专题1.3 集合的运算（高效培优讲义）数学沪教版2020高一必修第一册

专题1.3 集合的运算 教学目标 （1）理解两个集合并集与交集、全集与补集的含义； （2）会求两个集合的并交补运算； （3）能用Venn图表示集合的关系与运算； 教学重难点 教学重点：集合的交集与并集，补集运算 教学难点：集合的交集与并集，补集运算 知识点01 交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 【即学即练】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再由交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 知识点02 并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对并集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 【即学即练】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的并集运算求解即可. 【详解】因为集合，，所以. 故选：D. 知识点03 全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 【即学即练】已知全集，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据补集的定义求解即可. 【详解】因为全集， 所以或. 故选：C 题型01 交集的概念及运算 【典例1】已知集合，则 ． 【答案】 【分析】将集合中的元素依次代入集合验证，再求交集可得. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 所以. 故答案为：. 【变式1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由集合的交集运算求解即可. 【详解】集合，，则， 故选：A． 【变式2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的定义求解即得. 【详解】根据题意可得，. 故选：D. 【变式3】设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集定义计算求解. 【详解】集合，则. 故选：C. 【变式4】已知集合，，则= . 【答案】 【分析】根据集合的交集运算求解. 【详解】因为，，所以. 故答案为：. 题型02 根据交集的运算结果求集合或参数 【典例1】已知集合，. (1)若，求，； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意求集合B，再结合集合间的运算求解； （2）由题意可得，分类讨论和，结合包含关系分析求解. 【详解】（1）因为， 若，则，则或， 所以，. （2）若，可知， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 所以的取值范围为. 【变式1】已知集合.若，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据列式运算得解. 【详解】因为，所以，即且，解得， 所以m的取值范围是. 故选：B. 【变式2】已知集合. 若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用给定的交集的结果，结合元素与集合的关系列式求解. 【详解】依题意，，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 【变式3】设或，，，求的取值范围． 【答案】或 【分析】根据，则有，从而得到不等式组，解出即可. 【详解】由于或， ， 因为， 所以或， 解得或， 所以的取值范围是或． 【变式4】设集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用集合的运算求解即可； （2）分类讨论集合是否为空集即可. 【详解】（1）当时，， 因此， 所以或. （2）由，得， 当时，则，解得，满足，因此； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 题型03 并集的概念及运算 【典例1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】由题意可得， 故选：D 【变式1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用并集的运算法则即可求得结果. 【详解】根据集合，， 可得. 故选：B 【变式2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确集合的元素，再将集合与集合的元素合并起来得到并集. 【详解】依题意，，所以． 故选：D． 【变式3】已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】直接利用集合并集的运算求解即可. 【详解】因为集合，， 所以, 故答案为： 题型04 根据并集的运算结果求集合或参数 【典例1】已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将代入，根据补集定义求，再根据并集定义求结论， （2）条件可转化为，根据集合包含关系列不等式求结论. 【小题1】由得，， 因为，或， 所以或， 【小题2】因为，所以， 由于，故， 可得，故． 综上可知的取值范围为． 【变式1】已知集合，集合．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】解方程求得集合A，根据并集结果从而求得. 【详解】集合，集合．由，可知集合必须包含元素2，即. 故选：D 【变式2】，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知， ，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，，，则， 若，则，解得； 若且，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 【变式3】已知集合，. (1)当时，求，： (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1)；或； (2) 【分析】（1）代入，再由交并补的混合运算可得结果； （2）根据并集结果可得，得出对应不等式可求得m的取值范围. 【详解】（1）当时，可得，或； 又，所以； 或； （2）由可得， 当时，，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得，m的取值范围为. 【变式4】已知全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）根据交集、补集、并集的定义计算可得； （2）依题意可得，即可得到，解得即可. 【详解】（1）当时，又， 所以，或， 所以或. （2）因为，所以， 显然，即， 所以，解得，即实数的取值范围为. 题型05 补集的概念及运算 【典例1】已知全集，方程的解集是，集合，.求，，. 【答案】； 【分析】由方程的根求出得出集合，再由集合的交并补运算求解即可. 【详解】因为方程的解集是， 所以由根与系数的关系可得， 故，， 所以，， 又， 所以. 【变式1】已知全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】化简集合，结合交集的概念即可求解. 【详解】因为全集，集合， 所以. 故答案为：. 【变式2】已知全集，集合，则 ． 【答案】/ 【分析】根据补集的含义即可得到答案. 【详解】根据补集的含义知. 故答案为：. 【变式3】已知全集，，则 . 【答案】 【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合. 【详解】全集，，故. 故答案为：. 【变式4】若集合A、B均为全集的非空真子集，且，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，再结合条件即可判断. 【详解】∵， ∴，又集合A、B均为全集的非空真子集 ∴，，，. 故ACD错误，B正确. 故选：B. 德摩根律 (1) (2) 题型06 根据补集的运算结果求集合或参数 【典例1】设全集，，，求的值． 【答案】 【分析】根据全集与集合、，可得到及，进而可求出的值． 【详解】∵全集，，， ∴①，②； 由①可得，解得或者； 由②可得，解得或者； 综上所述，． 【变式1】设全集，，若，则实数 . 【答案】2 【分析】由题可得，即可求出，验证即可. 【详解】，， ， ，则，解得或， 当时，，，，符合题意； 当时，，，不符合题意， . 故答案为：2. 【变式2】已知全集，集合，，是否存在实数a，使得？ 【答案】存在实数a，使得.理由见解析. 【分析】根据集合补集和交集的定义，即可判断. 【详解】存在实数a，使得.理由如下： 由题意， 所以或， 又因为当时，，不符合条件，故舍去； 当时，，，符合条件； 综上，存在实数a，使得. 【变式3】已知集合，，，求实数a的值. 【答案】 【分析】根据补集的定义得出关于a的方程，分类讨论两种情况：且或且，对每一种情况求解a的值，并且代入集合中进行验证得解. 【详解】由已知得： （1）且，由解得，代入中不满足，故不成立； （2）且，由得或， 当时，不满足， 当时，满足， 且时，，，满足题意， 所以. 【变式4】已知全集，，，求实数的值. 【答案】 【分析】利用补集的含义，即可求解. 【详解】解：因为，所以，且. 所以，解得或. 当时，，此时，，满足； 当时，，不合题意，舍去. 综上可知，. 德摩根律 (1) (2) 题型07 交集、并集、补集的混合运算 【典例1】已知全集，集合，则（    ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】写出全集包含的元素，分别求的补集，再写出它们的相同元素即可. 【详解】因为，所以． 因为集合，集合，所以． 所以，所以． 故选：C． 【变式1】已知全集，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求集合，根据集合的运算逐一验证即可. 【详解】由题意有， 所以，所以，故A错误； ，故B错误； 因为， 所以，故C错误； 因为， 所以，故D正确. 故选：D. 【变式2】已知全集，，，那么是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再根据交集、补集、并集的定义求解即可. 【详解】由，，， 则，，， 所以，，，. 故选：C. 【变式3】已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合并集的定义求，再根据交集的定义求结论. 【详解】因为，， 所以，又， 所以， 故选：A． 【变式4】已知全集，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的交集、并集、 运算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 题型08 根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 【典例1】已知全集，集合，若，求实数t的取值范围． 【答案】或 【分析】由得，再分类讨论讨论和，从而得解. 【详解】因为，所以， 因为， 当时，，则，此时满足； 当时，，则，解得； 综上，或. 【变式1】已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求得的取值范围. 【详解】因为集合， 所以， 由于， 所以. 故选：A. 【变式2】已知集合，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】确定，结合，即可求解. 【详解】， 所以或，又 所以， 故答案为： 【变式3】已知，. (1)若时，求、； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）当时，求出集合，利用交集的定义可得出集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）由题意可知，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，，则， 所以，则. （2）因为，则， 当时，，解得，合乎题意； 当时，即时，有，解得，即. 综上，，即实数的取值范围是. 【变式4】已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若集合中仅有一个整数元素，求. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出，根据题意列出不等式组，即可求得答案； （2）根据题意讨论整数元素可能是和，列出相应的不等式求出m的范围，结合集合的并集运算，即可求得答案. 【详解】（1）由题意， 知或，, 因为，故，解得； （2）中的整数元素为， 而集合中仅有一个整数元素， 当该整数元素为时，， 此时，则； 当该整数元素为时，， 此时，则. 题型09 容斥原理 【典例1】行知中学高一某班学生参加物理和数学竞赛辅导班的选拔，已知该班学生参加物理竞赛辅导选拔的人数是该班全体人数的八分之三；参加数学竞赛辅导选拔的人数比参加物理竞赛辅导选拔的人数多3人；两个科目都参加选拔的人数比两个科目都不参加的学生人数少7人；则该班参加数学竞赛辅导选拔的人数是 . 【答案】18 【分析】根据给定条件，利用集合思想结合容斥原理列式计算作答. 【详解】记该班全体学生形成集合U，该班学生人数为n，参加物理竞赛辅导选拔的人形成集合A，则， 参加数学竞赛辅导选拔的人形成集合B，则，两个科目都参加选拔的人数为， 于是得， 两个科目都不参加的学生人数为，依题意，， 即有，解得，则， 所以该班参加数学竞赛辅导选拔的人数是18. 故答案为：18 【变式1】已知集合A与集合B的元素个数之和为m个，中有n个元素，若，则的元素个数为（    ） A．mn B． C． D． 【答案】D 【分析】由公式可得. 【详解】由题知， 所以. 故选：D 【变式2】为丰富学生的课外活动，学校开展了丰富的选修课，参与“数学建模选修课”的有169人，参与“语文素养选修课”的有158人，参与“国际视野选修课”的有145人，三项选修课都参与的有30人，三项选修课都没有参与的有20人，全校共有400人，问只参与两项活动的同学有多少人？（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】C 【分析】先画出韦恩图，根据荣斥原理求解. 【详解】画出维恩图如下： 设：只参加“数学建模课”和“语文素养课”的有x人，只参加“数学建模课”和“国际视野课”的有y人，只参加“语文素养课”和“国际视野课”的有z人， 则：，； 故答案为：32人. 【变式3】某校有21个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购 张车票. 【答案】27 【分析】根据韦恩图，即可求解总人数. 【详解】由题意可得韦恩图，如图所示， 参加数理化竞赛的学生有人， 所以需预购27张车票.    故答案为：27 【变式4】某学校举办秋季运动会时，高一某班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田赛，有人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有人，同时参加游泳比赛和径赛的有人，没有人同时参加三项比赛，借助文氏图（Venndiagram），可知同时参加田赛和径赛的有 人． 【答案】 【分析】设同时参加田赛和径赛的学生人数为，作出韦恩图，根据题意可得出关于的等式，即可解出的值. 【详解】设同时参加田赛和径赛的学生人数为，如下图所示： 由韦恩图可的，解得. 因此，同时参加田赛和径赛的有人. 故答案为：. 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 1．已知集合，集合，则 . 【答案】 【分析】根据集合交集的运算方法求交集 【详解】 如图所示，根据交集概率可知. 故答案为：. 2．已知全集，若集合，则 ． 【答案】 【分析】首先求出集合A中的不等式，然后根据补集的定义求出A的补集. 【详解】对于集合A，不等式为. 所以. 因为全集，所以集合的补集为. 故答案为：. 3．已知全集 ，集合 ，则 . 【答案】 【分析】利用集合补集的概念直接求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 4．设全集为，若的子集集合，子集，则= 【答案】 【分析】根据一元二次方程以及一元一次不等式组，可得集合，根据补集与交集的运算，可得答案. 【详解】由，，解得或，则； 由，解得，则，可得或； 所以. 故答案为：. 5．已知全集，集合．若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意有，由得即可求解. 【详解】由，即， 全集， 由，即， ，，，即． 故答案为：. 6．集合A，B，C的关系如图所示：其中三个圆分别表示集合A，B，C，试用集合A，B，C的运算结果表述图中阴影所代表的集合 ．    【答案】（表示不唯一，可写成） 【分析】根据给定条件，利用韦恩图阴影部分表示的集合意义列出表达式. 【详解】观察韦恩图知，阴影部分是与的公共部分同与的公共部分，两部分合并在一起而得， 所以阴影所代表的集合是（也可表示为）. 故答案为： 7．已知集合，集合，若，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】求出集合，分析可得，然后分、、、，可得出关于的等式与不等式，综合可得出实数的取值集合. 【详解】因为，， 且，则， 对于方程，， 当时，有，解得， 当时，有，解得； 当时，有，方程组无解； 当时，有，方程组无解. 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 8．，，，，则 . 【答案】或 【分析】由题意确定则，进而通过，求得，即可求解. 【详解】设, 若，则，又，所以, 所以，此时可得不符合，所以 则，两边同除，可得，所以, 因为，所以一定有，所以，即， 当时，又，所以，所以, 由韦达定理可得：，此时符合； 当时，又，所以，所以, 由韦达定理可得：，此时符合； 所以或. 故答案为：或 9．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析可知，联立方程求交点坐标即可. 【详解】由题意可知：， 联立方程，解得或（舍去）， 所以. 故选：D. 10．若、是全集的真子集，则下列四个关系式与等价的有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由元素与集合、集合与集合的关系逐一论证即可求解. 【详解】对于①，若，则“”当且仅当“”，即“”当且仅当“且”， 这意味着只要就一定有，即当且仅当，故①符合题意； 对于②，若，则“”当且仅当“”，即“”当且仅当“或”， 这意味着只要就一定有，即当且仅当，故②符合题意； 对于③④，若，则当且仅当，即当且仅当，故③④符合题意； 所以与等价的有4个. 故选：D. 11．已知集合 ，集合 . (1)若 ，求 ； (2)若 ，求实数 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由绝对值不等式得出集合A，再应用集合的交集的定义运算即可； （2）由已知可得，进而得到即可. 【详解】（1）当时，，， 所以； （2）因为， 因为集合，集合， 所以， 所以实数的取值范围. 12．已知集合，集合或，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）应用集合的并补运算求集合； （2）根据包含关系列不等式求参数范围即可. 【详解】（1）由题设，则或， 所以或. （2）由且恒成立，即为非空集， 所以或，即或. 13．设集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求出集合A，由给定交集的结果，求出a并验证得解. （2）由给定条件，可得，再利用集合的包含关系讨论求解即得. 【详解】（1）依题意，， 由，得，则，解得或， 当时，则，满足； 当时，则，满足， 所以或. （2）由（1）可知，，， 若，则，解得； 若，则，无解； 若，由（1）知； 若，则，无解， 所以实数的取值范围是. 14．已知集合. (1)求集合； (2)设集合，且，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合的补集，再与集合求交集即得； （2）由可得，列出不等式组，解之即得. 【详解】（1），则， 又，则； （2），且， ，解得， 实数的取值范围为：. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 集合的运算 教学目标 （1）理解两个集合并集与交集、全集与补集的含义； （2）会求两个集合的并交补运算； （3）能用Venn图表示集合的关系与运算； 教学重难点 教学重点：集合的交集与并集，补集运算 教学难点：集合的交集与并集，补集运算 知识点01 交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 【即学即练】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 知识点02 并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对并集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 【即学即练】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 知识点03 全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 【即学即练】已知全集，则（   ） A． B． C．或 D．或 题型01 交集的概念及运算 【典例1】已知集合，则 ． 【变式1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】设集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知集合，，则= . 题型02 根据交集的运算结果求集合或参数 【典例1】已知集合，. (1)若，求，； (2)若，求的取值范围. 【变式1】已知集合.若，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合. 若，则的取值范围为 . 【变式3】设或，，，求的取值范围． 【变式4】设集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 题型03 并集的概念及运算 【典例1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知集合，，则 ． 题型04 根据并集的运算结果求集合或参数 【典例1】已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【变式1】已知集合，集合．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2】，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知集合，. (1)当时，求，： (2)若，求m的取值范围. 【变式4】已知全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 题型05 补集的概念及运算 【典例1】已知全集，方程的解集是，集合，.求，，. 【变式1】已知全集，集合，则 ． 【变式2】已知全集，集合，则 ． 【变式3】已知全集，，则 . 【变式4】若集合A、B均为全集的非空真子集，且，则有（    ） A． B． C． D． 德摩根律 (1) (2) 题型06 根据补集的运算结果求集合或参数 【典例1】设全集，，，求的值． 【变式1】设全集，，若，则实数 . 【变式2】已知全集，集合，，是否存在实数a，使得？ 【变式3】已知集合，，，求实数a的值. 【变式4】已知全集，，，求实数的值. 德摩根律 (1) (2) 题型07 交集、并集、补集的混合运算 【典例1】已知全集，集合，则（    ） A． B． C．D． 【变式1】已知全集，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知全集，，，那么是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知全集，，则（   ） A． B． C． D． 题型08 根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 【典例1】已知全集，集合，若，求实数t的取值范围． 【变式1】已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，若，则的取值范围是 . 【变式3】已知，. (1)若时，求、； (2)若，求的取值范围. 【变式4】已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若集合中仅有一个整数元素，求. 题型09 容斥原理 【典例1】行知中学高一某班学生参加物理和数学竞赛辅导班的选拔，已知该班学生参加物理竞赛辅导选拔的人数是该班全体人数的八分之三；参加数学竞赛辅导选拔的人数比参加物理竞赛辅导选拔的人数多3人；两个科目都参加选拔的人数比两个科目都不参加的学生人数少7人；则该班参加数学竞赛辅导选拔的人数是 . 【变式1】已知集合A与集合B的元素个数之和为m个，中有n个元素，若，则的元素个数为（    ） A．mn B． C． D． 【变式2】为丰富学生的课外活动，学校开展了丰富的选修课，参与“数学建模选修课”的有169人，参与“语文素养选修课”的有158人，参与“国际视野选修课”的有145人，三项选修课都参与的有30人，三项选修课都没有参与的有20人，全校共有400人，问只参与两项活动的同学有多少人？（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 【变式3】某校有21个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购 张车票. 【变式4】某学校举办秋季运动会时，高一某班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田赛，有人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有人，同时参加游泳比赛和径赛的有人，没有人同时参加三项比赛，借助文氏图（Venndiagram），可知同时参加田赛和径赛的有 人． 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 1．已知集合，集合，则 . 2．已知全集，若集合，则 ． 3．已知全集 ，集合 ，则 . 4．设全集为，若的子集集合，子集，则= 5．已知全集，集合．若，则实数a的取值范围是 ． 6．集合A，B，C的关系如图所示：其中三个圆分别表示集合A，B，C，试用集合A，B，C的运算结果表述图中阴影所代表的集合 ．    7．已知集合，集合，若，则实数的取值集合为 . 8．，，，，则 . 9．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 10．若、是全集的真子集，则下列四个关系式与等价的有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．已知集合 ，集合 . (1)若 ，求 ； (2)若 ，求实数 的取值范围. 12．已知集合，集合或，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 13．设集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 14．已知集合. (1)求集合； (2)设集合，且，求实数的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$