专题01 集合及其表示方法五大题型（高效培优专项训练）数学沪教版2020高一必修第一册

专题01 集合及其表示方法 题型一：判断元素与集合的关系 题型二：根据元素与集合的关系求参数 题型三：根据集合中元素的个数求参数 题型四：列举法与描述法 题型五：区间与集合的转化 题型一：判断元素与集合的关系 1．下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 2．2024巴黎奥运会已圆满结束，中国体育健儿披荆斩棘，顽强拼搏，取得了骄人的成绩.下列有关巴黎奥运会的团体中不能构成集合的是（   ） A．全体参赛国家 B．全体裁判员 C．全体荣获金牌的运动员 D．全体表现较好的运动员 3．下列元素的全体能构成集合的是（ ） A．某学校个子高的学生 B．巴黎奥运会上受欢迎的运动员 C．2024年参加“两会”的代表 D．的近似值 4．下列元素的全体能构成集合的是（　　） A．某电视台著名节目主持人 B．高中学生中的游泳能手 C．中国古代四大发明 D．，， 5．给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．②③ D．② 题型二：根据元素与集合的关系求参数 6．若，则的值为 ． 7．已知集合，若，则 . 8．已知集合，且，则的值为 . 9．已知集合，且，则 . 10．若，则 ． 11．已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 12．已知集合，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 13．已知，且，，，则取值不可能为（    ） A． B． C． D． 题型三：根据集合中元素的个数求参数 14．已知集合，若中只有一个元素，则的值构成的集合为 ． 15．已知集合中有且仅有个元素，则实数的取值为 ． 16．若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（   ） A． B． C． D． 17．已知集合 (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求集合A. 18．已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是空集，求的取值范围； (2)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 题型四：列举法与描述法 19．用列举法表示集合为 ． 20．关于与的二元一次方程组的解集为 ． 21．集合可以用列举法表示为 . 22．集合，则集合（    ） A． B． C． D． 23．方程的解集表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 24．已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 题型五：区间与集合的转化 25．用区间表示下列集合： ； ； ； . 26．用区间表示下列集合： （1） ； （2） ； （3） ． 27．若函数的定义域为，值域为，则a的取值范围是 . 28．已知区间，则实数a的取值范围为 ．（用区间表示） 29．把下列数集用区间表示： （1）； （2）{x|x＜0}； （3）{x|－2＜x≤3}； （4）{x|－3≤x＜2}； （5）{x|－1＜x＜6}． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合及其表示方法 题型一：判断元素与集合的关系 题型二：根据元素与集合的关系求参数 题型三：根据集合中元素的个数求参数 题型四：列举法与描述法 题型五：区间与集合的转化 题型一：判断元素与集合的关系 1．下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【分析】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B. 2．2024巴黎奥运会已圆满结束，中国体育健儿披荆斩棘，顽强拼搏，取得了骄人的成绩.下列有关巴黎奥运会的团体中不能构成集合的是（   ） A．全体参赛国家 B．全体裁判员 C．全体荣获金牌的运动员 D．全体表现较好的运动员 【答案】D 【分析】由集合的概念可得答案. 【详解】根据集合元素的确定性可以判断A，B，C正确； 对于D，“表现较好”没有衡量标准，因此表现较好的运动员是不确定的，故不能构成集合，故D不正确； 故选：D. 3．下列元素的全体能构成集合的是（ ） A．某学校个子高的学生 B．巴黎奥运会上受欢迎的运动员 C．2024年参加“两会”的代表 D．的近似值 【答案】C 【分析】由集合的概念可得答案. 【详解】A选项，个子高是不明确的说法，故某学校个子高的学生不能构成集合，A错误； B选项，受欢迎是不明确的说法，故巴黎奥运会上受欢迎的运动员不能构成集合，B错误； C选项，2024年参加“两会”的代表是明确的，则2024年参加“两会”的代表能构成集合，C正确； D选项，精确度未确定的情况下，的近似值是不明确的说法，故其不能构成集合，D错误. 故选：C 4．下列元素的全体能构成集合的是（　　） A．某电视台著名节目主持人 B．高中学生中的游泳能手 C．中国古代四大发明 D．，， 【答案】C 【分析】根据集合中的元素满足确定性，互异性，无序性，即可判断选项. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，某电视台著名节目主持人，不满足集合中元素的确定性，不能构成集合； 对于B，高中学生中的游泳能手，不满足集合中元素的确定性，不能构成集合； 对于C，中国古代四大发明：指南针，火药，造纸术，印刷术，可以构成集合； 对于D，，不满足集合中元素的互异性，不能构成集合． 故选：C． 5．给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．②③ D．② 【答案】D 【分析】根据集合元素的特征逐一判断各选项. 【详解】对于①，集合不满足集合元素的互异性，故①错误； 对于②，集合仅有1个元素，故②正确； 对于③，集合与元素相同，是两个相同的集合，故③错误； 对于④，集合大于3的无理数是无限集，故④错误. 故选：D. 题型二：根据元素与集合的关系求参数 6．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得或或，分别求解后再验证即可. 【详解】解：因为， 当，即时，此时，不满足元素的互异性； 当，即时，此时，满足题意； 当，即时，此时无解； 综上，. 故答案为： 7．已知集合，若，则 . 【答案】14 【分析】根据元素与集合的关系得解. 【详解】因为，， 所以当时，，,不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，符合题意. 故答案为：14 8．已知集合，且，则的值为 . 【答案】3或2 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的性质求解即得. 【详解】由，且， 得或， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合元素的互异性，舍； 所以的值为3或2. 故答案为：3或2 9．已知集合，且，则 . 【答案】-1 【分析】分和两种情况，利用元素互异性排除不合要求的解，得到答案. 【详解】集合， 当时，解得或， 当时，，满足要求， 当时，不满足元素互异性，舍去， 当时，，不符合题意，所以. 故答案为：-1 10．若，则 ． 【答案】-4 【分析】利用元素与集合的关系和集合中元素的互异性求解. 【详解】若，由元素与集合的关系和集合中元素的互异性， 则有且，或者且， 解得. 故答案为：-4 11．已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果. 【详解】由题可知且 解得. 故选：C. 12．已知集合，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据条件得到或或，再利用集合的互异性即可求出结果. 【详解】因为，所以或或， 当时，，不满足集合元素的互异性， 当时，得到或（舍），又时，，满足题意， 当，得到，此时，不满足集合元素的互异性， 故选：A. 13．已知，且，，，则取值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的取值，结合已知逐一验证即可. 【详解】选项A：当时，，，故，A错误； 选项B：当时，，，故，B正确； 选项C：当时，，，故，C正确； 选项D：当时，，，故，D正确． 故选：A． 题型三：根据集合中元素的个数求参数 14．已知集合，若中只有一个元素，则的值构成的集合为 ． 【答案】 【分析】根据题意分情况讨论即可求得结果，当时，满足题意；时，只需让判别式等于零即可. 【详解】当时，解得，满足题意； 当时，此时，解得， 所以的值构成的集合为， 故答案为：. 15．已知集合中有且仅有个元素，则实数的取值为 ． 【答案】或 【分析】根据条件，将问题转化成方程有1个实数根，即可求解. 【详解】由题意可知，有1个实数根，则或， 解得或 故答案为：或 16．若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得只有一个解，由求解即可. 【详解】解：因为集合中有且只有一个元素， 所以方程只有一个解， 所以，解得. 故选：D. 17．已知集合 (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求集合A. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据空集转化为一元二次方程根的情况求解． （2）根据a分类讨论，从而解决问题． 【详解】（1）当时，集合， 因为A是空集， 所以且， 所以， 所以a的取值范围是． （2）因为A中只有一个元素， 当时，集合，符合题意， 当时，要使A中只有一个元素， 所以且， 所以， 综上所述，或. 18．已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是空集，求的取值范围； (2)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）讨论，根据得出结果； （2）讨论，根据得出结果； （3）讨论，根据得出结果； 【详解】（1）若是空集，则方程无实数根， ①当时，原方程变为，此时，不符合题意； ②则，，解得， 所以的范围为. （2）因为是单元素集合（只有一个元素）， ①当时，原方程变为，此时，符合题意； ②则，，解得， 所以或． （3）因为中至多有一个元素，则或， 解得或. 所以的取值范围为：或. 题型四：列举法与描述法 19．用列举法表示集合为 ． 【答案】 【分析】先解方程可得，进而求解即可. 【详解】由，则，即， 又，所以， 则. 故答案为：. 20．关于与的二元一次方程组的解集为 ． 【答案】； 【分析】联立消元求解，用列举法表示集合. 【详解】由消去可得：， 可得：，， 所以解集为， 故答案为： 21．集合可以用列举法表示为 . 【答案】 【分析】根据题意，逐项验证，结合集合的表示方法，即可求解. 【详解】当时，可得，不符合题意； 当时，可得，符合题意； 当时，可得，不符合题意； 当时，可得，符合题意； 当时，可得，符合题意； 当时，显然不成立， 当时，可得，不符合题意， 所以集合可以表示为集合. 故答案为：. 22．集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解绝对值不等式再结合自然数定义计算即可. 【详解】集合. 故选：B. 23．方程的解集表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设，应用列举法、描述法分析正确的集合表示方式，即可得答案. 【详解】方程的解为， 所以，，都可以表示该方程的解集， 表示的是含有点的集合． 故选：C 24．已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的取值分情况讨论，代入计算即可. 【详解】，时，， 时，， 或或或时，， 或或或时，， 故. 故选：D. 题型五：区间与集合的转化 25．用区间表示下列集合： ； ； ； . 【答案】 【分析】根据等号对应闭区间，不等号对应开区间，大于对应右边是，小于对应左边是，对应都是开区间.表示区间即可. 【详解】集合表示大于的所有实数，可用开区间表示为；集合表示大于2且小于或等于5的所有实数，可用左开右闭区间表示为；集合表示小于或等于的所有实数，可用左开右闭区间表示为；集合表示大于或等于2且小于或等于4的所有实数，可用闭区间表示为. 【点睛】本题考查区间的表示，难度较易.集合与区间都能表示范围，使用的时候注意选择其中更方便的一种. 26．用区间表示下列集合： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】根据集合与区间的关系，准确改写，即可求解． 【详解】（1）根据集合与区间的改写，可得． （2）由或． （3）由或． 【点睛】本题考查了集合与区间的改写，其中解答中熟记集合与区间的关系是解答的关键，属于容易题． 27．若函数的定义域为，值域为，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据区间的定义得到不等式，计算得到答案. 【详解】由区间的定义知，解得. 【点睛】本题考查了区间的定义，意在考查学生对于基础概念的理解. 28．已知区间，则实数a的取值范围为 ．（用区间表示） 【答案】 【分析】根据区间的定义得到，解不等式即可． 【详解】由，得．即. 故答案为：． 29．把下列数集用区间表示： （1）； （2）{x|x＜0}； （3）{x|－2＜x≤3}； （4）{x|－3≤x＜2}； （5）{x|－1＜x＜6}． 【答案】（1）；（2）(－∞，0)；（3）(－2，3]；（4）[－3，2)；（5）(－1，6)． 【分析】(1)由区间的定义表示即可； (2)由区间的定义表示即可； (3)由区间的定义表示即可； (4)由区间的定义表示即可； (5)由区间的定义表示即可． 【详解】(1)根据区间的定义可知：； (2)根据区间的定义可知：{x|x＜0}＝(－∞，0)； (3)根据区间的定义可知：{x|－2＜x≤3}＝(－2，3]； (4)根据区间的定义可知：{x|－3≤x＜2}＝[－3，2)； (5)根据区间的定义可知：{x|－1＜x＜6}＝(－1，6)． 【点睛】本题主要考查区间的表示，要求熟练掌握区间和不等式之间的对应关系，比较基础． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$