第八讲 万有引力定律及其应用 讲义-2027届高三物理暑假自学衔接课

新高三暑假复习讲义 2027届高三暑假自学衔接课 第八讲 万有引力定律及其应用 一、开普勒定律 定　律 内　　容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在　　　　的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等  =k,k是一个与行星无关的常量 二、万有引力定律 1．万有引力定律 (1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比。 (2)表达式：F＝，G为引力常量， G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。 2．中心天体质量和密度的估算 (1)“g、R法”：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 ①由G＝mg得天体质量M＝g。 ②天体密度ρ＝＝＝。 (2)“T、r法”：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 ①由G＝m得天体的质量M＝。 ②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 ③若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 3.万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg2。 3、 卫星运行参量的比较与计算 1 不同轨道卫星参量 G＝ 2 宇宙速度 （1）第一宇宙速度的推导 方法一：由G＝m得v1＝ 方法二：由mg＝m得v1＝ 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，对于人造地球卫星而言，最小周期：Tmin＝2π ＝5 075 s≈85 min。 （2）第二、三宇宙速度 a.第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。 b.第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。 3．同步卫星的六个“一定” 考点一：开普勒三定律 例1.“微笑”卫星是由中国科学院与欧洲空间局联合研制的太阳风—磁层相互作用全景成像卫星（SMILE）。该卫星采用软X射线成像技术，首次实现对地球磁层大尺度结构的整体成像，有望在天气预报、磁层物理学基础认知等领域取得一系列科学突破。卫星运行在椭圆轨道上，其轨道近地点离地球表面高度约为，轨道远地点离地球表面高度约为，为地球半径。已知地球同步卫星轨道离地球表面高度约为，则微笑卫星的运行周期约为（     ） A．33小时 B．44小时 C．51小时 D．60小时 【答案】C 【详解】根据题意，由开普勒第三定律有 其中地球同步卫星的周期 解得 故选C。 【变式训练】2026年4月25日，我国“长征六号”运载火箭成功将巴基斯坦PRSC-EO3卫星送入预定轨道。若新发射卫星与另一颗在轨卫星分别在如图所示的椭圆轨道Ⅰ、Ⅱ上沿逆时针方向运行，两轨道相切于近地点P，A、B为Ⅱ轨道上关于Ⅱ轨道长轴对称的两点。已知轨道Ⅰ、Ⅱ的长轴分别为、，两卫星运动的周期分别为、。则（    ） A． B． C．Ⅱ轨道卫星在A、B两点速度相同 D．在P点，Ⅰ轨道卫星的速度小于Ⅱ轨道卫星的速度 【答案】D 【详解】AB．由开普勒第三定律可知 可知半长轴越大，周期越大，则有，故AB错误； C．根据对称性可知，Ⅱ轨道卫星在A、B两点速度大小相等，但方向不同，故C错误； D．卫星从低轨道变轨到高轨道，需要在变轨处点火加速，所以在P点，Ⅰ轨道卫星的速度小于Ⅱ轨道卫星的速度，故D正确。 故选D。 例2.如图所示，虚线为金星绕日运行的椭圆形轨道，a、c为椭圆轨道长轴端点，b、d为椭圆轨道短轴端点。金星沿图中箭头方向运行。某时刻金星位于a点，经过四分之三周期，金星位于轨道的（　　） A．c点 B．cd之间 C．d点 D．da之间 【答案】B 【详解】根据开普勒第二定律可知，金星从a到c连线扫过面积正好是半个椭圆面积，则所用时间等于周期的二分之一，金星从a到d与中心天体连线扫过面积大于椭圆面积的四分之三，则所用时间大于周期的四分之三，故经过四分之三周期，金星位于轨道cd 之间，故B正确。 故选B。 【变式训练】如图所示，太阳系的八大行星绕太阳公转，下列说法正确的是（     ） A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆 B．金星比海王星的公转周期小 C．金星和海王星在近日点的运行速率可能相同 D．火星与太阳的连线和地球与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等 【答案】AB 【详解】A．根据开普勒第一定律（轨道定律）可知，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，故A正确； B．根据开普勒第三定律（周期定律）可知，因为金星比海王星的轨道半长轴小，所以金星比海王星的公转周期小，故B正确； C．根据万有引力定律提供向心力可得速度，为行星到太阳的距离，为太阳的质量。金星近日点到太阳的距离远小于海王星近日点到太阳的距离，因此金星在近日点的速度一定大于海王星在近日点的速度，故C错误； D．开普勒第二定律（面积定律）的适用前提是“同一行星”，即同一行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。火星和地球是不同行星，不满足“同一行星”的前提，因此它们与太阳连线在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误。 故选AB。 考点二：万有引力定律的理解 例1.潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中、和处单位质量的海水受月球引力大小在（     ） A．处最小 B．处最小 C．处最小 D．、处相等，处最大 【答案】C 【详解】根据万有引力定律，单位质量为m的海水受到月球的引力大小为 其中M为月球质量，r为海水所在位置到月球球心的距离。 所以a处受到的引力最大，处受到的引力最小。 故选C。 【变式训练】有一质量为、半径为、密度均匀的球体，在距离球心为的地方有一质量为的质点。现从中挖去半径为的球体，如图所示，则剩余部分对的万有引力大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】挖去的球体质量 则剩余部分对的万有引力大小为 故选C。 例2.旅行爱好者小陆走遍世界各地，他发现从赤道到北极自己的重力增加了ΔN。已知小陆的质量始终为m，地球半径为R，则地球的自转周期为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小陆在北极时，有 小陆在赤道时，有 根据 解得地球的自转周期为 故选D。 【变式训练1】某行星的质量约为地球质量的6.4倍，半径约为地球的2倍，则一个在地球上重为600 N的人在该行星上重约为（忽略地球和行星的自转）（     ） A．375 N B．600 N C．960 N D．1920 N 【答案】C 【详解】忽略星球自转时，物体在星球表面的重力等于万有引力，即 人在行星上的重力与在地球上的重力比值为 代入题给数据、，可得 故选C。 【变式训练2】已知地球两极处的重力加速度大小为，地球赤道处的重力加速度大小为g，将地球视为质量分布均匀的球，地球半径为R，则地球自转角速度大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设地球质量为，地球表面某物体质量为，地球两极处物体随地球自转的向心力为0，万有引力全部等于重力，可得 地球赤道处，万有引力一部分表现为重力，一部分提供物体随地球自转的向心力，可得 联立得 解得 故选C。 例3.中国载人登月工程规划在2030年前实现航天员登月。假设航天员登月后，在月球表面尝试估测月球质量。已知月球半径和引力常量。航天员分别用到如下器材，其中无法实现目标的是（　　） A．一个质量已知的钩码和一个弹簧测力计 B．一个质量已知的钩码、一把刻度尺和一块停表 C．一个质量未知的钩码、一把刻度尺和一块停表 D．一个质量未知的钩码、一根长度未知的细线和一块停表 【答案】D 【详解】月球表面物体所受万有引力近似等于重力，由 推导得 已知月球半径和引力常量，只需测得月球表面重力加速度即可求出月球质量。 A．弹簧测力计可测得已知质量钩码的重力，由 得，可求出进而得到，故A不符合题意； B．利用自由落体运动规律 用刻度尺测下落高度、停表测下落时间，可求出进而得到，故B不符合题意； C．自由落体运动求不需要钩码质量，仍可通过刻度尺测高度、停表测时间得到，进而求出，故C不符合题意； D．无刻度尺，既无法测量自由落体的下落高度，也无法测量单摆的摆长，无法求出，因此不能得到月球质量，故D符合题意。 故选D。 【变式训练】2022年9月第73届国际宇航大会（IAC）在法国巴黎召开，中国首次火星探测“天问一号”任务团队获得“世界航天奖”。已知火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的，火星绕太阳公转的轨道半径约为地球公转轨道半径的倍。忽略星球自转的影响，请估算： (1)火星表面与地球表面的重力加速度大小之比； (2)火星与地球公转周期之比。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）假设一物体质量为m在地球表面，有 在火星表面，有 解得 （2）行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳引力提供向心力，则， 可得火星与地球公转周期之比为 考点三：计算中心天体的质量与密度 例1.土星最大的卫星叫“泰坦”（如图），每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为，已知引力常量，则土星的质量约为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】卫星绕土星运动，土星的引力提供卫星做圆周运动的向心力设土星质量为M，则 解得 代值计算得，故B正确。 故选B。 例2. 航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R（不考虑月球自转的影响）。求： (1)月球的质量M； (2)若一飞行器在距离月球表面高度2R处做匀速圆周运动，则其运行速率为多少。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据 可得月球上的重力加速度 根据 可得 （2）根据万有引力提供向心力 结合 可得 例3.中国空间站天和核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知其轨道距地面的高度为，运行周期为，地球半径为，引力常量为，由此可得到地球的平均密度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】中国空间站天和核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有 可求得地球的质量 地球可近似看作球体，根据密度的定义式得 故选C。 【变式训练】郭守敬望远镜是我国首个天文领域大科学装置，积累了大量的观测数据。分析观测数据表明，某行星绕一恒星做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为该恒星半径的n倍。不考虑其他星体的影响，引力常量为G，则该恒星的平均密度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设恒星半径为R，由题意得行星轨道半径r = nR 行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有 整理得恒星质量 恒星为均匀球体，体积，平均密度，将r = nR代入得 故选C。 考点四：宇宙速度与卫星 例1.国际航天领域中，把轨道高度在的卫星称为低轨卫星。地球同步卫星到地面的高度约为，则同步卫星的（     ） A．角速度比低轨卫星的大 B．线速度比低轨卫星的大 C．周期比低轨卫星的大 D．向心加速度比低轨卫星的大 【答案】C 【详解】A．根据万有引力提供向心力，有 解得 可知，轨道半径越大角速度越小，所以同步卫星角速度比低轨卫星小，故A错误； B．根据万有引力提供向心力，有 解得 可知，轨道半径越大线速度越小，所以同步卫星线速度比低轨卫星小，故B错误； C．根据万有引力提供向心力，有 解得 可知，轨道半径越大周期越大，所以同步卫星周期比低轨卫星大，故C正确； D．根据万有引力提供向心力，有 解得 可知，轨道半径越大向心加速度越小，所以同步卫星向心加速度比低轨卫星小，故D错误。 故选C。 【变式训练】“千帆星座”是我国正在建设的巨型低轨卫星互联网星座系统，其组网卫星“千帆极轨12组”（共18颗），于2026年6月5日，由长征八号运载火箭在海南商业航天发射场以“一箭18星”发射入轨。入轨后，该组卫星均在距地面约1070 km高度的同一极地圆轨道上运行。关于这18颗卫星中的任意一颗（　　） A．运行周期均小于24 h B．运行周期均大于24 h C．运行速度均小于 D．运行速度均大于 【答案】AC 【详解】AB．由，得周期公式 可知轨道半径越小，运行周期越小。地球同步卫星轨道高度约为36000km，周期为24h，该卫星轨道高度仅1070km，轨道半径远小于同步卫星，故运行周期小于24h，故A正确，B错误； CD．由，得线速度公式 可知轨道半径越大，运行线速度越小。7.9km/s是近地卫星（轨道半径等于地球半径）的环绕速度，也是卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度，该卫星轨道半径大于地球半径，故运行速度小于7.9km/s，故C正确，D错误。 故选AC。 例2.2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船成功发射，飞船与空间站组合体自主对接后绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径。下列说法正确的是（     ） A．飞船的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间 B．飞船在轨运行的线速度小于地球同步卫星在轨运行的线速度 C．飞船在轨运行的周期大于地球自转周期 D．飞船返回地球时，需要点火加速做离心运动 【答案】A 【详解】A．第一宇宙速度是绕地球做圆周运动的最小发射速度，第二宇宙速度是脱离地球引力的最小发射速度，飞船与空间站组合体自主对接后绕地球做匀速圆周运动，说明卫星的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间，故A正确； B．根据万有引力提供向心力 得线速度，轨道半径r越小，线速度越大，故B错误； C．根据万有引力提供向心力 解得周期 可知轨道半径越小，周期越小，同步卫星周期等于地球自转周期，因此飞船周期小于地球自转周期，故C错误； D．飞船返回地球时，需要点火减速使万有引力大于向心力，做近心运动降低轨道才能返回，故D错误。 故选A。 例3.我国计划在2030年前实现航天员登陆月球。假设一航天员在距月球表面高度为h处（h远小于月球半径）以速度水平抛出一个小球，经过时间t小球落至月球表面。已知月球可看作球体且表面近似真空，月球的质量为M，万有引力常量为G，根据以上信息可知（     ） A．月球表面的重力加速度 B．月球的半径 C．小球落地点到抛出点的水平距离为 D．月球的第一宇宙速度 【答案】BC 【详解】A．小球在月球上做平抛运动，在竖直方向 解得，故A错误； B．小球在月球表面时，万有引力等于重力 解得月球的半径为，故B正确； C．小球在月球上做平抛运动，根据小球在水平方向上做匀速直线运动可知，小球落地点到抛出点的水平距离为，故C正确； D．根据牛顿第二定律可得 可得，月球的第一宇宙速度为，故D错误。 故选BC。 考点五：同步卫星 例1.北斗G7卫星处于地球同步静止轨道，绕地球做匀速圆周运动，则G7卫星的（     ） A．运行速度大于地球的第一宇宙速度 B．角速度大于地球自转的角速度 C．运行线速度大于地球赤道上物体随地球自转的线速度 D．G7卫星可能经过天津正上空 【答案】C 【详解】A．万有引力提供卫星圆周运动向心力，由 得环绕速度公式 第一宇宙速度是轨道半径等于地球半径的近地卫星的环绕速度，是所有地球卫星的最大环绕速度，同步卫星轨道半径远大于地球半径，故运行速度小于第一宇宙速度，A错误； B．地球同步卫星的定义为运行周期与地球自转周期完全相等的卫星，由角速度公式可知，同步卫星角速度与地球自转角速度相等，B错误； C．同步卫星与地球赤道上随地球自转的物体角速度相同，由线速度公式，同步卫星轨道半径远大于地球赤道半径，故其运行线速度大于赤道上物体的自转线速度，C正确； D．地球同步卫星的轨道必须固定在赤道平面上空，天津不在赤道区域，故G7卫星不可能经过天津正上空，D错误。 故选C。 例2.2026年4月24日，第十一届“中国航天日”主场活动在成都举行，主题为“七秩问天路，携手探九霄”。全球首颗商业地球静止轨道卫星“苍宇一号”亮相商业航天展区，成为现场焦点。“苍宇一号”将于2026年底发射至离地球表面高度约为6R的地球静止轨道上运行，已知地球的半径为R，地球表面重力加速度大小为g，下列说法正确的是（     ） A．“苍宇一号”可以在郑州的上空相对地面保持静止 B．“苍宇一号”在轨运行的周期与地球自转周期相同 C．“苍宇一号”在轨运行的向心加速度大小约为 D．“苍宇一号”在轨运行的线速度小于7.9 km/s 【答案】BD 【详解】A．地球静止轨道卫星在赤道上空，故“苍宇一号”不可能在郑州的上空保持相对静止，故A错误； B．地球静止轨道卫星与地球相对静止，在轨运行的周期与地球自转周期相同，故B正确； C．某物体在地球表面上，则有 “苍宇一号”在轨运行，则有 联立解得“苍宇一号”在轨运行的向心加速度为，故C错误； D．7.9km/s是第一宇宙速度，是卫星环绕地球做匀速圆周运动的最大速度，故“苍宇一号”在轨运行的线速度小于7.9km/s，故D正确。 故选BD。 例3.如图所示，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球静止卫星。下列关于a、b、c做匀速圆周运动的说法中，正确的是（　　） A．角速度的大小关系为ωb > ωc = ωa B．向心加速度的大小关系为aa > ab > ac C．线速度的大小关系为vb > vc > va D．周期关系为Ta = Tc <Tb 【答案】AC 【详解】A．对b、c，根据万有引力提供向心力得，解得 因为c的轨道半径大于b的半径，所以 对a、c，角速度相等，即 所以，故A正确； B．对b、c，根据万有引力提供向心力得 解得 因为c的轨道半径大于b的半径，所以 对a、c，角速度相等，又由 所以 所以，故B错误； C．对b、c，根据万有引力提供向心力得，解得 因为c的轨道半径大于b的半径，所以 对a、c，角速度相等，又由 所以 所以，故C正确； D．对b、c，根据万有引力提供向心力得，解得 因为c的轨道半径大于b的半径，所以 对a、c，周期相等，即 所以，故D错误。 故选AC。 【变式训练1】如图所示，卫星A绕地球做匀速圆周运动的半径小于地球同步卫星B运行的半径，P是位于地球赤道上的物体。若P、A、B做匀速圆周运动的线速度大小分别为vP、vA、vB，周期分别为TP、TA、TB，向心加速度大小分别为aP、aA、aB，则下列判断正确的是（     ） A．vA>vB>vP B．vA<vB<vP C．TP>TA>TB D．aB>aA>aP 【答案】A 【详解】A．对于卫星A、B，根据万有引力提供向心力，有 解得 由可知，由于卫星B是地球同步卫星，，由可知，所以，故A正确，B错误； C．根据万有引力提供向心力，有 解得 可知，所以，由，可知，故C错误； D．根据万有引力提供向心力，可知，故，由，可知，所以，故D错误。 故选A。 【变式训练2】同步卫星与地心间的距离为，运行速率为，向心加速度大小为；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为；地球的第一宇宙速度为，半径为。下列关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】AB．同步卫星与地球赤道上的物体角速度相同，向心加速度公式为 因此，故A错误；B正确； CD．同步卫星和近地卫星（第一宇宙速度对应近地卫星的环绕速度）均由万有引力提供向心力，由 得 因此，故CD错误； 故选B。 一、单选题 1．如图所示，关于开普勒三大定律，下列说法正确的是（     ） A．火星绕太阳运行一周的时间比地球绕太阳运行一周的时间短 B．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点运行的速率相等 C．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 D．在相等时间内，火星和太阳的连线扫过的面积与地球和太阳的连线扫过的面积相等 【答案】C 【详解】A．根据开普勒第三定律，火星轨道的半长轴大于地球轨道的半长轴，则火星绕太阳运行一周的时间比地球绕太阳运行一周的时间长，A错误； B．根据开普勒第二定律，地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点运行的速率大于在远日点的速率，B错误； C．根据开普勒第一定律，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，C正确； D．根据开普勒第二定律，因火星和地球在不同的轨道上运动，则在相等时间内，火星和太阳的连线扫过的面积与地球和太阳的连线扫过的面积不相等，D错误。 故选C。 2．两卫星释放过程简化为如图所示，火箭运行至P点时，同时将A、B两颗卫星送入预定轨道，A卫星进入轨道1做圆周运动，B卫星进入轨道2沿椭圆轨道运动，P点为椭圆轨道的近地点，Q点为远地点，B卫星在Q点喷气变轨到轨道3，之后绕地球做圆周运动，下列说法正确的是（     ） A．A、B在P点时受到地球的引力一定相等 B．A卫星在P点的加速度小于B卫星在P点的加速度 C．卫星在1、2、3轨道上的运行周期关系为 D．B卫星在轨道2运行时在P点的速度大于它在轨道3运行时的速度 【答案】D 【详解】A．万有引力公式 A、B在P点时，中心天体质量、地球中心到P点的距离相同，卫星质量不一定相同，所以万有引力不一定相等，故A错误； B．卫星在轨道上运行时，只受地球的万有引力，此时合力为万有引力，根据牛顿第二定律得 A、B在P点时，中心天体质量、地球中心到P点的距离相同，所以加速度相同，故B错误； C．根据开普勒第三定律可得 如果轨道为圆形可得 值与中心天体质量有关，对同一个中心天体值一样。 由，可得，故C错误； D．在P点从1轨道变轨到2轨道做离心运动，所以变轨过程为加速运动，可得 在Q点从2轨道变轨到3轨道做离心运动，所以变轨过程为加速运动，可得 又卫星绕地球做圆周运动，万有引力充当向心力得 解得 所以越大，越小，即 联立得 所以B卫星在轨道2运行时在P点的速度大于它在轨道3运行时的速度，故D正确。 故选D。 3．2025年1月21日1时12分，经过约8.5小时的出舱活动，神舟十九号乘组的航天员在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置安装、舱外设备设施巡检等任务。空间站运行圆轨道距地面高度约。航天员进行舱外巡检任务时与空间站相对静止。已知地球半径，取，下列说法正确的是（    ） A．此时航天员所受的重力大于其在地表时所受的重力 B．空间站运行速度大于 C．空间站绕地球运转的周期约为 D．与空间站同轨运行的卫星加速后会与空间站相撞 【答案】C 【详解】A．万有引力近似等于重力，满足 空间站轨道半径 故航天员在轨道上所受重力小于地表重力，故A错误； B．第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，也是最大的轨道环绕速度，环绕速度公式 解得 轨道半径越大环绕速度越小，故空间站运行速度小于7.9km/s，故B错误； C．根据万有引力提供向心力 结合黄金代换 代入数据解得，与选项中90min接近，故C正确； D．同轨运行的卫星加速后，所需向心力增大，万有引力不足以提供心力，卫星将做离心运动，轨道高度升高，不会与空间站相撞，故D错误。 故选C。 4．如图所示，a为地球赤道上随地球自转的未发射的卫星，b、c、d均为绕地球做匀速圆周运动的卫星，其中b为近地卫星（轨道半径近似等于地球半径），c为极地同步卫星（轨道平面过地球两极，轨道半径与d相等），d为地球赤道同步卫星。已知地球半径为R，c、d轨道半径为r，地球两极处的重力加速度为g，则下列说法不正确的是（     ） A．卫星d与卫星a转动方向一致且相对静止 B．各卫星周期：Ta＝Tc＝Td＝24h＞Tb C．vb＝7.9km/s，是地球第一宇宙速度，也是地面发射卫星时的最小发射速度 D．各卫星线速度、加速度和向心力大小满足：＝，＝，＝ 【答案】D 【详解】A．卫星d为同步卫星，与卫星a和地球均自西向东转，角速度相等，保持相对静止，故A正确，不符合题意； B．a为地球赤道上随地球自转的卫星，则a的周期等于地球自转周期，d为同步卫星，c、d的轨道半径相等，则运行周期相等，故Ta＝Tc＝Td＝24h 卫星b的轨道半径小，则由开普勒第三定律可知，卫星的周期最小，故B正确，不符合题意； C．b为近地卫星，线速度大小等于地面发射卫星时的最小发射速度，大小为7.9km/s，也是地球第一宇宙速度，故C正确，不符合题意； D．卫星绕地球做匀速圆周运动时，有 解得 对b、c可得 a、c两者做圆周运动的周期相同，则由可得 由于卫星的质量未知，故向心力大小无法确定，所以不一定成立，故D错误，符合题意。 故选 D。 5．关于赤道上的建筑物A、采石矶的李白雕塑B、地球同步卫星C的运动情况，下列说法正确的是（　　） A．周期大小关系：TA=TB<TC B．角速度大小关系：ωA=ωB=ωC C．线速度大小关系：vA>vB>vC D．向心加速度大小关系：aA>aB>aC 【答案】B 【详解】A．三者周期相等，赤道上的建筑物A、采石矶的雕塑B随地球自转，角速度等于地球自转角速度；地球同步卫星C的公转周期等于地球自转周期，因此三者角速度、周期均相等。即，故A错误； B．由角速度公式，三者周期相等则角速度相等，即，故B正确； C．线速度公式为，角速度相同时线速度与轨道半径成正比，轨道半径关系为（同步卫星轨道半径远大于地球半径，赤道上物体转动半径等于地球半径，B纬度高于赤道，转动半径），因此，故C错误； D．向心加速度公式为，角速度相同时向心加速度与轨道半径成正比，因此，故D错误。 故选B。 6．某人在一星球上以速率 竖直上抛一物体，经时间 物体以速率 落回手中。已知该星球的半径为，此星球的第一宇宙速度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设星球表面重力加速度为，由运动学公式可得 解得 第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度，此时重力提供向心力，有 解得此星球的第一宇宙速度为 故选B。 7．中国在深空探测领域的技术已进入世界先进行列。假设探测飞船绕某行星做匀速圆周运动，已知探测飞船在某条高空轨道运行的环绕周期为、线速度大小为，引力常量为。则下列物理量能被推算出来的是（     ） A．探测飞船的向心加速度大小 B．探测飞船受到的万有引力 C．探测飞船的质量 D．行星的密度 【答案】A 【详解】A．由线速度和周期可求得轨道半径 根据向心加速度公式即可求出向心加速度大小，故A正确； B．因为探测飞船的质量未知，所以根据无法求得探测飞船受到的万有引力，故B错误； C．万有引力提供向心力，由可知，探测飞船的质量可以在等式两边约去，所以无法求出探测飞船的质量，故C错误； D．由可求出中心天体（行星）的质量 但由于行星的半径未知，无法得知其体积，所以无法求出行星的密度，故D错误。 故选A。 8．离地球280光年外有一恒星TOI-561。与TOI-561相距约0.01 AU（日地距离为1 AU）的行星绕其公转的周期约为地球公转周期的，该行星和地球的公转均视为匀速圆周运动。则TOI-561与太阳的质量的比值约为（     ） A．0.16 B．0.64 C．1.6 D．6.4 【答案】B 【详解】根据题意，由万有引力提供向心力有 可得 则有 故选B。 9．“天链一号”卫星属于地球同步轨道卫星，被称为“天上数据中转站”，是北斗导航系统的重要组成部分。“天链一号”卫星的轨道半径约为4.24×104km，地球的半径约为6.4×103km，则地球赤道表面重力加速度与两极的重力加速度大小之比最接近下列哪个数值（　　） A．0.99 B．0.92 C．0.90 D．0.85 【答案】A 【详解】设同步卫星轨道半径是地球半径的k倍，对同步卫星，有 对赤道上的物体，有 对两极的物体，有 联立可得地球赤道重力加速度大小与两极的重力加速度大小之比为， 解得地球赤道表面重力加速度与两极的重力加速度大小之比约为0.99。 故选A。 二、多选题 10．如图所示，“嫦娥三号”探测器发射到月球上要经过多次变轨，最终降落到月球表面上，其中轨道Ⅰ为圆形轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道。下列说法正确的是（     ） A．探测器在P点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ必须点火加速 B．探测器在轨道Ⅰ经过P点时的加速度大于在轨道Ⅱ经过P点时的加速度 C．探测器在轨道Ⅰ运行时的加速度小于月球表面的重力加速度 D．探测器在轨道Ⅰ的运行周期大于在轨道Ⅱ的运行周期 【答案】CD 【详解】A．探测器在P点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要减速，因为轨道Ⅱ的半长轴小于轨道Ⅰ的半径，减速后探测器才能进入轨道Ⅱ，故A错误； B．探测器在P点时的加速度由万有引力提供，故探测器在P点时加速度大小不变，故B错误； C．探测器在轨道Ⅰ时，加速度由万有引力提供，解得 探测器在月球表面时，，其中R为月球半径，r为轨道Ⅰ的半径，，因此，故C正确； D．由开普勒第三定律，轨道Ⅱ的半长轴小于轨道Ⅰ的半径，因此，故D正确。 故选 CD。 11．火星是太阳系内与地球最为相似的行星，若把火星视为均匀球体，火星极地的重力加速度记为g，半径记为R，自转周期记为T，G表示引力常量，则（     ） A．火星的质量表示为 B．火星的密度表示为 C．火星的第一宇宙速度为 D．火星同步卫星的高度为 【答案】CD 【详解】A．火星的同步卫星周期等于火星自转的周期T，设火星的同步卫星的轨道半径为r，由万有引力提供向心力得 解得火星的质量 由于，所以，故A错误； B．由可得火星的密度表示为，故B错误； C．由，，解得火星的第一宇宙速度为，故C正确； D．火星的同步卫星周期等于火星自转的周期，则 又，解得火星同步卫星到火星表面的高度为，故D正确。 故选CD。 12．已知月球半径为，飞船在距月球表面高度为的圆轨道上飞行，周期为。万有引力常量为，月球体积为，下列说法正确的是（     ） A．飞船的线速度大小为 B．月球表面重力加速度为 C．月球密度为 D．月球质量为 【答案】AB 【详解】A．已知月球半径为，飞船在距月球表面高度为的圆轨道上飞行，周期为，根据圆周运动公式得飞船的线速度大小为，故A正确； BD．根据万有引力提供向心力得 其中，可得月球质量为 在月球表面，根据万有引力等于重力得 解得月球表面重力加速度为，故B正确，D错误； C．根据 可得月球密度为，故C错误。 故选AB。 三、解答题 13．土星和地球均可近似看作球体，土星的半径约为地球半径的9.5倍，土星的质量约为地球质量的95倍，已知地球表面的重力加速度，地球密度约为，试计算： (1)土星的密度； (2)土星表面的重力加速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）星体的密度 可得 故土星的密度约为 （2）根据星球表面的物体受到的万有引力近似等于物体的重力 可得 则 所以土星表面的重力加速度 14．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球自转的周期为T，万有引力常量为G，忽略地球自转的影响。求： (1)地球的质量M； (2)地球的第一宇宙速度v1； (3)同步卫星的离地高度h。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在地球表面有 可得地球的质量 （2）根据万有引力提供向心力有 可得地球的第一宇宙速度 （3）根据万有引力提供向心力 可得同步卫星的离地高度 15．2026年5月24日，在酒泉用长征二号F运载火箭将神舟二十三号发射升空，经3.5小时快速径向交会对接，宇航员入驻中国空间站，实现中国第8次太空会师。为了测出地球的密度和空间站离地面的高度，宇航员在地面上将一小球从离地面高处自由释放（空气阻力可以忽略），经过时间小球落地；入驻空间站后，宇航员测出空间站运行的周期为。已知万有引力常量为，地球的半径为，忽略地球自转的影响。求： (1)地球表面附近的重力加速度大小； (2)地球的密度； (3)空间站离地面的高度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由匀变速直线运动公式得 解得地球表面附近的重力加速度大小为 （2）忽略地球自转的影响，则有 可得地球的质量为 又 解得地球的密度 （3）地球对空间站的万有引力提供空间站绕地球运动的向心力，则有 联立解得空间站离地面的高度为 14 学科网（北京）股份有限公司 $新高三暑假复习讲义 2027届高三暑假自学衔接课 第八讲 万有引力定律及其应用 一、开普勒定律 定　律 内　　容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在　　　　的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等  =k,k是一个与行星无关的常量 二、万有引力定律 1．万有引力定律 (1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比。 (2)表达式：F＝，G为引力常量， G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。 2．中心天体质量和密度的估算 (1)“g、R法”：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 ①由G＝mg得天体质量M＝g。 ②天体密度ρ＝＝＝。 (2)“T、r法”：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 ①由G＝m得天体的质量M＝。 ②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 ③若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 3.万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg2。 3、 卫星运行参量的比较与计算 1 不同轨道卫星参量 G＝ 2 宇宙速度 （1）第一宇宙速度的推导 方法一：由G＝m得v1＝ 方法二：由mg＝m得v1＝ 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，对于人造地球卫星而言，最小周期：Tmin＝2π ＝5 075 s≈85 min。 （2）第二、三宇宙速度 a.第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。 b.第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。 3．同步卫星的六个“一定” 考点一：开普勒三定律 例1.“微笑”卫星是由中国科学院与欧洲空间局联合研制的太阳风—磁层相互作用全景成像卫星（SMILE）。该卫星采用软X射线成像技术，首次实现对地球磁层大尺度结构的整体成像，有望在天气预报、磁层物理学基础认知等领域取得一系列科学突破。卫星运行在椭圆轨道上，其轨道近地点离地球表面高度约为，轨道远地点离地球表面高度约为，为地球半径。已知地球同步卫星轨道离地球表面高度约为，则微笑卫星的运行周期约为（     ） A．33小时 B．44小时 C．51小时 D．60小时 【变式训练】2026年4月25日，我国“长征六号”运载火箭成功将巴基斯坦PRSC-EO3卫星送入预定轨道。若新发射卫星与另一颗在轨卫星分别在如图所示的椭圆轨道Ⅰ、Ⅱ上沿逆时针方向运行，两轨道相切于近地点P，A、B为Ⅱ轨道上关于Ⅱ轨道长轴对称的两点。已知轨道Ⅰ、Ⅱ的长轴分别为、，两卫星运动的周期分别为、。则（    ） A． B． C．Ⅱ轨道卫星在A、B两点速度相同 D．在P点，Ⅰ轨道卫星的速度小于Ⅱ轨道卫星的速度 例2.如图所示，虚线为金星绕日运行的椭圆形轨道，a、c为椭圆轨道长轴端点，b、d为椭圆轨道短轴端点。金星沿图中箭头方向运行。某时刻金星位于a点，经过四分之三周期，金星位于轨道的（　　） A．c点 B．cd之间 C．d点 D．da之间 【变式训练】如图所示，太阳系的八大行星绕太阳公转，下列说法正确的是（     ） A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆 B．金星比海王星的公转周期小 C．金星和海王星在近日点的运行速率可能相同 D．火星与太阳的连线和地球与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等 考点二：万有引力定律的理解 例1.潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中、和处单位质量的海水受月球引力大小在（     ） A．处最小 B．处最小 C．处最小 D．、处相等，处最大 【变式训练】有一质量为、半径为、密度均匀的球体，在距离球心为的地方有一质量为的质点。现从中挖去半径为的球体，如图所示，则剩余部分对的万有引力大小为（     ） A． B． C． D． 例2.旅行爱好者小陆走遍世界各地，他发现从赤道到北极自己的重力增加了ΔN。已知小陆的质量始终为m，地球半径为R，则地球的自转周期为（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】某行星的质量约为地球质量的6.4倍，半径约为地球的2倍，则一个在地球上重为600 N的人在该行星上重约为（忽略地球和行星的自转）（     ） A．375 N B．600 N C．960 N D．1920 N 【变式训练2】已知地球两极处的重力加速度大小为，地球赤道处的重力加速度大小为g，将地球视为质量分布均匀的球，地球半径为R，则地球自转角速度大小为（     ） A． B． C． D． 例3.中国载人登月工程规划在2030年前实现航天员登月。假设航天员登月后，在月球表面尝试估测月球质量。已知月球半径和引力常量。航天员分别用到如下器材，其中无法实现目标的是（　　） A．一个质量已知的钩码和一个弹簧测力计 B．一个质量已知的钩码、一把刻度尺和一块停表 C．一个质量未知的钩码、一把刻度尺和一块停表 D．一个质量未知的钩码、一根长度未知的细线和一块停表 【变式训练】2022年9月第73届国际宇航大会（IAC）在法国巴黎召开，中国首次火星探测“天问一号”任务团队获得“世界航天奖”。已知火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的，火星绕太阳公转的轨道半径约为地球公转轨道半径的倍。忽略星球自转的影响，请估算： (1)火星表面与地球表面的重力加速度大小之比； (2)火星与地球公转周期之比。 考点三：计算中心天体的质量与密度 例1.土星最大的卫星叫“泰坦”（如图），每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为，已知引力常量，则土星的质量约为（　　） A． B． C． D． 例2. 航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R（不考虑月球自转的影响）。求： (1)月球的质量M； (2)若一飞行器在距离月球表面高度2R处做匀速圆周运动，则其运行速率为多少。 例3.中国空间站天和核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知其轨道距地面的高度为，运行周期为，地球半径为，引力常量为，由此可得到地球的平均密度为（     ） A． B． C． D． 【变式训练】郭守敬望远镜是我国首个天文领域大科学装置，积累了大量的观测数据。分析观测数据表明，某行星绕一恒星做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为该恒星半径的n倍。不考虑其他星体的影响，引力常量为G，则该恒星的平均密度为（   ） A． B． C． D． 考点四：宇宙速度与卫星 例1.国际航天领域中，把轨道高度在的卫星称为低轨卫星。地球同步卫星到地面的高度约为，则同步卫星的（     ） A．角速度比低轨卫星的大 B．线速度比低轨卫星的大 C．周期比低轨卫星的大 D．向心加速度比低轨卫星的大 【变式训练】“千帆星座”是我国正在建设的巨型低轨卫星互联网星座系统，其组网卫星“千帆极轨12组”（共18颗），于2026年6月5日，由长征八号运载火箭在海南商业航天发射场以“一箭18星”发射入轨。入轨后，该组卫星均在距地面约1070 km高度的同一极地圆轨道上运行。关于这18颗卫星中的任意一颗（　　） A．运行周期均小于24 h B．运行周期均大于24 h C．运行速度均小于 D．运行速度均大于 例2.2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船成功发射，飞船与空间站组合体自主对接后绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径。下列说法正确的是（     ） A．飞船的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间 B．飞船在轨运行的线速度小于地球同步卫星在轨运行的线速度 C．飞船在轨运行的周期大于地球自转周期 D．飞船返回地球时，需要点火加速做离心运动 例3.我国计划在2030年前实现航天员登陆月球。假设一航天员在距月球表面高度为h处（h远小于月球半径）以速度水平抛出一个小球，经过时间t小球落至月球表面。已知月球可看作球体且表面近似真空，月球的质量为M，万有引力常量为G，根据以上信息可知（     ） A．月球表面的重力加速度 B．月球的半径 C．小球落地点到抛出点的水平距离为 D．月球的第一宇宙速度 考点五：同步卫星 例1.北斗G7卫星处于地球同步静止轨道，绕地球做匀速圆周运动，则G7卫星的（     ） A．运行速度大于地球的第一宇宙速度 B．角速度大于地球自转的角速度 C．运行线速度大于地球赤道上物体随地球自转的线速度 D．G7卫星可能经过天津正上空 例2.2026年4月24日，第十一届“中国航天日”主场活动在成都举行，主题为“七秩问天路，携手探九霄”。全球首颗商业地球静止轨道卫星“苍宇一号”亮相商业航天展区，成为现场焦点。“苍宇一号”将于2026年底发射至离地球表面高度约为6R的地球静止轨道上运行，已知地球的半径为R，地球表面重力加速度大小为g，下列说法正确的是（     ） A．“苍宇一号”可以在郑州的上空相对地面保持静止 B．“苍宇一号”在轨运行的周期与地球自转周期相同 C．“苍宇一号”在轨运行的向心加速度大小约为 D．“苍宇一号”在轨运行的线速度小于7.9 km/s 例3.如图所示，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球静止卫星。下列关于a、b、c做匀速圆周运动的说法中，正确的是（　　） A．角速度的大小关系为ωb > ωc = ωa B．向心加速度的大小关系为aa > ab > ac C．线速度的大小关系为vb > vc > va D．周期关系为Ta = Tc <Tb 【变式训练1】如图所示，卫星A绕地球做匀速圆周运动的半径小于地球同步卫星B运行的半径，P是位于地球赤道上的物体。若P、A、B做匀速圆周运动的线速度大小分别为vP、vA、vB，周期分别为TP、TA、TB，向心加速度大小分别为aP、aA、aB，则下列判断正确的是（     ） A．vA>vB>vP B．vA<vB<vP C．TP>TA>TB D．aB>aA>aP 【变式训练2】同步卫星与地心间的距离为，运行速率为，向心加速度大小为；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为；地球的第一宇宙速度为，半径为。下列关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 一、单选题 1．如图所示，关于开普勒三大定律，下列说法正确的是（     ） A．火星绕太阳运行一周的时间比地球绕太阳运行一周的时间短 B．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点运行的速率相等 C．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 D．在相等时间内，火星和太阳的连线扫过的面积与地球和太阳的连线扫过的面积相等 2．两卫星释放过程简化为如图所示，火箭运行至P点时，同时将A、B两颗卫星送入预定轨道，A卫星进入轨道1做圆周运动，B卫星进入轨道2沿椭圆轨道运动，P点为椭圆轨道的近地点，Q点为远地点，B卫星在Q点喷气变轨到轨道3，之后绕地球做圆周运动，下列说法正确的是（     ） A．A、B在P点时受到地球的引力一定相等 B．A卫星在P点的加速度小于B卫星在P点的加速度 C．卫星在1、2、3轨道上的运行周期关系为 D．B卫星在轨道2运行时在P点的速度大于它在轨道3运行时的速度 3．2025年1月21日1时12分，经过约8.5小时的出舱活动，神舟十九号乘组的航天员在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置安装、舱外设备设施巡检等任务。空间站运行圆轨道距地面高度约。航天员进行舱外巡检任务时与空间站相对静止。已知地球半径，取，下列说法正确的是（    ） A．此时航天员所受的重力大于其在地表时所受的重力 B．空间站运行速度大于 C．空间站绕地球运转的周期约为 D．与空间站同轨运行的卫星加速后会与空间站相撞 4．如图所示，a为地球赤道上随地球自转的未发射的卫星，b、c、d均为绕地球做匀速圆周运动的卫星，其中b为近地卫星（轨道半径近似等于地球半径），c为极地同步卫星（轨道平面过地球两极，轨道半径与d相等），d为地球赤道同步卫星。已知地球半径为R，c、d轨道半径为r，地球两极处的重力加速度为g，则下列说法不正确的是（     ） A．卫星d与卫星a转动方向一致且相对静止 B．各卫星周期：Ta＝Tc＝Td＝24h＞Tb C．vb＝7.9km/s，是地球第一宇宙速度，也是地面发射卫星时的最小发射速度 D．各卫星线速度、加速度和向心力大小满足：＝，＝，＝ 5．关于赤道上的建筑物A、采石矶的李白雕塑B、地球同步卫星C的运动情况，下列说法正确的是（　　） A．周期大小关系：TA=TB<TC B．角速度大小关系：ωA=ωB=ωC C．线速度大小关系：vA>vB>vC D．向心加速度大小关系：aA>aB>aC 6．某人在一星球上以速率 竖直上抛一物体，经时间 物体以速率 落回手中。已知该星球的半径为，此星球的第一宇宙速度为（     ） A． B． C． D． 7．中国在深空探测领域的技术已进入世界先进行列。假设探测飞船绕某行星做匀速圆周运动，已知探测飞船在某条高空轨道运行的环绕周期为、线速度大小为，引力常量为。则下列物理量能被推算出来的是（     ） A．探测飞船的向心加速度大小 B．探测飞船受到的万有引力 C．探测飞船的质量 D．行星的密度 8．离地球280光年外有一恒星TOI-561。与TOI-561相距约0.01 AU（日地距离为1 AU）的行星绕其公转的周期约为地球公转周期的，该行星和地球的公转均视为匀速圆周运动。则TOI-561与太阳的质量的比值约为（     ） A．0.16 B．0.64 C．1.6 D．6.4 9．“天链一号”卫星属于地球同步轨道卫星，被称为“天上数据中转站”，是北斗导航系统的重要组成部分。“天链一号”卫星的轨道半径约为4.24×104km，地球的半径约为6.4×103km，则地球赤道表面重力加速度与两极的重力加速度大小之比最接近下列哪个数值（　　） A．0.99 B．0.92 C．0.90 D．0.85 二、多选题 10．如图所示，“嫦娥三号”探测器发射到月球上要经过多次变轨，最终降落到月球表面上，其中轨道Ⅰ为圆形轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道。下列说法正确的是（     ） A．探测器在P点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ必须点火加速 B．探测器在轨道Ⅰ经过P点时的加速度大于在轨道Ⅱ经过P点时的加速度 C．探测器在轨道Ⅰ运行时的加速度小于月球表面的重力加速度 D．探测器在轨道Ⅰ的运行周期大于在轨道Ⅱ的运行周期 11．火星是太阳系内与地球最为相似的行星，若把火星视为均匀球体，火星极地的重力加速度记为g，半径记为R，自转周期记为T，G表示引力常量，则（     ） A．火星的质量表示为 B．火星的密度表示为 C．火星的第一宇宙速度为 D．火星同步卫星的高度为 12．已知月球半径为，飞船在距月球表面高度为的圆轨道上飞行，周期为。万有引力常量为，月球体积为，下列说法正确的是（     ） A．飞船的线速度大小为 B．月球表面重力加速度为 C．月球密度为 D．月球质量为 三、解答题 13．土星和地球均可近似看作球体，土星的半径约为地球半径的9.5倍，土星的质量约为地球质量的95倍，已知地球表面的重力加速度，地球密度约为，试计算： (1)土星的密度； (2)土星表面的重力加速度大小。 14．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球自转的周期为T，万有引力常量为G，忽略地球自转的影响。求： (1)地球的质量M； (2)地球的第一宇宙速度v1； (3)同步卫星的离地高度h。 15．2026年5月24日，在酒泉用长征二号F运载火箭将神舟二十三号发射升空，经3.5小时快速径向交会对接，宇航员入驻中国空间站，实现中国第8次太空会师。为了测出地球的密度和空间站离地面的高度，宇航员在地面上将一小球从离地面高处自由释放（空气阻力可以忽略），经过时间小球落地；入驻空间站后，宇航员测出空间站运行的周期为。已知万有引力常量为，地球的半径为，忽略地球自转的影响。求： (1)地球表面附近的重力加速度大小； (2)地球的密度； (3)空间站离地面的高度。 14 学科网（北京）股份有限公司 $