重难点专题01 集合及其运算常考题型（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“概念-关系-运算-应用”为逻辑主线，系统整合集合与常用逻辑用语核心题型，提炼“方法+技巧+结论”三维解题体系，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |元素与集合关系|4题+变式+练习|列举法（互异性）、直接法、推理法|从元素属性到归属判断，夯实集合概念基础| |集合间关系|5题+变式+练习|列举法、子集个数结论、元素特征法|从子集个数到集合关系，构建包含关系认知| |集合运算|4题+变式|数集（列举/数轴）、点集（方程组/图象）|从简单运算到交并补综合，强化运算逻辑| |韦恩图及容斥原理|5题+变式|韦恩图区域划分、容斥原理填数顺序|从图形表示到计数应用，培养直观想象| |常用逻辑用语|7题+变式|定义法、集合法、量词命题否定步骤|从条件判断到命题否定，深化逻辑表达|

重难点专题01 集合及其运算常考题型 【元素与集合的归属关系】 【重难点一 集合中元素的个数确定】 集合中元素的个数的确定 列举法，列出集合中含有的元素，即可判断元素个数 【注】注意化简时，元素的互异性 1．集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得. 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B 【变式】已知均为非零实数，则代数式的值所组成的集合的元素个数是______． 【答案】2 【分析】分析题意知代数式的值与的符号有关，按其符号的不同分3种情况讨论，分别求出代数式的值，即可得解. 【详解】根据题意分2种情况讨论： 当全部为负数时，为正数，则； 当全部为正数时，为正数，则； 当一正一负时，为负数，则； 综上可知，的值为或3，即代数式的值所组成的集合的元素个数是2 故答案为：2 2．已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】已知，， 当时： ， ； 当时： ， ； 当时： ， ； 由集合的互异性得，元素个数为. 【变式】定义某种运算“”如下：，则集合中的元素个数是______ 【答案】9 【分析】分类讨论的奇偶性是否相同，结合运算“”的定义分析求解即可. 【详解】因为，且， 若的奇偶性相同，则， 满足条件的有，，，，； 若的奇偶性不相同，则， 满足条件的有，，，； 综上所述：集合中的元素个数是9. 故答案为：9. 3．已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】首先求出x的值，然后代入分别求出y的值即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，可得，所以x可能取值为 当时：代入得，又， 所以，此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，.，， 此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，所以， 此时得到元素； 满足条件的元素分别为： ，，，，共11个， 故选：C 【练习】已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【分析】利用列举法表示集合A即可得出元素个数. 【详解】，共6个元素. 故选：C. 【重难点二 元素与集合归属关系的判断】 判断元素与集合的关系 1.直接法：集合中的元素是直接给出→看该元素在已知集合中是否出现． 2.推理法：对于一些没有直接表示的集合→看该元素是否满足集合中元素所具有的特征，注意要先对集合进行化简 4．给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据常见数集的表示方式，逐一判断，即可得答案. 【详解】对于①，为实数，而表示实数集，所以，所以①正确； 对于②，为整数，而表示整数集合，所以，所以②错误； 对于③，为正整数，而表示正整数集，所以，所以③错误； 对于④，因为为无理数，表示有理数集，所以，所以④正确． 故选：C 5．设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到集合表示小于的无理数，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由集合，可得集合表示小于的无理数， 对于A，由，所以，所以A错误； 对于B，由且，所以，所以B正确； 对于C，由且，所以，所以C不正确； 对于D，由，所以，所以D不正确. 【变式】（多选）已知集合，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于ABC：取特值举例说明即可；对于D：假设成立，可设，分，和三种情况分析说明错误，即可判断. 【详解】对于选项A：若，此时令，满足，A正确； 对于选项B：若，此时令或，满足，B正确； 对于选项C：若，此时令，满足，C正确； 对于选项D：若，即，可知， 因为，可设， 若，则， 因为关于直线对称， 当或时，， 当且时，， 即，； 若，则， 因为关于直线对称， 当时，， 当时，， 即，； 若，则， 即，； 综上所述：不存在，使得，故D错误． 故选：ABC. 6．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式得到，得到答案. 【详解】， 故，其中. 故选：C 【变式】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将元素代入集合中逐一验证即可求解. 【详解】由于，故， ，故，，故，，故， 故B正确，ACD均错误， 故选：B 【集合与集合的关系】 【重难点一 集合子集的个数确定】 确定集合子集个数的方法 1.列举法：用列举法将集合的子集一一列举出来，注意再列举时，按照子集所含的元素个数进行分类列举，以做到不重不漏 2.结论：含n个的元素的集合，其子集个数可按照结论直接求解，注意套用结论前要先找准集合有几个元素 （结论）若集合A中含有n个元素，则： (1)A的子集的个数为2n个； (2)A的非空子集的个数有2n－1个 (3)A的真子集的个数为2n－1个； (4)A的非空真子集的个数为2n－2个． 7．已知集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解不等式，因式分解得，解得， 又,所以,元素个数为3，所以的子集个数为. 【变式】已知集合的子集个数为______． 【答案】 【分析】根据题意，得到，结合子集个数的计算方法，即可求解. 【详解】由不等式， 当时，可得；当时，可得； 当时，可得；当时，可得， 不等式所围成的区域，如图所示的正方形， 又因为，所以集合表示正方形内的整点， 即集合，可得中元素的个数为5， 所以的子集个数为． 故答案为：.    8．已知集合A满足⫋则满足条件的集合A的个数是（   ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】A 【分析】利用集合间的基本关系计算即可. 【详解】由题意可知若A中有三个元素，则，仅此1种情况； 若A中有四个元素，则在包含三数的前提下，还可包含1或2024或2026，有3种情况； 若A中有五个元素，则在包含三数的前提下，可包含或或，有3种情况； 综上所述满足条件的集合A的个数是7个. 故选：A 【变式】已知集合，则满足条件的集合的个数为__________． 【答案】7 【分析】根据包含关系分析可知集合的个数即为集合的非空子集的个数，即可得结果. 【详解】因为集合，， 若，可知集合必含有元素1，2，可能含有元素3，4，5，且， 则集合的个数即为集合的非空子集的个数， 且集合有3个元素，所以集合的个数为. 故答案为：7. 【重难点二 集合与集合关系的判断】 判断集合间关系的方法 1.列举法：用列举法将两个集合表示出来，再比较两集合中的元素，从而判断两集合间的关系． 2.元素特征法：先确定集合的元素是什么，再根据集合中元素满足的性质特征判断两集合间的关系． 3.图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系． 一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴，但要注意端点值的取舍. 9．下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的含义进行判断可得. 【详解】对于A：两个集合不能比较大小关系，只有包含与不包含关系，相等与不相等关系，故A错误； 对于B：集合表示一个包含有序对(1,2)的集合，而是一个包含数字1和2的集合，故不相等，故B错误； 对于C：表示空集，不含任何元素，而表示含有一个元素的集合，故C错误； 对于D：其中表示自然数集（通常包括0），故D正确. 故选：D. 10．已知集合，则与集合M相等的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合类型判断AB；分奇偶讨论可判断C；根据范围和元素特征可判断D. 【详解】选项A，B是点集，不符合题意； 对于C：当为奇数时，当为偶数时，所以C等价于，不符合题意； 对于D：因为，由知可取，所以D等价于，符合题意. 故选：D. 【练习】下列各组中M，P表示相同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用相同集合的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，与表示不同的点，则，二者不是同一集合； 对于B，是数集，是点集，二者不是同一集合； 对于C，集合表示大于或者等于的数，集合也表示大于或者等于的数， 则，二者是同一集合； 对于D，集合表示二次函数中取值的集合，为数集， 而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，为点集， 则，二者不是同一集合. 故选：C. 11．在平面直角坐标系中，集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合中方程组的解集，然后根据集合之间的关系进行判断即可. 【详解】因为集合，集合， 因为是元素与集合之间的关系，而均为点集，所以A错误； 因为集合包含，所以B正确，C,D错误. 故选：B. 12．已知非空集合，且，设，，，，则对于，的关系，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过证明和，来判断与的相等关系． 【详解】对任意，有且，从而有且，进一步，即，所以； 对任意，有，从而有且，进一步有且，即，所以． 综上所述，有． 故选：C． 13．集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【分析】由题意可得，，，即可得答案. 【详解】集合， ， 所以， ， ， 所以⫋. 故选：A 【变式】已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对集合分析，当为偶数时，比较它与集合的描述得到与集合的关系；通过整理集合与集合的描述，得到集合与集合的关系，从而得出集合的关系． 【详解】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C. 【集合的运算】 【重难点 集合的交并补综合运算】 集合的交并补运算 1.数集的运算 （1）对于元素个数有限的集合（方程），应用列举法，先列出每个集合包含的所有元素，再根据集合运算的法则确定结果 【注】若两个集合中有相同元素，在求其并集时，只能算作一个． （2）对于元素个数无限的集合（不等式），先化简集合，再借助数轴求解，通过数轴直观地确定集合的运算结果。 【注】注意端点值的取舍，等号有无 （3）集合的交并补混合运算 运算顺序一般由内向外依次计算，先运算括号内的部分，再依次与外一层进行运算。 如求(A)∩B时，先求出A，再求交集；求时，先求出，再求补集． 2.点集的交集的两种思考方法 ①方程组的解→联立，解方程组 ②两个函数的交点→图象，交点坐标 14．已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，所以， 又，所以. 【变式】已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，所以， 由得，所以， 所以. 15．已知集合，则下列说法正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 故， 又，故， ，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 16．若集合，，则（    ） A．， B． C． D． 【答案】D 【详解】联立解得，所以. 【变式】已知集合，，则的元素个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】集合，， 方程组解得或， 所以，元素个数为2. 【韦恩图及应用】 【重难点一 韦恩图表示集合】 利用韦恩图表示集合 1. 韦恩图常用于表示元素个数有限的集合（直接列举型、方程型），可直观地表示集合的关系，以及各部分包含的元素特征 2. 使用技巧：画出图形，明确每一部分表示的集合关系及相应的元素，再根据题目要求进行求解即可 （1） 两集合：划分为4部分：①只 A（左不重叠） ②只B（右不重叠） ③A∩B（中间相交） ④矩形空白处：既不属于A也不属于B； （2）三集合：严格 7 个独立区域，严禁把 “两两交集” 直接填入，必须减去中心公共部分； 【注】圆圈仅表示从属关系，圆的大小不用严格对应元素数量，只标注数字即可。 17．已知，求阴影部分（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知，阴影部分为． 【变式】（多选）如图矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】阴影部分位于集合内，且不属于与的交集，即阴影部分为“中除去的部分”. 【详解】选项A：表示“的全部”与“中的补集”的并集，包含了外的部分区域，与阴影部分不符，故A错误； 选项B：表示“中的补集”，就等于阴影部分，故B正确； 选项C：表示“以为全集时，的补集”，就等于阴影部分，故C正确； 选项D：表示“中的补集”与的交集，就等于阴影部分，故D正确； 故选：BCD 18．（多选）已知全集，，，，， ，则下列选项正确的为（   ） A． B． C．A的非空子集的个数为7 D． 【答案】BC 【分析】根据集合之间的关系作出图，逐项判断即可. 【详解】由题可得：， 由，，，，，     作出图，如图所示， 由图可知，，，则，故A不正确； ，故B正确； 集合的非空子集个数为个，故C正确； 因为，所以，错误. 故选：BC 【练习】已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知、、，即可得出集合. 【详解】由题意可知全集，， 则、、，所以. 【重难点二 容斥原理】 容斥原理 1. 容斥原理基本内容 有限集合A中元素的个数记作，一般的，对任意两个有限集,， 推广，三集合： 2.容斥原理填数的顺序技巧 ①先填最内层三者公共交集A∩B∩C；②再填两两交集：A∩B，只写两者共有且不属于 C的数； ③再填只属于单个集合的部分；④最后填矩形里圆圈外：全都不属于的元素。 19．对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 【答案】 【详解】设都赞成人，所以赞成或赞成的人数为 由题可知都不赞成人数为， 所以总人数 ，解得 20．某班50名学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社，其中参加机器人社的有30人，参加编程社的有20人，参加航模社的有30人，同时参加机器人社和编程社的有10人，同时参加机器人社和航模社的有15人，同时参加编程社和航模社的有13人，则三个科创社团都参加的学生人数为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【详解】设三个科创社团都参加的学生有人.将参加三个科创社团的人数情况画出韦恩图，如图所示. 故参加科创社团的总人数， 解得. 故选：A 【变式1】调查表示火箭军、太空军、网络军位列2025年9.3军演最受欢迎前三个军种，某社区调查了该社区的部分市民的观看评价情况，调查结果显示：在网上评价了火箭军的有100人，评价了太空军的有89人，评价了网络军的有80人，三个军种都评价了的有24人，评价了其中两个军种的有46人，这三个军种都未评价的有15人.则接受调查的市民共有（    ） A．190人 B．120人 C．144人 D．178人 【答案】A 【分析】根据题意用Venn图表示题设中的集合关系，根据三个集合的容斥关系公式列式计算得到答案． 【详解】不妨将评价了火箭军、太空军、网络军的市民分别用集合A，B，C表示， 则，，，， 不妨设总人数为，只评价了火箭军、太空军的人数为， 只评价了太空军、网络军的人数为， 只评价了火箭军、网络军的人数为， 则. 如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 则，，， 由三个集合的容斥关系公式得， ， 解得，故接受调查的市民共有190人. 故选：A 【变式2】《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解. 【详解】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人，    在相应的位置填上数字，则，解得， 因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人. 故选：C 21．某社区需要招募志愿者进行连续天的志愿工作，第一天有人参加，第二天有人参加，第三天有人参加，其中，前两天都参加的有人，后两天都参加的有人，则这三天参加的人数最少为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记第一天，第二天，第三天参加志愿者的人员分别构成集合，设三天都参加的志愿者人数为，第一天和第三天均参加的志愿者人数为，作出维恩图求解即可. 【详解】记第一天，第二天，第三天参加志愿者的人员分别构成集合， 设三天都参加的志愿者人数为，第一天和第三天均参加的志愿者人数为， 根据题意可作维恩图如图: 依题意必有均为自然数， 所以, 故这三天参加的志愿者总人数为: 当时，总人数最少，最少人数为. 故选：B. 【常用逻辑用语】 【重难点一 充分必要条件的判断与选择】 充分、必要条件的判断方法 1.定义法 ①确定谁是条件，谁是结论 【“...的条件”前面的是q,剩下的为p】 ②找推式，判断p⇒q和q⇒p的真假 【小范围可以推大范围，但大范围不能推小范围】 ③根据条件和推式得出结论 2.集合法 如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，则 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若A＝B，则p是q的充分必要条件． 3.传递法：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件． ①若是的充分条件，是的充分条件，则是的充分条件; ②若是的必要条件，是的必要条件，则是的必要条件; ③若是的充要条件，是的充要条件，则是的充要条件． 3.等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假 4.特殊值法：选填题，可以取一些特殊值或者特殊情况，用来说明结论或者推导不成立，但不可用于证明题。 22．“”是“”成立的（   ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【详解】由题可得，，充分性不成立；，必要性成立 【变式】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【来源】黑龙江哈尔滨师范大学附属中学2026届高三下学期模拟考试数学科试题 【详解】，，解得， ，， 当满足，则其一定满足， 即由可以推出， “”是“”的充分条件; 若时，其满足，不满足， 即由不能推出; “”不是“”的必要条件， “”是“”的充分不必要条件. 23．设，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】充分性：对不等式移项通分得，已知，即， 要使分式大于0，分母必须也为负，因此可得，充分性成立； 必要性：若，说明异号，结合条件，可知为正数，为负数. 因此，，必然有，必要性成立. 综上，是的充要条件。 【变式】“”是“”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据函数单调性，使用赋值法结合充分条件和必要条件的性质判断即可. 【详解】设,, 函数在定义域上严格递增，则, 取,满足，但不满足，充分条件不满足， ，函数在定义域上严格递增得，必要条件满足， 则“”是“”成立必要不充分条件. 故选：B 24．（多选）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先解得到，则的必要条件的是：成立能推出对应的选项也成立即为它的必要条件，故依次分析选项即可. 【详解】由得到； 当时，成立，但是推不出成立，选项A错误； 成立必定可以推出成立，选项B正确； 成立必定可以推出成立，选项C正确； 当时，成立，但是推不出成立，选项D错误； 故选：BC 【变式】使为真命题的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据命题为真有求出充要条件，再由充分性的定义确定命题为真的一个充分条件即可. 【详解】要使为真命题，则只需，可得， 结合各项知，只有A中是该命题为真的一个充分条件. 故选：A 25．“实数集合满足：”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的运算性质及集合间的关系判断即可. 【详解】由可知，选项A、B、C均等价于，故错误， 选项D，等价于，故正确， 故选：D 【变式】（多选）有限集合S中元素的个数记作，设都为有限集合，则下列命题中是真命题的有（    ） A．的充要条件是 B．的必要条件是 C．不是的子集的必要条件是 D．的充要条件是． 【答案】AB 【分析】对于A，利用推导即可；对于B，根据包含关系的意义可分析得解；对于CD，举例子排除即可. 【详解】对于A，因为等价于， 又， 所以等价于， 故的充要条件是，故A正确； 对于B，因为，所以集合中的元素都是集合中的元素，故， 所以，故B正确； 对于C，令，显然不是的子集，此时， 故C错误； 对于D，令，显然，但，所以的充要条件不是，故D错误； 26．（多选）已知是的充分条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则（    ） A．是的充分条件 B．是的充要条件 C．是的充分条件 D．是的必要条件 【答案】ABD 【分析】根据充分条件、必要条件、充要条件的定义求解即可. 【详解】由已知得. 选项A，，则是的充分条件，所以A正确； 选项B，，则，所以是的充要条件，所以B正确； 选项C，根据已知条件，无法得出是的充分条件，所以C错误； 选项D，，则是的必要条件，所以D正确. 故选：ABD. 【变式】已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（   ） A．是的充分不必要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件 【答案】B 【分析】由充分条件、必要条件的概念逐个判断即可. 【详解】解：由已知有，，，，， 由此得且，故AC不正确； ，，故B正确； 且，故D不正确． 故选：B． 【重难点二 含量词的命题】 全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤 1.改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写； 2.否定结论：对原命题的结论进行否定． 【拓展】一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 27．（多选）下列说法正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．命题“”是假命题 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】BD 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题即可判断A；根据即可判断B；通过举例即可判断C；根据充分不必要条件的判断即可确定D． 【详解】命题“”的否定是“”，故A错误； 由，则无解， 即命题“”是假命题，故B正确； 若，则，故充分性不成立，故C错误； 由，反之不成立，则“”是“”的充分不必要条件，故D正确． 故选：BD． 【练习】（多选）下列说法正确的有（   ） A．命题p：，则 B．“粗缯大布裹生涯，腹有诗书气自华．”其中“腹有诗书”是“气自华”的充分条件 C．“”是“且”的必要条件 D．“x，y为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件 【答案】BCD 【分析】由全称命题的否定可得A错误；由诗句的意思和充分条件的性质可得B正确；举例可得CD正确； 【详解】对于A，命题p：，则，故A错误； 对于B，诗句大概意思是虽然衣服简陋，但学识渊博，气质自然会高雅， 所以“腹有诗书”是“气自华”的充分条件，故B正确； 对于C，可以为，但“且”一定有， 所以“”是“且”的必要条件，故C正确； 对于D，x，y为无理数，如，此时为有理数，充分性不成立； 若为无理数，如，此时为无理数，为有理数，必要性不成立，故D正确； 故选：BCD. 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题01 集合及其运算常考题型 【元素与集合的归属关系】 【重难点一 集合中元素的个数确定】 集合中元素的个数的确定 列举法，列出集合中含有的元素，即可判断元素个数 【注】注意化简时，元素的互异性 1．集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【变式】已知均为非零实数，则代数式的值所组成的集合的元素个数是______． 2．已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式】定义某种运算“”如下：，则集合中的元素个数是______ 3．已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【练习】已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【重难点二 元素与集合归属关系的判断】 判断元素与集合的关系 1.直接法：集合中的元素是直接给出→看该元素在已知集合中是否出现． 2.推理法：对于一些没有直接表示的集合→看该元素是否满足集合中元素所具有的特征，注意要先对集合进行化简 4．给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．设集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式】（多选）已知集合，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式】已知，则（   ） A． B． C． D． 【集合与集合的关系】 【重难点一 集合子集的个数确定】 确定集合子集个数的方法 1.列举法：用列举法将集合的子集一一列举出来，注意再列举时，按照子集所含的元素个数进行分类列举，以做到不重不漏 2.结论：含n个的元素的集合，其子集个数可按照结论直接求解，注意套用结论前要先找准集合有几个元素 （结论）若集合A中含有n个元素，则： (1)A的子集的个数为2n个； (2)A的非空子集的个数有2n－1个 (3)A的真子集的个数为2n－1个； (4)A的非空真子集的个数为2n－2个． 7．已知集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 【变式】已知集合的子集个数为______． 8．已知集合A满足⫋则满足条件的集合A的个数是（   ） A．7 B．8 C．15 D．16 【变式】已知集合，则满足条件的集合的个数为__________． 【重难点二 集合与集合关系的判断】 判断集合间关系的方法 1.列举法：用列举法将两个集合表示出来，再比较两集合中的元素，从而判断两集合间的关系． 2.元素特征法：先确定集合的元素是什么，再根据集合中元素满足的性质特征判断两集合间的关系． 3.图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系． 一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴，但要注意端点值的取舍. 9．下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知集合，则与集合M相等的集合为（   ） A． B． C． D． 【练习】下列各组中M，P表示相同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 11．在平面直角坐标系中，集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 12．已知非空集合，且，设，，，，则对于，的关系，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 13．集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【变式】已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【集合的运算】 【重难点 集合的交并补综合运算】 集合的交并补运算 1.数集的运算 （1）对于元素个数有限的集合（方程），应用列举法，先列出每个集合包含的所有元素，再根据集合运算的法则确定结果 【注】若两个集合中有相同元素，在求其并集时，只能算作一个． （2）对于元素个数无限的集合（不等式），先化简集合，再借助数轴求解，通过数轴直观地确定集合的运算结果。 【注】注意端点值的取舍，等号有无 （3）集合的交并补混合运算 运算顺序一般由内向外依次计算，先运算括号内的部分，再依次与外一层进行运算。 如求(A)∩B时，先求出A，再求交集；求时，先求出，再求补集． 2.点集的交集的两种思考方法 ①方程组的解→联立，解方程组 ②两个函数的交点→图象，交点坐标 14．已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式】已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 15．已知集合，则下列说法正确的是（        ） A． B． C． D． 16．若集合，，则（    ） A．， B． C． D． 【变式】已知集合，，则的元素个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【韦恩图及应用】 【重难点一 韦恩图表示集合】 利用韦恩图表示集合 1. 韦恩图常用于表示元素个数有限的集合（直接列举型、方程型），可直观地表示集合的关系，以及各部分包含的元素特征 2. 使用技巧：画出图形，明确每一部分表示的集合关系及相应的元素，再根据题目要求进行求解即可 （1） 两集合：划分为4部分：①只 A（左不重叠） ②只B（右不重叠） ③A∩B（中间相交） ④矩形空白处：既不属于A也不属于B； （2）三集合：严格 7 个独立区域，严禁把 “两两交集” 直接填入，必须减去中心公共部分； 【注】圆圈仅表示从属关系，圆的大小不用严格对应元素数量，只标注数字即可。 17．已知，求阴影部分（   ） A． B． C． D．    【变式】（多选）如图矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 18．（多选）已知全集，，，，， ，则下列选项正确的为（   ） A． B． C．A的非空子集的个数为7 D． 【练习】已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【重难点二 容斥原理】 容斥原理 1. 容斥原理基本内容 有限集合A中元素的个数记作，一般的，对任意两个有限集,， 推广，三集合： 2.容斥原理填数的顺序技巧 ①先填最内层三者公共交集A∩B∩C；②再填两两交集：A∩B，只写两者共有且不属于 C的数； ③再填只属于单个集合的部分；④最后填矩形里圆圈外：全都不属于的元素。 19．对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 20．某班50名学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社，其中参加机器人社的有30人，参加编程社的有20人，参加航模社的有30人，同时参加机器人社和编程社的有10人，同时参加机器人社和航模社的有15人，同时参加编程社和航模社的有13人，则三个科创社团都参加的学生人数为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式1】调查表示火箭军、太空军、网络军位列2025年9.3军演最受欢迎前三个军种，某社区调查了该社区的部分市民的观看评价情况，调查结果显示：在网上评价了火箭军的有100人，评价了太空军的有89人，评价了网络军的有80人，三个军种都评价了的有24人，评价了其中两个军种的有46人，这三个军种都未评价的有15人.则接受调查的市民共有（    ） A．190人 B．120人 C．144人 D．178人 【变式2】《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 21．某社区需要招募志愿者进行连续天的志愿工作，第一天有人参加，第二天有人参加，第三天有人参加，其中，前两天都参加的有人，后两天都参加的有人，则这三天参加的人数最少为（   ） A． B． C． D． 【常用逻辑用语】 【重难点一 充分必要条件的判断与选择】 充分、必要条件的判断方法 1.定义法 ①确定谁是条件，谁是结论 【“...的条件”前面的是q,剩下的为p】 ②找推式，判断p⇒q和q⇒p的真假 【小范围可以推大范围，但大范围不能推小范围】 ③根据条件和推式得出结论 2.集合法 如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，则 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若A＝B，则p是q的充分必要条件． 3.传递法：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件． ①若是的充分条件，是的充分条件，则是的充分条件; ②若是的必要条件，是的必要条件，则是的必要条件; ③若是的充要条件，是的充要条件，则是的充要条件． 3.等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假 4.特殊值法：选填题，可以取一些特殊值或者特殊情况，用来说明结论或者推导不成立，但不可用于证明题。 22．“”是“”成立的（   ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．设，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式】“”是“”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 24．（多选）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（   ） A． B． C． D． 【变式】使为真命题的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 25．“实数集合满足：”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式】（多选）有限集合S中元素的个数记作，设都为有限集合，则下列命题中是真命题的有（    ） A．的充要条件是 B．的必要条件是 C．不是的子集的必要条件是 D．的充要条件是． 26．（多选）已知是的充分条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则（    ） A．是的充分条件 B．是的充要条件 C．是的充分条件 D．是的必要条件 【变式】已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（   ） A．是的充分不必要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件 【重难点二 含量词的命题】 全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤 1.改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写； 2.否定结论：对原命题的结论进行否定． 【拓展】一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 27．（多选）下列说法正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．命题“”是假命题 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 【练习】（多选）下列说法正确的有（   ） A．命题p：，则 B．“粗缯大布裹生涯，腹有诗书气自华．”其中“腹有诗书”是“气自华”的充分条件 C．“”是“且”的必要条件 D．“x，y为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $