为. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【拓展训练一 集合交、并、补集的综合运算】 【例1】（24-25高一下·江西南昌·期末）已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二下·广东梅州·期末）对于集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分为两个集合B和C，满足，，且B的所有元素之和与C的所有元素之和相等，则称集合A为“可分集合”．分别判断下列集合是否为“可分集合”，并说明理由： (1)； (2)． 1．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）设集合，其中为自然数集，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·模拟预测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·北京·期中）设是非空数集，若对任意，都有、，则称具有性质，给出以下命题： ①若具有性质，则可以是有限集； ②若具有性质，且，则具有性质； ③若、具有性质，且，则具有性质； ④若、具有性质，则具有性质. 其中所有真命题的序号是 . 4．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合，. (1)若时，存在集合，使，求出所有的集合； (2)集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【拓展训练二 集合及参数的求解问题】 【例1】（2025·山西·模拟预测）已知集合，．若，则的最大值是（    ） A．2 B．-1 C．0 D．1 【例2】（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知集合，，且. (1)若，求实数组成的集合； (2)若，求，的值. 1．（2025·新疆·三模）已知全集，，则集合（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）已知，均为集合的子集， ，，，则（     ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海徐汇·期中）设全集{为小于20的非负奇数}，若，，且，则 . 4．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 1．（广西部分学校2025-2026学年高三上学期开学考数学试题）已知集合，，则的元素个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合 .若 则实数的取值范围为（ ） A． B． C．或 D． 3．（24-25高三上·四川南充·阶段练习）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025高一上·全国·专题练习）已知集合，，则集合的真子集个数为（ ） A．64 B．63 C．6 D．65 5．（23-24高二下·山西长治·期末）已知集合，，则集合中必有的元素是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 6．（多选题）（（24-25高一上·全国·周测）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（多选题）（（2025高三·全国·专题练习）若集合，，且，则的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 8．（多选题）（（24-25高一下·四川广元·阶段练习）设集合，则下列选项中，满足的实数a的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 9．（多选题）（（24-25高一上·内蒙古兴安盟·阶段练习）设全集，，其中，则可以是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（（2025高三·全国·专题练习）已知，，若，则实数可能取的值为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·上海金山·期末）集合，，若，则 . 12．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，，则中元素的个数为 ． 13．（2025高三·全国·专题练习）已知，这样的集合有 个． 14．（2023高一·全国·专题练习）设全集，集合，．则实数的值为 ． 15．（23-24高一上·山东青岛·期中）设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为 ； 16．（25-26高一上·全国·单元测试）设全集，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 17．（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知集合，，，. (1)求p，a，b的值； (2)若，且，求m的值. 18．（24-25高一上·安徽六安·阶段练习）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 19．（2025高一·全国·专题练习）已知集合或，，回答下列问题. (1)若，试求，； (2)若，求实数的取值范围； 20．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，集合． (1)若，求 (2)若，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3集合的运算重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 交集的概念及运算 题型二 根据交集结果求集合或参数 题型三 根据交集结果求集合元素个数 题型四 并集的概念及运算 题型五 根据并集结果求集合或参数 题型六 根据并集结果求集合元素个数 题型七 补集的概念及运算 题型八 根据补集运算确定集合或参数 题型九 交并补混合运算 题型十 根据交并补混合运算确定集合或参数 拓展训练一 集合交、并、补集的综合运算 拓展训练二 集合及参数的求解问题 知识点一：交集及其性质 交集：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即 ①；②，；③； ④；⑤若，则； 可以用文氏图直观地反映 A ∩ B的几种不同情况 （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时阴影部分A∩B既是A的真子集又是B的真子集 ； （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∩B＝A ； （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 ，此时A∩B＝∅． 【即时训练】 1．（24-25高一下·贵州黔南·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的交集运算求解. 【详解】． 故选：D. 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，，则 . 【答案】 【分析】根据集合交集运算的定义即可求解. 【详解】因为，， 所以， 故答案为：. 知识点二：并集及其性质 并集：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即 ；②，；③； ④；⑤若，则； 可以用文氏图直观地反映 A∪B的几种不同情况 ， 如图其中阴影部分表示A∪B． （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时A和B都是A∪B的真子集 （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∪B＝B （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 【即时训练】 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由并集的概念即可得解. 【详解】已知集合，，则. 故选：D. 2 ．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）集合，或， ． 【答案】或 【分析】根据并集的运算直接求解即可. 【详解】由题意：或. 故答案为：或 知识点三：全集、补集及其性质 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2．补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 符号语言 ＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 U A 【即时训练】 1．（24-25高二下·吉林长春·期末）设全集，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由集合的补运算求集合即可. 【详解】由，则. 故选：A 2．（24-25高二下·上海·期末）已知全集，集合，则 ． 【答案】; 【分析】根据补集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以， 故答案为：. 【经典例题一 交集的概念及运算】 【例1】（24-25高二下·云南曲靖·期末）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式可化简集合B，然后由交集定义可得答案. 【详解】因为集合，，且， 所以． 故选：C． 【例2】（24-25高一上·山东潍坊·阶段练习）已知集合， (1)求； (2)若定义集合，求中元素的个数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列举法表示出，然后根据交集的概念求解出； （2）先分析和的可能取值，然后分析取值时对应的取值个数，由此可确定出中元素的个数. 【详解】（1）由题意可知，， ， 所以. （2）由，，可得，共种结果， 由，，可得，共种结果， 当或时，此时或， 所以可以为中的一个值，共可以构成个不同的元素； 当时，对于中的任意一个值， 都可以选择，此时取与对应的值，可取中的一个值， 所以可以为中的一个值，共可以构成个不同元素， 1．（24-25高二下·内蒙古·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合集合中元素的性质利用集合交集运算直接求解即可. 【详解】因为集合表示奇数组成的集合， 又，所以. 故选：B 2．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得，再根据交集的定义求解即可. 【详解】解：因为，， 所以． 故选：B． 3．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）设集合，，则 ． 【答案】 【分析】将两集合的交集问题转化为两直线的交点问题求解即可. 【详解】依题意，集合和集合都是点集，其中，集合表示在直线上的点，集合表示在直线上的点，因此集合和集合的交集元素为直线和直线的交点坐标. 联立，解得，得. 故答案为：. 4．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列每对集合的交集： (1)，； (2)，； (3)，； (4)， 【答案】(1)； (2)； (3); (4) 【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解作答. 【详解】（1）因为A和B的公共元素只有，所以. （2）因为C和D没有公共元素，所以． （3）在数轴上表示出区间E和F，如图， 由图得. （4）联立，解得， 所以. 【经典例题二 根据交集结果求集合或参数】 【例1】（2025高一上·全国·专题练习）已知集合，，且满足，则实数的取值范围为（   ）. A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】先由得到，再分类讨论，利用根与系数的关系进行求解. 【详解】，， 当时，，即； 当时，利用韦达定理得到，解得； 当时，利用韦达定理得到，无解； 当时， 根据韦达定理得到 ，解得 ； 综上，实数a的取值范围是. 故选：A. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）设，集合,． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）转化成求与的交点问题，联立求解. （2）转化为与没有交点，联立，判别式，即可得到答案. 【详解】（1）由，得，解得， 所以. （2）由,得， 由已知方程的判别式， 从所以． 故实数的取值范围为． 1．（24-25高三下·山西大同·期末）已知集合，，若，则实数a的取值是（   ） A．或 B．2或 C．2或或0 D．或或0 【答案】D 【分析】由题设可得，根据交集的结果及集合的描述求参数值，即可得. 【详解】解方程，得或，所以， 又，所以集合B是集合A的子集． 集合A的子集有，，，，显然集合最多有一个元素， 所以a的可能取值有、、0． 故选：D 2．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知集合，，若，则实数（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】由交集结果可知，由此可根据求得或；分别验证的每个取值对应的交集结果，由此可得的值. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以，解得或， 当时，，，不合题意； 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 综上所述：. 故选：C. 3．（2025三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的值是 . 【答案】0或1或 【分析】由题可知，则或即可求解. 【详解】由题易得，，， 或，或. 故答案为：0或1或. 4．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）先计算，再计算； （2）由得，再分类讨论. 【详解】（1）当时，，则或， 则或. （2）若，则, 当时，，即； 当时，，得， 则实数m的取值范围为. 【经典例题三 根据交集结果求集合元素个数】 【例1】（2025·湖南邵阳·三模）若集合，，则的元素的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用交集的定义可求得结果. 【详解】因为集合，， 所以， 因此，的元素的个数是. 故选：C. 【例2】（23-24高一上·河南·期中）已知集合，，． (1)若，求中元素的个数； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）化简集合直接根据交集运算即可； （2）化简集合C，根据交集为空集列出不等式求解. 【详解】（1）当时，， 所以， 故中元素的个数为. （2）由， 可得，解得， 故a的取值范围为. 1．（23-24高三上·河南·期末）已知集合，，则的真子集个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【分析】先求出，结合的元素个数分析求解. 【详解】由题意可得，故的真子集的个数为． 故选：B． 2．（2023·宁夏银川·三模）设集合，，则中元素的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 【答案】C 【分析】根据题意，解方程组求出解得个数，即可得到结果. 【详解】由题意可得，联立，解得或， 所以的元素个数是2个. 故选：C 3．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则的元素个数是 . 【答案】 【分析】判断方程组解的个数，可得结果. 【详解】联立可得，则， 得原方程组有两组解，即中有个元素. 故答案为：. 4．（23-24高三上·吉林四平·阶段练习）设集合． （1）证明：若，则： （2）已知集合，若的子集共有个，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）计算，根据集合中元素的特点，即可说明；（2）首先求得集合的元素，再比较端点，即可求得的取值范围. 【详解】（1）设，，， 则 因为，， 所以， 所以 （2）因为的子集共有个元素， 所以恰有个元素． 因为， 所以这三个元素分别为，，， 又集合中比大的元素的最小值为， 所以的取值范围为． 【经典例题四 并集的概念及运算】 【例1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由集合并集运算得到答案. 【详解】由集合并集运算得到． 故选：A. 【例2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据交集、并集的定义计算可得. （2）分类讨论和两种情况，分别求出对应的的取值范围即可； 【详解】（1）当时，又， 所以，； （2）当时，由，解得，满足，符合题意； 当时，可得或，解得或． 综上，实数的取值范围是或． 1．（2025高三·全国·专题练习）已知集合,则（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过解不等式化简集合，再求两集合的并集. 【详解】由，得，∴，； 由，得，∴，. 所以或． 故选：A. 2．（24-25高一下·云南楚雄·期末）已知集合，则的整数元素的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据题意，求出集合，再利用并集运算求出，得解. 【详解】由题意得，则， 所以的整数元素为，共6个. 故选：B. 3．（2025·山东泰安·模拟预测）已知集合，，则 . 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出集合，再根据并集的定义求出. 【详解】对于集合，要使根式有意义，即. 解不等式，可得，所以集合. 已知集合，集合. 根据并集的定义,所以. 故答案为：. 4．（24-25高一上·山西晋城·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据并集、交集的运算可得结果； （2）根据，分别讨论和的情况得到结果. 【详解】（1）当时，，又， 所以，. （2）因为， 当时，，解得，满足； 当时，，解得， 综上所述：的取值范围是或. 【经典例题五 根据并集结果求集合或参数】 【例1】（24-25高二下·重庆·期末）已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程先确定集合的元素，由，，逐一验证所有可能符合情况即可. 【详解】方程的两根为或 ，. 可能为 (1)    时，，符合 (2)    时，，符合 (3)    时，，符合 综上，实数m组成的集合为 故选：D 【例2】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知集合，且，若，. (1)求集合A、B； (2)求p，q，r. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据集合交集的性质和并集的性质，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数关系，结合（1）的结论进行求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以有且，或， 当且且时，此时，因为，所以； 当且且时，因为，所以， 因为，所以不存在， 综上所述： （2）由（1）可知：， 所以有，，， 即. 1．（24-25高二下·湖南郴州·期中）已知集合，，则B可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，进而可得. 【详解】由题意，观察选项只有选项符合题意， 故选：C 2．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知集合，集合满足，则的所有可能取值的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由并集中元素即可判断. 【详解】因为集合， ， 所以的所有可能取值为或， 所以的所有可能取值的集合为， 故选：D 3．（24-25高二下·北京西城·阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】把转化为，借助数轴即可求出实数的取值范围. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 4．（24-25高一上·广西北海·期中）已知集合，. (1)若，求，. (2)是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据交集，并集和补集概念得到答案； （2）根据条件得到，从而得到方程组，方程组无解，故不存在实数，使得. 【详解】（1）因为，所以，则， 由，得，则. （2）假设存在实数，使得，由，得， 则，方程组无解，从而假设不成立， 故不存在实数，使得. 【经典例题六 根据并集结果求集合元素个数】 【例1】（2023·宁夏银川·三模）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集定义可得，由此可得元素个数. 【详解】，，共个元素. 故选：B. 【例2】（23-24高一上·全国·课后作业）某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，两次一共进了几种货？ 【答案】8 【分析】两次进货的总的种数减去两次都进的货的种数，即可得答案. 【详解】由题意知，两次进货都进了圆珠笔、方便面， 因此两次一共进了种货. 1．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）满足条件永安，漳平德化，漳平，永安的集合的个数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据集合的并集可得答案. 【详解】因为集合永安，漳平德化，漳平，永安， 所以集合可以为德化，德化，漳平，德化，永安， 德化，永安，漳平，共4个， 故选：C. 2．（23-24高三上·山西·阶段练习）满足的所有集合的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】试题分析：∴1和2和3可能是集合的元素， 则集合可能是：共4个．故选D． 考点：集合的运算 3．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）若集合，，，则集合中的元素个数是 . 【答案】 【分析】求出集合、，可求出集合，即可得解. 【详解】因为集合，，， 则，，所以，， 故集合中的元素个数是. 故答案为：. 4．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知三个集合：，，. （1）求； （2）已知，，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）先求出A，B，然后由并集定义计算； （2）由已知分析中哪些元素属于，哪些元素不属于，由此可解得的范围． 【详解】解：（1）， ， ∴. （2）∵，， ∴，，. ∴， 即解得， 所以实数的取值范围是. 【点睛】本题考查集合的运算，解题时需先确定集合的元素，然后再按集合运算的定义分析计算． 【经典例题七 补集的概念及运算】 【例1】（24-25高一下·四川德阳·期末）已知全集，集合，则（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】利用补集的运算进行求解. 【详解】因为，集合， 则集合或. 故选：A. 【例2】（22-23高一上·福建漳州·阶段练习）已知集合，，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助交集定义计算可得答案； （2）借助并集定义计算可得答案； （3）借助补集定义先计算出，再利用交集定义计算可得答案. 【详解】（1）由，， 得. （2）由，， 得； （3）由，得或， 又，所以. 1．（24-25高二下·江苏淮安·期末）设全集，集合，则中元素个数为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，集合，所以，故中的元素个数为3. 故选：C． 2．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集定义计算求解. 【详解】因为集合，，故. 故选：B. 3．（2025·上海黄浦·三模）已知全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】化简集合，结合交集的概念即可求解. 【详解】因为全集，集合， 所以. 故答案为： 4．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知全集为，集合. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）（2）利用并集、补集的定义求解. 【详解】（1）集合，所以. （2）由全集为R，得或或， 所以或. 【经典例题八 根据补集运算确定集合或参数】 【例1】（24-25高一上·海南海口·阶段练习）已知集合，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据补集的定义，由求解. 【详解】解：因为集合，且， 所以，即，解得或， 当时，，符合题意； 当时，与互异性矛盾， 所以2， 故选：B 【例2】（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值 【答案】 【分析】根据补集运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 则，解得， 所以实数的值为. 1．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，若，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】由，可得，，故，从而求出的值即可. 【详解】由可得，，故， ，解得， 故选：C. 2．（2023·河南驻马店·一模）已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，结合集合交集的概念及运算，即可求解. 【详解】由集合，， 因为，可得. 故选：B. 3．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）设全集，则集合 ． 【答案】 【分析】依题意可得，即可求出，从而求出，即可得解. 【详解】因为，所以，则，解得， 所以， 又，所以. 故答案为： 4．（23-24高一上·上海·阶段练习）若全集，，，求实数的值. 【答案】 【分析】利用可得答案. 【详解】因为，， 所以， 解得，或， 当时，，，不是的子集， 不成立，所以； 当时，，，，成立； 所以. 【经典例题九 交并补混合运算】 【例1】（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用集合交集和补集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合， 则，所以. 故选：D. 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，求． 【答案】或；或 【分析】由题可求，，然后利用补集和交集的运算计算即可. 【详解】集合． 如图，将集合A，B在数轴上表示出来．    易知， 或． 或． 或或． 1．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的补集与交集，可得答案. 【详解】因为，所以. 故选：A. 2．（2025·山东·模拟预测）已知全集，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求集合，根据集合的运算逐一验证即可. 【详解】由题意有， 所以，所以，故A错误； ，故B错误； 因为， 所以，故C错误； 因为， 所以，故D正确. 故选：D. 3．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，或，则 . 【答案】 【分析】根据交集、补集的定义进行计算得出结果. 【详解】因为或，所以， 又， 所以. 故答案为：. 4．（2025高二·全国·专题练习）全集 ，集合.求：. 【答案】 【分析】根据德摩根公式结合集合的混合运算可得. 【详解】根据德摩根公式：，得： ， 又 ，所以. 【经典例题十 根据交并补混合运算确定集合或参数】 【例1】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先确定全集，再根据集合的运算，确定集合. 【详解】由条件可知，，且， 所以. 故选：B 【例2】（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）已知全集，集合，． (1)求； (2)若集合，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定集合，由并集运算即可； （2）由条件分别判断0，1是否属于集合即可. 【详解】（1）由题意得，， 所以． （2）由，又，得， 由，得， 所以． 1.（24-25高三上·辽宁·阶段练习）设全集，集合，，则集合中的元素个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据补集和交集的定义求出集合，即可得解. 【详解】因为全集，， 所以，， 又因为，故. 因此，集合中的元素个数为. 故选：B. 2．（24-25高一上·重庆·期中）已知全集是的两个子集，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分析可知，再结合补集和并集运算求解. 【详解】因为，可知， 且，所以. 故选：B. 3．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习），，，，则 . 【答案】 【分析】首先分析，，，，再由，对分类讨论，即可得解. 【详解】因为， 因为，所以，，，， ，所以，，，， ，则， 若，，即，，经检验符合题意； 若，，即，，则，矛盾，不符合题意； 若，，即，，则，矛盾，不符合题意； 综上可得，. 故答案为： 4．（23-24高一上·新疆昌吉·阶段练习）已知集合，集合，全集为. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合的交并补运算即可得解； （2）利用集合混合运算的结果，得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】（1）因为，所以或， 又， 所以. （2）因为，， 所以， 又，， 所以与有交集， 则，即实数的取值范围为. 【拓展训练一 集合交、并、补集的综合运算】 【例1】（24-25高一下·江西南昌·期末）已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件结合关系，求出，由此可求. 【详解】因为， 又，，所以， 又， 所以， 故选：D. 【例2】（24-25高二下·广东梅州·期末）对于集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分为两个集合B和C，满足，，且B的所有元素之和与C的所有元素之和相等，则称集合A为“可分集合”．分别判断下列集合是否为“可分集合”，并说明理由： (1)； (2)． 【答案】(1)不是“可分集合”，理由见解析； (2)是“可分集合”，理由见解析. 【分析】（1）根据可“可分集合”的定义，当去掉2时，即可判断， （2）根据可“可分集合”的定义，即可逐一论证去掉任何一个元素均满足 “可分集合”的定义求解. 【详解】（1）集合不是“可分集合”，理由如下： 因为， 当去掉元素2时，计算知： ，，． 可见集合去掉元素2后，剩余元素组成集合不可能分为两个交集为空集、且各自所有元素之和相等的集合，即集合不是“可分集合”． （2）集合是“可分集合”， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 因此任意去掉集合中的一个元素之后，剩余的所有元素组成集合总能分为两个交集为空集、且各自所有元素之和相等的集合． 1．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）设集合，其中为自然数集，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再结合子集的定义即可判断A；结合交集的定义可判断B；结合并集的定义可判断C；分析可得，进而结合交集的定义可判断D. 【详解】因为，， 所以，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； 又，而，则， 所以，故D正确. 故选：D. 2．（2023·全国·模拟预测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的交集、并集和补集运算即可得解. 【详解】由题意可知. 故选：C． 3．（22-23高一上·北京·期中）设是非空数集，若对任意，都有、，则称具有性质，给出以下命题： ①若具有性质，则可以是有限集； ②若具有性质，且，则具有性质； ③若、具有性质，且，则具有性质； ④若、具有性质，则具有性质. 其中所有真命题的序号是 . 【答案】①③ 【分析】举特例判断①；利用反证法判断②，元素0是关键；利用性质P的定义证明③即可；举反例说明④错误； 【详解】对于①，取集合具有性质P，故A可以是有限集，故①正确； 对于②，若A具有性质P，且，假设也具有性质P， 设，在中任取一个，此时可证得，否则若， 由于也具有性质P，则，与矛盾，故， 由于A具有性质P，也具有性质P， 所以，而，这与矛盾， 故当且A具有性质P时，则不具有性质P， 同理当时，也可以类似推出矛盾，故②错误. 对于③，取，则，，，， 又具有性质P，，， ，所以具有性质P，故③正确； 对于④，取，，，， 但，故④错误； 故答案为：①③ 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 4．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合，. (1)若时，存在集合，使，求出所有的集合； (2)集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2)能，. 【分析】（1）当时，由，得到，求得，结合条件即可求解； （2）由，得到，分和，两种情况讨论，结合集合的包含关系，即可求解. 【详解】（1）当时，, 又因为， 所以， 又由， 因为, 所以这样的集合共有6个：. （2）能. 由，可得， 若时，此时满足是的一个子集，此时，解得； 若时，由（1）知, 当时，，此时,此时不是的一个子集； 当时，，此时,此时是的一个子集； 当时，，此时,此时是的一个子集； 综合可得，当或时，满足， 此时实数的取值范围为. 当时，或， 解得； 综上，∴的取值范围为； （2）因为，所以，所以， 当时，得； 当时，解得； 综上可得，即m的取值范围是； 【拓展训练二 集合及参数的求解问题】 【例1】（2025·山西·模拟预测）已知集合，．若，则的最大值是（    ） A．2 B．-1 C．0 D．1 【答案】D 【分析】由题意得到，即可求解. 【详解】由，， 可知， 所以，即的最大值是1. 故选：D. 【例2】（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知集合，，且. (1)若，求实数组成的集合； (2)若，求，的值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）求得集合，由分类讨论可得值； （2）由得，，求得，再求得，从而得集合，最后可得值． 【详解】（1）若，可得，因为，所以． 当，则；当，则；当，． 综上，可得实数a组成的集合为． （2）因为，， 且，，所以，，所以， 解得，解，得或，所以， 所以，所以，解得． 1．（2025·新疆·三模）已知全集，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到，根据条件得到，，分，和三种情况，得到满足要求. 【详解】， ，故，， 若，此时，满足要求， 若，此时，不合要求， 若，此时，不合要求， 综上，. 故选：C 2．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）已知，均为集合的子集， ，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，先求出，再由，，可得集合. 【详解】，均为集合的子集，，则， ，，则. 故选：B 3．（23-24高一上·上海徐汇·期中）设全集{为小于20的非负奇数}，若，，且，则 . 【答案】 【分析】由题意求出全集，通过，，且，画出韦恩图，即可直接得到 【详解】因为{为小于20的非负奇数}， 因为，，且， 画出韦恩图，如图： 则. 故答案为： 4．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分类讨论、，分别列不等式求的范围，取并集即可. （2）由条件知，讨论、，分别列不等式求的范围，取并集即可. 【详解】（1）时，知： 当时，得； 1．（广西部分学校2025-2026学年高三上学期开学考数学试题）已知集合，，则的元素个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用交集运算即可求解. 【详解】由题意可得，则， 故有2个元素. 故选：B 2．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合 .若 则实数的取值范围为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】首先确定集合的补集，然后根据求出的范围. 【详解】因为集合， 所以. 因为集合，， 当不为空集时， 所以，解得. 当为空集时，，解得. 综上，的取值范围为. 故选：A. 3．（24-25高三上·四川南充·阶段练习）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，直接求得，即可求解. 【详解】由，消整理得到，解得或， 当时，，当时，，所以， 故选：C. 4．（2025高一上·全国·专题练习）已知集合，，则集合的真子集个数为（ ） A．64 B．63 C．6 D．65 【答案】B 【分析】利用列举法表示集合，即可得解. 【详解】由， 则，共个元素， 所以集合的真子集个数为. 故选：B. 5．（23-24高二下·山西长治·期末）已知集合，，则集合中必有的元素是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】根据、元素和集合的关系可得答案. 【详解】因为3，5，7都在集合中，， 所以集合中可以有也可以没有3，5，7， 因为，但，所以中必有的元素是9. 故选：D. 6．（多选题）（（24-25高一上·全国·周测）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由一元一次不等式和一元二次不等式的解法分别求出集合A、B的元素，再进行集合交、并、补的运算得出答案. 【详解】集合，集合， 对于A选项：，故A正确； 对于B选项：，故B错误； 对于C、D选项：，，故C正确； ，故D正确． 故选：ACD． 7．（多选题）（（2025高三·全国·专题练习）若集合，，且，则的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】ABD 【分析】根据交集运算和空集的概念可得，或，再由集合中元素的互异性可求解. 【详解】因为，则或或， 由元素的互异性，可得， 所以的值可以是，0，2. 故选：ABD. 8．（多选题）（（24-25高一下·四川广元·阶段练习）设集合，则下列选项中，满足的实数a的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由，得到或，求出实数a的取值范围，即可判断． 【详解】因集合，， 满足，则得或， 解得或． 结合选项，实数a的取值范围可以是或． 故选：CD． 9．（多选题）（（24-25高一上·内蒙古兴安盟·阶段练习）设全集，，其中，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用补集的运算即可得解. 【详解】由于，所以， 所以可以是、、，故ABC正确，D错误. 故选：ABC. 10．（多选题）（（2025高三·全国·专题练习）已知，，若，则实数可能取的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据，对集合A进行分类讨论，结合二次方程根的判别式和韦达定理计算. 【详解】当时，，解得； 当时，即或时，此时方程的两个根需满足小于等于， 则，，得，， 综上，. 故选：ACD. 11．（24-25高一上·上海金山·期末）集合，，若，则 . 【答案】 【分析】根据集合的交集以及并集的定义即可求解. 【详解】由知，. 故答案为： 12．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，，则中元素的个数为 ． 【答案】2 【分析】根据给定条件，解方程组即可得解. 【详解】依题意，， 所以中元素的个数为2. 故答案为：2 13．（2025高三·全国·专题练习）已知，这样的集合有 个． 【答案】7 【分析】分析题意可得里一定包含元素，并将其看为与另一个从里抽取元素的集合取并集构成，再结合真子集的性质求解即可. 【详解】因为， 所以， 对于由个元素的集合，真子集个数为个， 则由真子集性质得集合共有个，故集合共有7个． 故答案为：7 14．（2023高一·全国·专题练习）设全集，集合，．则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据补集的运算即可求解. 【详解】∵，∴且，∴． 故答案为： 15．（23-24高一上·山东青岛·期中）设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为 ； 【答案】 【分析】先根据题意得，再根据求解即可得答案. 【详解】由已知得：，则， 因为，且， 如图： 则，即，则实数m的取值范围为. 故答案为： 16．（25-26高一上·全国·单元测试）设全集，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用子集概念来确定参数满足的条件即可求解； （2）利用分类讨论，子集有可能是空集和非空集，然后进行列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 又， 所以，解得，所以的取值范围是． （2）因为，所以． 若，则，可得，满足； 若，要使，则，不等式组无解． 综上，的取值范围是． 17．（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知集合，，，. (1)求p，a，b的值； (2)若，且，求m的值. 【答案】(1)，； (2)或或. 【分析】（1）根据交集结果有求，再由并集结果有，结合根与系数关系求参数值； （2）由包含关系并讨论、求对应参数值，即可得. 【详解】（1）由，故，可得，则， 又，则，故； 所以，； （2）由， 若，即，满足题设， 若，即，则，或， 综上，或或. 18．（24-25高一上·安徽六安·阶段练习）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合，然后利用集合的运算求解； （2）若，则，分，，两种情况讨论，列出不等式求解. 【详解】（1）当时，， 所以或，又， 所以. （2）因为，所以， ①当时，，解得，成立； ②当时，，解得， 综上所述：的取值范围为：． 19．（2025高一·全国·专题练习）已知集合或，，回答下列问题. (1)若，试求，； (2)若，求实数的取值范围； 【答案】(1)，或 (2)或 【分析】（1）求出时的集合，再根据补集、交集和并集的定义计算即可； （2）由知，讨论当和时的情形，分别求出对应的的取值范围. 【详解】（1）或，则， ，当时，， 所以； 又或，所以或. （2）若，则. 当时，，即； 当时，则或，解得或. 综上，的取值范围为或. 20．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，集合． (1)若，求 (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据集合包含关系列出不等式组，求出实数m的取值范围； (2)分与进行讨论，列出不等关系，求出实数m的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以. （2），因为， 所以当时，则，解得，符合题意； 当时，则或，解得 综上所述实数m的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$