第十一讲 机械能守恒及功能关系-2027届高三物理暑假自学衔接课讲义

新高三暑假复习讲义 2027届高三暑假自学衔接课 第十一讲 机械能守恒及功能关系 一、机械能守恒定律 （1）内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。 （2）守恒的条件：只有重力或系统内的弹力做功。 （3）守恒表达式：①Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2.②ΔEk＝－ΔEp.③ΔEA增＝ΔEB减． （4）判断机械能是否守恒的方法 （5） 连接体的机械能守恒问题 常见情景 三点提醒 (1)分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。 (2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。 (3)对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。 轻杆连接的物体系统基本规律 常见情景 三大特点 (1)平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。 (2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 (3)对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。 轻弹簧连接的物体系统基本规律 题型特点 由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。 两点提醒 (1)对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量完全决定，无论弹簧伸长还是压缩。 (2)物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关。 二、功能关系 做功 能的变化 关系 合力做功 动能变化 合力对物体做的功等于物体动能的变化量，W合＝ΔEk＝Ek2－Ek1 重力做功 重力势 能变化 重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加，WG＝ －ΔEp＝Ep1－Ep2 弹簧弹 力做功 弹性势 能变化 弹力做正功，弹性势能减少，弹力做负功，弹性势能增加，W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 只有重力、弹簧弹力做功 不引起机 械能变化 机械能守恒，ΔE＝0 非重力和 弹力做功 机械能 变化 除重力和弹力之外的其他力做正功，物体的机械能增加，做负功，机械能减少，W其他＝ΔE 电场力 做功 电势能 变化 电场力做正功，电势能减少，电场力做负功，电势能增加，W电＝－ΔEp 考点一：势能与做功的关系 例1.高山滑雪是奥运会比赛项目之一、如图所示，运动员收起滑雪杖从高处加速下滑过程中，所受阻力不可忽略。以下说法正确的是（　　） A．动能减小，合力做负功 B．动能增大，合力做正功 C．重力势能减小，合力做负功 D．重力势能增大，合力做正功 例2.如图所示小球从B到C过程中重力势能、弹簧的弹性势能的变化情况分别是（　　） A．重力势能减小，弹性势能增大 B．重力势能增大，弹性势能减小 C．重力势能减小，弹性势能减小 D．重力势能增大，弹性势能增大 例3.如图所示为运动员参加撑杆跳高比赛的示意图，对运动员在搼杆跳高过程中描述正确的是（　　） A．起跳上升过程中，运动员的重力做正功 B．起跳上升过程中，杆的弹性势能一直增大 C．起跳上升过程中，运动员的动能一直减小 D．起跳上升过程中，运动员的机械能不守恒 考点二：机械能守恒的初步应用 例1.如图，撑杆跳高运动中，运动员经过助跑、撑杆起跳，最终越过横杆。若运动员起跳前助跑速度为，则理论上运动员助跑获得的动能可使其重心提升的最大高度接近（重力加速度取）（     ） A．6 m B．5 m C．4 m D．3 m 例2.如图所示，盆景中一个质量为m的果实，从A点静止下落经过B点落到桌面上的C点，不计空气阻力，A点到盆的上边缘B点距离为h1，B点到桌面C点距离为h2，重力加速度为g，下列说法正确的是（     ） A．选B点为零势能面，果实落到C点的重力势能为mgh2 B．选B点为零势能面，果实在A点的重力势能为mg（h1＋h2） C．选C点为零势能面，果实下落到B点的机械能为mg（h1＋h2） D．选C点为零势能面，果实在A点的机械能为0 例3.如图所示，竖直面内的光滑轨道ABCD，AB段为曲面，BC段水平，CD段是半径的半圆形轨道，BC段与CD段在C点相切。在A点由静止释放一质量为的小球，小球沿轨道运动至D点后，沿水平方向飞出，最终落到水平轨道BC段上的E点，A点距水平面的高度，重力加速度g取，求： (1)小球运动到B点时的速度大小； (2)小球运动到D点时轨道对小球的弹力大小； (3)C、E两点的距离x。 考点三：机械能守恒定律的综合应用 例1.简易儿童蹦极装置如图所示。活动开始前，先给小朋友绑上安全带，然后将弹性绳拉长后固定在小朋友身上，并通过其它力作用使小朋友停留在蹦床上。当撤去其它力后，小朋友被“发射”出去冲向高空，小朋友到达最高点后，返回经过点（点与固定绳两端的悬挂点在同一水平线上），然后下落到点时，弹性绳恰好为原长，最后继续下落至最低点。若小朋友可视为质点，并始终沿竖直方向运动，忽略弹性绳质量与空气阻力，则小朋友（     ） A．到过程加速度减小 B．到过程一直减速 C．到过程加速度先减小后增大 D．在下落过程中机械能不断减小 例2. 如图所示，竖直平面内固定一光滑的半径R=0.125 m的半圆形轨道ABC，B点为AC轨道的中点，一个质量为0.25 kg的小球以一定的初速度从最低点A冲上轨道且恰能到达最高点C，不计空气阻力，，则（     ） A．小球到达C点时的速度为1.25 m/s B．小球在A点的初速度为2.5 m/s C．小球在A点所受支持力为12.5 N D．小球在B点所受合力为7.5 N 例3.如图所示，竖直平面内固定的光滑半圆轨道和光滑半圆管道在点平滑连接，、分别为半圆轨道、管道的最高点，、分别为半圆轨道、管道的圆心，点与圆心等高。水平地面与半圆轨道最低点平滑连接，在水平地面的点处有一竖直固定挡板，点有一可视为质点的物块，一轻质弹簧水平放置在、间，左端固定在挡板上，右端与物块接触（未拴接，开始弹簧处于原长），、间地面光滑，、间地面粗糙。现使物块压缩弹簧（始终处于弹性限度内），某时刻由静止释放。已知物块质量，、间地面长度，物块与、间地面的动摩擦因数，半圆轨道半径，半圆管道半径，重力加速度，物块可视为质点，管道半径远大于其粗细。 (1)若某次释放后，物块恰好能运动到点，求物块经过点时对轨道的压力的大小； (2)若某次释放后，物块能经过点，求释放时弹簧所具有的弹性势能最小值； (3)若释放时弹簧具有的弹性势能为（2）中的最小值，求物块经过点时对管道的作用力。 考点四：与图像综合问题 例1.从地面竖直向上抛出一物体，其机械能等于动能与重力势能之和。取地面为重力势能零点，在上升过程中，该物体的和随它离地面的高度的变化关系如图所示。重力加速度取。由图中数据可得（　　） A．物体的质量为 B．时，物体的速率为 C．时，物体的动能 D．从地面至离地面高处的过程中，物体的动能减少 例2.如图甲所示，质量为m的滑块静止在倾角的粗糙斜面底端，现用平行于斜面向上的拉力F作用在滑块上，滑块沿斜面运动时撤去拉力F，此时滑块的机械能，滑块上滑过程中机械能E与上滑位移x之间的关系图像如图乙所示，滑块运动时达到最高点，取斜面底端重力势能为0，重力加速度g取，则下列说法正确的是（　　） A．滑块的质量为 B．滑块所受摩擦力的大小为10N C．拉力F的大小恒为40N D．拉力F撤去时滑块的动能为50J 考点五：连接体问题 例1.如图所示，一条轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系小球a和b，b球的质量是a球的3倍。用手托住b球，当轻绳刚好被拉紧时，b球离地面的高度是h，a球静止于地面。定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦均不计，重力加速度为g，释放b球，则（　　） A．b球下落过程中机械能守恒 B．a球上升过程中机械能减少 C．b球刚落地时的速度大小为 D．a球上升的最大高度为 【变式训练】建筑工地常用如图所示装置将建材搬运到高处，光滑杆竖直固定在地面上，斜面体固定在水平面上，配重P和建材Q用轻绳连接后跨过光滑的定滑轮，配重P穿过光滑竖直杆，建材Q放在斜面体上，且轻绳与斜面平行，开始时建材静止在斜面上，之后增加配重质量，建材沿斜面上滑，下列分析正确的是（　　） A．当P、Q滑动时，则P、Q速度大小一定相等 B．当P、Q滑动时，P减小的机械能一定等于Q增加的机械能 C．当P、Q静止时，细线上的拉力一定大于竖直杆对P的弹力 D．当P、Q静止时，斜面对Q的摩擦力可能斜向下 例2.如图所示，长直轻杆两端分别固定小球和，A球质量为m、B球质量为13m，两球半径忽略不计，杆的长度为。先将杆竖直靠放在竖直墙上，由于微小扰动，小球在水平面上由静止开始向右滑动，小球、和轻杆的运动始终位于同一竖直平面，当小球沿墙下滑距离为时，下列说法正确的是（不计一切摩擦，重力加速度为）（     ） A．杆对小球做功为 B．小球、的速度大小都为 C．小球、的速度大小分别为和 D．杆与小球、组成的系统机械能减少了 【变式训练】质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球处有一个光滑固定轴O，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低点位置时，求： (1)小球P的速度大小为多少； (2)在此过程中杆对P球是否做功；若做功，则做功是多少； 考点六：功能关系 例1.质量为1kg的物体被小明同学用手由静止匀加速向上提升2m，这时物体的速度是4m/s，重力加速度g取10m/s2，则下列说法中正确的是 （　　） A．手对物体做功12J B．物体动能增加了20J C．合外力对物体做功8J D．物体克服重力做功-10J 例2.如图所示，倾角为30°的斜面上，质量为m的物块在恒定拉力作用下沿斜面以加速度（g为重力加速度）向上加速运动距离x的过程中，下列说法正确的是（     ） A．重力势能增加 B．拉力做功为 C．机械能增加 D．动能增加 例3.蹦极运动以其惊险刺激深得年轻人的喜爱，图示为某次蹦极运动中的情景，原长为l、劲度系数为k的轻弹性绳一端固定在机臂上，另一端固定在质量为m的蹦极者身上，蹦极者从机臂上由静止自由下落，当蹦极者距离机臂h时，下落至最低点。空气阻力恒为重力的，重力加速度为g。此过程中（　　） A．弹性绳增加的弹性势能为 B．蹦极者减少的机械能为 C．蹦极者的最大动能为 D．蹦极者和弹性绳组成的系统减少的机械能为 一、单选题 1．质量为的足球在地面的位置被踢出后落到地面的位置，在空中达到的最高点的高度为，不计空气阻力，则足球从位置到位置过程中，重力做功为，足球克服重力做功为，足球重力势能的增加量为，它们分别为：（     ） A．；； B．；； C．；；0 D．；；0 2．如图所示，滑雪运动员在倾角为30°的滑雪道上，从距底端高度为h处由静止开始滑下，其运动过程可近似看作加速度大小为的匀加速直线运动。已知运动员的质量为m（含身上所有装备），重力加速度为g，不计空气阻力，在整个下滑过程中，下列说法正确的是（     ） A．运动员的机械能减少了 B．运动员所受到的合力做功为 C．运动员下滑过程中减少的重力势能有转化为动能 D．下滑过程中摩擦力对运动员做的功为 3．小林将质量为2kg的背包由静止竖直向上提升1.5m时背包的速度为3m/s，不计一切阻力，重力加速度g＝10m/s2，对于提起背包这个过程，下列说法错误的是（     ） A．合力对背包做功9 J B．手对背包做功9J C．背包重力势能增加了30J D．背包机械能增加了39J 4．如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时，对轨道的压力大小等于小球的重力。已知，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中，下列说法正确的是（    ） A．重力做功mgR B．动能增加2mgR C．克服摩擦力做功mgR D．机械能减少 5．“反向蹦极”（图1）是一种安全又刺激的运动，其简化示意图如图2所示。弹性轻绳的上端固定在O点，拉长后将下端固定在体验者身上，并通过扣环和地面固定，打开扣环后，人从A点沿竖直方向经B点上升到最高点C点，B点时速度最大，到达C点前绳已经松弛。不计空气阻力，可将人视为质点，则（     ） A．从A到C过程中人的机械能守恒 B．B点弹性轻绳的弹性势能为0 C．从B到C过程中人的加速度一直减小 D．从A到C人的重力势能增加量等于弹性轻绳的弹性势能减少量 6．如图所示，倾角的斜面固定在水平地面上，物块P和Q通过不可伸长的轻绳连接并跨过轻质定滑轮，轻绳与斜面平行。已知P的质量，Q的质量，开始时两物块均静止，P距地面高度H ，Q与定滑轮间的距离足够大。现将P、Q从静止释放，不计一切摩擦。则（     ） A．P落地前P、Q组成的系统机械能不守恒 B．P落地时速度的大小为 C．P落地后Q继续沿斜面向上运动 D．P落地瞬间，Q的重力瞬时功率为 7.如图所示，L型轻杆可绕过O点且垂直于纸面的水平轴自由转动，两直角边长度分别为L和3L，轻杆两端分别与质量为4m、m的小球A、B（可视为质点）相连。初始时，OA杆水平，现将杆从静止释放。不计一切阻力，下列说法正确的是（　　） A．系统的重心在O点 B．释放之后，小球A的机械能守恒 C．小球A释放之后，OA杆不能越过竖直方向 D．小球A、B的向心加速度之比为 二、多选题 8．赣州古城墙始建于宋代，是我国现存规模最大的宋代砖城墙之一。在城墙修缮过程中，为使古青砖免遭损坏，工人将一块青砖从高为3.0 m、长为5.0 m的斜面顶端由静止释放，青砖沿斜面下滑。下滑过程中，其重力势能和动能随下滑距离s的变化关系如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度g取。下列说法正确的是（    ） A．开始时物块的机械能为30 J B．物块与斜面间的摩擦力大小为4 N C．物块下滑时合外力的大小为3 N D．物块下滑距离为2.0 m的过程中，机械能损失12 J 9．如图所示，倾角为的足够长的光滑斜面体固定在水平面上，轻弹簧放在斜面上，下端与固定在斜面底端的挡板相连，质量分别为和的物块A、B放在斜面上，B与弹簧连接，A、B静止时弹簧的压缩量为。已知弹簧弹性势能与其形变量的关系为，重力加速度为，则在移走物块A之后的过程中，下列说法正确的是（     ） A．物块B的机械能守恒 B．弹簧的劲度系数为 C．物块B的最大加速度为 D．物块B向上运动的最大位移为 10．如图所示，竖直平面内固定着圆心为、半径的粗糙圆弧轨道。现从点以的水平初速度抛出一质量为的小球，小球恰好从点沿轨道切线方向进入圆弧轨道，且小球恰好能通过圆弧轨道的点。已知为轨道的竖直直径，、点在同一水平线上，。不计空气阻力，小球可视为质点，取重力加速度大小。下列说法正确的是（     ） A．小球经过点时的速度大小为 B．小球经过B点时的速度大小为 C．小球通过圆弧轨道过程中克服阻力做的功为2.7J D．小球通过圆弧轨道过程中克服阻力做的功为3.0J 11．解放军战士进行投弹训练，将质量为的手雷从离地高的位置以速度斜向上抛出，恰好击中地面上的点。若以地面为零势能面，重力加速度大小为，且不计空气阻力，则下列说法正确的是（     ） A．手雷在点的重力势能为 B．手雷运动到最高点时的动能为0 C．从到的过程中重力对手雷做的功为 D．手雷在位置的机械能为 12．一个滑块以一定的初速度冲上倾角为的固定斜面，其动能和机械能随位移的变化如图所示（初位置为零势能平面），重力加速度，。则（　　） A．滑块的质量为 B．滑块的初速度为 C．斜面与滑块的摩擦因数为 D．滑块返回初位置的动能为 三、解答题 13．如图，光滑水平面AB与光滑竖直半圆形导轨在B点相切，导轨半径为。一个质量为的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，之后从B点进入半圆形导轨，重力加速度为g。 (1)若小球恰能过最高点C，求刚释放小球时弹簧的弹性势能； (2)若刚释放小球时弹簧的弹性势能为，求小球过最高点C时对导轨的压力； (3)若刚释放小球时弹簧的弹性势能为，求小球落至水平面AB上距离C点的水平距离。 14．如图是一种球形机器人跳跃原理的示意图，水平横轴过球心点与外壳固定，外壳上的两挡板位于过点的水平线上，两质量均为的摆锤，由长均为的不可伸长轻绳悬挂于轴上的点，初始时刻，两摆锤同时以水平初速度从最低点向相反方向摆动，直至与两挡板发生碰撞，碰撞时间极短，随后带动外壳以共同速度竖直向上运动，机器人到达最高点后落回地面瞬间，外壳立即静止，两摆锤速度不变，与挡板分离，继续向下运动，已知机器人（含摆锤）总质量为,,,,，忽略空气阻力，摆锤可视为质点，求： (1)摆锤与挡板碰撞后瞬间，机器人的动能； (2)机器人外壳上升的最大高度； (3)从摆锤开始运动到第一次外壳落地静止过程中的机械能损失。 14 学科网（北京）股份有限公司 $新高三暑假复习讲义 2027届高三暑假自学衔接课 第十一讲 机械能守恒及功能关系 一、机械能守恒定律 （1）内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。 （2）守恒的条件：只有重力或系统内的弹力做功。 （3）守恒表达式：①Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2.②ΔEk＝－ΔEp.③ΔEA增＝ΔEB减． （4）判断机械能是否守恒的方法 （5） 连接体的机械能守恒问题 常见情景 三点提醒 (1)分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。 (2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。 (3)对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。 轻杆连接的物体系统基本规律 常见情景 三大特点 (1)平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。 (2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 (3)对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。 轻弹簧连接的物体系统基本规律 题型特点 由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。 两点提醒 (1)对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量完全决定，无论弹簧伸长还是压缩。 (2)物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关。 二、功能关系 做功 能的变化 关系 合力做功 动能变化 合力对物体做的功等于物体动能的变化量，W合＝ΔEk＝Ek2－Ek1 重力做功 重力势 能变化 重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加，WG＝ －ΔEp＝Ep1－Ep2 弹簧弹 力做功 弹性势 能变化 弹力做正功，弹性势能减少，弹力做负功，弹性势能增加，W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 只有重力、弹簧弹力做功 不引起机 械能变化 机械能守恒，ΔE＝0 非重力和 弹力做功 机械能 变化 除重力和弹力之外的其他力做正功，物体的机械能增加，做负功，机械能减少，W其他＝ΔE 电场力 做功 电势能 变化 电场力做正功，电势能减少，电场力做负功，电势能增加，W电＝－ΔEp 考点一：势能与做功的关系 例1.高山滑雪是奥运会比赛项目之一、如图所示，运动员收起滑雪杖从高处加速下滑过程中，所受阻力不可忽略。以下说法正确的是（　　） A．动能减小，合力做负功 B．动能增大，合力做正功 C．重力势能减小，合力做负功 D．重力势能增大，合力做正功 【答案】B 【详解】运动员加速下滑，速度增大，质量不变，因此动能增大；根据动能定理：合外力做功等于动能的变化量，动能增大说明合力对运动员做正功。运动员下滑过程中高度不断降低，因此重力势能减小。 故选B。 例2.如图所示小球从B到C过程中重力势能、弹簧的弹性势能的变化情况分别是（　　） A．重力势能减小，弹性势能增大 B．重力势能增大，弹性势能减小 C．重力势能减小，弹性势能减小 D．重力势能增大，弹性势能增大 【答案】A 【详解】小球从运动到的过程中，位置高度降低，重力做正功，重力势能减小；弹簧被进一步压缩，形变量增大，弹性势能增大。 故选A。 例3.如图所示为运动员参加撑杆跳高比赛的示意图，对运动员在搼杆跳高过程中描述正确的是（　　） A．起跳上升过程中，运动员的重力做正功 B．起跳上升过程中，杆的弹性势能一直增大 C．起跳上升过程中，运动员的动能一直减小 D．起跳上升过程中，运动员的机械能不守恒 【答案】D 【详解】A．起跳上升过程中，重力竖直向下，位移向上，运动员的重力做负功，重力势能增加，故A错误； B．起跳上升过程中，杆的弹性势能转化为运动员的机械能，所以杆的弹性势能减小，故B错误； C．起跳上升过程中，开始时，杆对运动员的弹力大于运动员的重力，运动员加速上升，随着杆形变的变小，杆对运动员的弹力变小，当小于运动员重力时，运动员减速上升，所以运动员动能先增加后减小，故C错误； D．起跳上升过程中，杆的弹性势能转化为运动员的机械能，运动员的机械能增加，不守恒，故D正确。 故选D。 考点二：机械能守恒的初步应用 例1.如图，撑杆跳高运动中，运动员经过助跑、撑杆起跳，最终越过横杆。若运动员起跳前助跑速度为，则理论上运动员助跑获得的动能可使其重心提升的最大高度接近（重力加速度取）（     ） A．6 m B．5 m C．4 m D．3 m 【答案】C 【详解】根据机械能守恒定律，在理论情况下，当运动员在最高点速度为零时，助跑获得的动能全部转化为重力势能，此时重心提升的高度最大。 设运动员质量为，重心提升的最大高度为，根据机械能守恒有 解得 代入数据 可得 。故C正确，ABD错误。 故选C。 例2.如图所示，盆景中一个质量为m的果实，从A点静止下落经过B点落到桌面上的C点，不计空气阻力，A点到盆的上边缘B点距离为h1，B点到桌面C点距离为h2，重力加速度为g，下列说法正确的是（     ） A．选B点为零势能面，果实落到C点的重力势能为mgh2 B．选B点为零势能面，果实在A点的重力势能为mg（h1＋h2） C．选C点为零势能面，果实下落到B点的机械能为mg（h1＋h2） D．选C点为零势能面，果实在A点的机械能为0 【答案】C 【详解】A．选B点为零势能面，果实落到C点的重力势能为，故A错误； B．选B点为零势能面，果实在A点的重力势能为，故B错误； CD．选C点为零势能面，果实在A点时的机械能为，下落过程中机械能守恒，则果实下落到B点时机械能为，故C正确，D错误。 故选C。 例3.如图所示，竖直面内的光滑轨道ABCD，AB段为曲面，BC段水平，CD段是半径的半圆形轨道，BC段与CD段在C点相切。在A点由静止释放一质量为的小球，小球沿轨道运动至D点后，沿水平方向飞出，最终落到水平轨道BC段上的E点，A点距水平面的高度，重力加速度g取，求： (1)小球运动到B点时的速度大小； (2)小球运动到D点时轨道对小球的弹力大小； (3)C、E两点的距离x。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意，小球从到的过程中，由机械能守恒定律有 解得 （2）根据题意，小球从到的过程中，由机械能守恒定律有 解得 在点，由牛顿第二定律有 解得 （3）小球从点飞出后做平抛运动，飞行时间为 C、E两点的距离 考点三：机械能守恒定律的综合应用 例1.简易儿童蹦极装置如图所示。活动开始前，先给小朋友绑上安全带，然后将弹性绳拉长后固定在小朋友身上，并通过其它力作用使小朋友停留在蹦床上。当撤去其它力后，小朋友被“发射”出去冲向高空，小朋友到达最高点后，返回经过点（点与固定绳两端的悬挂点在同一水平线上），然后下落到点时，弹性绳恰好为原长，最后继续下落至最低点。若小朋友可视为质点，并始终沿竖直方向运动，忽略弹性绳质量与空气阻力，则小朋友（     ） A．到过程加速度减小 B．到过程一直减速 C．到过程加速度先减小后增大 D．在下落过程中机械能不断减小 【答案】C 【详解】A．C与固定绳两端的悬挂点等高，C到B过程弹性绳松弛，弹力为零，小朋友仅受重力，加速度恒为g，故A错误； B．B点弹性绳为原长，弹力为0，加速度为g，方向向下，速度向下，因此一开始重力大于弹力，小朋友仍做加速运动，当弹力大于重力后才开始减速，故B错误； C．B到A过程受到重力和弹性绳的弹力，竖直方向有 弹力逐渐增大，合力先减小后增大，根据牛顿第二定律 由上述分析可知加速度先减小后增大，故C正确； D．在C到B过程中，弹力为零，只有重力做功，机械能不变，B到A过程弹力逐渐增大，做负功，机械能不断减小，故D错误。 故选C。 例2. 如图所示，竖直平面内固定一光滑的半径R=0.125 m的半圆形轨道ABC，B点为AC轨道的中点，一个质量为0.25 kg的小球以一定的初速度从最低点A冲上轨道且恰能到达最高点C，不计空气阻力，，则（     ） A．小球到达C点时的速度为1.25 m/s B．小球在A点的初速度为2.5 m/s C．小球在A点所受支持力为12.5 N D．小球在B点所受合力为7.5 N 【答案】B 【详解】A．小球恰能到达最高点，满足重力提供向心力 解得，故A错误； B．轨道光滑，小球运动机械能守恒，以为零势能面，点高度为，根据机械能守恒 代入，整理得，故B正确； C．小球在A点，根据牛顿第二定律 代入，可得 ，故C错误； D．B点高度为，根据机械能守恒 可得，根据牛顿第二定律点轨道支持力 解得，但小球竖直方向还受重力 合力，故D错误。 故选 B。 例3.如图所示，竖直平面内固定的光滑半圆轨道和光滑半圆管道在点平滑连接，、分别为半圆轨道、管道的最高点，、分别为半圆轨道、管道的圆心，点与圆心等高。水平地面与半圆轨道最低点平滑连接，在水平地面的点处有一竖直固定挡板，点有一可视为质点的物块，一轻质弹簧水平放置在、间，左端固定在挡板上，右端与物块接触（未拴接，开始弹簧处于原长），、间地面光滑，、间地面粗糙。现使物块压缩弹簧（始终处于弹性限度内），某时刻由静止释放。已知物块质量，、间地面长度，物块与、间地面的动摩擦因数，半圆轨道半径，半圆管道半径，重力加速度，物块可视为质点，管道半径远大于其粗细。 (1)若某次释放后，物块恰好能运动到点，求物块经过点时对轨道的压力的大小； (2)若某次释放后，物块能经过点，求释放时弹簧所具有的弹性势能最小值； (3)若释放时弹簧具有的弹性势能为（2）中的最小值，求物块经过点时对管道的作用力。 【答案】(1) (2) (3)，方向向上 【详解】（1）物块恰好运动到C点，因此C点速度 从B到C，根据动能定理 物块在B点，根据牛顿第二定律 联立得，根据牛顿第三定律，物块对轨道的压力 （2）BCD为外轨道，物块能到达E点，必须先通过的最高点D，D点的临界条件为重力恰好提供向心力 设小球到达E时的速度为，D到E的过程中，机械能守恒 解得，能过E点 应用动能定理 解得 （3）物块到E点时，设管道对物块作用力向下，根据牛顿第二定律 代入得，方向向下 由牛顿第三定律，物块对管道的作用力大小为，方向向上。 考点四：与图像综合问题 例1.从地面竖直向上抛出一物体，其机械能等于动能与重力势能之和。取地面为重力势能零点，在上升过程中，该物体的和随它离地面的高度的变化关系如图所示。重力加速度取。由图中数据可得（　　） A．物体的质量为 B．时，物体的速率为 C．时，物体的动能 D．从地面至离地面高处的过程中，物体的动能减少 【答案】B 【详解】A．由题图可知，物体刚被抛出时的机械能为，即物体竖直上抛的初动能为 当机械能与重力势能相等，说明动能为零，物体上升到最高点时离地面高度为，这时重力势能 可得质量为，故A错误； B．根据，解得时，物体的速率为，故B正确； C．从题图中可以得出在物体上抛过程中，机械能有损失，物体上升到最高点的整个过程中，共损失了的机械能，时，可知此时的总机械能为，此时重力势能为，可知物体的动能，故C错误； D．物体竖直上抛的初动能为，从地面至离地面高处的过程中，物体的动能减小了，故D错误。 故选B。 例2.如图甲所示，质量为m的滑块静止在倾角的粗糙斜面底端，现用平行于斜面向上的拉力F作用在滑块上，滑块沿斜面运动时撤去拉力F，此时滑块的机械能，滑块上滑过程中机械能E与上滑位移x之间的关系图像如图乙所示，滑块运动时达到最高点，取斜面底端重力势能为0，重力加速度g取，则下列说法正确的是（　　） A．滑块的质量为 B．滑块所受摩擦力的大小为10N C．拉力F的大小恒为40N D．拉力F撤去时滑块的动能为50J 【答案】BD 【详解】BC．由功能关系，滑块机械能的变化量等于除重力以外的力做功，拉力作用内有 拉力撤去后内有 解得拉力，，故B正确，C错误； AD．拉力作用内，由动能定理有 拉力撤去后2m内，由动能定理有 联立解得，，故A错误，D正确。 故选BD。 考点五：连接体问题 例1.如图所示，一条轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系小球a和b，b球的质量是a球的3倍。用手托住b球，当轻绳刚好被拉紧时，b球离地面的高度是h，a球静止于地面。定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦均不计，重力加速度为g，释放b球，则（　　） A．b球下落过程中机械能守恒 B．a球上升过程中机械能减少 C．b球刚落地时的速度大小为 D．a球上升的最大高度为 【答案】C 【详解】AB．b球下落，球上升过程中，球的重力势能和动能都增加，即球的机械能增加，由题中所给条件，可判断系统总机械能守恒，故球的机械能减少，AB错误； C．设球的质量为，球的质量为，b球刚落地时，两球的速度大小相等，设为，对两球组成的系统，设地面的重力势能为，由机械能守恒定律有 得，C正确； D．球落地后，球会继续上升，做竖直上抛运动，直到速度减为零，设球继续上升的高度为，由匀变速直线运动位移与速度关系式有 得 则a球上升的最大高度，D错误。 故选C。 【变式训练】建筑工地常用如图所示装置将建材搬运到高处，光滑杆竖直固定在地面上，斜面体固定在水平面上，配重P和建材Q用轻绳连接后跨过光滑的定滑轮，配重P穿过光滑竖直杆，建材Q放在斜面体上，且轻绳与斜面平行，开始时建材静止在斜面上，之后增加配重质量，建材沿斜面上滑，下列分析正确的是（　　） A．当P、Q滑动时，则P、Q速度大小一定相等 B．当P、Q滑动时，P减小的机械能一定等于Q增加的机械能 C．当P、Q静止时，细线上的拉力一定大于竖直杆对P的弹力 D．当P、Q静止时，斜面对Q的摩擦力可能斜向下 【答案】CD 【详解】A．根据题意可知，当P、Q滑动时，沿绳方向的分速度大小与的速度大小相等，故A错误； B．与斜面之间有摩擦力，当P、Q滑动时，P减小的机械能等于Q增加的机械能和因与斜面之间摩擦产生的热之和，则P减小的机械能一定大于Q增加的机械能，故B错误； C．由于竖直杆光滑，则当P静止时，绳子一定不能与杆垂直，则绳子拉力沿水平的分力等于竖直杆对P的弹力，即细线上的拉力一定大于竖直杆对P的弹力，故C正确； D．当P、Q静止时，若绳子的拉力大于重力沿斜面向下的分力，则有向上的运动趋势，斜面对Q的摩擦力沿斜面向下，故D正确。 故选CD。 例2.如图所示，长直轻杆两端分别固定小球和，A球质量为m、B球质量为13m，两球半径忽略不计，杆的长度为。先将杆竖直靠放在竖直墙上，由于微小扰动，小球在水平面上由静止开始向右滑动，小球、和轻杆的运动始终位于同一竖直平面，当小球沿墙下滑距离为时，下列说法正确的是（不计一切摩擦，重力加速度为）（     ） A．杆对小球做功为 B．小球、的速度大小都为 C．小球、的速度大小分别为和 D．杆与小球、组成的系统机械能减少了 【答案】C 【详解】BC．当A下滑距离为时，由勾股定理，A竖直坐标为，因此B水平位移满足 得，此时杆与竖直墙的夹角 A速度竖直向下，B速度水平向右，杆不可伸长，两球沿杆方向的分速度大小相等 得 不计摩擦，只有重力做功，A、B和杆组成的系统机械能守恒，重力势能的减少量等于动能的增加量 解得 ，B错误，C正确； A．对A用动能定理 代入解得杆对A做功，A错误； D．系统只有重力做功，机械能守恒，D错误。 故选C 。 【变式训练】质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球处有一个光滑固定轴O，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低点位置时，求： (1)小球P的速度大小为多少； (2)在此过程中杆对P球是否做功；若做功，则做功是多少； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在Q球顺时针摆动到最低点位置时，设小球P的速度大小为，则Q的速度为，根据系统机械能守恒可得 由于两球是做同轴转动，所以两球的角速度大小相等，由，可知 联立解得， （2）在此过程中P球的机械能增加量为 由功能关系可知，小球P机械能的增加量等于杆对小球P所做的功，即其做功为。 考点六：功能关系 例1.质量为1kg的物体被小明同学用手由静止匀加速向上提升2m，这时物体的速度是4m/s，重力加速度g取10m/s2，则下列说法中正确的是 （　　） A．手对物体做功12J B．物体动能增加了20J C．合外力对物体做功8J D．物体克服重力做功-10J 【答案】C 【详解】A．根据功能关系，手对物体做功等于物体机械能的增加量，则手对物体做功为，故A错误； B．物体动能增加量等于末动能与初动能的差值，即，故B错误； C．根据动能定理，合外力对物体做功等于物体动能的变化量，即，故C正确； D．物体克服重力做功为，故D错误。 故选C。 例2.如图所示，倾角为30°的斜面上，质量为m的物块在恒定拉力作用下沿斜面以加速度（g为重力加速度）向上加速运动距离x的过程中，下列说法正确的是（     ） A．重力势能增加 B．拉力做功为 C．机械能增加 D．动能增加 【答案】C 【详解】A．物块的重力势能增加为，故A错误； B．由可知，则拉力做的功大于，故B错误； CD．根据牛顿第二定律可知，物块所受合力为 根据动能定理可知，物块的动能增加为 联立解得 物块的机械能增加为，故C正确，D错误。 故选C。 例3.蹦极运动以其惊险刺激深得年轻人的喜爱，图示为某次蹦极运动中的情景，原长为l、劲度系数为k的轻弹性绳一端固定在机臂上，另一端固定在质量为m的蹦极者身上，蹦极者从机臂上由静止自由下落，当蹦极者距离机臂h时，下落至最低点。空气阻力恒为重力的，重力加速度为g。此过程中（　　） A．弹性绳增加的弹性势能为 B．蹦极者减少的机械能为 C．蹦极者的最大动能为 D．蹦极者和弹性绳组成的系统减少的机械能为 【答案】A 【详解】C．根据题意可知，蹦极者下落l的过程中，蹦极者受重力和空气阻力，根据动能定理可知蹦极者此时动能为 此时蹦极者所受合力向下，蹦极者继续加速，则蹦极者的最大动能大于，故C错误； B．蹦极者从静止开始运动到最低点的过程中，其动能变化量为0，所以其机械能的减少量为其重力势能减少量 故B错误； A．弹性绳增加的弹性势能为蹦极者减少的机械能去掉克服阻力做的功，即 故A正确； D．蹦极者和弹性绳组成的系统减少的机械能为整个过程克服阻力所做的功 故D错误。 故选A 一、单选题 1．质量为的足球在地面的位置被踢出后落到地面的位置，在空中达到的最高点的高度为，不计空气阻力，则足球从位置到位置过程中，重力做功为，足球克服重力做功为，足球重力势能的增加量为，它们分别为：（     ） A．；； B．；； C．；；0 D．；；0 【答案】A 【详解】足球由位置到位置，上升了，重力做功为 则克服重力做功 根据功能关系可知重力势能增加量 故选A。 2．如图所示，滑雪运动员在倾角为30°的滑雪道上，从距底端高度为h处由静止开始滑下，其运动过程可近似看作加速度大小为的匀加速直线运动。已知运动员的质量为m（含身上所有装备），重力加速度为g，不计空气阻力，在整个下滑过程中，下列说法正确的是（     ） A．运动员的机械能减少了 B．运动员所受到的合力做功为 C．运动员下滑过程中减少的重力势能有转化为动能 D．下滑过程中摩擦力对运动员做的功为 【答案】A 【详解】A．由几何关系得斜面长度 沿斜面方向由牛顿第二定律 代入 、，解得摩擦力 除重力外，只有摩擦力做功，机械能的减少量等于克服摩擦力做的功，故A正确； B．合力做功 ，故B错误； C．减少的重力势能为 ，动能增加量等于合力做功 ，即减少的重力势能有 转化为动能，故C错误； D．摩擦力方向与位移方向相反，摩擦力做功 ，故D错误。 故选A。 3．小林将质量为2kg的背包由静止竖直向上提升1.5m时背包的速度为3m/s，不计一切阻力，重力加速度g＝10m/s2，对于提起背包这个过程，下列说法错误的是（     ） A．合力对背包做功9 J B．手对背包做功9J C．背包重力势能增加了30J D．背包机械能增加了39J 【答案】B 【详解】A．根据动能定理，合力做功等于背包动能的变化量，即，故A正确，不符合题意； B．根据动能定理，手的拉力做功与重力做功之和等于动能变化量，即 代入数据得，不是9J，故B错误，符合题意； C．背包重力势能的增加量等于克服重力做的功，即，故C正确，不符合题意； D．背包机械能的增加量等于重力势能增加量与动能增加量之和，即，故D正确，不符合题意。 故选B。 4．如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时，对轨道的压力大小等于小球的重力。已知，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中，下列说法正确的是（    ） A．重力做功mgR B．动能增加2mgR C．克服摩擦力做功mgR D．机械能减少 【答案】C 【详解】A．小球从P到B重力做功，A错误；     B．在B点时，其中 小球从P到B动能增加，B错误； C．小球从P到B由动能定理 解得克服摩擦力做功，C正确； D．机械能减少量等于克服阻力做功，即机械能减小，D错误。 故选C。 5．“反向蹦极”（图1）是一种安全又刺激的运动，其简化示意图如图2所示。弹性轻绳的上端固定在O点，拉长后将下端固定在体验者身上，并通过扣环和地面固定，打开扣环后，人从A点沿竖直方向经B点上升到最高点C点，B点时速度最大，到达C点前绳已经松弛。不计空气阻力，可将人视为质点，则（     ） A．从A到C过程中人的机械能守恒 B．B点弹性轻绳的弹性势能为0 C．从B到C过程中人的加速度一直减小 D．从A到C人的重力势能增加量等于弹性轻绳的弹性势能减少量 【答案】D 【详解】A．从A到C的过程中，弹性轻绳的弹力会对人做正功，因此人的机械能不守恒，A错误； B．B点时速度最大，此时人的合力为0，重力与绳的弹力大小相等、方向相反，说明绳子仍处于拉伸状态，弹性势能不为0，B错误； C．B点到绳的原长位置，，绳的弹力逐渐减小，加速度逐渐增大，绳的原长位置到C点，绳的弹力为 0，人只受重力，加速度恒为g，因此，从B到C加速度是先增大后不变，C错误； D．从A到C整个过程中不计空气阻力，只有重力和绳的弹力做功，人和绳组成的系统机械能守恒，人的动能在A点和C点均为0，则人的重力势能增加量等于绳的弹性势能减少量，D正确。 故选D。 6．如图所示，倾角的斜面固定在水平地面上，物块P和Q通过不可伸长的轻绳连接并跨过轻质定滑轮，轻绳与斜面平行。已知P的质量，Q的质量，开始时两物块均静止，P距地面高度H ，Q与定滑轮间的距离足够大。现将P、Q从静止释放，不计一切摩擦。则（     ） A．P落地前P、Q组成的系统机械能不守恒 B．P落地时速度的大小为 C．P落地后Q继续沿斜面向上运动 D．P落地瞬间，Q的重力瞬时功率为 【答案】C 【详解】A．在物块落地前，不计一切摩擦，对于、组成的系统，只有两者的重力做功，系统内部的拉力做功相互抵消，因此系统的机械能是守恒的，故A错误； B．取地面为零势能面，从静止释放到落地的过程中，根据系统机械能守恒定律（系统重力势能的减少量等于系统动能的增加量），有 取，，代入数据解得物块落地时的速度大小为。故B错误； C．当物块落地瞬间，物块沿斜面向上的速度也为。此后绳子松弛，物块沿斜面向上做匀减速直线运动。根据牛顿第二定律，物块上滑时的加速度大小为 根据匀变速直线运动的速度位移公式，可得继续向上运动的距离为，故C正确； D．在落地瞬间，物块速度大小为，方向沿斜面向上。重力的瞬时功率大小等于重力乘以重力方向上的分速度（即竖直方向的分速度），故，故D错误。 故选C。 7.如图所示，L型轻杆可绕过O点且垂直于纸面的水平轴自由转动，两直角边长度分别为L和3L，轻杆两端分别与质量为4m、m的小球A、B（可视为质点）相连。初始时，OA杆水平，现将杆从静止释放。不计一切阻力，下列说法正确的是（　　） A．系统的重心在O点 B．释放之后，小球A的机械能守恒 C．小球A释放之后，OA杆不能越过竖直方向 D．小球A、B的向心加速度之比为 【答案】D 【详解】A．轻杆无质量，仅小球A、B有质量，其重心必定在AB连线上，故A错误。 B．释放之后，小球AB组成的系统机械能守恒，两者会通过轻杆相互作用，单个小球机械能不守恒，故B错误。 C．当小球A处于竖直位置时，A重力势能减小值为，B重力势能增加量为，此时两者速度必定不为0，会继续向右运动，故C错误； D．小球A、B运动过程中，角速度相等，根据 可得 故D正确。 故选D。 二、多选题 8．赣州古城墙始建于宋代，是我国现存规模最大的宋代砖城墙之一。在城墙修缮过程中，为使古青砖免遭损坏，工人将一块青砖从高为3.0 m、长为5.0 m的斜面顶端由静止释放，青砖沿斜面下滑。下滑过程中，其重力势能和动能随下滑距离s的变化关系如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度g取。下列说法正确的是（    ） A．开始时物块的机械能为30 J B．物块与斜面间的摩擦力大小为4 N C．物块下滑时合外力的大小为3 N D．物块下滑距离为2.0 m的过程中，机械能损失12 J 【答案】AB 【详解】A．由题图可知，时重力势能，动能，则开始时物块的机械能，故A正确； BC．由图像斜率大小可得重力沿斜面向下的分力 由图像斜率可得合外力 根据 解得摩擦力，故B正确，C错误； D．物块下滑距离为的过程中，机械能损失等于克服摩擦力做的功，即，故D错误。 故选AB。 9．如图所示，倾角为的足够长的光滑斜面体固定在水平面上，轻弹簧放在斜面上，下端与固定在斜面底端的挡板相连，质量分别为和的物块A、B放在斜面上，B与弹簧连接，A、B静止时弹簧的压缩量为。已知弹簧弹性势能与其形变量的关系为，重力加速度为，则在移走物块A之后的过程中，下列说法正确的是（     ） A．物块B的机械能守恒 B．弹簧的劲度系数为 C．物块B的最大加速度为 D．物块B向上运动的最大位移为 【答案】BC 【详解】A．移走A后，弹簧弹力对B做正功，因此B的机械能增大，故A错误； B．A、B静止时，合力为零，弹簧弹力等于总重力沿斜面的分力 可得，故B正确； C．移走A后，初始位置合力最大，加速度最大，则有 最大加速度为，故C正确； D．B运动到最大位移时速度为0，设最大位移为x，此时弹簧形变量为，由能量守恒有 解得，故D错误； 故选BC。 10．如图所示，竖直平面内固定着圆心为、半径的粗糙圆弧轨道。现从点以的水平初速度抛出一质量为的小球，小球恰好从点沿轨道切线方向进入圆弧轨道，且小球恰好能通过圆弧轨道的点。已知为轨道的竖直直径，、点在同一水平线上，。不计空气阻力，小球可视为质点，取重力加速度大小。下列说法正确的是（     ） A．小球经过点时的速度大小为 B．小球经过B点时的速度大小为 C．小球通过圆弧轨道过程中克服阻力做的功为2.7J D．小球通过圆弧轨道过程中克服阻力做的功为3.0J 【答案】BC 【详解】AB．小球在竖直方向做自由落体运动，经过B点时竖直方向分速度为 则小球合速度大小为 故A错误，B正确； CD．小球恰能经过D点，则该点处完全由重力提供向心力有 对从B到D列动能定理有 解得 故C正确，D错误。 故选BC。 11．解放军战士进行投弹训练，将质量为的手雷从离地高的位置以速度斜向上抛出，恰好击中地面上的点。若以地面为零势能面，重力加速度大小为，且不计空气阻力，则下列说法正确的是（     ） A．手雷在点的重力势能为 B．手雷运动到最高点时的动能为0 C．从到的过程中重力对手雷做的功为 D．手雷在位置的机械能为 【答案】ACD 【详解】A．以地面为零势能面，手雷在点的重力势能为，故A正确； B．斜抛运动的最高点，手雷有水平方向的分速度，因此动能不为0，故B错误； C．从A到B手雷下落高度为h，重力做正功，大小为，故C正确； D．以地面为零势能面，手雷在点的机械能为 根据机械能守恒定律可知，位置机械能为，故D正确。 故选ACD。 12．一个滑块以一定的初速度冲上倾角为的固定斜面，其动能和机械能随位移的变化如图所示（初位置为零势能平面），重力加速度，。则（　　） A．滑块的质量为 B．滑块的初速度为 C．斜面与滑块的摩擦因数为 D．滑块返回初位置的动能为 【答案】AC 【详解】A．到达最高点时动能为零，重力势能即为机械能，其中 解得，故A正确； B．初动能 解得，故B错误； C．上滑过程，机械能减少量等于克服摩擦力做的功，其中 解得 由 解得，故C正确； D．从最高点下滑到底端，重力势能转化为动能和摩擦生热。最高点机械能为 下滑过程克服摩擦做功仍为 因此返回初位置时动能，故D错误。 故选AC。 三、解答题 13．如图，光滑水平面AB与光滑竖直半圆形导轨在B点相切，导轨半径为。一个质量为的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，之后从B点进入半圆形导轨，重力加速度为g。 (1)若小球恰能过最高点C，求刚释放小球时弹簧的弹性势能； (2)若刚释放小球时弹簧的弹性势能为，求小球过最高点C时对导轨的压力； (3)若刚释放小球时弹簧的弹性势能为，求小球落至水平面AB上距离C点的水平距离。 【答案】(1) (2)，方向竖直向上 (3) 【详解】（1）小球恰能过最高点C时，轨道对小球的弹力为0，仅由重力提供向心力 解得 从A到C的过程中，轨道光滑，机械能守恒（以AB面为零势能面），弹簧的弹性势能全部转化为小球在C点的机械能 解得 （2）从A到C机械能守恒 解得 在C点，，设导轨对小球向下的压力为，由牛顿第二定律 解得 根据牛顿第三定律，小球对导轨的压力大小等于，方向竖直向上，大小为 （3）从A到C机械能守恒 解得 小球从C点水平抛出，做平抛运动，竖直下落高度，由自由落体公式 解得 水平位移 14．如图是一种球形机器人跳跃原理的示意图，水平横轴过球心点与外壳固定，外壳上的两挡板位于过点的水平线上，两质量均为的摆锤，由长均为的不可伸长轻绳悬挂于轴上的点，初始时刻，两摆锤同时以水平初速度从最低点向相反方向摆动，直至与两挡板发生碰撞，碰撞时间极短，随后带动外壳以共同速度竖直向上运动，机器人到达最高点后落回地面瞬间，外壳立即静止，两摆锤速度不变，与挡板分离，继续向下运动，已知机器人（含摆锤）总质量为,,,,，忽略空气阻力，摆锤可视为质点，求： (1)摆锤与挡板碰撞后瞬间，机器人的动能； (2)机器人外壳上升的最大高度； (3)从摆锤开始运动到第一次外壳落地静止过程中的机械能损失。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）两摆锤以初速度沿外壳向上运动，与挡板相碰前，摆锤机械能守恒。设摆锤与挡板相碰前的速度为，根据机械能守恒定律有 解得 摆锤与挡板相碰后与机器人一起运动，根据动量守恒定律有 解得 机器人起跳时的动能。 （2）根据速度位移关系，有 可得机器人外壳上升的最大高度。 （3）机器人外壳落到地面时，机器人外壳的速度立即变为0，根据竖直上抛运动的对称性可知摆锤速度大小为，从摆锤开始运动到第一次外壳落地静止过程中的机械能损失 解得。 14 学科网（北京）股份有限公司 $