精品解析：黑龙江哈尔滨市第三十二中学校2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

2025-2026学年度下学期高一数学期末考试 （考试范围：必修二；考试时间：60分钟，试卷满分：100分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据虚部的定义可得解. 【详解】复数的虚部为. 故选：C 2. 下列情况适合用全面调查的是（ ）． A. 了解一批玉米种子的发芽率 B. 了解某城市居民的食品消费结构 C. 调查一个县各村的粮食播种面积 D. 调查一条河的水质 【答案】C 【解析】 【分析】根据全面查得抽样调查的定义逐一判断即可 【详解】A．了解一批玉米种子的发芽率适合抽样调查，故不符合题意； B．了解某城市居民的食品消费结构适合抽样调查，故不符合题意； C．调查一个县各村的粮食播种面积适合全面调查，故符合题意； D．调查一条河的水质适合抽样调查，故不符合题意； 故选：C． 3. 样本数据3，5，7，2，10，2的中位数是（ ） A. 7 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数． 【详解】解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：2，2，3，5，7，10． 位于最中间的数是3，5， 所以这组数的中位数是． 故选：C． 4. 已知数据的平均数为2，方差为3，那么数据的平均数和方差分别为（ ） A. 2，3 B. 7，6 C. 5，3 D. 4，12 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数和方差的性质可得. 【详解】由平均数和方差的性质可知，数据的平均数为， 方差为. 故选：C 5. 已知两条相交直线，和三个不同的平面，，，则下列条件成立推不出的是（ ） A. 若， B. 若， C. 若， D. 若，，， 【答案】C 【解析】 【分析】 根据线面平行、垂直、面面平行的性质及判定定理一一判断即可. 【详解】选项A，若，，则成立； 选项B，若，，则成立； 选项C，若，，则与可能平行也可能相交，故选项C不能推出； 选项D，若，，，，则成立. 故选：C. 6. 下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A. 单位向量都相等 B. 若，则的长度相等而方向相同或相反 C. 若向量，满足，则 D. 相等向量其方向必相同 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误. 【详解】对于A中，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B中，只能说明的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C中，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故错误； 对于D中，相等向量其方向必相同，故D正确． 故选：D. 7. 设向量，，且，则（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得，再根据数量积的坐标公式计算即可. 【详解】因为， 所以，解得或. 故选：C. 8. 打靶3次，事件表示“击中i发”，其中．那么事件表示（ ） A. 全部击中 B. 至多击中1发 C. 都未击中 D. 至少击中1发 【答案】D 【解析】 【分析】先明确各事件具体含义，再理解并集运算逻辑，接着合并事件情况推导结论即可. 【详解】由题意可得，事件是彼此互斥的事件， 且为必然事件， 所以表示的是打靶三次至少击中一次， 故选：D. 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B. 直线l的方向向量，平面的法向是，则 C. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D. 直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为 【答案】AC 【解析】 【分析】由可判断A；由可判断B；由可判断C；根据线面角的向量公式直接计算可判断D. 【详解】A选项：因为，且不重合，所以，A正确； B选项：因为，所以 所以或，B错误； C选项：因为，所以，C正确； D选项：记直线l与平面所成角为，则， 因为，所以，D错误. 故选：AC 10. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1船八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义求解. 【详解】由正八边形的几何性质知：每个中心角为，，D正确； ，A正确； 与是方向相反的向量，B错误； ，C正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每空5分，共15分. 把答案填在题中的横线上. 11. 用1，2，5这三个数字组成无重复数字的三位数，则这个三位数比215大的概率为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可. 【详解】构成三位数的试验的样本空间，有6个样本点， 比215大的事件，共3个样本点， 所以所求的概率． 故答案为： 12. 已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，a＝3，b＝，sinA＝，则B＝__． 【答案】或 【解析】 【分析】根据a＝3，b＝，sinA＝，利用正弦定理求解. 【详解】因为a＝3，b＝，sinA＝， 由正弦定理， 可得， 解得sinB＝＞， 所以B＝或． 故答案为：或． 13. 一组5个数据中，前4个数据的平均数是20，全部5个数据的平均数是19，则第5个数据是______． 【答案】15 【解析】 【分析】设5个数据为，由题意可得出， ，两式相减即可得出答案. 【详解】设5个数据为，因为前4个数据的平均数是20， 所以，则①， 全部5个数据的平均数是19， 所以，所以②， ②①得：. 故答案为：15. 四、解答题：本题共3小题，每题11分，共33分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知向量，，求： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的数量积的坐标运算求解； （2）利用平面向量的模长公式求解； （3）利用平面向量的加法、减法和数量积的坐标运算求解. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 由已知得，， 所以. 15. 为了丰富大学生的课外生活，某高校团委组织了有奖猜谜知识竞赛，共有名学生参加，随机抽取了名学生，记录他们的分数，将其整理后分成组，各组区间为，，，，并画出如图所示的频率分布直方图 （1）估计所有参赛学生的平均成绩各组的数据以该组区间的中间值作代表； （2）若团委决定对所有参赛学生中成绩排在前名的学生进行表彰，估计获得表彰的学生的最低分数线 【答案】（1）分 （2）分 【解析】 【分析】(1)利用频率分布直方图频率和为1计算再计算平均数； (2) 获得表彰的学生人数的频率为，进而可得最低分数线在内，再进行求解. 【小问1详解】 由，得 这名参赛学生的平均成绩约为分， 故估计所有参赛学生的平均成绩为分 【小问2详解】 获得表彰的学生人数的频率为， 设获得表彰的学生的最低分数线为，由分数在区间的频率为，可知， 由，得， 故估计获得表彰的学生的最低分数线为分 16. 如图，在三棱锥中，平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且，，． （1）证明：平面． （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） 分别为的中点， 平面， 平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得，再根据，即可证出. （2）建立空间直角坐标系，先求出平面AEF的法向量，再求出平面的法向量，利用二面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 设平面AEF的法向量为，可得，故， 令，则解得，，得到平面的一个法向量为 易得平面的一个法向量为 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期高一数学期末考试 （考试范围：必修二；考试时间：60分钟，试卷满分：100分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列情况适合用全面调查的是（ ）． A. 了解一批玉米种子的发芽率 B. 了解某城市居民的食品消费结构 C. 调查一个县各村的粮食播种面积 D. 调查一条河的水质 3. 样本数据3，5，7，2，10，2的中位数是（ ） A. 7 B. 6 C. 4 D. 2 4. 已知数据的平均数为2，方差为3，那么数据的平均数和方差分别为（ ） A. 2，3 B. 7，6 C. 5，3 D. 4，12 5. 已知两条相交直线，和三个不同的平面，，，则下列条件成立推不出的是（ ） A. 若， B. 若， C. 若， D. 若，，， 6. 下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A. 单位向量都相等 B. 若，则的长度相等而方向相同或相反 C. 若向量，满足，则 D. 相等向量其方向必相同 7. 设向量，，且，则（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或3 8. 打靶3次，事件表示“击中i发”，其中．那么事件表示（ ） A. 全部击中 B. 至多击中1发 C. 都未击中 D. 至少击中1发 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B. 直线l的方向向量，平面的法向是，则 C. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D. 直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为 10. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1船八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每空5分，共15分. 把答案填在题中的横线上. 11. 用1，2，5这三个数字组成无重复数字的三位数，则这个三位数比215大的概率为______． 12. 已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，a＝3，b＝，sinA＝，则B＝__． 13. 一组5个数据中，前4个数据的平均数是20，全部5个数据的平均数是19，则第5个数据是______． 四、解答题：本题共3小题，每题11分，共33分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知向量，，求： （1）； （2）； （3）. 15. 为了丰富大学生的课外生活，某高校团委组织了有奖猜谜知识竞赛，共有名学生参加，随机抽取了名学生，记录他们的分数，将其整理后分成组，各组区间为，，，，并画出如图所示的频率分布直方图 （1）估计所有参赛学生的平均成绩各组的数据以该组区间的中间值作代表； （2）若团委决定对所有参赛学生中成绩排在前名的学生进行表彰，估计获得表彰的学生的最低分数线 16. 如图，在三棱锥中，平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且，，． （1）证明：平面． （2）求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $