黑龙江哈尔滨市第三中学校2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

哈三中2025—2026学年度下学期 高一学年期末考试数学试卷 考试说明：（1）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟； （2）第I卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数，．若为实数，则（ ） A． B． C． D． 2．样本数据、、、、、、、、的第三四分位数为（ ） A． B． C． D． 3．已知，，若，（ ） A． B． C． D． 4．已知一组数据的平均数和方差分别为，，若向该组数据中添加一个数据，记这组新数据的平均数和方差分别为，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知一个圆锥轴截面是等边三角形，其内切球半径为，则该圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 6．已知空间中两条不同的直线，，两个不同的平面，，则下列条件是的充分条件的是（ ） A．， B．直线上有两个不同的点到的距离相等 C．，， D．， 7．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A． B． C． D． 8．如图，给定两个单位向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧（包含端点）上运动，若，其中，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知随机事件、满足，，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若与互斥，则 C．若，则 D．若，则与相互独立 10．已知甲组数据，，…，的平均数为，方差为：乙组数据，，…，的平均数为，方差为．且，，…，．现将甲、乙两组数据合并成一组新数据，记为丙组，其平均数为，方差为，则（ ） A． B．若，，则 C．若甲组数据的众数为，则乙组数据的众数为 D．若甲组数据的中位数为，则乙组数据的中位数为 . 11．如图，若正方体的棱长为，点是正方体侧面上的一个动点（含边界），点是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A．平面截该正方体的截面面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．若与侧面所成角为，则线段长度最小值为 D．若点为棱中点，点在线段上移动（含端点），则与平面所成角正弦值的取值范围为 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上． 12．若，，为空间中三个两两夹角都是的单位向量，则_________． 13．已知复数满足，则的最小值为__________． 14．在如图的的方格表中选个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的个数之和为的概率为__________． 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知的内角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2）若是的角平分线，且，求的最小值． 16．（15分） 2025年8月31日，哈尔滨马拉松赛事成功举行，志愿者服务是赛事有序开展的重要保障，共青团哈尔滨市委员会统筹了志愿者选拔的面试工作，现随机抽取了名候选志愿者的面试成绩，已知名候选志愿者的分数全部介于分到分之间（满分分），工作人员将所有测试分数分成组：，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）由频率分布直方图估计这名候选志愿者面试分数的平均数以及第百分位数； （3）此前工作人员已按照分层抽样的方法，从分数在内的候选志愿者中抽取出甲、乙、丙、丁、戊人，查阅他们的答题记录．求从甲、乙、丙、丁、戊人中选出人进行复核面试时，所选出的人中恰有人分数在内的概率． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，且，，点在线段上，满足：平面 （1）确定点的位置并说明原因： （2）求二面角的正弦值． 18．（17分） 如图，的内角，，的对边分别为，，，点满足，点在线段上，交于点． （1）若，，求的取值范围： （2）若，， ①求； ②若点满足，的面积为，求的最小值． 19．（17分） 已知矩形，，，，，分别为，的中点，为对角线，的交点，将和剪掉，如图所示，现将图按如下方式折叠：沿将翻折某一角度，沿将翻折同一角度，同时使与重合，与重合，得到由平面，，，围成的多面体，如图2所示． （1）证明：平面平面； （2）如图，若，，当直线与平面所成角最大时，求，两点的距离； （3）如图，若与的角平分线所成角余弦最小值为，求． 学科网（北京）股份有限公司 $高一期末考试数学答案 1-8ACCDCDBA 9.BD 10.ACD 11.ABD 12.313. √2 > 2 4.2 15.(1) 29 16.(1)a=0.020 (2)平均数73，第30百分位数66.25 (3) 2-5 17.(1)M为SD中点 (2)V42 1 18. (1) 回片236 @油而}五+号C因为4誓2 所以而-官c西-号丽a+号-号6-号0+号-c）.>0原式 9 999 3,*∞ (2)略 方法-：由04d.则40-00，又40=0c,所以oD-0c 设OD=tt>0),则OC=2t,在AOCD中，由余弦定理得 os∠DOC= 2×t×2i 4t3 因为△MBC的面积为9，则S如 -×}se9-2 =5m3 9 又S.om=2OC×ODxsin∠D0C=tsin∠DoC,则sin∠D0c=是 1 5r、1 2 因为o2D0c+m☑D0c-1.所以 2) + =1,整理得9-10a++64=0 9 81 将其看作关于f的一元二次方程，则△-100。-4×9xa+64≥0.解得a236,放a的最小 81 81 值为3√6. 方法二： 21 a4BC的面积为9，则Soem三acp了 2×9=2. 设A0=,OD=2x0C=4,∠C0D=0.Sam=号2x4xin0=4rin0 4Ksin0=2:x2-,1CD?=4x2+16r2-2x4xc0s6=10-8cos0 2sin0 sina 设 10-8cos0 sin t,则8cos8+tsin日=VP+64sim(0+y)∈[-1，+：平方后解得 CD2≥6，CD≥V6故a≥3√6 19.(1)取MN中点E,AE⊥N,CE⊥MN,所以MN⊥平面AEC. (2) 设 MN 中 点 为 E ON=OM=1,AM=CM=2,OA=OC=V5,设∠MOE=0 :MD=sin0,OB=co8,cos∠M0C=5t设∠CoE=0则 -=cos 0.cosa 设点E到平面OCM的距离为d 则 as写号1-}5cos0an0an0d-5cs6 sioing当 Vs-cCM=VM-00B 32432 5cos9=5时，d陬最大值，此时cosG5 ,∠A0C=g4C=v6 19.(2)(3) )没体然.宽.高合白2,2m,无 则Mn0,),N(n,马M),A,-),c(o,4) a→M子+R=60 =(m,t,b-从) |函=6今i+-8回 A8 丽病=o习州=kM® 0®0绢：((* :4先 白c的狗量元=(，-m,m）,成=(，kh) A,6-F时，=抗++w2,成=+状正 宽城刘器甲西号款 比对，2=号，刻庇e2=了. ()波L0叫的月平3依为卯，M角平矜将为0成，0州=c 高+高城+兴：学些)】 成哥哥学=尝世) 如e贵 可=[肝++ua树对】 厨品 =[44扣a+k】 =+(4的ia+个 =品td =2+265x 1,1=2+258 a成：手的： 1 2+206x ew=立，效是-a=月】 山石MW⊥和花.（禹MW柱E,0听MoA,WLo吧） 2 A(B) 设W牛2E.WM】 M Cib) M二CM-E.iJ 、·ME=s0,0÷x0 么LMd=垩&∠coE=以 见则里=0以：m6(之路) 云列M%六.利闻务存么绕 言支soa0Bs8=言zd ·d-竖seao.sa 球0-竖时d转伦、刻受 ∠Ae.、=6 3).不农W=1 衣，上收印-吸.问饰4h形M,州，W0,r w闪年吓网片各，· 取M,N恒秘响的刘求f$的 必WW42水.冷附=又.刘次，G州≤账+2父 Q 年晨答少中m刘 △w8种图14-8小合5.